Hàm vectơ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS LÊ VĂN DŨNG Phản biện 1: TS PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 2: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vectơ khái niệm trừu tượng Để nắm kiến thức vectơ đòi hỏi người học phải có tư logic, khả sáng tạo biết vận dụng liên hệ với thực tế Trong chương trình phổ thông, kiến thức vectơ đề cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết chiếm nửa tổng số tiết hình học ba năm cấp ba Kiến thức vectơ phổ thông định nghĩa, phép toán để vận dụng giải số toán vectơ không gian, phương pháp tọa độ không gian Đây phần kiến thức vectơ ứng dụng hình học vectơ Ngoài ứng dụng hình học, vectơ có ứng dụng vật lí, đạo hàm tích phân Hàm vectơ mở rộng khái niệm vectơ cách đặt tương ứng giá trị t  R vectơ, vectơ xem hàm vectơ Ứng dụng hàm vectơ vận dụng để giải toán Vật lí, chẳng hạn ta viết phương trình vận tốc chuyển động vt  v0  a.t , a vectơ gia tốc t thời gian Khi chuyển động thẳng độ lớn vt vt  v0  at Là giáo viên dạy toán trường phổ thông với mong muốn tìm hiểu sâu sắc hàm vectơ ứng dụng hàm vectơ nhằm có nhìn toàn diện từ đưa cách truyền đạt để học sinh nắm bắt tiếp cận kiến thức vectơ cách dễ dàng, định chọn đề tài: “Hàm vectơ ứng dụng” Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức vectơ - Phát biểu khái niệm hàm vectơ kiến thức liên quan đến hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến… - Hệ thống phân loại số toán giải cách sử dụng kiến thức hàm vectơ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức vectơ - Các kiến thức hàm vectơ ứng dụng hàm vectơ - Các toán giải cách sử dụng kiến thức hàm vectơ Phƣơng pháp nghiên cứu Với đề tài: “Hàm vectơ ứng dụng” sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn + Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn + Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Hệ thống kiến thức vectơ, khái niệm hàm vectơ số kiến thức liên quan hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề tài - Đề tài có giá trị mặt lý thuyết.Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,giáo viên phổ thông đối tượng quan tâm đến kiến thức vectơ Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chƣơng 1: Kiến thức vectơ Chƣơng 2: Hàm vectơ ứng dụng CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.1.1 Đại lượng có hướng gọi đại lượng vectơ (hay gọi tắt vectơ) Các đại lượng vật lí khối lượng, thể tích, công lượng vô hướng; độ dời, vận tốc, gia tốc lực vectơ Định nghĩa 1.1.2 Các vectơ có độ lớn gọi vectơ đơn vị Trong luận văn vectơ đơn vị phân biệt với vectơ khác dấu mũ; ví dụ aˆ đại diện cho vectơ đơn vị theo hướng vectơ a Rõ ràng, a = a aˆ Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc OXYZ , vectơ đơn vị trục OX , OY , OZ kí hiệu i, j , k Định nghĩa 1.1.3 Vectơ - không vectơ có độ lớn không hướng, ký hiệu Định nghĩa 1.1.4 Vectơ đối vectơ a , kí hiệu – a , vectơ có modul vectơ a ngược hướng với vectơ a Định nghĩa 1.1.5 Các vectơ gọi chúng có modul hướng 1.2 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ a, b biểu diễn PQ , QR (Hình (a)) Khi vectơ biểu diễn PR định nghĩa tổng a b , viết: a  b gọi quy tắc điểm phép cộng vectơ Định nghĩa 1.2.2 (Phép trừ hai vectơ) Hiệu hai vectơ a, b viết a  b theo quy tắc đại số vô hướng viết thành tổng a + (- b ) Biễu diễn a, b vectơ PQ , QR trước, QR ' đại diện cho - b , với QR' = QR (hình vẽ) Nên a  b a + (- b ) biểu diễn PR ' SQ Định nghĩa 1.2.3 (Tổng nhiều vectơ) Giả sử có n vectơ a1 , a , , a n Cho a biểu diễn OA1 , a đại diện A1 A2 , …, a n biểu diễn An 1 An Vậy OA2  OA1  A1 A2  a1  a ; OA3  OA2  A2 A3  a1  a  a ; OA4  OA3  A3 A4  a1  a  a  a ; …………………………………………… OAn  OAn 1  An 1 An  a1  a  a   a n Định nghĩa 1.2.4 (Phép nhân vectơ với số) Nếu m số thực dương, m a định nghĩa vectơ hướng a có độ lớn ma Định lý 1.2.5 Nếu vectơ a , b biểu diễn OP, OQ m, n số dương, m a +n b = (m+n) c , với c biểu diễn vectơ OR , R điểm PQ cho mPR  nRQ Định nghĩa 1.2.6 (Thành phần vectơ hƣớng vuông góc với nhau) Giả sử OP đại diện cho vectơ r (Hình vẽ) Qua điểm O vẽ đường thẳng vuông góc OX, OY, OZ theo quy tắc đinh ốc xoay bên phải từ OY tới OZ dọc theo OX tiếp tục tuần hoàn theo chữ X, Y, Z Vẽ đường vuông góc PQ, PR, PS xuống mp(YOZ), (ZOX), (XOY) ta có hình hộp chữ nhật OASBCRPQ Đặt OA= x, OB = y , OC = z gọi vectơ đơn vị theo hướng OX, OY , OZ i , j , k suy ra: OA  xi; OB  y j; OC  zk Vì OP  OA  AS  SP  OA  OB  OC Nên r = x i + y j + zk Các vectơ x i , y j , z k gọi thành phần r hệ trục tọa độ Các thành phần r theo hướng nhất, giống vẽ hình hộp Do vectơ thành phần tương ứng chúng Trong không gian chiều, r nằm mp(XOY), kết trở thành: r =xi +y j Định nghĩa 1.2.7 (Modun cosin theo hƣớng vectơ theo thành phần nó) Từ hình vẽ trên, dễ thấy : OP2  OA2  OB2  OC Vì modun r vectơ r cho bởi: r  x  y  z , với x, y, z modul thành phần r r  x2  y  z Hướng vectơ r hay OP xác định cosin góc tạo tạo OP với trục OX, OY , OZ Nếu góc  ,  ,  thì: cos  OA x OB y OC z  ; cos   ; cos   OP r OP r OP r cos , cos , cos gọi cosin theo hướng OP ; chúng phụ thuộc hệ thức: x2  y  z 1 r2 Trong không gian hai chiều, r nằm mp(XOY), có kết tương tự: x y với cos   cos   r  x  y ; cos  ; cos  r r Định nghĩa 1.2.8 (Tổng hiệu vectơ theo thành phần) cos2   cos2   cos2   Giả sử vectơ r1 , r , r ,… biểu diễn theo thành phần chúng trục vuông góc OX, OY , OZ r1  x1 i  y1 j  z1 k r  x2 i  y2 j  z2 k r  x3 i  y3 j  z3 k r1  r  r   ( x1 i  y1 j  z1 k )  ( x2 i  y2 j  z2 k )  ( x3 i  y3 j  z3 k )   ( x1  x2  x3  )i  ( y1  y2  y3  ) j  ( z1  z2  z3  )k Kết cho thấy phép cộng vectơ thực cách cộng thành phần chúng Hoàn toàn tương tự trừ vectơ 1.3 TÍCH CỦA CÁC VECTƠ Định nghĩa 1.3.1 (Tích vô hƣớng) Tích vô hướng hai vectơ a b tạo với góc  định nghĩa đại lượng vô hướng a.b.cos  ký hiệu a b Rõ ràng, phép nhân vô hướng vectơ có tính giao hoán vì: a b = ab.cos  =ba.cos  = b a Định nghĩa 1.3.2 (Tích có hƣớng) Tích có hướng vectơ a , b tạo với góc  định nghĩa vectơ (gọi vectơ tích) có độ lớn ab.sin  có hướng vuông góc với hướng vectơ a b theo đường đinh ốc xoắn phía phải từ hướng vectơ a đến hướng vectơ b di chuyển theo hướng vectơ tích Vectơ tích vectơ a b ký hiệu a  b a x b Định nghĩa 1.3.3 (Tích hỗn tạp)   Giá trị a b  c kết tích a b  c , gọi tích hỗn tạp thể dạng b c (bằng b c ) Đại diện cho tích hỗn tạp v , v vuông góc với b  c coi mặt phẳng b c thể v = bp + qc p,q vô hướng Lấy hình chữ nhật có vectơ đơn vị i , j , k với j , k mặt phẳng b,c j song song với mặt phẳng b Khi : b =b j ; c = c2 j + c3 k ; a = a1 i  a2 j  a3 k v = ( a1 i  a2 j  a3 k )  [b j  ( c2 j + c3 k )] = ( a1 i  a2 j  a3 k )  (bc j ) = - a2bc3 k  a3bc3 j =- a2b(c  c2 j )  a3c3b =- a2bc  a2c2b  a3c3b =( a2 c2  a3c3 )b- a2bc Nhưng a2c2  a3c3 =ac a2b =ab   a  b  c  ac  b  ab  c       Chú ý a  b  c khác với a  b  c c  a  b nên tích hỗn tạp tính chất giao hoán CHƢƠNG HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.1.1 (Các hàm số vectơ biến số vô hƣớng) Cho  ,    R Hàm vectơ phép đặt t   ,   tương ứng với vectơ kí hiệu a  t  Định nghĩa 2.1.2 (Định nghĩa hàm vectơ hệ trục tọa độ Descartes) Một hàm có r  t   f t  i  g t  j dạng r  t   f t  i  g t  j  h t k hàm vectơ, hàm thành phần f, g h hàm giá trị thực tham số t Các hàm giá trị vectơ biểu thị r t   f t  , g t  r t   f t  , g t  , h t  2.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa đạo hàm hàm vectơ) Cho hàm vectơ r  t  với t  (a; b) Đạo hàm hàm vectơ r  t  định nghĩa r '  t   lim t 0 r  t  t   r  t  t giới hạn tồn Kí hiệu r '  t  Dt  r  t   Nếu r '  t  tồn r gọi khả vi t Nếu r '  t  tồn cho tất t khoảng mở I r khả vi khoảng I Sự khả vi hàm vectơ mở rộng cho khoảng đóng cách xem xét giới hạn bên sau 10 Dt r  w  t    r '  w  t   w '  t  Nếu r  t  r  t   c r  t  r '  t   Định lí 2.2.5 (Đạo hàm hàm vectơ theo tọa độ) Nếu r  t   f  t  i  g  t  j nơi f g hàm khả vi t, r 't   f 't  i  g 't  j Nếu r  t   f  t  i  g  t  j  h  t  k nơi f, g h hàm khả vi t, r 't   f 't  i  g 't  j  h 't  k Trong định lí sau đây, a , b hàm vectơ u hàm vô hướng biến số vô hướng t; c vectơ bất biến, số cường độ hướng, c số vô hướng Trong kết (iii), hàm quy tắc hàm số, s biến số vô hướng thứ hai hàm t Định lí 2.2.6 (i) dc 0; dt (ii) d da ca  c ; dt dt (iii) d d a db ab   ; dt dt dt       (iv) d a d a ds  ; dt ds dt   d du da d da db ua  au ; a.b  b  a dt dt dt dt dt dt   d da db ab  ba dt dt dt Nhận xét 2.2.7 (Đạo hàm hàm vectơ có độ lớn bất biến) ; 11 Giả sử a  a (t ) hàm vectơ có mudule số có hướng 2 thay đổi với t Thì a = số, điều dẫn đến đạo hàm a t Vì 2a da 0 dt hay a da 0 dt Do a đạo hàm d a /dt vectơ vuông góc Định lí 2.2.8 a  a (t ) (t) hàm vectơ có mudule số có hướng thay đổi với t a đạo hàm d a /dt vectơ vuông góc 2.3 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.3.1 Tích phân bất định (hoặc nguyên hàm) hàm vectơ cho a (t ) hàm vectơ A (t) cho dA  a Khi kết dt viết  a(t )dt  A(t )   Nếu c vectơ hằng, ta có d A  c / dt  a(t ) , nên tích phân bất định tổng quát a (t ) ∫ a (t ) dt = A + c , c vectơ Nhận xét 2.3.2 (Nguyên hàm tích vectơ) Với a , b hàm vectơ t , a b hàm thực theo t a  b hàm vectơ theo t Khi ∫ a b dt , ∫ a  b dt nguyên hàm tích vectơ hoàn toàn xác định Định nghĩa 2.3.3 (Tích phân xác định hàm vectơ) Nếu A (t) nguyên hàm hàm vectơ a (t ) tích phân xác định a (t ) từ a đến b xác định 12 b  a(t )dt  A(b)  A(a) : A(t ) | b a a Định nghĩa 2.3.4 (Tích phân hàm vectơ theo tọa độ) Nếu r  t   f  t  i  g  t  j , f g liên tục đoạn [a, b], tích phân bất định vectơ r  r t  dt   f t  dt  i   g t  dt  j có tích phân xác định đoạn a  t  b b  b  a r t  dt  a f t  dt  i  a g t  dt  j b Nếu r  t   f  t  i  g  t  j  h  t  k , f, g k liên tục đoạn [a, b] tích phân bất định vectơ r  r t  dt   f t  dt  i   g t  dt  j   h t  dt  k có tích phân xác định đoạn a  t  b b  b  b  r t dt  f t dt i  g t dt j  a   a    a    a h t  dt  k 2.4 VECTƠ TIẾP TUYẾN b Định nghĩa 2.4.1 (Định nghĩa vectơ tiếp tuyến đơn vị) Cho C đường cong phẳng đại diện vectơ r khoảng mở I Vectơ tiếp tuyến đơn vị T  t  t định nghĩa sau: T t   r 't  r 't  , r '  t   Định nghĩa 2.4.2 (Định nghĩa vectơ pháp tuyến đơn vị) 13 Cho C đường cong phẳng đại diện vectơ r khoảng mở I Nếu T '  t   , vectơ pháp tuyến đơn vị t định nghĩa sau: N t   T 't  T 't  Định nghĩa 2.4.3 (Định nghĩa vận tốc gia tốc) Nếu x y hai hàm khác t, r hàm vectơ cho r  t   x  t  i  y  t  j vectơ vận tốc, vectơ gia tốc tốc độ viết sau: Vectơ vận tốc: v  t   r '  t   x '  t  i  y '  t  j Vận tốc: v  t    x '  t     y '  t  2 Vectơ gia tốc: a  t   r " t   x " t  i  y "  t  j Gia tốc: r '  t    x " t     y " t  2 Định lí 2.4.4 ( Hàm vị trí cho vật phóng) Bỏ qua sức cản không khí, đường vật phóng từ chiều cao ban đầu h với tốc độ ban đầu v0 góc nâng  mô tả hàm vectơ   r  t    v0 cos  t i   h   v0 sin   t  gt  j   g gia tốc trọng lực Định lí 2.4.5 (Vectơ gia tốc) Nếu r  t  vectơ vị trí đường cong phẳng C tồn vectơ pháp tuyến đơn vị N  t  , vectơ gia tốc a  t  nằm mặt phẳng xác định vectơ tiếp tuyến đơn vị T  t  vectơ pháp tuyến đơn vị N t  14 Định lí 2.4.6 (Thành phần tiếp tuyến pháp tuyến gia tốc) Nếu r  t  vectơ vị trí đường cong phẳng C cho tồn vectơ pháp tuyến đơn vị N  t  , hợp thành tiếp tuyến pháp tuyến gia tốc viết sau: v a aT  Dt  v   a.T    v aN  v T '  a N  va  a  aT2 v Chú ý aN  Pháp tuyến hợp thành gia tốc gọi gia tốc hướng tâm 2.5 ĐỘ DÀI CỦA ĐƢỜNG CONG Định lí 2.5.1 Độ dài đƣờng cong không gian Nếu C đường cong phẳng cho r  t   x  t  i  y t  j  z t  k với t [a; b], đường cong C có độ dài b b s    x '  t     y '  t     z '  t  dt   r '  t  dt 2 a a Định nghĩa 2.5.2 (Hàm độ dài đƣờng cong) Cho C đường cong phẳng cho r  t  xác định khoảng đóng [a; b] Với a  t  b , hàm độ dài đường cong cho s  t    r '  u  du    x '  u     y '  u     z '  u  du Độ dài s gọi độ dài tham số 2 15 Định nghĩa 2.5.3 (Định nghĩa độ cong) Cho C đường cong phẳng (trong mặt phẳng không gian) cho bới r  s  , s tham số độ dài Độ cong K s cho bởi: K dT  T ' s  ds Định lí 2.5.4 ( Công thức đo độ cong) Nếu C đường cong phẳng cho r  t  , độ cong K C t cho K T 't  r 't   r '  t   r " t  r 't  Định lí 2.5.5 Nếu s  t  hàm độ dài đường cong phẳng C, vectơ gia tốc cho bởi: a t   d 2s  ds  TK  N dt  dt  Trong K độ cong C ds tốc độ dt 2.6 ỨNG DỤNG CỦA HÀM VECTƠ 2.6.1 Ứng dụng hàm vectơ giải số toán đƣờng cong Bài toán 1: Tìm hàm vectơ vị trí điểm P có quỹ đạo parabol cho y  x  Lời giải Mặc dù có nhiều cách để chọn tham số t, cách đơn giản lấy x = t Sau thay y  t  ta có r  t   ti  t  1 j 16 Bài toán 2: Tìm hàm vectơ vị trí điểm P có quỹ đạo đường cong C xác định giao tuyến của elip x2 y z    , z  parabol hình trụ y  x , Sau đó, tìm 12 24 hàm vectơ để đại diện cho đồ thị Lời giải Trong toán này,ta chọn tham số đơn giản x = t Với cách chọn này, ta thay công thức y  x công thức y  t , Sau , ta có 2 z2 x2 y t t 24  2t  t   t   t  1  1    12 24 12 24 24 24 Vì ta chọn   t   t  x  t, y  t , z Kết hàm vectơ r  t   ti  t j    t   t  k , 2 2t 2 2.6.2 Ứng dụng đạo hàm hàm vectơ Bài toán 1: Một hàm vectơ cho r t   ti  t  2 j Tìm r '  t  Sau phác họa quỹ đạo điểm P xác định OP  r  t  vẽ minh họa vect r 1 r ' 1 Lời giải Đạo hàm theo thành phần tọa độ ta r '  t   i  2t j 17 Từ vị trí vectơ r  t  ta viết phương trình tham số x = t y  t  Phương trình sau thay y  x  Khi t = 1, r 1  i  j r ' 1  i  j Bài toán 2: Tìm quỹ đạo điểm P hệ trục tọa độ Descartes Oxy xác định vectơ vị trí OP  r  t    5cos t  cos5t  i   5sin t  sin 5t  j ,  t  2 Lời giải Đạo hàm vectơ r r '  t    5sint  5sin t  i   5cos5t  5cos5t  j Trong khoảng thời gian  0, 2  , có giá trị t mà r '  t   0i  j 3 2 Ngoài ra, ta kết luận C 2 phẳng khoảng thời gian t  0,  , ,        3   3   0,  ,  ,   ,   ,   , 2  2 2         2.6.3 Ứng dụng tích phân hàm vectơ Bài toán 1: Xác định vị trí tích phân Một vật ban đầu đứng yên điểm P(1, 2, 0) di chuyến với gia tốc a  t   j  2k với a  t  đo xác đến giây Tìm vị trí vật sau giây Lời giải Từ mô tả chuyển động đối tượng, ta suy luận điều kiện lúc đầu Bởi lúc đầu vật đứng yên, ta có 18 v 0  Hơn nữa, vật bắt đầu điểm (x, y, z) = (1, 2, 0), ta có r  0  x  0 i  y  0 j  z  0 k 1i  j  0k i  j Để tìm hàm vị trí, ta nên lấy tích phân hai lần, lần sử dụng điều kiện ban đầu để giải cho số tích phân Vectơ vận tốc   v  t    a  t  dt   j  2k dt  t j  2tk  C nơi C  C1 i  C2 j  C3 k Lấy t = áp đặt điều kiện ban đầu v    , ta v    C1 i  C2 j  C3 k   C1  C2  C3  Vì vậy, vận tốc thời điểm t v  t   t j  2tk Tích phân lần kết   r  t    v  t  dt   t j  2tk dt  t2 j  t2 k  C Nơi C  C4 i  C5 j  C6 k Lấy t = áp đặt điều kiện ban đầu r    i  j , ta có r    C4 i  C5 j  C6 k  i  j  C4  1, C5  2, C6  Vì vectơ vị trí  t2  r t   i     j  t k 2  Vị trí vật sau thời gian t = giây cho hàm r    i  j  4k 19 Bài toán 2: Tìm hàm vectơ vị trí vật phóng Một vật có khối lượng m phóng từ vị trí ban đầu r với vận tốc ban đầu v Tìm vectơ vị trí theo thời gian Lời giải Bắt đầu với gia tốc a  t    g j lấy tích phân hai lần v  t    a  t  dt    g jdt   gt j  C1   r  t    v  t  dt    gt j  C1 dt   gt j  C1t  C 2 Ta sử dụng thực tế v    v r    r để giải với số vectơ C C Việc làm kết C1  v , C  r Vì thế, vectơ vị trí r  t   gt j  tv0  r 2.6.4 Ứng dụng tiếp tuyến hàm vectơ Bài toán 1: Tìm đƣờng tiếp tuyến điểm đƣờng cong Tìm T  t  sau tìm phương trình tham số cho đường tiếp tuyến tuyến đường xoắn ốc cho   r  t   2cos ti  2sin t j  tk điểm  , ,  4  Lời giải Đạo hàm r  t  r '  t   2sin ti  2cos t j  k nghĩa r '  t   4sin t  4cos2 t   Vì thế, vectơ tiếp tuyến đơn vị 20 T t   r 't   r 't   2sin ti  2cos t j  k     Tại điểm  , ,  , t  vectơ tiếp tuyến đơn vị 4   2    T  i2 j  k    2i  j  k  2 2 5 4   Dùng số  x1 , y1 , z1     a   2, b  phương , 2,  c  điểm   , ta đạt phương trình tham số 4 sau x  x1  a s   2s y  y1  b s   2s z  z1  c s   s Bài toán 2: Tìm vectơ pháp tuyến Tìm N  t  N 1 đường cong đại diện r  t   3ti  2t j Lời giải Bằng cách đạo hàm, ta r '  t   2i  4t j r '  t    16t Thay vào vectơ tiếp tuyến đơn vị T t   r 't  r 't    16t 3i  4t j  Sử dụng tính chất đạo hàm, đạo hàm vectơ T  t  theo biến t, ta 21 T 't     16t 4 j    16t  3/ 3i  4t j   4ti  j  12   16t  3/ T '  t   12 16t  16t   16t   12  16t Vì thế, vectơ pháp tuyến đơn vị N t   T 't  T 't    16t  4ti  j  Khi t = 1, vectơ pháp tuyến đơn vị N 1  4i  j   2.6.5 Ứng dụng vật lí hàm vectơ Bài toán 1: Tìm vận tốc gia tốc dọc theo đƣờng cong không gian Tìm vectơ vận tốc, tốc độ vectơ gia tốc hạt di chuyển dọc theo đường cong không gian C mô tả t t r  t   2sin i  2cos j 2 Lời giải t t Vectơ vận tốc v  t   r '  t   cos i  sin j 2 Tốc độ r '  t   cos t t  sin  2 t t Vectơ gia tốc a  t   r " t    sin i  cos j 2 2 22 t t y  2cos 2 2 Bằng cách khử tham số t, ta phương trình đại số x  y  Phương trình tham số đường cong x  2sin Bài toán 2: Mô tả đƣờng bóng chày Một bóng chày đánh ba bước chân so với mặt đất bay cấp độ giây 100 feet tạo góc 450 so với điểm ban đầu đến mặt đất Tìm chiều cao đạt tối đa bóng chày Bóng chày có vượt qua hàng rào cao 10 foot đượt đặt vị trí cách điểm ban đầu 300 feet? Lời giải Ta có h = 3, v0 = 100,   450 Vì thế, dùng g = 32 (feet/ giây2) kết       r  t   100cos  ti  3  100sin  t  16t  j 4 4         i   50  32t  j  50 2t i   50 2t  16t j v  t   r '  t   50 Chiều cao tối đa xảy 25  2.21 giây „ 16 Vì chiều cao tối đa đạt bóng chày hay t   25   25  649 y   50   81 feet   16     16   16  Bóng chày có 300 feet từ nơi bị đánh 300  x  t   50 2t 23 Giải phương trình theo t với kết t   4.24 giây Tại thời điểm này, chiều cao bóng chày đạt đượclà    y   50  16   303  288  15 feet Vì thế, bóng chày dễ dàng vượt qua chiều cao 10-foot hàng rào cách vị trí ban đầu 300 feet Bài toán 3: Ứng dụng lực ma sát Một xe đua nặng 360 kg lái với tốc độ 60 km/h đường đua vòng tròn bán kính 12m, biểu diễn hình vẽ Để giữ cho xe không bị trượt khỏi đường đua phải tác động lực ma sát lên bề mặt lốp xe ? Lời giải Khi xe chuyển động tạo lực  d 2s   ds  F  ma  m   T  mK   N  maT T  maN N  dt   dt  Để giữ cho xe không bị trượt khỏi đường đua phải tác động lực ma sát m.aN Với đường cong ta biết uốn cong K  12 Vì thế, lực ma sát  ds     60,000 m  maN  mK     360kg      dt   12m   3600sec   8333  kg  m  / sec 24 KẾT LUẬN Luận văn “Hàm vectơ ứng dụng” thực số vấn đề sau đây: Hệ thống lại kiến thức vectơ Phát biểu trình bày số định nghĩa, định lí liên quan đến khái niệm hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến, Tìm hiểu, phân loại, tổng hợp trình bày ứng dụng hàm vectơ đạo hàm, tích phân có lồng ghép số kiến thức vật lí Trình bày số ứng dụng tiếp tuyến hàm vectơ thông qua việc giải số toán đường cong không gian Trình bày ứng dụng vật lí hàm vectơ qua số toán tìm vận tốc, gia tốc, lực ma sát Mặc dù cố gắng lực thời gian có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Mong nhận góp ý xây dựng quý thầy cô bạn đồng nghiệp Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS.Lê Văn Dũng tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn ... hình học, vectơ có ứng dụng vật lí, đạo hàm tích phân Hàm vectơ mở rộng khái niệm vectơ cách đặt tương ứng giá trị t  R vectơ, vectơ xem hàm vectơ Ứng dụng hàm vectơ vận dụng để giải toán Vật... CHƢƠNG HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.1.1 (Các hàm số vectơ biến số vô hƣớng) Cho  ,    R Hàm vectơ phép đặt t   ,   tương ứng với vectơ. .. ứng dụng hàm vectơ đạo hàm, tích phân có lồng ghép số kiến thức vật lí Trình bày số ứng dụng tiếp tuyến hàm vectơ thông qua việc giải số toán đường cong không gian Trình bày ứng dụng vật lí hàm