Mục tiêu của đề tài Xấp xỉ không gian Sobolev Wm.p (Ω) bằng các hàm trơn trên Ω là tìm hiểu và trình bày một cách tổng hợp về không gian Sobolev Wm.p (Ω) và xấp xỉ không gian Sobolev Wm.p (Ω) bằng các hàm trơn về Ω. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN CONG HUU
XẮP XỈ KHễNG GIAN SOBOLEV W”” (() BANG CAC HAM TRON TREN 0
Chuyờn ngành: Toỏn giải tớch
Mó số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lấ VIẾT NGU
Trang 2LOI CAM GN
Luận văn này được hoành thành khụng chỉ là kết quả của sự cố gắng,
nổ lực của bản thõn mà trước hết là nhờ sự giỳp đỡ và hướng dẫn tận tỡnh, chu
đỏo của thầy giỏo PGS.TS Lờ Viết Ngư Em xin bày tỏ lũng biết ơn chõn thành
và sõu sắc đến thay
Em xin chõn thành cảm ơn quý thầy cụ đó hết lũng dạy đỗ, giỳp đỡ em
trong suốt những năm qua
Em xin gửi đến gia đỡnh, những người thõn yờu và những người bạn của
em lời biết ơn chõn thành sõu lắng, những người luụn sỏt cỏnh bờn em, động viờn và tạo mọi điều kiện cho em được học tập cũng như trong suốt quỏ trỡnh
hoàn thành luận văn này
Huế, thỏng 10 năm 2016
Học viờn
Trang 3LOI CAM DOAN
Toi xin cam đoan đõy là cụng trỡnh nghiờn cứu của riờng tụi Cỏc số liệu, kết
quả nờu trong luận văn là trung thực, được sự đồng ý sử dụng của cỏc đồng tỏc
giả và chưa từng được ai cụng bố trong bất kỳ cụng trỡnh nào khỏc
Trang 4MUC LUC Trang phụ bỡa Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Lời mở đầu 1 Cỏc kiến thức liờn quan 1.1 Khụng gian /P(0) 1⁄2 Hàm suy rộng "
1.2.1 Cỏc khụng gian Da), 0), tđ), Se) ws") 1.2.2 Dạo hàm của hàm suy rộng
1.2.3 Tớch chập của hàm suy rộng : " 1.3 Phộp biến đổi Fourier trong khụng gian cỏc hàm suy rộng
1.3.1 Biộn dội Fourier trong S(R") 1.3.2 Biến đổi Fourier trong S(R")
1.3.3 Biến đổi Fourier của tớch chập
2 Khong gian Sobolev W”*?(9)
2.1 Dịnh nghĩa và một số tớnh chất . 2.1.1 Khụng gian Sobolev cấp nguyờn dương
2.1.2 Khụng gian Sobolev cấp thực
2.13 Dịnh lý nhỳng ` sua
2.1.4 Đối ngẫu của khụng gian W! (R") 2.2 Khụng gian Sobolev W"?(@)
2.2.1 Một số kớ hiệu và khỏi niệm
Trang 5
2.2.2 Dối ngẫu của khụng gian Sobolev W"?(Q) 39
Trang 6LỜI MỞ ĐẦU
Khong gian Sobolev là một khụng gian veetơ của cỏc hàm số với một chuẩn là tổng của chuẩn Z? của hàm số đú cựng với cỏc đạo hàm cho tới một bậc nào
đú Cỏc đạo hàm được hiểu theo một nghĩa yếu thớch hợp để làm khụng gian trở
thành đầy đủ và do vậy là một khụng gian Banach Nú được đặt theo tờn của nhà toỏn học Nga L Sobolev Sự quan trọng của cỏc khụng gian Sobolev nằm ở
sự kiện là nghiệm của phương trỡnh vi phõn thường nằm trong cỏc khụng gian
Sobolev hơn là cỏc khụng gian thụng thường của cỏc hàm số liờn tục với cỏc đạo hàm được hiểu theo nghĩa thụng thường Hàm suy rộng (hay cũn gọi là phõn bố), được giới thiệu bởi Sobolev lần đầu tiờn vào năm 1935 cho cỏc nghiệm yếu và được phỏt triển thờm bởi Laurent Sehwartz, bằng cỏch định nghĩa lại khỏi
niệm đạo hàm Cả hai phỏt triển này phỏt sinh trực tiếp từ cỏc cụng trỡnh của
Sobolev về cỏc phương trỡnh đạo hàm riờng
Hiện nay trong một số tài liệu khi trỡnh bày khụng gian Sobolev chủ yếu sử dụng phộp biến đổi Fourier như một cụng cụ chớnh nờn thường dừng lại ở khụng gian 13 Tuy nhiờn khụng gian Sobolev cũng cú thể được định nghĩa thụng qua đạo hàm suy rộng Khi đú, chỳng ta sẽ cú khụng gian Sobolev tổng quỏt hơn, đú là khụng gian W”? (9)
Ngoài việc nghiờn cứu cỏc tớnh chất của khụng gian W”"? (9), cỏc nhà toỏn học cũng rất quan tõm đến xắp xỉ khụng gian W'”” (Q) bằng cỏc hàm trơn trờn ỉ Nú gúp phần hồ trợ đắc lực cho cỏc ngành toỏn học và vật lý, và mở rộng khả năng phõn tớch toỏn học cổ điển Tỡm hiểu nội dung này là một vấn đề rất thỳ vị và bổ ớch Đú là lý do chỳng tụi chọn đề tài 'W?? (Q) bằng cỏc hàm trơn trờn â" làm đề tài nghiờn cứu cho luận văn "Xap xi khong gian Sobolev
Mục tiờu của luận văn là tỡm hiểu và trỡnh bay cỏch tổng hợp về khong
gian Sobolev W”*? (Q) và xấp xỉ khụng gian Sobolev W”ằ# (Q) bằng cỏc hàm trơn trờn 2
Trang 7
e Chương 1: Trinh bày về khụng gian #(@), hàm suy rộng, phộp biến đổi
Fourier trong khụng gian cỏc hàm suy rộng Trong chương này tỏc giả trớch
dẫn một số kết quả đó đạt được từ cỏc tài liệu [1], [2J, [3], [4] [5]
s Chương 2: Trỡnh bày khụng gian Sobolev cấp thực, định lý nhỳng, đối ngẫu của khụng gian W' (R") và đối ngẫu của khụng gian Sobolev W”'? (â)
- Trong chương này, chủ yếu dựa trờn cơ sở cỏc tài liệu tham khảo [1], [4],
BỊ:
ô Chương 3: Trong chương này trỡnh bày về xấp xỉ khụng gian Sobolev W" (9) bằng cỏc hàm trơn trờn 9, bao gồm xắp xỉ bởi cỏc hàm Œ" (9),
C" (ệ) Cạt (0) Trong chương
tham khảo [4j, [5] [6j [7]- chủ yếu dựa trờn co sở cỏc tài liệu
“Tuy đó cú nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thõn
nờn luận văn khụng trỏnh khỏi những sai sút, rất mong được sự quan tõm gúp ý của thầy cụ và cỏc bạn
Em xin chõn thành cảm ơn!
Huế, thỏng 10 năm 2016
Học viờn
Trang 8Chương 1
Cỏc kiến thức liờn quan
1.1 Khụng gian /7(â)
“Trong mục này ta xột (9 4,/) là một khụng gian độ đo, trong đú 9 là một
tập con mở của R“, 4 là z-đại số trờn tập đo được Lebesgue và là độ đo
Lebesgue
Với 1< p< œ, kớ hiệu
TP (Q) :={f :Q> RI f do duge va Jo |f\Pdu < oo}
Định lý 1.1.1 Tập hợp 1 (9) là một khụng gian vecta
Định lý 1.1.2 ([1]) (9) là một khụng gian định chuẩn, uới chuẩn của một
phần tử ƒ € 1P (9) được cho bởi Ilia) = ( ƒ svn)? Định lý 1.1.3 ([1]) LP(Q) là một khụng gian Banach Định lý 1.1.4 ((S)) Tạp CŒ () trà mmật trong HP (Q) tới 1 < p< s Nhận xột 1.1.1 Xột khụng gian vectơ ?(9) Với mỗi f.g € L? (Q) đặt ae, = f Sate a
thỡ đễ dàng kiểm chứng ( ) xỏc định một tớch vụ hướng trờn 72(), hơn nữa
View = ( ƒ U82) =lWllse
Trang 9“Theo trờn thỡ ta cú L? (Q) 1a mot khong gian Banach vội chuẩn
5
I/ley = ( I \rPan) (fel)
nờn ta cú kết luận sau:
Định lý 1.1.5 Khụng gian L2(Q) oới tớch tụ hướng cho bởi
Cabin = f fate 005 fg € 2210) 0
la mot khong gian Hilbert
1.2 Hàm suy rộng
1.2.1 Cỏc khụng gian D(Q), D’(), €'(), S(R") va S’(R")
'Với mỗi n € N, ta ki higu cdc tap
N" = {a= (a1, 0n)/0; €N,i= 1,40},
Khi đú, ta gọi giỏ của ƒ, là tập supp/ := {z € RP| ƒ (z) # 0}
Trang 10Nếu ¿,ỳ € C%(9), mọi a = (ai, a„) € N", theo cong thức Leibnitz ta cú P08) =D = Mo roto) Bn) € N",8 < a nghia la 8 < aĂ với mọi Ă = 1, n và Kớ hiệu œ CC nghia law C0 và Z là tập compact trong 9 Với mỗi 1 < p < œ, kớ hiệu
1ÿ (9) = {7:9 ơ C| ƒ € EP(ứ) với mọi ¿ CC 9}
Đặt biệt mỗi hàm ƒ € 1} _ (9) gọi là một hàm khả tớch địa phương trờn 9 Ta cú
12„(9) C HJ„ (9) C L„„ (9)
với mọi 1 < p< ạ
“Trước hết, nhờ vào tớnh chất của cỏc hàm thuộc khụng gian ŒĐ° (9) ta hoàn
toàn xỏc định trờn C (9) một cấu trỳc tuyến tớnh Mệnh đề 1.2.1 Cho ¿, € Cỹt (Q) tà a là một số phức Khi đú + € C (9) va ay € C(O) Chứng mỡnh Giả sử e, € Cợ (Q) và a là một số phức Khi đú ) = Tee Mpa) + ve) FO} C suppy U supe supp (p+
'Vỡ supp, suppử là cỏc tập compact nờn supp¿ U supp¿ cũng là tap compact, va supp (Ê + ) là tập con đúng của tập compact nờn nú cũng là tập compact Tat
nhiờn là ứ + ỳ € C*(9), vỡ vậy ứ + ý € C? (9)
Nếu a € C và ¿ € Œ?(9) thỡ supp(ag) = {z€ 9|ag(z) #0} C suppz, suy
ra supp(az) là một tập compact Hiộn nhiộn 1A ay € Cx (2), do đú ay €
CH (Q) a
Hệ quả 1.2.1 Cj (2) là cỏc khụng gian tuyến tớnh trờn C Do đú Cự (9) là
một khụng gian định chuẩn con của khụng gian Cy (Q) với chuẩn
Ue = supe (2)], vd mọi ứ € Cổ (9) a
Định nghĩa 1.2.1 C7 (đ) goi IA cae khong gian cỏc hàm cơ bản, mỗi hàm Ê€ Cứ (9) được gọi là hàm cơ bản, hay hàm cơ sở, hàm thử (trờn 9)
Trang 11Mệnh đề 1.2.2 Nếu ¿ € Cự (9) tà ý € CS (9) thỡ cỳ € Cự? (9)
Chứng mỡnh Giả sử ẹ € Cặt (9) và ý € C* (Q) Khi đú, rừ ràng ¿ € C% (9), hơn nữa
(0) (z) = ứ(z) ý (z) #0 + v(x) 40
nờn supp (pw) C suppy, do dộ supp (yy) 1a tap compact Vay py € CG (9) 1
Dinh nghĩa 1.2.2 (Khụng gian D(đ)) Khong gian D(@) là khụng gian cỏc ham € Cạ* (Q) với khỏi niệm sự hội tụ sau: dóy (g„)„ cỏc hàm trong CŒ (9)
gọi là hội tụ về hàm ¿ € ŒĐÊ (9) trong é(9) nếu
(i) Tộn tai tập eompaet C 9 sao cho suppyn C K vội mọi n € N,
(ii) Day (2% yn), hoi tu vộ Ay trong khong gian Co () vi moi da chi số a, nghĩa là lim sup|ỉ°„ (z) = ỉ%Ê(z)| = 0 với mọi a € N* —
Khi đú, ta viột D_ lim yn = Â
Định nghĩa 1.2.3 (Khụng gian Ê (9)) Khụng gian Ê (9) là khụng gian cỏc hàm ¿ € Cđ (9) với khỏi niệm sự hội tụ sau: dóy (g„)„ cỏc hàm trong % (9) gọi là hội tụ về hàm œ € C* (9) trong Ê (Q) nếu
lim sup |ỉ%g„ (z) = ỉ*g (z)| = 0 với mọi œ € ẹ*,K cC 9
na xeK
Khi đú, ta viết €_ Jim gn = 9
Vớ dụ 1.2.1 Xết hàm cơ sở gy: R" + R xc dinh bội .Iel<1 ;|lEl>1 trong dộ |||] zu) € R" Với mỗi k € ẹ, đặt ve (2) = fy (2) với mọi z € R",
khi đú ứ¿ € CS (R) và suppz = #'(0;1), do đú ứ; là hàm cơ sở với mọi k € ẹ
Với mỗi k € ẹ, mỗi z € R ma z|| < 1 thỡ
sup |ỉđứk (z)| = + sup [2° p(z)| < ++ ORhik =š oo
zeR" Â zeRn k
Trang 12Vớ dụ 1.2.2 Với hàm cơ sở ¿ xỏc định như ở Vớ dụ 1.2.1, dat vx (x) = by (Ê) với z € JR" và &€ ẹ Rừ ràng D%yy hoi tu dộu vộ 0 trong khong gian Cj (R") Tuy nhiờn suppỳ¿ = B' (0;k) vi B’(0;k) khong bi chin khi k + oo nộn khong
tồn tại tap compact K C R" sao cho supp C K Vỡ vậy ỳ¿ khụng hội tụ về 0
trong khụng gian R"
Nhận xột 1.2.1 1 Nộu D_ lim ¿„ = ¿.suppg„ C K với K là tập compact
thỡ suppg C K Thật vậy, vỡ ¿„ (z) =0 và do đú (z) =0 với mọi z ý O\
nờn suy ra {z€ 9|¿(z) #0} C K, do đú suppe C K = K (vi K là tập
compact)
2 Sự hội tụ mới này hoàn toàn tương thớch với cấu trỳc tuyến tớnh trờn
khụng gian CX (9) và C* (9) Nghĩa là, chẳng hạn, với mọi A,, € C, moi
(Ên)„ (0u), C Cộc (9) sao cho é_— lim gu =g và é_ lim yy, =v thi
D_ lim (Agn— 1 — 1m Ap - He, xem 6 [4], mue 1.2.1, trang 6 và mục 1.3.1, trang 20
Mộnh dộ 1.2.3 ((4]) Cho w € C* (2), (gn) C CF (O) va y € CHP (Q) Khi đú,
nộu D_ lim ye =e th D_ im vy, = vy
Dinh nghia 1.2.4 1 Day (yx), C D(đ) gọi là day Cauchy trong khong gian D(Q) nếu
(i) Tộn tai tap compact K CR" sao cho suppy, C K với moi k € N:
(ii) lim, sup |e (2) ~ 9; (2)| = 0 với mọi đa chỉ số a € ẹ" tớ sec xe 2 Day (pr), C €(O) gọi là dóy Cauchy trong khụng gian Ê (9) nếu
lim sup |ỉ*¿ () ỉ2; (z)| =0, Va €ẹ*, Kcc 0 kà se se
Định lý 1.2.1 ([1è) Đ(9) là khụng gian đầu đủ Định lý 1.2.2 ((1)) Ê (9) là khụng gian đầu dủ
Định nghĩa 1.2.5 (Hàm suy rộng) Một hàm suy rộng trờn â là một phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục f:D(Q) > C
ô Hàm suy rộng ƒ tỏc động vào g € (9) kớ hiệu là (/, ¿)
Trang 13ô Hai hàm suy rộng ƒ và g gọi là bằng nhau nếu
(F.Â) = (9.9) vi moi y € D(O)
Nhận xột 1.2.2 ([1]) Kớ hiệu ? (9) là tập cỏc hàm suy rộng trờn 9 Khi đú ?⁄(@) là một khụng gian vectơ với cỏc phộp toỏn tuyến tớnh được định nghĩa
như sau
(i) Phộp cộng: với ƒ,ứ € Đ'(9) tổng ƒ + ứ được xỏc định như sau
ƒ+ứ:P(9)Ê+ (ƒ + 0.2) = (f,) + (0v):
(ii) Phộp nhõn vừ hướng: với A € C, ƒ € é'(0) tớch Aƒđược xỏc định như sau
AF: D(MN p> Af.) = AF.)
Hơn nữa, ta cũn cú thể định nghĩa phộp nhõn với một hàm trong C% (0) Với 6 €C* (OQ), f €D'(M), tich úƒ € é' (9) được xỏc định như sau
9ƒ: D(9) g + (6ƒ, v) = (ở)
lý 1.2.3 (|5]) Cho ỏnh xa tuyộn tinh f : D(Q) + C Khi dộ f é'(0)
khi uà chỉ khi uới mỗi K C Q.K là tap compact, ton tai s6 thực Œ > Ú tà m € ẹ
sao cho
MAPSCO SO sụp |ỉ*Ê(z)| Ve € DUK) aan tek
Vớ dụ 1.2.3 (Một số hàm suy rộng quan trọng) 1 Mỗi hàm liờn tục là một hàm suy rộng:
Cho f € C(â) và định nghĩa phiếm hàm tuyến tớnh trờn é(â), cũng kớ hiệu là
Trang 14Do d6 f thộa man Dinh If 1.2.3 v6i C= |/filzacx) và m = 0, suy ra ƒ là một hàm suy rong Hơn nữa, với mỗi ham f € Lj, (9), xột anh xa tuyến tớnh sau đõy, vẫn kớ hiệu laf: fier (fe) = jf) (x) du (py € D(Q)) Với mỗi tap do duge compact K CQ va g € D(K), ta cú ứ.v) <[ \f (2)| le @)l de < WF llasccy sup |e (#)| K rc
suy ra f thỏa món Dịnh lớ 1.3.3 với Ở = ||/ll„w) và m =0, do đú ƒ € (9) 3 Ham Heaviside: Xột hàm Heaviside H : R + RB cho bởi 0 r<0 Hựặ)= â {! vr>0 Ta định nghĩa phiếm hàm tuyến tớnh trờn é(R) sau đõy và cũng kớ hiệu là H, cho bởi +20 (H, 9) = [ p(x) dr lọ với mọi € D(R) Khi đú hiển nhiờn # là ỏnh xạ tuyến tớnh Với mỗi tập compact K CR vag € D(K), ta c6 os
nels [0 lelaldes f de-sup iol) zeK
suy ra H thộa man Dinh If 1.2.3 vội Ở = ƒ„ dz và m =0, do đú H e é/(R) 3 Hàm Dirae: Cho zụ € 9, hàm Dirae tại zạ là hàm số ð;„ xỏc định trờn é(9) cho bởi (ổz,.g) = #(zo) Ve € D(Q) Khi đú hiển nhiờn ọ„, là một phiếm hàm tuyến tớnh Với mỗi tập compaet K C và ¿ € D(M), ta cú M(6e0.)| = Iv (20) | < sup |p (2) | ck
suy ra ổ„„ thỏa món Dịnh If 1.2.3 vội C = 1 va m =0, do d6 6, € D’(Q) Nộu 0 €Q, ham Dirac tai 0 kf higu là 6, tat nhien la 5 € D’(Q)
4 Phộp lấy đạo hàm: Với a € ẹ*, |a| = m, xột ỏnh xạ tuyến tớnh sau:
Trang 15
Với mỗi tap compact K C2 va y € D(M), ta cú
\(.9)| =| (a) < SO sup |*e(@)|-
kgm
suy ra ỉ* thỏa món Dịnh lớ 1.2.3 với Ở = 1 và m = |a|, do đú ở* € ? (9)
Định nghĩa 1.2.6 (Sự hội tụ trong khụng gian ? (9)) Cho day (un),, C (9) và uc (9)
1 Day (un), goi la hdi tu vộ w trong ?'(@), kớ hiệu D/_limu, = u, nộu voi
moi ¿ € (9) thỡ
Tim (un, g) = (u, 9) -
2 Day (un), goi là dóy Cauchy trong ? (9) nếu ((uạ, ¿))„ là dóy Cauchy trong € với mọi ¿ € é(9)
Thận xột 1.2.3 ((4]) Sự hội tụ trong khụng gian ?' (0) hoàn toàn tương thớch
với cấu trỳc tuyến tớnh trờn ?”(â) Nghĩa là, với cỏc đóy (wa)„;(œ)„ C é'(9) sao cho D/_limuy =u va D/_lim, = ứ và với mọi a, đ € C, ta cú
?_ lầm (œun + đu au + Bu
Dinh ly 1.2.4 ([4]) D’() là một khụng gian đầy đủ
Nhận xột 1.2.4 Cho tập mở U C 9, thỡ mỗi hàm œ € C? (U) ta xột nú như là một hàm thuộc Cc (9) bằng cỏch sau _fe@ ,xeU ^a-[f " Khi đú mỗi hàm suy rộng f € D’(đ) ta xem như là một hàm suy rộng thuộc T/(U) bằng cỏch sau
u.#) = (f.ea) ứ€ P(U)
tức là ta cú thể xem Đ(U) là một khụng gian con của (6) Vỡ vật
hàm suy rộng khụng cú giỏ trị tại mỗi z 9 Như thế, ta khụng thể núi hàm suy rộng ƒ bằng khụng tại z e 9 Tuy nhiờn, nhờ vào việc nhỳng é(U) vào é(9), ta cú
thể định nghĩa hàm suy rộng ƒ bằng khụng trong lõn can U C â của điểm z 9
như sau
Trang 16Dinh nghĩa 1.2.7 (Khụng gian Ê’ ()) Ham suy rong f € D’ () goi là bằng khụng trong lõn cận U C â cita diộm x € â nếu với mọi y € D(U) ta cú
Ứ.) = Ứu.e) =0
Hàm suy rộng ƒ € é' (9) gọi là bằng khụng trong miền mở â nếu ƒ bằng khụng
trong lõn cận U C â nào đú của mỗi điểm thuộc ỉ
Hàm suy rộng f € D’(Q) gọi là khỏc khụng tại zọ € â nếu ƒ khỏc khụng trong mọi lõn cận U C â của zọ, tức là với mỗi lõn cận U C â của zọ, tồn tại ¿ € é(U)
sao cho (f,y) 4 0
Với mỗi ƒ é (9), tập
suppƒ := {z € 0| ƒ khỏc khụng tại z}
gọi là giỏ của hàm suy rộng f Kớ hiệu
Ê'(Q) := {f € D’(Q)| suppf la tap compact }
Dinh ly 1.2.5 ([4]) Ê (Q) la mot khong gian con ctia D’ (Q) va cing vdi su hoi
tu trong D’(Q) la một khong gian day đủ
Dinh nghia 1.2.8 (Khong gian S(R")) Khong gian S(R") lA tập hợp
S(R")= ‡ €c™(R")| sup |2*0%o(2)| < 00, Wr ER, Wa, 8 € wh ack"
với khỏi niệm sự hội tụ được định nghĩa như sau: day (gp), trong S(R") gọi là hội tụ đến ¿ € S(R") trong đ (R") nếu
lim_ sup [20° yx (2) — 20% (x)| = 0, Va, 9 € ẹ"
komo re
Khi đú ta viết S_limy, = ¿
Nhận xột 1.2.5 1 Tập hợp S(R") đúng kớn với cỏc phộp toỏn cộng và nhõn vụ hướng trong C* (E"), do đú dễ dàng kiểm chứng S(R*") với cỏc phộp cộng và nhõn vụ hướng C* (R") là một khụng gian vectơ
2 Khỏi niệm sự hội tụ trong khụng gian S(ẹ*) là phự hợp với cấu trỳc
tuyến tớnh trờn đú, nghĩa là với mọi đóy (¿¿)„ (ể;)¿ trong S(R"), nếu
$_ lmgy = g và Đ_ mu; = 0 thỡ với mọi À,u € C, ta cú
S_lim (Age + wx) = Ap + pe Xem [4], mục 1.4.1, trang 29
Trang 17Mệnh dộ 1.2.4 ((4]) Cho ham y € C* (R") Khi đú ¿ € S(R") khi va chỉ khỉ
một trong cỏc khẳng định sau thỏa món (a) Với mọi m € ẹ,a e ẹ", tần tại Ơ > 0 sao cho |ỉ*%Ê(z)| < mm với mọi ~eR" (b) Với mọi m € ẹ tờn tại C > 0 sao cho % |ð?e(z)| < i, Pols tar “mm vdi moi reR"
Hệ quả 1.2.2 Cho yy.g € S(R") vdi k EN Khi dộ S_limyy = g hi va chỉ khi tới mọi m € ẹ, ta cú
lim sỳp (L+ l2)” lỡ (eÊ(2) = Ê(2))|=0
— vdi moi a € ẹ", hoặc
Em, sup (1+ lle)" 9 [a (Ge (3) = g))| =0 xrcRn lúI<m
Dễ thấy D(R") c S(R"), tuy nhien D(R") 4 S (R"), ta xột vớ dụ sau: Vi dy 1.2.4 Xột hàm y € S(R) cho bội = ema e@=4 4 va ge (2) = See EN thi y, yy € CX (R) va S_lim yy = y Tuy nhiộn khụng,
tồn tai D_lim yg, (Xem [4], muc 1.4.1, trang 30)
Kớ hiệu đ' (R*) là khụng gian cỏc phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục trộn S(R")
Nhận xột 1.2.6 Ta cú S(#") C 1? (R") C &'(R") với mọi 1 < p < se Thật vay, vi y € S(R") thi vội a = 0 € N", chon sộ m € N sao cho mp > n, thi ton tai C > 0 sao cho c kk@)< —mz; (1+ Izl2)”” với mọi z € R" Mà hàm số z r> er (z € R") la hàm khả tớch tren R" nờn suy ra ¿ € LP (R")
Với mỗi ƒ € 1? (R"), xột ỏnh xạ tuyến tớnh, kớ hiệu là ƒ được xỏc định như sau:
1:ers/)= (xe) = Ệ T6)z)dz€C, (re sR")
Trang 18gọi ạ là số thực liờn hợp với p, tức là ‡ + ‡ = 1 Với đóy (yx), € S(R") sao cho
#; r> 0 trong S(R*), suy ra yy + 0 trong Ê4 (R") Khi dộ vi |Ớ-sÊ)| < lIfllus¿a=-llellusyey
nờn suy ra (ƒ,z¿) = 0 Vậy ƒ € 6 (R")
Định lý 1.2.6 (4|) Hàm suy rộng ƒ € é (R") thuộc S!(R") khi tà chỉ khi tồn
tại số tự nhiờn m uà số đương c sao cho
lƯss)| <e sỏp (L+ Iel8)” 52 l8%e0)|, ve c ĐA)
lal<m 1.2.2 Đạo hàm của hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.9 Cho f € D’(2) via € N” Dao hàm s
suy rộng ƒ trong â, kf hiộu 1A D°f, lA một ham sộ cho bởi
rộng cấp œ của hàm
D°ƒ:ứ + (D°ƒ.ứ) = (-1)"!(f,0%Â) €, (p EDM)
Trong đú (D^ƒ,z) là tỏc động của hàm é*/ lờn hàm ¿ € é()
Nếu a €N thi van kớ hiệu D*ƒ = ƒ(9),
Mệnh đề 1.2.5 (4|) Dao ham suy rộng D°ƒ cấp œ của hàm suy rộng ƒ là một hàm suy rộng, nghĩa là hàm số
D°f : pr (Dđƒ,e) := (—1)!°è (/.ỉ%e) EC, (p € é(0))
là một phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục
Mệnh đề 1.2.6 ([5]) Cho cỏc hàm suy rong f,g € D! (Q) va day (uạ)„ C ?' (9)
Khi đú:
(i) Dđ(u+ 9) = Dđu + Dđu;
(ii) D* (au) = aD*u vdi moi a € C;
(iii) D°*8u = D* (D8u) = D* (Deu);
(iu) Nếu uạ => w trong D (Q) thỡ Dđuạ => Dđu trong TỶ ()
Trang 19Dinh lý 1.2.7 (Cụng thức Leibnitz, [5]) Cho hàm suy rộng u € D'(Q) va ƒ€C* (0) Ta cú : D*(ƒu)= > 8 Âpe-By, Bsa ! Vớ dụ 1.2.5 1 Lấy 9 = (0;2), xột hàm số -5-|j „0<z<1 1 ,1<z<2
Khi đú w là một hàm khả tớch trờn â, cú đạo hàm cổ điển trờn cỏc khoảng (0; 1) và (1:3) với w’ (x) = 1 với z € (0;1), va w(x) = 0 với z € (0;9), nhưng w khụng
cú đao hàm (cổ điển) tại z = 1, hay núi cỏch khỏc w khụng cú đạo hàm trờn â
Bay giờ ta sẽ đi tỡm đạo hàm suy rộng cấp 1 của u trờn 9 Xột hàm số 1 „0<z<l1 v(z) = 0 ,1l<z<2 thi v cũng là hàm khả tớch trờn @, với mọi ¿ € Cứ (9) ta cú 2 (Di Ê) = = (ue) =— [ u(x) (e) de 1 ° 2 f z6) [ Â (x) dr ~~00)=0(0)+ Í Â (2) dr ~(Â(2)- (1) [ewe ‘ = [e@rwars do dộ D'u =v 3 Lấy 9 = (0:2), xột hàm số @) { 0<z<1 u(z) = 9z) xÊ(z) dr = 2 l<r<2
Khi đú w là một hàm khả tớch trờn @ và w (z) = 1 với z € (0;1), và w! (x) = 0 với
z€ (0:2), tất nhiờn w khụng cú đạo hàm hàm cổ điển trờn â Hơn nữa, khụng
Trang 20“Ta cú 2 2 ƒ 0(z) Ê (+) dz = u(z) ! (x) dr ° ự 2 1 f wl) e"(e)de— f u(z) Ê (z) dể = | e(g)dz+Ê(1) lo 1 lo Lấy day hàm (¿;)¿ C CĐ° (9) thỏa món 0< ứy <1, (1) =1, #k(z) — 0 (z #1) Khi đú ta cú 1= timex 0) =m ( mõu thuẫn này chứng tỏ khụng tồn tại D` ằ (2) spe (2) de — ƒ “x@) a) =0 Vớ dụ 1.2.6 1 Hàm khả tỉ thụng thường: Cho ƒ € C!(9), khi đú với mọi Ê€ D(@) ỏp dụng cụng thức tớch phõn từng phần ta cú (D'f.9) =- (fv) = - [se (x) de = [,P2)-F (ede = (52) suy ra D!ƒ= ƒ'=ỉlƒ
Hơn nữa, nếu ƒ € C(O) thi DƠf = fl) = af
2 Hàm Heaviside: Voi moi y € D(R), ta cú
+
(H.g) == (He) = [ Â (a) de = 9(0) = (5,9)
suy ra H! = 6
Trang 211.2.3 Tớch chập của hàm suy rộng
Định nghia 1.2.10 Cho f(x) va g(x) là cỏc hàm số xỏc dinh tren R" Ky hiệu
Usa) = [ Jz= )gy)d, vỏ z € Rđ
&p
Nếu tớch phõn vế phải tồn tại thỡ (ƒ * ứ) (z) là một hàm xỏc định trộn R" va
được gọi là tớch chập của hai hàm /(z) và g(z)
Định lý 1.2.8 Nếu ƒ,ứ€ Lạ(R°) thỡ ƒ xg tồn tại và ƒ + g € Lị(R*), đồng thời ta cú bắt đẳng thức I/ *ứllị < lI/llilslli Dầu bằng xả ra nếu ƒ,g > 0.Vz € lR" Chứng mỡnh +) Trước hết ta giả sử ƒ, g > 0 Đặt A(z) = (f +9) (2) fre — 9)g(w)dụ.Vz c R" R “Ta thấy Wl = ƒ /*s(z)[dz = ƒ ([ ƒ(+ = 9)9(9)du)dz J RR JJ
= [co f Hee spaeyty = Wala ¿ &
+) Nếu f.g € L,(R") thi |f| + |g| ton tai va | f *9| <|f| *|g| Hon thế Ifegh <lfli*lgh
'Từ định lý trờn ta thấy tớch chập cú tinh chất kết hợp
Nhận xột 1.2.7 Nếu / là hàm số liờn tục trờn R và là hàm khả tớch địa phương cú giỏ compac thỡ f + ứ xỏc định
Dinh nghia 1.2.11 (Tớch chập của hàm suy rộng thuộc D' tà D)
Cho ƒ € (R*) và ¿(z) € D(R") ta xỏc định tớch chập (ƒ + ứ)(z) là một hàm số
trờn R" theo cong thite
(f * 9)(2) = (f(y) e(@ ~ y)) Wa € Re
Trang 22Chỳ ý 1.2.1 Với mỗi z cú định thỡ g(x — y) € D(Rj)
Định lý 1.2.9 Nộu f € Đ(R") va ¿(z) € Đ(R") thà (ƒ * g)(z) € C*(R") hơn
nila supp(f * g)Csuppf +suppg
Chứng mỡnh Ta stt dung kột qua A dộng, B compact thi A+ B dong va nộu
A,B compact thi A+ B la compact Dat
A(z)
Ff g(x) = (f(y), e(@ ~ 9))-
Nếu {z¿} là đóy hội tụ về x thi hiộn nhien A (f(y) ele — y)) hoi ty ve h(x) = (f(y) e( — y)) Hay n6i cộch khộc, h(x) 1A ham liộn tục
Ki hiộu, (e1.€2, .€n) V6i e IA vộctơ đơn vị trờn z; Xột lim Ate + lei) — tim (10 ol + lei = „ = (x= ) _ 6; # “an ợ (0)
Điều này chứng tỏ tồn tại đạo hàm riờng 2" Làm tương tự ta chứng mỡnh được rằng ủ(z) € C(R*") Ta chỳ ý rằng, với mỗi z cố định, nếu
SUpp/ ủ supp (2 — y)
thỡ h(z) = ƒ*ứ(z) = (ƒ().Ê(z — w)) = 0 Do đú nếu h(z) # 0 thỡ tồn tại esupp/ƒ
sao cho z — esuppe Hay núi cỏch khỏc ta cú supp(f *g) C suppf+suppg- a He qua 1.2.3 Nộu f € D! ma suppf compact thi vdi moi y € D'(R") ta sộ 06 frgeD(R")
Dinh nghia 1.2.12 (Tich chap ctia ham suy rộng)
+ Gia sit f,g € D’, suppg compact Khi d6 tich chap f +g 1A mot ham suy rong xỏc định theo cụng thức
*ứ.#) = (f.g*v)
Trang 24“Tương tự ta cũng cú D(f *9)=D°f*g=fxD%g Vớ dụ 1.2.7 (Cỏc trường hợp riờng) *ƒ €7 ta cú ƒ xố = ƒ và (8.Ê) = (0) Vy € D(R"): 6# 9 = g(z) That vi (fF Ơ5.9) = Ứ.ụ*) = 2) “Tương tự Dđ(ƒ xổ) = D*ƒ xó = D*ƒ
+ P(D) là toỏn tử vi phõn tuyến tớnh với hệ số hằng & Giả sử œ(z) là nghiệm cơ Khi đú nghiệm của phương trỡnh P(D)u = ƒ
bản của toỏn tử vi phõn P(D)
được xỏc định w = ƒ +w That vay
P(D)u = P(D)(ƒ *ứ) = (P(D)ứ * ƒ) = ụ* ƒ = ƒ
13 Phộp biến đổi Fourier trong khụng gian cỏc hàm suy rộng
143.1 Biến đổi Fourier trong S(R")
Trang 25Định lý 1.3.1 Phộp biến đổi Fourier F la mot ộnh xa F:S(R") > S(R") Dyo@) = 65, #eữ) = -DĂÊ( Chứng mỡnh Lay g € S(R"), ta phải chứng mỡnh ¿(Ê) € S Ta cú 26 = [z "820M i
Mặt khỏc ƒ e~fđ(~z)*¿(z)dz hội tụ đều trong IR" ie
Do đú, khi lấy đạo hàm tới cấp k ta cú D*¿(Ê) = J c_!Œ9)(—z)đg(z)dz se ton tai Hon thộ, (2 Ale) = P"(€) và Hele) = ~D;ệ() Mặt khỏc từ cụng thức
Degg) = f eK 9(—2)% olor &
Trang 26Hệ quả 1.3.1 Nếu g(z) =e“ Biộn dội Fourier ciia ham Â(z) la:
“=“
Chỳ ý 1.3.1 Nếu P(D) là toỏn tử vi phõn với hệ số hằng và xột phương trỡnh vi phõn P(D)w ƒ Lấy biến đổi Fourier cả hai về, ta cú
P(€)ủ(€) = Í(€)
Nếu P(€) # 0 thỡ ủ(€) = Tang:
Trang 27Khi đú, [ôtt669ỏ0 = [e"2()cœ+ d d = / eo" (t) pla + et)eMdt Re = [eo p(x +et)dt với moi ¿, € S Hai về trờn hội tụ đều, cho e dần tới 0, ta cú 9(0) | eŒđâ¿(€)dÊ J = g(z) | ỏ(94 ! Chọn u(2) =e, ta cú sứ) = aie fe e(@ae, Be
Định lý 1.3.3 ((12]) Cho ¿ € S(R") Khi đú, ấ= g = ấ
Định lý 1.3.4 (Đẳng thức Parsevals) Cho „ € A(B) tà ƒ liờn tục trờn
Trang 281.3.2 Biộn dội Fourier trong S’(R")
Định nghĩa 1.3.2 Cho ¿ € S(R") Biến đổi Fourier của hàm suy rộng ƒ kớ hieu 1A F[f] hay f là hàm suy rộng tăng chậm xỏc định bởi: .ứ) = Ứ,2).e e S(R") và phộp biến đổi ngược kớ hiệu là Z~}{ƒj hay ƒ được xỏc định bởi : (f.9) = Ứ.ð).e S(R") Vớ dụ 1.3.1 Biến đổi Fourier của hàm Dirae : ụ= (z)*Ÿ Mệnh đề 1.3.2 Tu cú 1 Ệ ƒ là cỏc ỏnh xạ liờn tục trờn S'(R")
2 è, ƒ € S(R") Suy ra phộp biến đổi 7 là đẳng cầu tuyến tớnh liờn tục trờn S(R") uà ỏnh zạ ngược là phộp biến đổi ngược #~` Mệnh đề 1.3.3 Cho ƒ € S(R"),a,8 € Z} ta cú: D^ƒ = (iz)* va (=i Df Mệnh đề 1.3.4 Với mọi ƒ € S/(R") 0a cú:
1 Fa—h) =e) f vdi hE R"
Trang 30Chương 2
Khụng gian Sobolev W"”*P(Q)
2.1 Định nghĩa và một số tớnh chất
2.1.1 Khụng gian Sobolev cấp nguyờn dương
Cho â là một tập mở trong R*, Cho ƒ € 13(9) (C 1 „(9) C 11„ (9)), khi đú ƒ cú thể coi như một hàm suy rộng được xỏc định như sau:
en ihe > [re
Tit bat ding thức Cauchy-Schwartz cú đỏnh giỏ
2 Kfe)l < (Jr's J/)| đe
Ta sẽ chứng mỡnh bất đẳng thức (2.1) là điều kiện cần và đủ để một hàm suy
Trang 31(ii) Cho ƒ € L2(Q) Khi đú, thu hẹp của ƒ trờn é(Q) là một hàm suy rộng thỏa
món bắt đẳng thức (3.9) uới hằng số € = ||fa-
Chứng mỡnh (Ă) Do Cật (Q) trự mật trong 7? (O) nờn nếu hàm suy rộng ƒ thỏa món bất đẳng thức (2.2) thỡ ta cú thể thỏc triển f lờn thành phiếm hàm tuyến
tớnh liờn tục trờn L? (Q) Thỏc triển này là thỏc triển duy nhất
(¿) Phần này được chứng minh từ bất đẳng thức Cauchy- Schwartz a
Dinh nghia 2.1.1 Cho / € Z, Khong gian Sobolev W"? (9) = W! (đ) là khụng, gian bao gồm cỏc hàm suy rộng f € L?(đ) mà cỏc đạo hàm suy rộng D%ƒ €
12(6), |a| < 1, với chuẩn
Ulli = If = ƒ |ID*ƒfaz)‡
loll
Khụng gian Sobolev Wj (9) là bao dộng cia tap C7 (đ) trong W! (2)
Nhận xột 2.1.1 Chuẩn ||, thực sự là một chuẩn, nghĩa là nú thỏa món ba
tiờn đề về chỡ
đ (xỏc định dương) |(ƒ|J, >0, Vƒ e W!(9) và ||/|J, = 0 khi và chỉ khi ƒ = 0,
e (thuần nhất) ||Aƒ ||, = |AI lL/|lị Vƒ e W?(9), VÀ C
ô (bất đẳng thức tam giỏc) ||ƒ + ứllwo) < èIflluuue)# lllway; V/.ứ € W! (@)
Chuẩn này được sinh ra bởi tớch vụ hướng, n=O ƒ D°s (2) g0 lalst a, vi ô (xỏc định duong) (f, f), = lf? > 0, va (f, f) = 0 khi và chi khi f =0, e (phản đối xứng) (ƒ.g), = (9 /);, V/.ứ € W (9)
ô (tuyến tớnh theo biến thứ nhất)
(aifi + aafs, g)i = a1 8), + a2, 9), Vi, f2, g â Wi (Q) Van, ay € C
Ngoài ra |/.ứĂ| < lI/llilslu và IF + ứl+lI7 = ứlP = 2 (I/lf + llứlf) V/,g e
Trang 32Mệnh đề 2.1.2 ((4]) Khụng gian W (Q) là khụng gian Hilbert uới tớch uụ hướng Ge
Chứng mỡnh Từ nhận xột trờn, ta chỉ cần chứng minh tớnh đầy đủ của khụng gian W(@) theo chuẩn || Lấy dóy Cauchy {ƒ¿}jĂ trong W¿ (9), nghĩa là cỏc dóy {Dđƒ„}Ÿ Ă là Cauchy trong 1? (9), với |a| < 1 Do #2 (Q) là khụng gian đầy đủ
nờn với mỗi đa chỉ số œ mà a| < ! đều tồn tại ƒ* € ?(@) mà in Ife — foll, = 0 Nếu ta chứng minh được D°f? = f*, lal <1 thỡ im || fe -f||, = 0 hay day
{f%} Ă hồi tụ dộn f° trong W; (2) Do d6, W; (đ) là đầy đủ
Dộ chứng minh D*/9 = ƒ* ta chứng minh chỳng bằng nhau theo nghĩa suy rộng Lay ¿ €D(9).k = 1,2 cú Kory - r.Â)| < (De - Defere)] + (Dh 9) mà |(/"= D°fu.e)| = |(9 = f %e)| < ||/9 = ft |ằ ứ)ẽÍDđellrse) |(D/*= /đ,ứ)| < ||D*/* = /*||zyllellisey và im ||P°/ - / ||ằ; =0,Y|ỉ| < I, nờn (Dđƒ/9~ D*ƒ,,g) = 0 hay D%ƒ0 = ft a
Hệ quả 2.1.1 Khụng gian Wj (9) là khụng gian Hilbert vdi tớch tụ hướng ( ), “Từ định nghĩa ta cú cỏc phộp nhỳng liờn tục sau
Mệnh đề 2.1.3 (4|) Cỏc phộp nhỳng liờn tục tới Ik € Zs,1 < k, ta cú cỏc phộp nhỳng liờn tục sau:
Wi) GW) > PO),
WỆ (9) Wh (2) > 12 (9)
Mệnh đề 2.1.4 Trong trường hợp Q = R", phiếm hàm xộe dinh tren W! (R") được xỏc định như sau
Ufllyw: = (/ (i+ wir)
là một chuẩn tương đương tới chuẩn ||
Trang 33Chiing minh Lay f € W!(R") Cộ D^ƒ € 12 (R"),
phộp biến đổi Fourier trong L?(R") thi | <1 nờn theo tớnh chất của |D°f(x)Pdx = | |F(D*f) (Pag = | lee? FF (Las }maJ / mà a (= e) <(1+lgl)'<œ (= s) la|<t lel<!
với cĂ,cy là cỏc hằng số dương khụng phụ thuộc Ê nờn
callflle S fllwe S callfll
do 46 jy va [jy BA hai chudn tuong ditong trộn W! (R") a
2.1.2 Khong gian Sobolev cấp thực
Định nghĩa 2.1.2 Với ! € R, khụng gian Sobolev W' (R") là khụng gian cỏc
hàm f € S’(R") ma biộn dội Fourier Zƒ là hàm đo được và thỏa món
2
ƒ _(1+lglé FF) df < 400
2\3
Nhận xột 2.1.2 Phiếm hàm l\ƒ ly = (fe (a+ lel?) FLO +) xỏc định một chuẩn trờn W! (R") nghĩa là
â (xỏc định dương) |Jƒ|lw: > 0, Vf € W(R*) và dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi ƒ =0,
e (thuần nhất) ||Aƒ|lụ: = IA| lL/ llyy Y/ € W!(Rh), VÀ € C,
đ (bất đẳng thức tam giỏc) ||f + ally < [lfllw: + llgllw V/,g € W1(R*)
Chuẩn này được sinh ra bởi tớch vụ hướng,
aw = 3 [ (0+ l47/ (97519,
Trang 34â (xỏc định đương) (/, fy: = [LF 20 va Cf, f)yye = 0 Khi và chỉ khi f = 0 â (phan dội xứng) (f,9)w: = Go Aw Ơf.9 € Wi(R"),
â (tuyộn tinh theo biộn thit nhat)
(oa fi + a2 fo, 9)we = an(fi,g)wi +a2(fo, g)we Whi, fo 9 € Wi (2) Wor,a2 € C
Ngoài ra |(f.9)wel < [fllwellgllyyes V8 ILF + allie + ILF — ứèẪ = 2 (II + Iứll›) - với mọi ƒ,g € W; (R")
Khi / € Z,, thi theo [4], mộnh dộ 2.1.4 cỏc định nghĩa về khụng gian Sobolev
W'(R") la khụng mõu thuần nhau
Kớ hiệu Vè (R") là khụng gian cỏc hàm đo được ƒ thỏa món
(1+ Izlấ) | œ)ấaz < +5
le
Khi đú, phiếm hàm ||ƒ|y: = (0 (+ IzI?) L7 œ)4z) là một chuẩn trờn V!(R") sinh ra bởi tớch vụ hướng
Coady = f(t?)
Khong gian V! (R") là khụng gian đầy đủ, nờn là khong gian Hilbert
Phộp biộn dội Fourier 1A mot ding cfu, ding cit tir W' (R") vao V'(R") Nen khụng gian Sobolev W! (R") là khụng gian đầy đủ, do đú, là khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng ( )yw Ngoài ra, dễ thấy cỏc phộp nhỳng liờn tục S(R") => V'(R") GS’ (R") nen c6 cộc phộp nhting lien tue S (R") W! (RY) GS’ (R")
2.1.3 Định lý nhỳng
Định lý 2.1.1 ([4)) (Ă) Với !< k ta cú cỏc phộp nhỳng liờn tục
SR) OW R) OW R) 4 5'(R")
(i) Với k <1, K là lập compaet trong lề", cú phỏp nhỳng từ khụng gian con của
W*(R") gồm cỏc phần tử cú giỏ suppƒ C K, uào khong gian W' (R") la compact
Chứng mỡnh (Ă) Từ Định nghĩa dễ dàng cú điều phải chứng minh
(ii) Do K 1a tap compact trong R" nộn c6 mot ham y € Cx (R") ma v(x) =
lzek
Trang 35Dộ chứng minh phan nay, liy mot diy {f,}%2, bi chan trong W*(R") ma suppƒ„ C K,v = 1,2, , ta sẽ chứng minh nú cú một dóy con hội tụ, hay một
day Cauchy, trong W! (R") Do supp/„ C K nờn ¿ƒ„ = ƒ„ Khi đú, F fu =F (pfu) = (22)? Fp F fu, Dđ (F fu) (27)? D (Fe) + Fhe
Theo bất đẳng thức Petre (1+ Iel2) <(# nl) (a +llÊ— nl?) 2&0 eR" nộn (1+ tel?) ROL my? f (14+ t= ml?) IZc€ = (+ lelĐèIZf.@lan Re ‡ ‡ <n) (/ (1+ le — ml)” (Ze(= nia) (/ (1+ li?) Fhe i2) (1+?) #1" FA) Ol < <2 [ (1+ ent?) * 10° (= I(t + UP) Ese an ra
< 2m)? (/ (1+ lg al?) 10" Fe) (=n | (/ (14 lil?) eh ita)
nộn day {Ff,}%, 1a day ham bi chan dộu và liờn tục đồng bậc trờn từng tập
compact Do dộ, theo dinh ly Ascoli-Azela, day {Ff,}%2, hoi tu dộu tren timg
tap compact Lay một số đương z tựy ý Giả sử, dóy {ƒ}2—Ă bị chặn bởi Œ trong
wR")
Dot<k nen tim (L+ Il2)"“ = 0, do đú cú một số #y > 0 để
2 2
1+[iel?)* < 55 < ——=— ,, win > bo
( ssa 2(I\follywe + Illy)”
Khi đú,
Trang 36fe — allie = / (1+ tet?) *(1+ IP) Fh â - Fa (lag ll€l|>Ro 1 + J (1+ HEI?) Fhe (â) — Fu (7g Wels Ro <Đt+G=2, Wyrm,
do đú, dóy {f,}22; la day Cauchy trong W! (R") n 2.1.4 Đối ngẫu của khụng gian \WV' (R")
Định lý 2.1.2 ([4]) (i) Voi mội le R, dội ngẫu của khụng gian V'(R") la (Vik) SVR"), nghĩa là, uới mỗi ƒ € (VI(R*))ˆ đều cú duy nhất một phần tử v trong V-!(R") sao cho â f(u) = Ja u(x) v (2) dz, Yu EV! (R") đ* lI/llws> =lellv-
va mội phan tity € V-" (R") thỡ phiếm hàm biộn u € V!(R") thanh f., u(x) v(x) dx là một phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục từ Vè (R") uào C
(ii) Voi mỗi 1e R, đối ngẫu của khụng gian W' (R") la (W'(R"))°> W-!(R"), nghĩa là, uới mỗi ƒ € (W! (R"))ˆ đều cú duy nhất mot phan tit v trong W~! (R") sao cho â F (u) = fa (2) v(x) dr, Yu EW! (RY) * lỨlqesy = llelly-:
tà mỗi phần tử ứ € W~! (R") thỡ phiếm hàm biến u € W (R") thành [>„ w (z) 0 (z) dr là một phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục từ W! (R") uào C
Chỳ ý 2.1.1 Với ! € R, 9 C R", khụng gian đối ngẫu của W! (9), W‡ (@) là
(w! (Q))' = (wh (@)' = Wo)
Trang 37Chitng minh (i) Voi mội v € V-!(R") từ bắt đẳng thức Cauchy-Schwartz
if oer < ẫˆ
< (/ te) (/ — „Vu € V*(Rh),
với đấu bằng xảy ra khi và chỉ khi œ(z) = c(1 + le?) oe, fi ce C la hing
số, nờn phiếm hàm biến w € V*(R") thành ƒ,„w(z) ứ(z) dz là một phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục từ V(R") vào C, với chuẩn bằng ||rlly
Lay f € (V'(R"))’ Nếu ƒ =0 thỡ cú duy nhất ứ =0 V~!(R") để
[rove dz =0, Yu € V'(R")
FA
Nếu ƒ # 0, nghĩa là ||ƒllqvu; # 0 Khi đú, cú mot day {ux}, trong V'(R") mà
llu|ly = 1= 1,2, và im f (up) = [Ifllevy
'Ta cú thể giả sử |luu|ly: < $ & = 1,3 Nếu dóy {uu}ʈ, khụng là dóy Cauchy trong VF(R*) thỡ cú một số e € (0, 1) và một dóy con của nú, đơn giản kớ hiệu ta cú thể giả sử ly — 9/|ly: > 2z0 k # j Nờn [lox + vsllye = (lleellys + llesllys) — Ít — 9l: 2— 2zo- Do đú Wllevey > I/(rmn( +))| = Slvr) > ri s30) + ƒ(we))
hay (ƒ (0) + ƒ (w)) < 2(1= eo) |/llqyay Điều này khụng thể xảy ra khi j,k đủ
lớn Do vậy, day {u,}%đ, la day Cauchy trong V† (R"), mà Vè (R") là đầy đủ, nờn
Trang 38Khi đú, đặt (2) = lI/llqyay(t + lle) so Œ), cú
ve VR"), [lolly = |fllạay ƒ (14 ll?) ToT dr = IIfliyy FA
le = Ulwy Í (1+ IzlP) 1 (2) Tao ()Jdz = F (uo)
& Be
Như vậy, ứ xỏc định trộn V!(R") mot phiộm ham tuyộn tinh liộn tuc vội chuan \lelly-ô = [lleva Gia sit c6 mot ham ue V!(R") mà 70) # f v(e)u(a) dr J “Ta cú thể giả sit f (u)— fig, v (x) u (x) dx = 2 f||(yxy Bang cộch tộ hop tuyộn tinh với up ta c6 thể giả sử 76) = Iflyy- ƒ v() u(x) dr = —|fllyg; (Vè ƒ (06) = ƒ ằ (2) up (2) dr = fly) Khi đú, với t> 006 ự
â F (uo + tu) = ||flqyay (1+) nờn jug + tullys > (+8),
â Jaw (2) (to (2) ~ tu (2)) de = folly (1— 9) nờn |uy + #0 > (1+9),
a stg [ated — ang, + one,
nờn 1+/2||u|Ủ¿ > (1+#)” hay 0 > t((1—# |lulffx) t-2) Didu nay xy ra vội
moi t > 0 nộn |jully: =1 ma f (u) = ||flly-1 do d6 u = uo Khi đú, f (u) = f (uo) = Jan (2) ug (z) dz (mõu thuẫn) Do đú, ƒ (u) = fant (x) u(x) dr, Yu € VE(R")
Nhu vay, voi mdi f € (V'(R"))’ dộu c6 duy nhat mot phần tử v trong V~!(R") sao cho â f (u) = fg u(z)v(z) dr, Yue V'(R), â WFllay = Welly
(ii) Vội mội v € W~' (R") tit bat dang thite Cauchy-Schwartz
| [me vl - If (AO (F*) @ag <
<([.0+ I0) ( + KP) “0190 vee wi)
Trang 39cú dấu bằng khi và chỉ khi w(z) = eZ~ (@ + Iel) ˆ2ằ) (z), e€ C là hằng số,
nờn phiếm ham biộn u € W!(R") thanh f,., u(x) ứ(z) dz là một phiếm hàm tuyến
tớnh liờn tục từ W! (R") vào C, với chuẩn ||zlly-:
Do phộp nhỳng 6S (R*) =› W! (R*) là liờn tục nờn mỗi phần tử ƒ € (W!(R")) cú thể coi là một hàm suy rộng tăng chậm Khi đú, với mỗi w € S (R") cú
F(u) = (Su) = (fF Fu)
=(F"f,Fu),
(F-1f, Fu) = 1f (w)l < Wllewny leave = Wllewey Fully
nờn Z~!ƒ là một phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục từ khụng gian S(R") với tụpụ
sinh bởi chuẩn ||.y vào
Lại cú ||.|Jy, là trự mật trong V†(R") nờn ta cú thể thỏc triển Z~!ƒ lờn thành
một phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục trờn V'(R") hay cú thể coi #/ là một phần
tử của khụng gian đối ngẫu (V*(R"))“ Nờn theo phần trờn cú một phần tử ứ
trong V~!(IR") sao cho
â Ff (u) = fan u(a) g(x) dr, Yu € V'(R"),
* ÍƑ1/|(vy = Mall
Khi đú, nếu dat v = Fg € W~'(R") thỡ
â f (u) =(F'f Fu) = fo, Fu(x) g(x) dr = fy, u(x) v(x) dr, Vu € W'(R"), â UFllw- = [FF [vay = lll = Hlellw-+- Nếu cú một phần tử ứ e W~! (R") để ô ƒ(u) = [z u(z) (z) dr, Yue W'(R"), mà, đ I/lwơ = llellw-, thỡ với g = Z~ lơ € V~(Rh) cú â Ff (u) = Jan u(x) g(x) dr, Yu € W'(R"), â FF vay = Illy
nờn theo phần (2) cú g = g hay v’ = v nghia A mdi ƒ € (WF(R"))” đều cú duy
nhất một phần tử ứ trong W~! (R") sao cho
â f (u) = Jou u(x) (z) dr, Yu € W'(R"),
Trang 402.2 Khụng gian Sobolev \W"”*?(Q)
2.2.1 Một số kớ hiệu và khỏi niệm
Trong phần này, 2 là một tập mở trong R*, zw là số nguyờn khụng õm, p là
số thực thỏa món 1< p< œ Khi đú, ta định nghĩa cỏc phiếm hàm sau:
1p
Uap = ( > tmsg) I< p<co ° 'slalcm
IItll„„ = R ||Deul|, P = 00
Cỏc khụng gian H™? (0) ,W™? (Q) , Wy" (Q) được xỏc định như sau: H™? (Q) = bao day ciia {u € CO” (Q) : |jullm,y < 00} theo chuan | jn.ằ
Win () = {u € LP(0) : Deu € 1? (9),0 < |a| < m} với chuẩn I | Imp Wa"? (@) = bao dộng cita Cx (M) trong W"? (2) Nhận xột 2.2.1 (1) W9#(@) = 1"(9),1< p< < (ii) Khi 1< p< ,CÊ (9) trà mật trong /#(Q) nờn Wo? (Q) = Ƒ(9).1< p< œ Chỳ ý, khi p = co núi chung Wÿđ (@) # #* (9) Chẳng hạn, khi 9 = R, dễ cú ƒ(z)=1€ Lđ(R) Nhưng, lý — el,, >1 ve c Cỡ (R) (ii) Wp"? (2) C W"?(9),1< p< (iv) Wit"? (Q) CW"? (Q) C LP (2) = W92(9),0 <m < mÍ,1< p< s (v) Khi @ C R° là tập mở bị chặn, từ phộp nhỳng 7 (9) => “#(9).1< ạ< p ta cú phộp nhỳng W"*? (6) =› W”*#(9),1 < ứ<p Định lý 2.2.1 (1)
(9) là khụng gian Banach
Chứng mỡnh Lấy {u¿}j°, là một dóy Cauchy trong W”?(Q) Ta phải chứng mỡnh:
3u € W2 (Q) ,uy => u, (theo chuẩn ||.|l„„)