Chuyên đề NGUYÊN HÀM TRỌN BỘ

Gv: Lương Văn Huy (thầy Huy đen) Chuyên đề NGUYÊN HÀM TÀI LIỆU NỘI BỘ - 2021 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN MỤC LỤC Định nghĩa 01 Định lý 01 Ví dụ minh họa 01 Bảng nguyên hàm 02 Tính chất nguyên hàm 03 Ví dụ minh họa 03 Dạng tốn 1: Sử dụng định nghĩa tìm ngun hàm 05 Ví dụ minh họa 05 Bài tập tự luyện 07 Dạng toán 2: Sử dụng bảng nguyên hàm 09 Ví dụ minh họa 09 Các trường hợp đặc biệt bảng nguyên hàm mở rộng 10 Bài tập tự luyện 13 Dạng toán 3: Đưa dấu vi phân 14 Ví dụ minh họa 14 Bài tập tự luyện 16 Dạng Toán 4: Phương pháp phân tích 17 Ví dụ minh họa 18 Bài tập tự luyện 25 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 28 I – LÝ THUYẾT 28 II – VÍ DỤ MINH HỌA 28 III – CÁC DẠNG TOÁN 31 A – ĐỔI BIẾN THUÂN 31 Dạng 1: I   f cos  ax  b   sin  ax  b  dx Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I   f sin  ax  b   cos  ax  b  dx sin x  Dạng 3: Tìm nguyên hàm: I     sin xdx 36 cos x  Dạng 4: Tìm nguyên hàm: I   f  tan  ax  b   dx cos  ax  b  Dạng 5: Tìm nguyên hàm: I   f cot  ax  b   dx sin  ax  b  Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Dạng 6: Tìm ngun hàm: I   f  sin x  cos x  sin x  cos x  dx Dạng 7: Tìm nguyên hàm: I   f  e ax b  eax b dx đặt u  e ax  b  du  ae ax b dx Dạng 8: Tìm nguyên hàm: I   f ln  ax  b   dx ax  b Dạng 9: Tìm nguyên hàm: I   f  ln  ln x   dx x ln x Dạng 10: Tìm nguyên hàm: I   f  x n 1 x n dx Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I   f  x x dx Dạng 12: Tìm nguyên hàm: I   f  ax  b dx    Dạng 13: Tìm nguyên hàm: I   f  x   1   dx x  x   B – ĐỔI BIẾN NGHỊCH  Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I   f  x,   a dx Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I   f x, x  a dx x2 NGUYÊN HÀM CỦA VÀI LỚP HÀM ĐẶC BIỆT NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ Dạng 1: Mẫu gồm nghiệm đơn Dạng 2: Mẫu gồm nghiệm đơn nghiệm bội Dạng 3: Sử dụng biến đổi Loại 1: I   dx ax  b Loại 2: I   Loại 3: I   ( a  0) ax  b dx cx  d dx ( a  0, ax  bx  c  0) ax  bx  c Loại 4: I   ax  bx  c ax  bx  c dx I   dx ex  f mx  nx  p Loại 5: I   ( mx  n) dx ax  bx  c Loại 6: I   P( x)dx ( x   )(ax  bx  c) ( a  0; m  0) Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Loại 7: Tổng quát: I   p( x ) dx q( x ) Ví dụ minh họa Bài tập rèn luyện có đáp án NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ Dạng 1:  R  x, dx Dạng 2: I   Dạng 3: ax  bx  c   x     Dạng 4:  ax  bx  c dx   R  x,  n dx  ax  bx  c ax  b cx  d  t  x dt  t  t    dx  Phép ơle dx ax  b  cx  d Dạng 5: I   Dạng 6: I   dx (mx  n ) ax  bx  c Dạng 7: Giả sử tính tích phân   f  x  dx  Loại 1: f ( x)  f x, a x , b x , c x  ax  b n ax  b  Loại 2: f  x   f  x, m ,   cx  d cx  d   Dạng 8:   R   ax  b  n m p ; q  ax  b   dx  NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: I   dx sin  x  a  sin  x  b  Dạng 2: I   dx sin x  sin   I  tan x.tan  x   dx   Dạng 3:  I   tg ( x   ) cot g ( x   ) dx   I  cot g ( x   ) cot g ( x   )dx   Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Dạng 4: I   Dạng 5: I   dx a sin x  b cos x a1 sin x  b1 cos x  a2 sin x  b2 cos x  dx Dạng 6: I   a sin x  b cos x dx c sin x  d cos x Dạng 7: I   dx a sin x  b cos x  c Dạng 8: I   a1 sin x  b1 cos x  c1 dx a2 sin x  b2 cos x  c2 Dạng 9: I   a sin x  b1 sin x cos x  c1 cos x dx a2 sin x  b2 cos x Dạng 10: I   Dạng 11: I   Dạng 12: I   dx a sin x  b sin x cos x  c cos x sin x.cos x a sin x  b cos x   dx dx a sin x  b cos x Dạng 13: I   sin m x.cos n xdx Dạng 14: I   sin mx.cos nxdx Dạng 15: Bài tập tự luyện có đáp án PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ, NGUYÊN HÀM LIÊN KẾT Ví dụ minh họa Bài tập tự luyện PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN, SƠ ĐỒ CHÉO A - KIẾN THỨC CẦN NHỚ B - KỸ NĂNG GIẢI TOÁN sin ax    Dạng 1: I   Pn ( x)  cosax dx  eax     Dạng 2: I   P( x) ln(ax)dx  Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN sin bx  Dạng 3: I   eax  dx cos bx  C - KỸ THUẬT SƠ ĐỒ CHÉO Bài tập rèn luyện có đáp số D - KỸ THUẬT THÊM BỚT HẰNG SỐ C Ví dụ minh họa BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ ĐÁP ÁN NGUYÊN HÀM – HÀM ẨN A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT B - CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Ví dụ minh họa Bài tập rèn luyện có đáp án BÀI TẬP TỔNG ÔN ĐÁP ÁN ĐÁP ÁN CHI TIẾT Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 Chương NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TỐN 12 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN NGUN HÀM Định nghĩa  Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  F   x   f  x    Một hàm số có nhiều nguyên hàm khác nhau, nguyên hàm sai khác số C Tập hợp tất NH hàm số f  x  gọi họ NH hàm số f  x  kí hiệu   f  x  dx  F  x   C , C : số  : Được gọi dấu tích phân  f  x  : Hàm số dấu tích phân   dx : vi phân biến x f  x  dx : Biểu thức dấu tích phân  F  x   C : Họ nguyên hàm hàm số f  x  Định lí: 1) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K 2) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số Do F  x   C , C   họ tất nguyên hàm f  x  K Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Ta có  sin x   cos x , nên ta nói y  sin x nguyên hàm hàm số f  x   cos x ta viết  cos xdx  sin x  C Số tiền ví bạn tương lai tỉ lệ với số mồ hôi hôm bạn rơi trang giấy! LỚP TOÁN THẦY LƯƠNG VĂN HUY – THANH TRÌ – HN - 0909127555 Định nghĩa TỐN 12 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Ví dụ 2: Ta có  2xdx  x  x   x nên C Ví dụ 3: Ta có  tan x   viết  cos ta nói y  x nguyên hàm hàm số f  x   x ta viết x 1 nên ta nói y  tan x nguyên hàm hàm số f  x   ta cos x cos x dx  tan x  C Ví dụ 3: Hàm số F  x   x nguyên hàm f  x   khoảng  0;    ta có: x  F  x  x   f  x  với x   0;    x   Ví dụ 4: Hàm số f  x   e x có nguyên hàm F  x   e x ta có: F   x   e x  f  x   NĂM HỌC 2021 – 2022  Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp  dx  x  C  du  u  C  1 x   dx  dx x  x C  1 u x  C x  e dx  e x C a x  n xdx  nx  du  u C  1 du  ln u  C u du u u  C u u C a u  e du  e u n x n 1  1 dx  ln x  C x x Trường hợp thường gặp C  1    ax  b  dx  1  ax  b  a  1 C  (ax  b) dx  a ln ax  b  C e ( ax  b ) dx  mx  n  a dx  ( ax b ) e C a a mx  n C m ln a  a dx  ln a  C  a du  ln a  C  cos x.dx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin x.dx   cos x  C  sin udu   cos u  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos2 x dx   (1  tan x).dx  tan x  C du  cos u  tgu  C  cos  ax  b   a tan  ax  b   C  sin x dx    cot x dx   cot x  C x x  e dx  e  C dx du   cot  ax  b   C    cot gu  C sin  ax  b  a  sin u TQ:  f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a   1 dx 2 LỚP TOÁN THẦY LƯƠNG VĂN HUY – THANH TRÌ – HN - 0909127555 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TỐN 12  0dx  C Ví dụ minh họa Ví dụ 1.2.1 Tìm họ ngun hàm f  x   x x6  Áp dụng công thức cho từ bẳng nguyên hàm, ta có:  x dx  C  1 x 23 xdx   x dx   x  C  x x  C 1 Ví dụ 1.2.3 Tính ngun hàm: I   LỚP TỐN THẦY LƯƠNG VĂN HUY – THANH TRÌ – HN - 0909127555 Ví dụ 1.2.2 Tìm nguyên hàm: dx x 0,51 x0,5 0,5  x dx  C  C  x C 0,5  0,5 x  Ghi nhớ: Ngun hàm cịn gọi tích phân bất định (tích phân khơng xác định) Ví dụ 1.2.4 Tính tích phân bất định: I   sin xdx   cos x  C Tính chất nguyên hàm Tính chất 1:   f  x  dx   f  x   f '  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx Ví dụ minh họa   Ví dụ 1.3.1 Tính tích phân bất định: I   x  x  dx Lời giải  I    x3  3x   dx   x 3dx    3 x  dx   5dx x 3x  2 x dx  3 xdx  5 dx    5x  C x 3x  Hay I    5x  C 2 Chúng ta tính nguyên hàm tổng mà không cần phải tách nhỏ cách tỉ mỉ thành nguyên hàm trên:  I    x  x   dx  x4 x2 x 3x   x  C    5x  C 4 Số tiền ví bạn tương lai tỉ lệ với số mồ hơm bạn rơi trang giấy! TỐN 12 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Ví dụ 1.3.2 Tính nguyên hàm: I    x  1 dx  ? x x Lời giải    Ta phải đưa dạng nguyên hàm tổng: I   x  1 x x x  2x  dx   x 2  dx    x  x   1  1  1  x x x  x  dx    C 1  1  1  1 2  1 32 2 x  4.x  x  C  x x  x  C 3 x Rút gọn ta được: I  Chú ý: F  x  , G  x  nguyên hàm f  x  , g  x   f  x  g  x  dx  F  x  G  x   C  NĂM HỌC 2021 – 2022  khơng Ví dụ:  x.cos xdx  - “Khơng phép tính: Ví dụ 1.3.4 Cho hàm số: F  x    e x  2 ex sin x  cos x x2 sin x  C  dx  C 2x x2 dx Hãy xác định hàm số F  x  tính giá trị F  ln  biết giá trị hàm số là: F    2018 Lời giải  Ta có: F  x    e x  2 ex dx   e2 x  4e x  dx    e x   4.e  x  dx  e x  x  4e  x  C x e  Từ điều kiện: F    2018  e  4.0  4.e  C  2018  C  2021 Suy hàm số: F  x   e x  x  e  x  2021 Suy ra: F  ln   e ln  4.ln  e ln  2021  ln  2021 Ví dụ 1.3.5 Cho hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x   hàm số x  Biết giá trị cos x.sin x    là: F    Hãy xác định biểu thức cụ thể hàm số F  x  ? 4 Lời giải Ta có:   sin x  cos x dx   cos2 x.sin x dx cos x.sin x   cos x    dx  tan x  cot x  C sin x      Do F     tan  cot  C   C  4 4 LỚP TỐN THẦY LƯƠNG VĂN HUY – THANH TRÌ – HN - 0909127555 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 12: Cho hàm số  π f  x liên tục, không âm đoạn  0;  , thỏa mãn f 0     π f  x f   x  cos x  f  x , x   0;  Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M   π π  hàm số f  x đoạn  ;    A m  21 , M 2 2 B m  , M  C m  , M  D m  , M  2 Lời giải Chọn A Từ giả thiết f  x f   x  cos x  f  x  f  x f  x 1 f  x  cos x   f  x  f   x   f  x dx  sin x  C Đặt t   f  x  t   f  x  tdt  f  x f   x dx Thay vào ta  dt  sin x  C  t  sin x  C   f  x  sin x  C Do f 0   C  Vậy  f  x  sin x   f  x   sin x  4sin x   π  f  x  sin x  4sin x  , hàm số f  x liên tục, không âm đoạn  0;    π π  x    sin x  , xét hàm số g t   t  4t  có hồnh độ đỉnh 2 t  2 loại   21 Suy max g t   g 1  , g t   g    1  1     ;1  ;1 Ta có     π  π  21 Suy max f  x   f    2 , f  x  g      π π      π π  ;   ;      6 2 Câu 13: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f  x  , x   Biết f 0  f ' x    x Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f  x f  x  m có hai nghiệm thực phân biệt A m  e B  m  C  m  e D  m  e Lời giải Chọn C 167/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 16 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Ta có f   x f   x   2x   dx     x  dx f x f  x  ln f  x  x  x  C  f  x  A.e2 xx Mà f 0  suy f  x  e2 xx 2 Ta có x  x  1  x  x  1  1 x 1  Suy  e xx  e ứng với 2 giá trị thực t  phương trình 2x  x  t có hai nghiệm phân biệt Vậy để phương trình f  x  m có nghiệm phân biệt  m  e1  e Câu 14: Cho hàm số f  x liên tục  f  x  với x   f   x   2 x  1 f  x f 1  0,5 Biết tổng f 1  f 2  f 3   f 2017  a a ;  a  , b   với b b tối giản Mệnh đề đúng? B a  2017; 2017  C A a  b  1 a  1 b D b  a  4035 Lời giải Chọn D Ta có f   x   2 x  1 f  x   f   x f   x   x  1   dx   2 x  1 dx f  x f  x  x2  x  C f  x Mà f 1   1 1 nên C   f  x      x  x x 1 x Mặt khác   1   1  1  f 1  f 2  f 3   f 2017   1                     2018 2017   f 1  f 2  f 3   f  2017   1  2017   a  2017 ; b  2018 2018 2018 Khi b  a  4035 Câu 15: Cho hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện f '  x   2 x  3 f  x f 0  tổng f 1  f 2   f  2017   f 2018  1 Biết a a với a  , b  * phân số tối b b giản Mệnh đề sau đúng? A a  1 b B a 1 b C a  b  1010 D b  a  3029 Lời giải Chọn D f ' x f ' x  Biến đổi f  x  2 x  3 f  x    2x    dx   2 x  3 dx f  x f  x '  168/37 1 1  x  3x  C  f  x   Mà f 0  nên  f x x  3x  C Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 16 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Do f  x   1  x  3x   x 1 x  2 Khi a  f 1  f  2   f 2017  f  2018 b   1         2.3 3.4 2018.2019 2019.2020  1 1 1 1   1009                3  2020  2018 2019 2020  2020 a  1009 Với điều kiện a, b thỏa mãn toán, suy ra:   b  a  3029 b  2020  f   x f  x   f   x   xf  x     Câu 16: Cho hàm số y  f  x , x  , thỏa mãn  Tính  f  0  0; f 0   f 1 A B C D Lời giải Chọn C Ta có: f   x f  x   f   x   xf  x   f   x f  x   f   x f  x  x 2  f   x       x  f  x    x  C  f  0    C  C     f  x f 0  f  x  f   x x2 Do  f  x Cách 1: f  x x2 x3 f 01       C1   C1  f  x f  x Vậy f  x    f 1  x3 1 Cách 2: 1 1  x  f   x f  x x2 x2      d x   d x     f  x    f  x f x   0 0  1     f 1  f 1 f 0 Câu 17: Giả sử hàm số f ( x ) liên tục, dương  ; thỏa mãn f 0   f   x x Khi  f  x  x 1  hiệu T  f 2  f 1 thuộc khoảng 169/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 16 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN A  2;3 B 7;9 C 0;1 D 9;12 Lời giải Chọn C Ta có  f   x x dx   dx  f  x x 1  d  f  x f  x  d  x 1  x 1 Vậy ln  f  x  ln  x 1  C , mà f 0   C  Do f  x  x      Nên f 2  3; f 1  2  f 2  f 1   2  0;1 Câu 18: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  thỏa mãn f 1  , f  x  f   x  3x 1 , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f 5  B  f 5  C  f 5  Lời giải Chọn C Cách 1: Với điều kiện tốn ta có f   x f   x f  x  f   x  3x 1    dx   f  x f  x 3x 1  d  f  x f  x D  f 5  dx 3x 1  1  d 3 x  1  ln f  x   x  3x 1  C  f  x   e    3 Khi f 1   e C 1 C    f  x  e 3 x1 x1C 4  f 5  e  3, 79  3;4 Vậy  f 5   Chú ý: Các bạn tính dx cách đặt t  3x 1 3x 1 Cách 2: Với điều kiện toán ta có f  x f  x   dx   f x f  x 3x 1 1 f  x  f  x 3x 1   d  f  x f  x  Câu 19: Cho hàm số dx 3x 1 f 5 4  ln f  x   ln   f 5  f 1.e  3, 79  3;4 3 f 1 f  x thỏa mãn  f   x   f  x  f   x  15 x  12 x ,   x   f 0  f  0  Giá trị f 1 A B C 10 D Lời giải 170/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Chọn D Ta có:  f   x  f  x  f   x  15 x  12 x , x     f   x f  x   15 x 12 x , x    f   x  f  x  x5  x  C1 Do f 0  f  0  nên ta có C1  Do đó: f   x  f  x   x5  x  1    f  x  x5  x   f  x   x  x3  x  C2   Mà f 0  nên ta có C2  Do f  x  x6  x3  x  Vậy f 1  Câu 20: Cho hàm số f  x liên tục  thỏa mãn  f   dx   x 1 x 1 C x 1  x 5 Nguyên hàm hàm số f  x tập   là: A x 3 C  x  4 B x3 C x2  C 2x  C  x  1 D 2x  C  x  1  x 1  Lời giải Chọn D Theo đề ta có:  f   dx  2 x 1 x 1  x5 t  3   f  x 1 d  x 1     C x 1  t 3  C t 4 t2   x  1  x   f 2 x dx   f 2 x  d  x     C C 1  2  2 x 2   x  Hay  f t  dt  Suy C  x 1   C   f t  dt  Câu 21: Cho hàm số f  x xác định  \ 0 , thỏa mãn f   x   , f 1  a x  x5 f 2  b Tính f 1  f  2 A f 1  f 2  a  b B f 1  f 2  a  b C f 1  f 2  a  b D f 1  f 2  b  a Lời giải Chọn C Ta có f  x  f  x   171/37 x  x    f   x nên f   x hàm lẻ x  x5  t 1 x dt 1 x t dx       ln    C  t  t t  1  t x  x  1 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN   x 1     C   ln  x   x  Thay số ta có f 1  f 2  a  b Cách khác: 1 Từ f   x hàm lẻ suy f   x dx    f   x dx   f   x dx  2 2 Suy f 1 f 2   f 2  f 1  f 1  f 2  f 2  f 1  a  b Câu 22: Cho hàm số f  x xác định  \ 0 thỏa mãn f   x  , f 1  a , x  x4 f 2  b Giá trị biểu thức f 1 f  2 A b  a B a  b C a  b D a  b Lời giải Chọn A Ta có f   x  1 Do  2 x    x   f   x nên f   x hàm chẵn x2  x4 f   x dx   f   x dx Suy f 1 f  2  f 1  f 2  f 2  f 1  f 1 f  2 1   f   x dx  b  a   f   x dx  b  a 2 Câu 23: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện f  x  , x   ; f   x  e x f  x  , x   f 0  Tính giá trị f ln 2 2 A f ln 2  B f ln 2   C f ln 2  D f ln 2  Lời giải Chọn D f   x   e x f  x   f  x  e x f  x Cách 1: f 0 f  x 1 x x x   e     e dx    e  C    C  f  x f  x  f x Vậy f  x  1   f ln 2  e 1 x Cách 2: ln ln f  x df  x ln f  x x x  d x   e d x   e x   e 2    f  x f  x f  x 0 172/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ln 1 1   1   1    f ln 2  f  x f ln 2 f 0 f ln 2 Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị C  , xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện f  x  x   , f   x   x f  x , x   f 0  Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x  đồ thị C  A y  x  30 B y  6 x  30 C y  36 x  30 D y  36 x  42 Lời giải Chọn C f   x    x f  x   f   x  x2 f  x Cách 1: f  x x3 f 02  x      C   C  f  x f x   f  1  36 2 x  Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập y  36 x  30   f  x  Cách 2: 1 1 f   x df  x x3 f   x 1 2  x  d x  x d x     2    f  x f  x f  x f  x 0  1 1      f 1  f 1 f 0 f 1 f  1  1 f 1  36 Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập y  36 x  30 Câu 25: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục đoạn 1;1 , thỏa mãn f  x  0, x   f '  x  f  x  Biết f 1  , tính f 1 A f 1  e2 B f 1  e3 C f 1  e D f 1  Lời giải Chọn C Biến đổi: f ' x   f  x    ln 173/37 f ' x  f  x  2   1 f '  x df  x dx   2dx    4  ln f  x  11 4 f x f x   1 1 1 f 1 f 1  4   e4  f 1  f 1.e4  e4 f 1 f 1 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 26: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f  0  f   x    f   x  x  Tính T  f 1  f 0 A T   9ln C T   ln B T  D T   ln Lời giải Chọn C Ta có f   x    f   x  x    f   x 1    f   x  x   Lấy nguyên hàm hai vế  Do f  0  nên C  f   x 1 f   x 1  f '  x  x    dx    f   x  x    1 x dx   C f   x  x 9 suy f   x   x   f  x  x x 1 x 1    x2  Vậy T  f 1  f 0     x dx  9 ln x     9ln   x      Câu 27: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x f  x   x  x Biết f 0  Tính f  2 A f 2  313 15 B f 2  332 15 C f  2  324 15 D f  2  323 15 Lời giải Chọn B Ta có 2 0 f '  x  f  x  x  x   f '  x  f  x  dx    x  x  dx   f  x df  x   f  2  Câu 28: Cho  f  x 136 136   15 15 136 332  f  2  15 15 f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến 1;  thỏa mãn x  xf  x   f   x , x  1; , f 1  Giá trị f 4 bằng: 2 A 391 18 B 361 18 C 381 18 D 371 18 Lời giải Chọn A Biến đổi: x  xf  x   f   x  x 1  f  x   f   x  f   x  f   x   x    x  f  x  f  x 174/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN f   x   f  x dx     f 4     f  x  xdx 1 14 14 391  f 4  18 Chọn A f   x Chú ý: Nếu khơng nhìn ln I 1  f  x dx   f  x   f 4  ta sử dụng kỹ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) f ' x  + Vi  phân: 1  f  x df  x dx   1  f  x   1  f x   d 1  f  x   1 f  x   + Đổi biến: Đặt t   f  x   t   f  x  tdt  f   x dx với x   t   f 1  2; x   t   f 4 12 f 4 Khi I   tdt  t 12 f 4  dt  t 12 f 4   f 4  Câu 29: Cho hàm số y  f  x  có f   x liên tục nửa khoảng 0; thỏa mãn f  x  f   x   3.e2 x Khi đó: 1  e2  A e3 f 1  f 0  C e f 1  f 0  e2  3 B e3 f 1  f 0  e2   1  e2  D e3 f 1 f 0  e  3 e   Lời giải Chọn C Ta có: f  x   f   x    3.e2 x  e2 x   3e3 x f  x  e3 x f   x  e2 x e x  x e   e3 x f  x   e x e x  Lấy tích phân từ đến hai vế ta   e3 x f  x  dx  e x e2 x  dx    1   e3 x f  x   e 3 2x 31   e f 1  f 0  e  3 e2   Câu 30: Cho hàm số f liên tục, f  x  1 , f 0  thỏa f   x x   x f  x  Tính f 175/37  3 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN A B C D Lời giải Chọn B f   x Ta có f   x x   x f  x   f   x  f  x 1  f dx    3 1  2x x 1 f  x 1 f  x  1 dx   2x x 1 f 0 1   f  x 1  f  x  1 0   1   f  3  Câu 31: Cho hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện f   x   2 x  3 f  x f 0   Biết a a tổng f 1  f 2  f 3   f  2017   f 2018  với  a  , b  *  b b phân số tối giản Mệnh đề sau đúng? A a  1 b B a 1 b C a  b  1010 D b  a  3029 Lời giải Chọn D Ta có f   x   x  3 f  x   f   x  2x  f x f   x dx   2 x  3 dx    x  3x  C f  x f  x Vì f 0    C  1 Vậy f  x      x 1 x  2 x  x 1 Do f 1  f 2  f 3   f 2017  f 2018  1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 Câu 32: Biết có hai số a b để F  x  ax  b  4a  b  0 nguyên hàm hàm số f  x x4 thỏa mãn: f  x   F  x 1 f   x Khẳng định đầy đủ nhất? A a  , b  B a  , b  1 C a  , b   \ 4 D a   , b   Lời giải Chọn C 176/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Ta có F  x  f   x  2b  8a  x  4 ax  b 4a  b nguyên hàm f  x nên f  x  F   x   x4  x  4  4a  b  Do đó: f  x    F  x  1 f   x   x  4  ax  b  2b  8a   1  x    x  43  a  b  ax  b  x  4   x  41 a    a  (do x   ) Với a  mà 4a  b  nên b  Vậy a  , b   \ 4 Chú ý: Ta làm trắc nghiệm sau: + Vì 4a  b  nên loại phương án A: a  , b  phương án D: a   , b + Để kiểm tra hai phương án lại, ta lấy b  , a  Khi đó, ta có x F x  , f  x  , f   x   x4  x  4  x  4 Thay vào f  x    F  x  1 f   x thấy nên Chọn C Câu 33: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1; 2 thỏa mãn f 1  f  x  xf   x  x3  x Tính f 2 A B 20 C 10 D 15 Lời giải Chọn B Do x  1; 2 nên f  x  xf   x  x  x   f  x x  f  x xf   x  f  x    x    x   x  x2  x  3x  C Do f 1  nên C   f  x  x3  x Vậy f  2  20 Câu 34: Cho f  x   π π x  ;  F  x  nguyên hàm xf   x thỏa mãn  2  cos x  π π F 0  Biết a   ;  thỏa mãn tan a  Tính F a  10a  3a  2  A  ln10 B  ln10 C ln10 D ln10 Lời giải Chọn C 177/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Ta có: F  x   xf   x dx   xd f  x   xf  x   f  x dx Ta lại có:  f  x  dx   x dx =  xd  tan x  x tan x   tan xdx cos x sin x dx cos x  x tan x   d cos x  x tan x  ln cos x  C cos x  F  x   xf  x  x tan x  ln cos x  C  x tan x   Lại có: F 0   C  , đó: F  x  xf  x  x tan x  ln cos x  F a   af  a   a tan a  ln cos a a  a 1 tan a  10a cos a 1  cos a    tan a  10  cos a  cos a 10 10 Khi f  a   Vậy F a  10 a  3a  10a  3a  ln 1 10 a  3a  ln10 10 Câu 35: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  x  , x   , f   x   e x f  x  x   f 0  Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0  ln A x  y  ln   B x  y  2ln   C x  y  ln   D x  y  2ln   Lời giải Chọn A Ta có f  x f   x  e f  x     ex   f  x ln x  ln ln  f   x    ln   dx  e x dx     e x    f  x   f  x   0   1    f ln 2  f ln 2 f 0 1 Từ ta có f  ln 2  eln f ln 2  2.      2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y    x  ln 2   x  y  ln   Câu 36: Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x) f '( x)  x f ( x)  f (0)  Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y  f ( x) 1;3 A 22 B 11  C 20  D 11  Lời giải 178/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Chọn D Biến đổi: f ( x) f '( x)  x f ( x) 1   f ( x) f '( x) f ( x) 1  2x   f ( x) f '( x) f ( x) 1 dx   xdx f ( x)   x  C Với f (0)   C   f ( x) 1  x   f ( x)  x  x  g ( x) Ta có: g '( x)  x3  x  0, x  1;3 Suy g ( x) đồng biến 1;3 Suy ra: f ( x )0 g (1)  g ( x)  f ( x)  g 3   f ( x)  99    f ( x)  11 min f ( x)   1;3  Max f ( x)  11  Chú ý: Nếu khơng tìm ln  f ( x) f '( x) f ( x) 1 dx  f ( x)   C ta sử dụng kĩ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) +) Vi phân:  f ( x) f '( x) f ( x) 1 dx  d  f ( x)    f ( x) 1 d  f ( x) 1  2 f ( x) 1 + Đổi biến: Đặt t   Suy ra: f ( x) 1  C f ( x)   t  f ( x)   tdt  f ( x) f '( x)dx f ( x) f '( x) f ( x) 1 Câu 37: Cho hàm số 1 f ( x) dx  tdt   dt  t  C  t f ( x) 1  C y  f  x Có đạo hàm liên tục  Biết f 1  e  x  2 f  x   xf   x  x3 , x   Tính f 2 A 4e2  4e  B 4e2  2e 1 C 2e3  2e  D 4e2  4e  Lời giải Chọn D Ta có:  x  2 f  x   xf   x  x3  Suy  e f  2 2 e f 2  2  x3  e x f  x      e x      x   e x f  x    d x  e x d x   x2    2  xf   x   x  2 f  x e1 f 1 e f 1    e2  e1  1   e1  e2  f 2   ef 1  e 1  4e  4e  179/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 17 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 38: Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định, liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  0  1  f   x   f   x  Đặt T  f 1  f 0 , chọn khẳng định đúng? A 2  T 1 B 1  T  C  T  D  T  Lời giải Chọn A Ta có: T  f 1  f 0   f   x  dx   f   x     Lại có:  f   x   f   x   1    1     f x  f   x       1  f  x   x  c   x  c f  x Mà f  0  1 nên c  1 1 Vậy T   f   x dx   0 1 dx   ln x 1   ln  x 1  f  x  0,  x  ,  Câu 39: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp liên tục  thoả  f 0  f  0  1,  2  xy  y   yy ,  x    Mệnh đề sau đúng? A  ln f 1  B  ln f 1  C  ln f 1  D  ln f 1  Lời giải Chọn D Ta có xy  y   yy    y   y y  y 2    x  y   x  C hay  x   y  y2 y f   x x  C f x Lại có f 0  f  0   C  1  x2  f   x f   x x 7 Ta có  1   dx     1 dx  ln  f  x   ln f 1    f x f  x 6 2  0   ln  f 1  Câu 40: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  f   x   x   x x  f 1  1 x2 Khẳng định sau đúng? A Phương trình f  x  có nghiệm 0;1 180/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 18 TÀI LIỆU NỘI BỘ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN B Phương trình f  x  có nghiệm 0; C Phương trình f  x  có nghiệm 1; 2 C Phương trình f  x  có nghiệm  2;5 Lời giải Chọn C  x3 1  , x  x3   f  x  x   x    x  x x2 x2  y  f  x đồng biến 0;  f  x   có nhiều nghiệm khoảng 0; 1 Mặt khác ta có:   2 21  x  , x    f   x dx    x   x dx     x x 1 f  x  x4  21 17  f  2  5 Kết hợp giả thiết ta có y  f  x  liên tục 1;  f  2 f 1   2  f 2  f 1  Từ 1  2 suy phương trình f  x  có nghiệm khoảng 181/37 Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 18 ...  NĂM HỌC 2021 – 2022  Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp  dx  x  C  du  u  C... Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - 0909127555 Chương NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TỐN 12 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM Định nghĩa  Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  F ...  Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I   f  x,   a dx Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I   f x, x  a dx x2 NGUYÊN HÀM CỦA VÀI LỚP HÀM ĐẶC BIỆT NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ