Một số kết quả dạng farkas cho hệ hàm vector và ứng dụng vào tối ưu vectơ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG LÊ THANH SƠN MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO HỆ HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG VÀO TỐI ƯU VECTƠ Chuyền ngành: Toán ứng dụng Ma số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG LÊ THANH SƠN MỘT SỐ KÊT QUẢ DẠNG FARKAS CHO HỆ HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG VÀO TỐI ƯU VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Ma số: 60460112 GIẢNG VIÊN HƯỞNG DẪN PGS TSKH NGUYỄN ĐỊNH Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2017 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học : PGS TSKH NGUYỄN ĐỊNH Cán chấm nhận xét : TS NGUYỄN BÁ THI Cán chấm nhận xét : PGS TS TÔ ANH DŨNG Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 03 tháng năm 2017 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thư ký: TS ĐẶNG VĂN VINH Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI Phản biện 2: PGS TS TÔ ANH DŨNG ủy viên: TS LÊ XUÂN ĐẠI Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS HUỲNH QUANG LINH ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: LÊ THANH SƠN Ngày, tháng, năm sinh: 05/09/1986 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số học viên: 1570760 Nơi sinh: Kiên Giang Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO HỆ HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG VÀO TỐI ƯU VECTƠ II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức sở - Các kết dạng Farkas cho hệ hàm vectơ ứng dụng vào tối ưu vectơ III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/11/2016 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 10/07/2017 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TSKH NGUYỄN ĐỊNH Tp HCM, Ngày tháng năm CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên chữ ký) (Họ tên chữ ký) PGS TSKH NGUYỄN ĐỊNH PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA (Họ tên chữ ký) PGS TS HUỲNH QUANG LINH LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin trân trọng kính gửi đến Thầy, PGS TSKH Nguyễn Định - Trường Đại học Quốc Tế Tp Hồ Chí Minh, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, lời cảm ơn sâu sắc nhất, người ln tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn Thầy, Cơ Bộ mơn Tốn ứng Dụng, khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh hết lòng giảng dạy, truyền thụ kiến thức tạo điều kiện tốt để hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học ngành Toán ứng Dụng khóa 2015 nhóm seminar động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học q trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè mình, người bên cạnh động viên, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập Cuối cùng, trình thực luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q Thầy, Cơ bạn đọc để bổ sung hoàn thiện đề tài tốt Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2017 Tác giả Lê Thanh Sơn i TÓM TĂT LUẬN VĂN Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Bài toán tối ưu vectơ Các kết dạng Farkas cho hệ hàm vectơ Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho toán tối ưu vectơ ABSTRACT In this thesis, we research these following subjects: The vetor optimization problem Farkas-type results for vector functions Optimality conditions and dual for the vetor optimization problem ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Lê Thanh Sơn, mã học viên: 1570760, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2015 - 2017 Tơi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, cơng việc trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn PGS TSKH Nguyễn Định tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng năm 2011 Học viên thực Lê Thanh Sơn DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Kỷ hiệu Ý nghĩa ILLLCL nửa liên tục N Tập số tự nhiên R Trường số thực R+ Tập hợp số thực không âm RP Không gian véc tơ thực p-chiều K K = R K = c £(x,y) y Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Y u {+ooy, —OOy} r(x) X* Tập hàm lồi n.l.t.d xác định X không gian đối ngẫu X r Ánh xạ liên hợp / ic Ánh xạ tập c K+ Nón liên hợp nón K df(x) Dưới vi phân / X c\ư Bao đóng tập u COĨNƯ Bao lồi tập cl conv Bao lồi đóng tập affZ7 Bao affine tập cone [7 Bao nón tập u qriỉ/ Tựa phần tương đối tập qiĩ/ Tựa phần tập sqriỉí Tựa phần tương đối mạnh tập ri u Phần tương đối tập WMinM Tập gồm phần tử nhỏ yếu M WMaxM Tập gồm phần tử lớn yếu M WInfM Tập gồm phần tử infimum yếu M WSupM MinM Tập gồm phần tử supremum yếu M Tập gồm phần tử nhỏ Pareto M StrMinM Tập gồm phần tử nhỏ mạnh M linE Bao tuyến tính tập E dimV Số chiều không gian V LỜI MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết tối ưu ngày đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng Trong thập niên vừa qua nhiều cơng trình nghiên cứu phát triển kết dạng Farkas vectơ áp dụng thành công vào lớp toán tối ưu Gần PGS TSKH Nguyễn Định đồng tác giả phát triển dạng Farkas cho hệ hàm vectơ Vấn đề phát triển kết dạng Farkas cho hệ hàm vectơ áp dụng vào toán tối ưu vectơ khởi đầu nhiều hứa hẹn Áp dụng kết Farkas cho hệ hàm vectơ ta ứng dụng giải tốn tối ưu vectơ áp dụng giải toán kinh tế thực tiễn II Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Ý nghĩa khoa học Kết nghiên cứu đề tài đưa kết Farkas cho hệ hàm vectơ, giá trị mặt lý thuyết Từ áp dụng vào lớp toán tối ưu vectơ Và lớp tốn có nhiều ứng dụng tốn kinh tế tài Các lớp toán khác cho nhiều áp dụng vào toán tối ưu vectơ Các điều kiện tối ưu đối ngẫu cho toán dạng nghiên cứu Ý nghĩa thực tiễn Đề tài sử dụng để giải hầu hết tốn tối ưu vectơ áp dụng cho nhiều tốn kinh tế tài thực tế Do tính tổng quát, dạng Farkas hàm vectơ tìm hiểu có đủ khả để giải vấn đề phát sinh tương lai gần Một áp dụng minh chứng cho điều nằm phần áp dụng vào việc giải toán tối ưu vectơ III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp tham khảo tài liệu: Tìm hiểu giải tích lồi, tối ưu lồi, điều kiện quy dạng đồ thị epi, bổ đề Farkas vectơ, điều kiện tối ưu đối ngẫu, đối ngẫu mạnh cho toán tối ưu vectơ Phương pháp seminar: Tìm hiểu số dạng Farkas vectơ, từ áp dụng giải vi Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Xét toán (SOP) Chương Các khẳng định sau tương đương: (e2) epi(/+ ú)* = u epi(/ + ic + z* o gỴ z*eS+ (Ị2) Với X*EX* vàaE R, {g(a?) € —S, X e c => f(x) — {x*, x) + Oi > 0} Ệ {3 z* e s+ cho f(x) + (z* o g)(x) — {x*,x) + Q > 0, Vx € c} Hệ 3.2.2 Ị , Theorem 6.6] Ị ị Corollary 4-13] Xét toán (SOP) Chương Các khẳng định sau tương đương: (g2) epi(/ + ú)* n ({Ox*} X R) = ( u epiự + ic + z* o gy* ] n({0x*} xi) \z*e5+ (Ỉ12) Với a e R, / {p(a?) e —S,x e c => f(x) + a > 0} Ệ {3 z* e s cho f(x) + (z* o g)(x) + Q > 0, Vx € c} + Lê Thanh Sơn 40 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chương CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐỐI NGẪU CHO BÀI TOÁN Tối ƯU VECTƠ Trong chương này, áp dụng kết dạng Farkas trình bày Chương để thiết lập điều kiện tối ưu kết đối ngẫu cho toán tối ưu vectơ (VOP) WMin {/(x) : xe c, g(x) e -S}, với giả sử A n dom f ± 0, A = c n 5_1(-S) tập chấp nhận toán (VOP) 4.1 Các điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ Nhắc lại phần tử X e A gọi nghiệm yếu toán (VOP) /(x) e WMin/(4) Nhận xét 4.1.1 Ta có X ỉà nghiệm yếu (VOP) /(x) e WMin/(4) Mệnh đề 4.1.1 / , Proposition 5.1] Cho X e Ar\ dom f Các khẳng định sau tương đương: (a3) X nghiệm yếu (VOP), (b3) Or € 5(/ + ú)(z), (ca) (Or, Lê Thanh Sơn e epiK(/ + ú)* 41 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Ví dụ 4.1.1 I , Example 8.6] t , Example 5.2] Xét toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) (I I), với c = X = Y = R2, z = R, K = Rị, s = R+, /(a?i,a?2) = (^1,^2) g(xi, X2) = max{-Xi, 0} — X2- Ta thêm vào Y = R2 phần tứ bé — OOR2 phần tử lớn +OOR2 theo thứ tự xác định K = Rị, tức lúc ta có Y* = R2 u {—OOR2} u {+ooK2} Dễ thấy khơng gian £(X,Y)có thể đồng với khơng gian ma trận cấp X đồng với ma trận không Rõ ràng A = ịx € R2 : X2 > o,a?i + X2> 0}, + Ú)*(0r) = WSup{-(/ + ú)(x) : X e R2} = WSup{—J4} = (]—00,0] X {0}) u {x e R2 : X1 > o,ư?i + X2 = 0} Vì thế, với X e A cho trước, (Or, —f(xỴ) e epiK(f + ÌÀ)* —f(x) = —X e (f + ÌA)* (Or) + Rị = {x e R2: X2 > or Xỵ + X2 > 0} Điều tương đương với X điểm biên A Do đó, theo Mệnh đề I I ta thấy tập nghiệm yếu tốn (MOP) ví dụ biên A Chú ý điểm biên thỏa mãn 0r(z) - f(x) = —X e WSup {Or (x) - (/ + ũ)(x): X e R2} , Or e ổ(/ + ũ)(x) Xét toán (VOP) vàx e Tndom f Khi đó, khẳng định sau tương đương: (d3) epiK(/+ú)*n{(0r, -/(£))} = I u epiK(f + ic + Tog)* I n{(0r,-/(s))} \TỄr+(S,K) (e3) X nghiệm yếu toán (VOP) tồn T e £+(S, K) cho -f(x)eự + ic + Tog)\ũc) + K (f3) X nghiệm yếu toán (VOP) tồn T e £+(S, K) cho f(x) + (To g)(x) - f(x) ị -intK, Vư? € c Lê Thanh Sơn 42 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Hơn nữa, ba mệnh đề thỏa tốn tử tuyến tính T e T+(S, K) khẳng định (e3) (f3) cớ thể chọn cho —(Tog)(x) e K\intK Chứng minh [(d3) (e3)] Từ Mệnh đề I ta có X nghiệm yếu toán (VOP) (Or, —f(xỴ) e epijf (/ + ỈA)* (4.1) Mặt khác, dễ thấy (Or, e u cpiK(/ + ic + TogỴ Te£+(S,K) « (f3)] Giả sử (e3) thỏa X nghiệm yếu tốn (VOP) Khi đó, tồn T e £+(S, K} cho —Ị(x) e (/ + ic + T o 5)*(Or) + K Vì vậy, tồn k e K cho — /(.r) — ke(J + ic + To 5)* (Or) Theo định nghĩa ánh xạ liên hợp, ta có (/ + ic + To 5)(x) - f(x) - kị -int K, Vx e X, Lê Thanh Sơn 43 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ VÌ (/ + ic + T o g)(x) - f(x) ị —int K, Vx e X, f(x) + (To g)(x) - f(x) ị -int K, Va; € c (4.3) Ngược lại, lấy T e C+(S, K") cl LI thỏa Lúc X e c g(x) e —S nên -(T o g)(x} e K (vì T e £+ I Ti ] u ta suy oài f(x) — f(x) ị — intK ta X ; ngl toán (VOP) [(f3) => (e3)] Áp dụng Bổ đề ới L r Cuối cùng, cách thay X = X □ -/(*)• -(T o g)(x) ị int K Mặt khác, ta lại có g(x) e —S, T e £+(S,K} nên — (T o g)(x) e K Vì —(Tog)(x) e K \ int K ta kết thúc chứng minh Định lý 4.1.2 (Đặc trưng II điều kiện tối ưu) t \ Theorem 20] Cho X e A n dom/ Giả sử mội điều kiện sau thỏa mãn: epbíơ + ú)* = u epiK(/ + ic + Toổ)*, (4.4) TES.K} u epbíơ + ỉc + T o gy epitf(/ + Ú)* = cl (4.5) Tt£+(S,K) Khi cấc khẳng định sau tương đương: u epiK(f+ ic + T o gy đóng theo (0£,-/(x)) Te£+(S,K) (j) X ỉà nghiệm yếu toán (VOP) tồn T e T+(S, K) cho (i) -f(x)e(f + ic + Togy(ũ^ + K (k) X ỉà nghiệm yếu toán (VOP) tồn T e T+(S, K) cho f(x) + (To g)(x) - f(x) ị -intK, Vx e c Lê Thanh Sơn 44 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ với epĨKƠ + Ú)* n {(Or, -/(a?))} u epÍKƠ + i-c + T o gỴ I n {(Or, -/(z))} Te£+(S,K) / • Tiếp theo, dễ thấy (j) tương đương với (c) tr V = {0/:} yv = {-f(x)} theo Nhận xét (| _ |) • Mặt khác, ý ( _ ) (a) Định lý w = {-f(x)} • Vì vậy, tương đương (ỉ), (j) (k) suy từ Định lý (4.6) Jvâi (• V = {0/:} w = {-f(x)} Bài chứng minh hoàn tất Hệ 4.1.1 (Các điều kiện tối ưu I) I , Corollary 26] Cho c tập lồi khác rỗng X, f: X -> y u {+ooy} ánh xạ chân K-lồi, g: X -> z u {+ooz} ánh xạ chân S-lồi X e 4n dom f Xét E := g (C r\ dom f n domg) + s, giả sử A n dom f ± điều kiện sau thỏa mãn: (Cl) Tồn tạixeCn dom f cho g(x) e — int 5; (C2) x,z khơng gian Frechet, c đóng y* o f n.l.t.d với y* G K+, g S-epi đóng ũz € sqri.E; (C3) dim(lin^) < +oo Qz £ hE Khi đó, (j) (k) Định lý\ I xảy Chứng minh Theo [ , Định lý 14], ta có epbcơ + ũ)* = theo ĐỊ1 Mặt khác, từ ( Lê Thanh Sơn u epiidf + ic + Togy , Te£+(S,K) (4.7) (z), (j), (k) tương đương Lemma 9] ta u cpiK (/ + ic + TogỴf Te£+(S,K) 45 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ (n) X nghiệm yếu toán (VOP) tồn T e K) cho /ộr) + (T o 5)(rc) - /(ã) ị T(-S} - intK, Vx e c Chứng minh Tương tự chứng mir Hệ 4.1.2 (Các điều kiện tối ưu Cho X e A n dom/ ’ 28] t Hệ Giả sử tất mãn Khi đó, (m) (n) định lý Chứng minh Tương tự chứng minh Hệ Nhận xét 4.1.2 Nếu ta xét toán (SOP) điều kiện tối ưu dạng tiệm cận (SOP) sau: X nghiệm tối ưu toán (SOP) D với giả thiết (Ox*, -/(£)) € epi(/ + iAy* = cl I Ụ epi(/ + ic + z* o g}* \z*e5+ (đẳng thức cuối suy từ I , Định lý 8.2], xem I p/ Vì thế, trường hợp này, tính đóng yếu* tập U2*es+ epi(/ + ic + z*° gỴ dẫn tói Lê Thanh Sơn 46 Tốn ứng dụng Luận văn Thạc sĩ (