Hàm vectơ và ứng dụng

Trong chương trình phổ thông, kiến thức về vectơ được đề cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết chiếm một nửa tổng số tiết hình học của ba năm cấp ba.. Kiến thức về vectơ ở phổ thông l

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ VĂN DŨNG

Phản biện 1: TS PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 2: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016

Có thể tìm Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vectơ là một khái niệm trừu tượng Để nắm được các kiến thức về vectơ đòi hỏi người học phải có tư duy logic, khả năng sáng tạo biết vận dụng liên hệ với thực tế Trong chương trình phổ thông, kiến thức về vectơ được đề cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết chiếm một nửa tổng số tiết hình học của ba năm cấp ba

Kiến thức về vectơ ở phổ thông là các định nghĩa, các phép toán cơ bản để vận dụng giải quyết một số bài toán cơ bản của vectơ trong không gian, phương pháp tọa độ trong không gian Đây chỉ là một phần về kiến thức vectơ và ứng dụng hình học của vectơ Ngoài các ứng dụng trong hình học, vectơ còn có các ứng dụng trong vật lí, trong đạo hàm và tích phân Hàm vectơ là sự mở rộng khái niệm

vectơ bằng cách đặt tương ứng mỗi giá trị t R một vectơ, khi đó mỗi vectơ có thể xem là một hàm vectơ hằng Ứng dụng của hàm vectơ được vận dụng để giải quyết các bài toán trong Vật lí, chẳng hạn ta có thể viết phương trình vận tốc của chuyển động

“Hàm vectơ và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vectơ

- Phát biểu khái niệm hàm vectơ và các kiến thức liên quan đến hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến…

- Hệ thống và phân loại một số bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về hàm vectơ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các kiến thức cơ bản về vectơ

- Các kiến thức về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ

- Các bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về hàm vectơ

4 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Hàm vectơ và ứng dụng” tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

+ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn

+ Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn

+ Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên gia và của các đồng nghiệp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Hệ thống được kiến thức cơ bản về vectơ, khái niệm về hàm vectơ và một số kiến thức liên quan về hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề tài

- Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết.Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,giáo viên phổ thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức về vectơ

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được chia thành hai chương

Chương 1: Kiến thức cơ bản về vectơ

Chương 2: Hàm vectơ và ứng dụng

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ

1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ

Định nghĩa 1.1.1

Đại lượng có hướng được gọi là đại lượng vectơ (hay gọi tắt là

vectơ)

Các đại lượng vật lí như khối lượng, thể tích, công và năng lượng là

vô hướng; trong khi độ dời, vận tốc, gia tốc và lực là các vectơ

Định nghĩa 1.1.2 Các vectơ có độ lớn bằng 1 được gọi là vectơ đơn

vị Trong luận văn này vectơ đơn vị được phân biệt với vectơ khác

bằng một dấu mũ; ví dụ ˆa là đại diện cho một vectơ đơn vị theo

hướng của vectơ a Rõ ràng, a = a ˆa

Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc OXYZ, các vectơ đơn vị

trên trục OX , OY , OZ lần lượt được kí hiệu là , , i j k

Định nghĩa 1.1.3 Vectơ - không là vectơ có độ lớn bằng không và

không có hướng, được ký hiệu 0

Định nghĩa 1.1.4 Vectơ đối của vectơ a , được kí hiệu là – a , là một

vectơ có modul bằng vectơ a nhưng ngược hướng với vectơ a

Định nghĩa 1.1.5 Các vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có

cùng modul và cùng hướng

1.2 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ

Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ ,a b được

biểu diễn lần lượt bởi PQ , QR (Hình (a)) Khi đó vectơ biểu diễn bởi PR được định nghĩa là tổng của a và b , được viết: a b và được gọi là quy tắc 3 điểm của phép cộng vectơ

Định nghĩa 1.2.2 (Phép trừ hai vectơ)

Hiệu giữa hai vectơ ,a b được viết là a b và theo quy tắc của đại

số vô hướng nó được viết thành tổng a + (- b ) Biễu diễn , a b bởi

các vectơ PQ , QR như trước, khi đó QR'sẽ đại diện cho - b , với

QR' = QR (hình vẽ)

Nên a b hoặc a + (- b ) được biểu diễn bởi PR hoặc SQ '

Định nghĩa 1.2.3 (Tổng của nhiều vectơ)

Giả sử có n vectơ a a1, 2, ,a n Cho a được biểu diễn bởi 1 OA1, a 2

được đại diện bởi A A1 2, …, a n được biểu diễn bởi A n1A n

Định nghĩa 1.2.4 (Phép nhân một vectơ với một số)

Nếu m là một số thực dương, khi đó m a được định nghĩa như một

vectơ cùng hướng a có độ lớn bằng ma

Định lý 1.2.5

Nếu các vectơ a , b được biểu diễn lần lượt bởi OP OQ và m, n là ,

các hằng số dương, khi đó m a +n b = (m+n) c , với c được biểu diễn

bởi vectơ OR , R là một điểm trên PQ sao cho mPRnRQ

Định nghĩa 1.2.6 (Thành phần của vectơ trong các hướng vuông

góc với nhau)

Giả sử OP đại diện cho vectơ r (Hình vẽ) Qua điểm O vẽ các

đường thẳng vuông góc OX, OY, OZ theo quy tắc đinh ốc xoay bên

phải từ OY tới OZ dọc theo OX và cứ tiếp tục tuần hoàn theo các

r

chữ cái X, Y, Z Vẽ lần lượt các đường vuông góc PQ, PR, PS xuống mp(YOZ), (ZOX), (XOY) và ta có hình hộp chữ nhật OASBCRPQ Đặt OA= x, OB = y , OC = z và gọi các vectơ đơn vị theo các hướng

OX,OY OZ là i , j , k suy ra: , OAxi OB; y j OC; zk

Từ hình vẽ trên, dễ thấy rằng : OP2OA2OB2OC2 Vì vậy

modun r của vectơ r được cho bởi: r2x2y2z2, với x, y, z là

các modul của thành phần của r

    với cos2cos2 1

Định nghĩa 1.2.8 (Tổng và hiệu các vectơ theo thành phần)

Giả sử các vectơ r r1, 2,r ,… được biểu diễn theo các thành phần 3

của chúng trong các trục vuông góc OX,OY OZ ,

Định nghĩa 1.3.1 (Tích vô hướng) Tích vô hướng của hai vectơ a

và b tạo với nhau một góc  được định nghĩa là đại lượng vô hướng a.b.cos và được ký hiệu là a b

Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hoán vì:

a b = ab.cos=ba.cos= b a

Định nghĩa 1.3.2 (Tích có hướng) Tích có hướng của 2 vectơ a , b

tạo với nhau một góc  được định nghĩa như một vectơ (gọi là vectơ

tích) có độ lớn là ab.sin và có hướng vuông góc với hướng của cả

2 vectơ a và b theo đường đinh ốc xoắn về phía phải từ hướng của

vectơ a đến hướng của vectơ b di chuyển theo hướng của vectơ tích Vectơ tích của 2 vectơ a và b được ký hiệu là

a  b hoặc a x b

Định nghĩa 1.3.3 (Tích hỗn tạp)

Giá trị a b c là kết quả tích a và bc, nó được gọi là tích hỗn

tạp và có thể được thể hiện dưới dạng b và c (bằng b và c )

Đại diện cho tích hỗn tạp là v , sao đó là v vuông góc với b c nó

có thể được coi như là trong mặt phẳng của b và c và do đó nó có

thể được thể hiện như là v = bp + qc trong đó p,q là vô hướng

Lấy hình chữ nhật có vectơ đơn vị , ,i j k với , j k trong mặt phẳng

b,c và j song song với mặt phẳng b Khi đó :

CHƯƠNG 2 HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.1.1 (Các hàm số vectơ của biến số vô hướng)

Cho  , R Hàm vectơ là phép đặt mỗi t ,  tương ứng duy nhất với một vectơ kí hiệu là a t 

Định nghĩa 2.1.2 (Định nghĩa hàm vectơ trong hệ trục tọa độ Descartes)

Một hàm có dạng r t  f t i  g t j  hoặc

r t  f t ig t jh t k là một hàm vectơ, trong đó hàm thành phần f, g và h là các hàm giá trị thực sự của tham số t Các hàm giá trị vectơ đôi khi được biểu thị như r t  f t g t   , hoặc

r t  f t g t h t

2.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ

Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa đạo hàm của một hàm vectơ)

Cho hàm vectơ r t  với t( ; ).a b Đạo hàm của một hàm của vectơ

Kí hiệu r t'  hoặc D r t t  

Nếu r t' tồn tại thì r được gọi là khả vi tại t Nếu r t' tồn tại cho

tất cả t trong khoảng mở I thì r là khả vi trên khoảng I Sự khả vi

của hàm vectơ có thể được mở rộng cho khoảng đóng bằng cách xem xét giới hạn một bên như sau

Định nghĩa 2.2.2 (Định nghĩa đạo hàm một bên của hàm vectơ)

Cho hàm vectơ r t  với t[ ; ).t b0 Giới hạn bên phải nếu có của tỉ

 khi t dần đến t 0 được gọi là đạo hàm bên

phải của hàm vectơ tại điểm t 0 kí hiệu r t' 0

0

0 0

cũng được định nghĩa tương tự

0

0 0

Cho hàm vectơ r t  với t[ ; ].a b Hàm vectơ r t gọi là có đạo hàm

trên đoạn [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b)

và có đạo hàm bên phải tại a và đạo hàm bên trái tại b.

Định lí 2.2.4 (Tính chất của đạo hàm)

Có rr t( ) và uu t( ) là hai hàm vectơ khác nhau có đạo hàm theo

t và c là một đại lượng vô hướng

6 D r t w t   r' w  t w ' t

7 Nếu r t r t    c thì r t r t    ' 0

Định lí 2.2.5 (Đạo hàm của các hàm vectơ theo tọa độ)

1 Nếu r t  f t i  g t j  nơi f và g là các hàm khả vi của t, thì

r t  f t ig t j

2 Nếu r t  f t i  g t j  h t k  nơi f, g và h là các hàm khả vi của t, thì

r t  f t ig t jh t k

Trong định lí sau đây, a , b là các hàm vectơ và u là hàm vô hướng

của biến số vô hướng t; c là một vectơ bất biến, là hằng số trong cường

độ và hướng, và c là một hằng số vô hướng Trong kết quả (iii), hàm

của quy tắc hàm số, s một biến số vô hướng thứ hai là một hàm của t

Giả sử aa t( ) là hàm vectơ có mudule là hằng số nhưng có hướng thay đổi với t Thì a = hằng số, điều này dẫn đến đạo hàm của 2 a đối 2

với t bằng 0

Vì vậy 2 a d a 0

dt  hay a d a 0

dt 

Do đó a và đạo hàm của nó d a /dt là các vectơ vuông góc

Định lí 2.2.8 aa t( )(t) là hàm vectơ có mudule là hằng số nhưng

có hướng thay đổi với t thì a và đạo hàm của nó d a /dt là các vectơ

vuông góc

2.3 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA HÀM VECTƠ

Định nghĩa 2.3.1 Tích phân bất định (hoặc nguyên hàm) của hàm

vectơ đã cho ( )a t là hàm vectơ A (t) sao cho d A a

dt  Khi đó kết quả được viết là

a t dt( ) A t( )

Nếu c là một vectơ hằng, ta cũng có d A c  /dta t( )., nên tích phân bất định tổng quát của ( )a t là

∫ ( )a t dt = A + c , trong đó c là vectơ hằng

Nhận xét 2.3.2 (Nguyên hàm của tích các vectơ)

Với a , b là các hàm vectơ của t , khi đó a b là một hàm thực theo t

và ab là một hàm vectơ theo t Khi đó ∫ a b dt , ∫ a b dt là các nguyên hàm của tích các vectơ cũng hoàn toàn được xác định

Định nghĩa 2.3.3 (Tích phân xác định của hàm vectơ)

Nếu A (t) là một nguyên hàm của hàm vectơ ( ) a t thì tích phân xác

định của ( )a t từ a đến b được xác định bởi

( ) ( ) ( ) : ( ) |

b

a

b a

a t dtA b A a A t

Định nghĩa 2.3.4 (Tích phân của hàm vectơ theo tọa độ)

1 Nếu r t  f t i  g t j  , trong đó f và g là liên tục trên đoạn [a,

b], thì tích phân bất định của vectơ r là

2 Nếu r t  f t i  g t j  h t k  , trong đó f, g và k là liên tục

trên đoạn [a, b] thì tích phân bất định của vectơ r là

2.4 VECTƠ TIẾP TUYẾN

Định nghĩa 2.4.1 (Định nghĩa vectơ tiếp tuyến đơn vị)

Cho C một đường cong phẳng đại diện bởi vectơ r trên một khoảng

mở I Vectơ tiếp tuyến đơn vị T t tại t được định nghĩa như sau:

', ' 0

Cho C một đường cong phẳng đại diện bởi vectơ r trên một khoảng

mở I Nếu T t' 0 , thì vectơ pháp tuyến đơn vị tại t được định nghĩa như sau:

 

''

T t

N t

T t



Định nghĩa 2.4.3 (Định nghĩa vận tốc và gia tốc)

Nếu x và y là hai hàm khác nhau của t, và r là một hàm vectơ được

cho bởi r t x t i   y t j  thì vectơ vận tốc, vectơ gia tốc và tốc

độ được viết như sau:

Bỏ qua sức cản không khí, con đường của vật phóng từ chiều cao

ban đầu h với tốc độ ban đầu v và góc nâng 0  được mô tả bởi hàm vectơ

Nếu r t là vectơ vị trí của đường cong phẳng C và tồn tại vectơ

pháp tuyến đơn vị N t , thì vectơ gia tốc a t  nằm trên mặt phẳng xác định bởi vectơ tiếp tuyến đơn vị T t và vectơ pháp tuyến đơn vị

 

N t

Định lí 2.4.6 (Thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của gia tốc) Nếu r t là vectơ vị trí của đường cong phẳng C sao cho tồn tại

vectơ pháp tuyến đơn vị N t , thì hợp thành tiếp tuyến và pháp tuyến của gia tốc được viết như sau:

2 2

Chú ý rằng a N 0 Pháp tuyến hợp thành của gia tốc cũng được gọi

là gia tốc hướng tâm

2.5 ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG CONG

Định lí 2.5.1 Độ dài của đường cong không gian

Nếu C là một đường cong phẳng được cho bởi

Định nghĩa 2.5.2 (Hàm độ dài của đường cong)

Cho C là một đường cong phẳng được cho bởi r t xác định trên khoảng đóng [a; b]

Với a t b , hàm độ dài của đường cong được cho bởi

Định nghĩa 2.5.3 (Định nghĩa độ cong)

Cho C là một đường cong phẳng (trong mặt phẳng hoặc trong không

gian) được cho bới r s  , trong đó s là tham số độ dài Độ cong K tại s được cho bởi:

 '

dT

ds

Định lí 2.5.4 ( Công thức đo độ cong)

Nếu C là một đường cong phẳng được cho bởi r t , thì độ cong K của C tại t được cho bởi

2.6.1 Ứng dụng của hàm vectơ giải một số bài toán về đường cong

Bài toán 1: Tìm hàm vectơ vị trí của điểm P có quỹ đạo là parabol

được cho bởi 2

Bài toán 2: Tìm hàm vectơ vị trí của điểm P có quỹ đạo là đường cong

C xác định bởi giao tuyến của của elip

Lời giải

Trong bài toán này,ta chọn tham số đơn giản nhất là x = t Với cách

chọn này, ta có thể thay công thức yx2bởi công thức yt2 , Sau đó , ta có được

2.6.2 Ứng dụng đạo hàm của hàm vectơ

Bài toán 1: Một hàm vectơ được cho bởi r t  ti t22j Tìm

Từ vị trí của vectơ r t  ta có thể viết phương trình tham số x = t và

2 

2.6.3 Ứng dụng tích phân của hàm vectơ

Bài toán 1: Xác định vị trí bằng tích phân

Một vật ban đầu đứng yên tại điểm P(1, 2, 0) và di chuyến với một gia tốc a t  j 2k với a t  được đo chính xác đến từng giây Tìm vị trí của vật sau 2 giây

Lời giải

Từ sự mô tả chuyển động của đối tượng, ta có thể suy luận điều kiện lúc đầu Bởi vì lúc đầu vật đứng yên, ta có

Bài toán 2: Tìm hàm vectơ vị trí của vật phóng

Một vật có khối lượng m được phóng đi từ vị trí ban đầu r với vận tốc 0

ban đầu v Tìm vectơ vị trí theo thời gian 0

2

12

Việc làm này được kết quả C1v0 , C2r0 Vì thế, vectơ vị trí là

0 0

1

2

r t  gt jtv r

2.6.4 Ứng dụng tiếp tuyến của hàm vectơ

Bài toán 1: Tìm đường tiếp tuyến tại một điểm trên đường cong

Tìm T t  và sau đó tìm bộ phương trình tham số cho đường tiếp tuyến tuyến của đường xoắn ốc được cho bởi