Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu Danh sách bảng Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Công thức khai triển Taylor 1.2 Nội suy xấp xỉ hàm số 1.2.1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát 1.2.2 Bài toán nội suy hàm số 1.2.3 Lý thuyết đa thức nội suy 1.2.4 Đa thức nội suy Lagrange 1.2.5 Chọn mốc nội suy tối ưu 1.2.6 Sai phân tính chất 1.2.7 Một số quy tắc nội suy hàm số 1.2.8 Nội suy hàm số lưới khơng 1.2.9 Bài tốn nội suy ngược 1.2.10 Lý thuyết hàm ghép trơn Spline lưới 5 6 11 13 14 20 24 25 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ xác bậc cao 29 2.1 Trường hợp lưới sử dụng đa thức nội suy 29 2.1.1 Mô tả phương pháp tổng quát 29 2.1.2 Một số kết trường hợp lưới điểm 31 2.2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm trường hợp lưới không dựa thuật toán đại số 36 Một số ứng dụng xây dựng thuật tốn số giải phương trình vi phân cấp cao 42 3.1 Hệ truy đuổi đường chéo 42 3.2 Thuật tốn số giải tốn biên tuyến tính cấp 44 3.2.1 Thuật tốn thơng thường 44 3.2.2 Thuật tốn sai phân với độ xác bậc cao 45 3.3 Thuật toán số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao 49 3.3.1 Phương trình phi tuyến cấp 49 3.3.2 Phương trình phi tuyến cấp 52 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Phần phụ lục 59 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tơi TS Vũ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ tơi hồn thành luận văn cao học Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Tốn Tin, ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành ln văn Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ - người ln động viên, chia khó khăn suốt thời gian qua đặc biệt thời gian tơi theo học khóa thạc sỹ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 27 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Lương Thị Thanh Giang Bảng ký hiệu R Rn f (n) ∆n f (x) trường số thực không gian Euclide n-chiều đạo hàm cấp n hàm số f(x) sai phân cấp n hàm số f(x) Danh sách bảng 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Một số kết kiểm tra sai số thuật toán Một số kết so sánh với nghiệm Một số kết so sánh với nghiệm Một số kết so sánh với nghiệm Hàm nghiệm Hàm nghiệm Hàm nghiệm 48 51 51 52 55 55 56 Mở đầu Khi nghiên cứu tốn thực tế mơi trường liên tục đại đa số bài, qua mơ hình hóa tốn học đưa đến dạng tốn biên phương trình vi phân hàm biến số phương trình đạo hàm riêng hàm nhiều biến số Đối với toán này, việc nghiên cứu tồn nghiệm toán học lý thuyết giải mơ hình chi tiết Đối với tốn học ứng dụng, người ta thường quan tâm đến vấn đề xác định nghiệm dạng toán cụ thể mơ hình Có thể thấy việc xác định nghiệm xác tốn biên thơng qua phương pháp giải tích thực số toán dạng đơn giản (vế phải, điều kiện biên, ) cịn đại đa số tốn phức tạp tìm nghiệm xấp xỉ Tư tưởng phương pháp xấp xỉ chuyển miền xác định biến số độc lập phương trình khơng gian vơ hạn chiều miền không gian hữu hạn chiều cấu trúc số hữu hạn điểm, từ tìm cách xấp xỉ hàm số đạo hàm tương ứng với toán để chuyển phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng hệ điều kiện biên tương ứng hệ phương trình đại số tuyến tính Từ xây dựng thuật toán giải hệ đại số để thu nghiệm xấp xỉ toán Một phương pháp truyền thống phương pháp lưới Đối với phương pháp lưới, người ta thường quan tâm đến vấn đề quan trọng: Độ xác phương pháp sai số mắc phải trình xấp xỉ hàm đạo hàm Độ phức tạp thuật toán giải hệ đại số tuyến tính 4 Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu sở số phương pháp xấp xỉ hàm đạo hàm với độ xác bậc cao dựa khai triển Taylor đa thức nội suy, từ áp dụng vào việc xây dựng thuật toán giải số số toán biên cho phương trình vi phân với độ xác bậc cao kiểm tra thuật tốn máy tính điện tử Nội dung luận văn chia làm chương Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ xác bậc cao Chương 3: Một số ứng dụng 5 Chương Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày số kết lý thuyết công thức khai triển Taylor, lý thuyết đa thức nội suy, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton lý thuyết hàm ghép trơn Spline Những kết kiến thức bổ trợ cho việc trình bày kết chương chương Nội dung chương tham khảo tài liệu [1],[2],[3] 1.1 Công thức khai triển Taylor 1.1.1 Công thức khai triển Taylor hàm biến số Định lý 1.1.1 Cho n số nguyên dương f hàm khả vi liên tục đến cấp n khoảng đóng [a, x] khả vi cấp (n+1) khoảng mở (a, x) f (a) f 00 (a) f (n) (a) f (x) = f (a)+ (x−a)+ (x − a) + + (x − a)n +Rn (x) 1! 2! n! với Rn (x) phần dư bậc n Dạng Lagrange phần dư công thức là: f (n+1) (ξ) Rn (x) = (x − a)n+1 (n + 1)! với ξ số nằm a x 6 Ngồi cịn có dạng tích phân phần dư: Zx Rn (x) = f (n+1) (t) (x − t)n dt (n + 1)! a với f (n) hàm liên tục tuyệt đối [a, x] 1.1.2 Công thức khai triển Taylor hàm nhiều biến số Định lý 1.1.2 Giả sử Ω tập hợp mở không gian Rp f : Ω → R hàm số thuộc lớp C n Ω , a ∈ Ω, b = a + h ∈ Ω, h = (h1 , h2 , , hp ) ∈ Rp [a, b] ∈ Ω Khi tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (a + h) = f (a) + + 1.2 1.2.1 1 df (a)(h) + d2 f (a)(h)2 + 1! 2! 1 dn−1 f (a)(h)n−1 + dn f (c)(h)n (n − 1)! n! Nội suy xấp xỉ hàm số Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát Cho hàm số f ∈ [a, b] Gọi Pn tập hợp đa thức có bậc khơng q n [a, b] Ta phải tìm đa thức P ∈ Pn có ”độ lệch” nhỏ so với f [a, b] , tức là: max |f (x) − P (x)| = max |f (x) − Q(x)| x∈[a,b] Q∈Pn x∈[a,b] Có thể kể đến số phương pháp xấp xỉ hàm số sau: Phương pháp nội suy, phương pháp xấp xỉ đều, phương pháp xấp xỉ trung bình phương 1.2.2 Bài toán nội suy hàm số Một toán giải tích số nội suy hàm số Bài toán thường gặp trường hợp sau : i) Cần phục hồi hàm số f (x) điểm x thuộc khoảng [a, b] biết giá trị số điểm x0 , x1 , , xn ∈ [a, b] Những giá trị thường giá trị quan sát, đo đạc ii) Khi hàm f (x) cho công thức phức tạp chẳng hạn f (x) = Rx2 (x+t) /2 et +sin(xt) dt cần tính f (x) ∀x ∈ [a, b] Khi người ta tính gần cos(x) f (x) số điểm xây dựng công thức nội suy để tính giá trị khác iii) Ngồi ra, nội suy hàm số sử dụng để xây dựng cơng thức tính đạo hàm, tính tích phân số tìm gần nghiệm phương trình Bài tốn nội suy hàm biến số phát biểu sau: Trên đoạn [a, b] cho tập điểm nút a ≤ x0 , x1 , , xn ≤ b điểm cho giá trị hàm f (x) Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính trùng với hàm f (x) điểm nút tức g(xi ) = f (xi ) (i = 0, n) Một số dạng hàm thường dùng để nội suy hàm số là: - Đa thức đại số - Hàm hữu tỉ tức phân thức đại số - Đa thức lượng giác - Hàm ghép trơn (spline) tức hàm đa thức mẩu Trong phạm vi chương tập trung vào nội suy đa thức đại số - công cụ nội suy kinh điển phần vào nội suy hàm ghép trơn - công cụ nội suy đại Các dạng nội suy khác giới thiệu qua 1.2.3 Lý thuyết đa thức nội suy Trong thực tế, nhiều ta phải tìm hàm y = f (x), biết giá trị yi
điểm xi ∈ [a, b] i = 0, n Cũng có trường hợp biểu thức giải tích f (x) cho cồng kềnh Khi dùng phép nội suy ta đễ dàng tính f x ∈ [a, b] mà độ xác khơng Mục tiêu phép nội suy nhiều, chủ yếu tìm thuật tốn đơn giản tính giá trị f (x) cho x không nằm bảng

xi , yi i = 0, n Một số liệu xi , yi i = 0, n chương trình ngắn gọn thay bảng dài giá trị xi , f (xi ) Ngoài ra, sử dụng kết phép nội suy tìm đạo hàm f (x) tích phân f (x) đoạn [a, b] 8 Đa thức đại số thường dùng phép nội suy lý đơn giản sau: phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm tích phân dễ dàng thực đa thức Hơn nữa, P(x) đa thức, c số P(cx) P(x+c) đa thức Bài toán nội suy đặt sau: Cho mốc nội suy a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ b m P Hãy tìm đa thức bậc m, Pm (x) = xi cho i=0 Pm (xi ) = yi = f (xi )(i =0, n) Ý nghĩa hình học tốn nội suy là: Hãy xây dựng đường cong đại số y = Pm (x) qua điểm cho trước (xi , yi )(i =0, n) Như ta cần xác định (m+1) hệ số (i =0, m) từ hệ phương trình tuyến tính sau: m X aj xji = yi (i =0, n) (1.2.1) j=0 Dễ thấy mn) hệ nói chung vơ nghiệm (vơ định) Khi m=n, hệ (1.2.1) có định thức Vandermond x0 x2 xn 0 x x2 xn Y 1 ∆= (xi − xj ) 6= = 0≤i > x0 Đặt ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số:... nghiệm xấp xỉ toán Một phương pháp truyền thống phương pháp lưới Đối với phương pháp lưới, người ta thường quan tâm đến vấn đề quan trọng: Độ xác phương pháp sai số mắc phải trình xấp xỉ hàm đạo hàm. .. đến số phương pháp xấp xỉ hàm số sau: Phương pháp nội suy, phương pháp xấp xỉ đều, phương pháp xấp xỉ trung bình phương 1.2.2 Bài tốn nội suy hàm số Một tốn giải tích số nội suy hàm số Bài toán