giới hạn hàm số và ứng dụng đạo hàm

Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn Phần 1: Khái niệm và các kí hiệu. Ví dụ 1: 2 2 1 3 1 1 3 1 1 lim 1 1 1 2 x x x x → − + − + = = − + + . Ví dụ 2: 3 0 1 1 lim 3 3 x x x → + = + . Ví dụ 3: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 3 1 3 1 3 3 7 lim 1 1 1 2 x x x x x →− − − − + − − + = = − − − . Ví dụ 4: 3 2 3 2 1 2 2 1 2.1 1 2 2 lim 2 1 2.1 1 3 x x x x x →   − + − − − + − − = = −  ÷  ÷ + +   . Ví dụ 5: 3 3 1 3 1 3 lim 2 1 1 1 x x x →   + + = =  ÷  ÷ + +   . Vi dụ 6: 1 3 1 2 3.1 1 2 lim 4 3 2 3 2.1 x x x →   + + + + = =  ÷  ÷ − −   . Ví dụ 7: ( ) 0 lim sin 2 cos sin 0 cos0 1 x x x → − = − = − . Ví dụ 8: ( ) 4 lim tan 2cot tan 2cot 1 4 4 x x x π π π → − = − = − . Ví dụ 9: ( ) 2 2 2 lim 2 3 2 3 4 9 5 x x x→ − = − = − = − . Ví dụ 10: ( ) 4 4 2 2 4 4 1 lim log 3 log 3 2 3 x x x − − → + = + = + . Ví dụ 11: ( ) 2 1 1 2 1 1 5 lim 3 2 3 2 2 3 3 x x x + − − + →− − = − = − = − . Ví dụ 12: ( ) 3 2 3 lim 2cos 3sin 2 2cos 3sin 1 3 3 3 2 x x x π π π → − = − = + . Ví dụ 13: 3 3 lim cos sin 3 cos sin 2 6 2 x x x π π π →   + = + =  ÷   . Ví dụ 14: ( ) ( ) 2 9 9 3 3 9 lim log 2 log 3 9 2 1 2 x x x x → − − = − − = − − . Ví dụ 15: 3 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2.2 4 lim 0 3 2 2 3.2 2 x x x x x →   + − + + − + = =  ÷  ÷ + + + +   . Ví dụ 16: 1 2 1 1 2 lim 1 2 5 2 2 x x →   = =  ÷ +   + . 1 CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn Ví dụ 17: ( ) 2 0 0 2 lim lim 2 0 x x x x x → →   = =  ÷  ÷   . Ví dụ 18: 0 0 3 3 3 lim lim 2 2 2 x x x x → →     = =  ÷  ÷     . Ví dụ 19: 2 0 0 1 lim lim x x x x x → →     = = ±∞  ÷  ÷     . Ví dụ 20: 2 0 0 3 3 lim lim x x x x x → →     = = ±∞  ÷  ÷     . Ví dụ 21: ( ) 3 2 0 0 2 lim lim 2 0 x x x x x → →   = =  ÷  ÷   . Ví dụ 22: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 lim lim 2 1 3 1 x x x x x x → → − + = + = − . Ví dụ 23: ( ) 2 2 2 4 lim lim 2 4 2 x x x x x → →   − = + =  ÷  ÷ −   . Ví dụ 24: 2 2 2 2 1 1 lim lim 2 4 4 x x x x x →− →−   +   = = −  ÷  ÷ −   −   . Ví dụ 25: 2 1 1 1 1 1 lim lim 1 2 1 x x x x x → →   −   = =  ÷  ÷ +   −   . Ví dụ 26: ( ) 2 5 5 25 lim lim 5 10 5 x x x x x → →   − = − + = −  ÷  ÷ −   . Ví dụ 27: ( ) 3 2 1 1 1 lim lim 1 3 1 x x x x x x → →   − = + + =  ÷  ÷ −   . Ví dụ 28: 3 2 1 1 1 1 1 lim lim 3 1 1 x x x x x x →− →−     + = =  ÷  ÷ + − +     . Ví dụ 29: ( ) 3 2 2 2 8 lim lim 2 4 12 2 x x x x x x →− →−   + = − + =  ÷  ÷ +   . Ví dụ 30: ( ) 3 2 2 2 8 lim lim 4 2 12 2 x x x x x x → →   − = − + + = −  ÷  ÷ −   . Ví dụ 31: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 4 1 1 x x x x x x x x x x → → → − +   − = = + + =  ÷  ÷ − −   . Ví dụ 32: ( ) ( ) 4 2 2 2 2 1 1 lim lim 32 16 2 2 x x x x x x → →   − = =  ÷ −   + + . Ví dụ 33: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 lim lim lim 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x → → → − + +     − + + = = =  ÷  ÷  ÷  ÷ − + + −     . 2 Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn Ví dụ 34: 2 3 2 2 2 4 2 1 lim lim 3 8 2 4 x x x x x x x → →     − + = =  ÷  ÷  ÷ − + +     . Ví dụ 35: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 lim lim lim 3 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + + +   − = = =  ÷  ÷ − − + + + +   . Ví dụ 36: ( ) ( ) ( ) 2 3 4 2 2 2 2 4 8 3 lim lim 8 16 2 4 x x x x x x x x → → − + +   − = = −  ÷  ÷ − + +   . Ví dụ 37: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 1 lim lim lim 2 2 2 4 4 x x x x x x x x x x x x → → →   − − − + −   = = =  ÷  ÷  ÷ − + +   −   . Ví dụ 38: ( ) ( ) 2 2 1 0 2 1 2 3 1 1 lim lim 2 1 4 2 2 x x x x x x x → →   − − + = =  ÷  ÷ + −   . Ví dụ 39: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 lim lim lim 3 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − −     − + − − = = = −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + + − + +     . Ví dụ 40: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 3 1 3 4 1 3 1 2 lim lim lim 1 2 1 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x → → →   − − − + −   = = =  ÷  ÷  ÷ − + +   − −   . Ví dụ 41: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 6 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 lim lim lim 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + + + + +   − = = =  ÷  ÷ − − + + + +   . Ví dụ 42: ( ) 3 6 3 1 1 1 1 1 lim lim 2 1 1 x x x x x → →   − = − = −  ÷  ÷ − +   . Ví dụ 43: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 5 4 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 5 lim lim lim 4 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + + + + + + +   − = = =  ÷  ÷ − − + + + + + +   Ví dụ 44: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 1 1 1 1 6 lim lim 5 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x → → − + + + + +   − = − =  ÷  ÷ − − + + + +   . Ví dụ 45: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 4 3 2 7 8 7 6 5 4 3 2 1 1 1 1 1 7 lim lim 8 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → − + + + + + +   − = =  ÷  ÷ − − + + + + + + +   . Ví dụ 46: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 5 lim lim lim 1 4 4 3 5 4 x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − − − − −   − + + = = =  ÷  ÷ − − − − +   . Ví dụ 47: ( ) 1 1 1 lim lim 1 2 1 x x x x x → →   − = + =  ÷ −   . 3 Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn Ví dụ 48: ( ) ( ) 2 4 4 2 1 1 lim lim 32 2 4 16 x x x x x x → →   − = =  ÷  ÷ + + −   . Ví dụ 49: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 1 1 1 3 2 3 2 1 3 2 1 lim lim lim . 16 1 1 3 2 1 1 1 3 2 x x x x x x x x x x x x x x → → → + − + +   − + − = = =  ÷  ÷ − − + + − + + + +   Ví dụ 50: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 1 2 2 2 2 lim lim 1 1 2 4 9 8 x x x x x x x → →   − + − = − = −  ÷  ÷ − + + −   . Ví dụ 51: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 2 3 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2 1 lim lim lim . 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → + − + + + + − + +   + − = = =  ÷  ÷ + − + − + + + + − + +   Ví dụ 52: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 1 3 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 1 lim lim lim . 6 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → + − + + + +   − + − + = = − = −  ÷  ÷ − − + + + − + + + + +   Ví dụ 53: ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 lim lim lim . 1 3 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x → → →   − + +  ÷   −   = = =  ÷  ÷ −       − + + + +  ÷  ÷     Ví dụ 54: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3 2 2 2 2 4 2 4 4 4 lim lim 12 4 2 4 2 x x x x x x x x x → →   − + + +  ÷   −   = − = −  ÷  ÷ − −   . Ví dụ 55: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 1 1 1 1 3 lim lim . 2 1 1 1 x x x x x x x x x → →   − + +  ÷   −   = =  ÷  ÷ − − +   Ví dụ 56: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 3 1 1 1 lim lim 6 1 1 1 1 x x x x x x x x x →− →   + + = = −  ÷  ÷   −   + − − +  ÷   . Ví dụ 57: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 3 1 1 1 lim lim . 3 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x →− →−   + + = =  ÷  ÷   + +   + + − +  ÷   Ví dụ 58: ( ) 1 1 1 1 1 lim lim . 1 2 1 x x x x x → →   − = =  ÷  ÷ − +   Ví dụ 59: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 8. 1 1 x x x x x x x x x → → − + + +   − = =  ÷  ÷ − −   Ví dụ 60: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 4 2 1 1 3 3 1 1 1 1 4 lim lim . 3 1 1 1 x x x x x x x x x x → → − + +   − = − =  ÷  ÷   −   − + +  ÷   Ví dụ 61: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 4 0 0 0 1 1 1 1 lim lim lim . 8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x → → →   + − = = =  ÷  ÷ + + + + + + + + + + +   4 Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn Ví dụ 62: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 1 1 x x x x x x x x x → → → − +   − = = + =  ÷  ÷ − −   . Ví dụ 63: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 1 1 1 1 1 2 1 lim lim 0. 1 1 x x x x x x x x x → → − + +   − + = =  ÷  ÷ − −   Ví dụ 64: 3 1 lim 1 x x x I x →   − =  ÷  ÷ −   Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1 lim lim lim . 6 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x → → →   − + +  ÷ −   = = − = − = −       − + + − + + + + + +  ÷  ÷  ÷       Cách nhanh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim lim lim . 1 1 6 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x → → → → → → − − −   − − − = = = − = − = −  ÷  ÷ − −     − + +   − + + + +  ÷  ÷     Ví dụ 65: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 1 1 1 3 3 3 6 2 6 2 2 3 2 1 6 1 1 1 1 lim lim lim lim lim . 1 1 1 4 2 4 1 3 2 1 6 2 2 6 2 4 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x → → → → → + − + + − + − − − = = − = − = − = − − − −   − + + − + + + +  ÷   Ví dụ 66: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 3 3 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 lim lim lim lim lim . 6 2 3 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x → → → → →       + − + + − + − = = − = − = − + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷   − + + + − −       − + + + +  ÷   Ví dụ 67: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 2 2 4 4 1 1 1 1 1 lim lim lim . 12 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x → → → − + −   − = = = − = −  ÷  ÷ − − + + + + − + + + +   Ví dụ 68: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim lim . 8 6 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x → → → → →       − − − − − = = − = − − − = − + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷   − − − − + + +       − + + +  ÷   Ví dụ 69: 5 Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 4 4 4 1 1 1 2 2 2 4 1 1 2 2 3 3 2 1 2 3 3 7 12 4 7 2 12 4 2 lim lim lim 1 1 1 1 1 12 1 1 lim lim 1 1 12 4 2 12 4 4 1 1 7 2 7 4 1 lim lim 1 7 2 7 4 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → →       + − + + − + − = = − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − − −       − + − + = − =   − + + + + + − + + + + +  ÷   = −   + + + + +  ÷   ( ) ( ) ( ) 2 4 1 12 1 12 . 24 64 1 12 4 2 12 4 4x x x = − + + + + + Ví dụ 70: 5 4 1 1 lim 1 x x x →   −  ÷  ÷ −   Đặt 20 20 t x t x= ⇒ = Với 1 1x t → ⇒ ⇒ Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 20 4 5 4 3 2 4 20 1 1 1 1 1 1 1 4 lim lim lim 5 1 1 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t → → →   − + + +   − −  ÷ = = =  ÷  ÷  ÷ − − + + + + −     . Ví dụ 71: 4 6 1 1 lim 1 x x x →   −  ÷  ÷ −   Đặt 12 12 t x t x= ⇒ = Với 1 1x t→ ⇒ ⇒ Khi đó ta có : 4 12 3 2 2 6 12 1 1 1 1 1 1 3 lim lim lim . 1 2 1 1 t t t t t t t t t t → → →       − − + +  ÷ = = =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ + − −       Ví dụ 72: 6 5 1 1 lim 1 x x x →   −  ÷  ÷ −   Đặt 30 t x= 30 x t⇒ = Với 1 1x t → ⇒ ⇒ Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 6 30 5 6 5 4 3 2 5 30 1 1 1 1 1 1 1 5 lim lim lim . 6 1 1 1 1 t t x t t t t t t t t t t t t t t t → → →   − + + + +   − −  ÷ = = =  ÷  ÷  ÷ − − + + + + + −     Ví dụ 73: 6 Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 1 1 3 3 1 2 1 1 2 1 1 1 2 lim lim lim lim lim 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 lim lim . 3 2 6 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → → − + −   − − − + = + = − + =  ÷  ÷ − − − −   − − + − +   − − − − − +  ÷   = − + = − =   − + − − − − +  ÷   Ví dụ 74: 8 4 1 1 lim 1 x x x → − − Đặt 8 8 t x t x= ⇒ = Với 1 1x t→ ⇒ → Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 2 4 8 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 2 1 1 t t t t t t t t t t → → → − − − = = − = − − + − − . Ví dụ 75: ( ) ( ) 5 4 3 1 lim x x x x x → − − Đặt 60 60 t x t x= ⇒ = Với 1 1x t → ⇒ → Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 60 60 12 15 12 2 20 30 20 10 8 9 8 7 6 5 4 3 2 3 1 1 1 1 60 60 1 1 1 1 lim lim lim lim . 5 1 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t → → → → − − − − + = − = = − − − + + + + + + + + + − 7 Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn Phần 2: Các công thức của giới hạn hàm số Công thức số (1): Áp dụng : Ví dụ 1: 0 0 sin 1 sin 1 lim lim . 2 2 2 x x x x x x → → = = Ví dụ 2: 0 2 0 sin 2 sin 2 lim 2 lim 2. 2 x x x x x x → → = = Ví dụ 3: 0 3 0 sin 3 sin 3 lim 3 lim 3. 3 x x x x x x → → = = Ví dụ 4: 1 0 2 sin sin 1 1 2 2 lim lim . 2 2 2 x x x x x x → →    ÷   = = Ví dụ 5: 3 0 0 2 3 3 sin sin 3 3 2 2 lim lim . 3 2 2 2 x x x x x x → →      ÷  ÷     = = Ví dụ 6: 8 0 sin lim 1. x x x → = Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn 2 2 0 0 0 3 3 2 2 2 sin sin sin 1 1 1 3 3 3 lim lim lim . 1 2 4 6 6 6 .4 6 3 x x x x x x x x x → → →        ÷  ÷  ÷       = = = Ví dụ 7: 0 3 0 0 0 2 0 sin 3 sin 3 sin 3 lim 3 lim 3 3 lim . sin 2 sin 2 sin 2 2 lim 2 lim 2 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → = = = Ví dụ 8: 0 4 0 0 0 3 0 sin 4 sin 4 lim 4 lim sin 4 4 4 lim . sin 3 sin 3 sin 3 3 lim 3 lim 3 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → = = = Ví dụ 9: 1 0 2 0 0 1 0 0 3 sin 1 2 sin lim 2 2 sin lim 3 2 2 lim . 2 sin sin sin 1 3 3 3 lim lim 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → →    ÷      ÷      ÷   = = =        ÷  ÷  ÷       Ví dụ 10: 3 0 2 0 2 0 3 3 sin 3 2 lim 3 3 2 sin 9 2 2 lim . 2 2 4 sin sin 2 3 3 lim 2 3 3 x x x x x x x x x → → →    ÷      ÷   = =      ÷  ÷     Ví dụ 11: 0 0 0 0 0 sin tan sin 1 sin cos lim lim lim lim . lim 1. cos cos x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → →   = = = =  ÷   Ví dụ 12: 0 0 0 0 2 0 sin 2 tan 2 sin 2 2 sin 2 2 cos2 lim lim lim lim lim . 2 3 3 3 cos 2 3cos 2 3 3 cos2 3cos 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → →    ÷   = = = =  ÷  ÷    ÷  ÷   Ví dụ 13: 0 4 0 0 0 0 0 3 0 4 sin 4 sin 4 lim lim lim tan 4 4 cos 4 4 cos 4 lim . sin 3 3 sin 3 tan 3 3 lim lim lim cos3 cos3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → →    ÷   = = =    ÷   9 Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn Ví dụ 14: 2 2 0 0 0 sin sin sin lim lim . lim 1. x x x x x x x x x → → → = = Ví dụ 15: 2 2 0 0 0 2 0 2 0 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 lim lim . lim 2 lim .2 lim 4. 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → = = = Ví dụ 16: 2 2 1 1 0 0 0 0 0 2 2 sin sin sin sin sin 1 1 1 2 2 2 2 2 lim lim . lim lim . lim . 1 1 2 2 4 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → →            ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           = = = Ví dụ 17: 2 0 0 3 0 3 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 sin 3 sin 3 sin 3 sin 3 lim lim 3 lim 3 lim sin 3 sin 3 sin 3 9 3 3 lim lim . lim . . . sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 4 sin 2 lim lim 2 lim 2 lim 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → → → → → → = = = = Ví dụ 18: 2 2 2 2 0 0 2 0 2 0 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2 4 lim lim 2 lim .2 lim . 3 3 2 2 3 3 x x x x x x x x x x x x → → → →   = = =  ÷   Ví dụ 19: ( ) 2 2 2 0 0 1 cos 2 1 sin lim lim 1. 2 x x x x x x → → − = = Ví dụ 20: ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 2 0 2 0 1 cos4 2sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 lim lim lim 2 lim .2 lim 4. 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − = = = = Ví dụ 21: ( ) 2 2 2 1 1 0 0 0 0 2 2 sin sin sin 1 cos 1 1 1 2 2 2 lim 2 lim 2 lim . lim . 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x → → → →        ÷  ÷   −       = = =       Ví dụ 22: 2 0 0 0 0 2 1 1 0 0 2 2 sin sin lim . lim 1 cos 2 2sin lim lim 4. 1 cos 2sin sin sin 1 1 2 2 2 lim . lim 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → − = = = −        ÷  ÷  ÷       Ví dụ 23: 3 0 0 0 0 2 0 sin 3 3 lim cos4 cos 2 2sin3 sin sin3 3 3 lim lim lim . sin 2 cos3 cos 2sin 2 sin sin 2 2 2 lim 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − = = = = − Ví dụ 24: 2 0 3 0 sin 2 2lim cos3 cos 2 2 lim . sin 3 cos4 cos 2 3 3 lim 3 x x x x x x x x x x x → → − = = − Ví dụ 25: 2 2 2 0 0 3 2sin 1 cos3 9 2 lim lim . 4 2 2 x x x x x → →    ÷ −   = = Ví dụ 26: 2 2 2 0 0 5 sin 1 cos5 2 25 2 lim lim . 3 6 3 x x x x x x → →    ÷ −   = = 10 [...]... 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM 1 Khái niệm về số gia đối số và số gia hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D với x o thuộc D Cho x o một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số ∆ y = f ( xo + ∆ x ) − f ( xo ) Ví dụ 1: Xác đinh số gia hàm số tại x o = 1 cùng hàm số : y = f ( x ) = x2 Cho x o một số gia đối số ∆x Khi đó ta có số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f (... Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Giải Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( 1 + ∆x ) − f ( 1) = 3 ∆x + 1 − 1 Ví dụ 14: Cho y = f ( x ) = 4 x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Giải Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( 1 + ∆x ) − f ( 1) = 4 1 + ∆x − 1 Ví dụ 15: Cho y = f ( x ) = 2 Tính số gia hàm số ∆y... xo = 8 một số gia đối số ∆x Giải  8  ÷  ∆x + 8  8 Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x + 8 ) − f ( 8 ) = − log 2 ( ∆x + 8 ) + log 2 = log 2  2 Định nghĩa đạo hàm cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D với xo ∈ D ∆y nếu tồn tại và duy nhất thì được gọi là ∆x đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm f ' ( xo ) hoặc y ' ( xo ) giới hạn lim 2 Bài tập 1: Cho hàm số y = f (... là hằng số Tính số gia hàm số ∆y tại xo = −5 Giải xo = −5 một số gia đối số ∆x Cho Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x − 5 ) − f ( −5 ) = c − c = 0 Cho xo = − Ví dụ 22: Cho y = f ( x ) = tan x 18 Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy Tính số gia hàm số ∆y tại xo = Lớp 11A2 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn π 4 Giải π một số gia đối số ∆x 4 Khi đó số gia hàm số Cho xo... 2 ) Ví dụ 4: Cho y = f ( x ) = −3x + 3 Tính số gia hàm số ∆y tại xo =2 Giải Cho xo = 2 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x + 2 ) − f ( 2 ) = −3 ( ∆x + 2 ) + 3 − ( −3.2 + 3) = −3∆x 3 Ví dụ 5: Cho y = f ( x ) = x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 2 Cho xo = 2 một số gia đối số ∆x Giải ( 3 ) 3 2 Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) == f ( ∆x + 2... sin x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = Cho xo = π 3 Giải π một số gia đối số ∆x 3  π π   π π   ∆x π   ∆x  Khi đó số gia hàm số ∆ y = f ( xo + ∆ x ) − f ( xo ) = f  ∆ x + ÷ − f  ÷ = sin  ∆ x + ÷ − sin  ÷ = 2cos  + ÷sin  ÷ 3 3   3   3  2 3  2  Ví dụ 18: Cho y = f ( x ) = − sin 2 x π Tính số gia hàm số ∆y tại xo = − 6 Giải π một số gia đối số ∆x 6 Khi đó số gia hàm số π  π... Tính số gia hàm số ∆y tại xo = − 3 Giải π Cho xo = − một số gia đối số ∆x 3 Khi đó số gia hàm số π π   π   π  ∆x π   ∆x  ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f  ∆x − ÷− f  − ÷ = cos  ∆x − ÷− cos  − ÷ = 2sin  − ÷sin  ÷ 3 3   3   3  2 3  2  Ví dụ 20: Cho y = f ( x ) = −2 cos 2 x π Tính số gia hàm số ∆y tại xo = − 3 Giải π Cho xo = − một số gia đối số ∆x 3 Khi đó số gia hàm số π... x ) = − x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = −2 Cho xo = −2 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số Giải ( ) ( ) 3 3 ∆ y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆ x − 2 ) − f ( − 2 ) = − ( ∆ x − 2 ) −  − ( − 2 )  = − ∆ x3 − 6∆ x 2 + 12∆ x − 8 − 8 = −∆ x ∆ x 2 − 6∆ x + 12     4 Ví dụ 7: Cho y = f ( x ) = x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số Giải 4 2 2... ( ∆ x − 1)  −1 1 x2 Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Giải 2 −∆ x ( 2 + ∆ x ) 1 1 − ( 1 + ∆x ) ∆ y = f ( xo + ∆ x ) − f ( xo ) = f ( 1 + ∆ x ) − f ( 1) = − = = 2 1 2 2 Khi đó số gia hàm số 1 + ∆x) 1 + ∆x) 1 + ∆x ) ( ( ( 1 Ví dụ 12: Cho y = f ( x ) = x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 4 Cho xo = 4 một số gia đối số ∆x Giải Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f (... 4  4   4  x Ví dụ 24: Cho y = f ( x ) = e Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Giải ( ) ∆x +1 − e = e e ∆x + e Khi đó số gia đối số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x + 1) − f ( 1) = e Ví dụ 25: Cho y = f ( x ) = −e Tính số gia hàm số ∆y tại xo = −1 −x Cho xo = −1 một số gia đối số ∆x Giải Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x − 1) − f ( . niệm về số gia đối số và số gia hàm số. Cho hàm số ( ) y f x= có tập xác định là D với o x thuộc D Cho o x một số gia đối số x ∆ Khi đó số gia hàm số Ví dụ 1: Xác đinh số gia hàm số tại. ÷ ∆ +   2. Định nghĩa đạo hàm cho hàm số ( ) y f x= có tập xác định là D với o x ∈ D giới hạn lim y x ∆ ∆ nếu tồn tại và duy nhất thì được gọi là đạo hàm của hàm số ( ) y f x= tại điểm. Cho hàm số ( ) 2 y f x x= = tính đạo hàm của hàm số tại o x trong các trường hợp sau : , 1; , 0; , 1 o o o a x b x c x= = = − Bài giải a, Cho 1 o x = một số gia đối số x ∆ Khi đó số gia hàm