Bài tập về số tự nhiên CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ

Bài tập số tự nhiên - CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ I/ Kiến thức bản: a) Định nghĩa: Số nguyên tố số tự nhiên có hai ước b) Một số định lý + Dãy số nguyên tố dãy vơ hạn ( khơng có số ngun tố lớn ) + Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q số nguyên tố q chia hết cho số nguyên tố p p=q + Nếu số nguyên tố p chia hết cho tích abc p chia hết thừa số tích abc + Nếu số nguyên tố p khơng chia hết a b p khơng chia hết tích ab II/ Cách nhận biết số nguyên tố: - Chia số cho số nguyên tố biết từ nhỏ đến lớn + Nếu có phép chia hết số khơng số nguyên tố + Nếu chia đến lúc thương nhỏ số chia mà phép chia có số dư số số ngun tố - Một số có hai ước số lớn số khơng phải số ngun tố III/ Số ngun tố nhau: Hai số nguyên tố gọi nguyên tố chúng có ước số chung a, b nguyên tố � ( a, b ) = Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố Hai số ngun tố ln ln ngun tố Các số a,b,c nguyên tố � ( a, b, c ) = IV/ Một số định lí đặc biệt: a) Định lí Drichlet: Nếu a b nguyên tố tồn vơ số ngun tố p có dạng: p = an + b ( n �N) b) Định lí: Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n, có số ngun tố V/ Bài toán áp dụng: Bài 1: Cho a + b = p , p số nguyên tố Chứng minh a b nguyên tố Giải Giả sử a b không nguyên tố nhau, Ta suy a b có ước số d > a Md b Md � a  b Md � p Md , d  Điều vơ lí, p số nguyên tố � � ( a, b ) = Bài tập 2: Nếu a2 – b2 số nguyên tố a2 – b2 = a + b Giải Ta có a2 – b2 = ( a + b) ( a – b) Nếu a – b > a + b > � a2 – b2 hợp số, trái với giả thiết Do ta có: a – b �1 (1) Mặt khác: a2 – b2 số nguyên tố � a > b (2) Từ (1) (2) � a – b = Vậy a2 – b2 = a + b Bài 3: Chứng minh tổng bình phương số nguyên lớn số nguyên tố Giải Số nguyên tố lớn có dangjk + 1, k �N mà k �1 nên bình phương chúng có dạng 6m + 1, m �N Do tổng bình phương số ngun tố 6n + M3, n > Điều chứng tỏ tổng bình phương số nguyên tố lớn hợp số BTVN: 1) Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng 2) Cho m m2 + hai số nguyên tố, Chứng minh m3 + số nguyên tố 3) Tìm số a nguyên tố cho a + 10 , a + 14 số nguyên tố 4) Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p2 + q2 + r2 số nguyên tố CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨNHỆ ĐỐI XỨNG ♣♣♣ A HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ax  by  c � � a ' x  b; y  c ' x, y ẩn 1) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng � 2) Phương pháp giải: Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay 3) Các dạng giải hệ phương trình bậc hai ẩn: * Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp thế: ( Các hệ phương trình đơn giản SGK Đại số 9) * Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng: ( Các hệ phương trình đơn giản SGK Đại số 9) * Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ: +Phương pháp giải: - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa - Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ ( có ) - Giải hệ theo ẩn phụ đặt - Trả lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ +Ví dụ: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận xét Đặt t = � 1 x 2y   2 � 1 x � 2y  �x  y  � 1 x 2y   2 2y  1 x 1 x (t  0) 2y  2y  1  1 x t Phương trình thứ hệ trở thành: t + t = � ( t – 1)2 = � t = Khi 1 x 2y  =1 � 1- x = 2y + � x = - 2y Thay x = - 2y vào phương trình thứ hai hệ ta được: - 3y = � y x �2 � � ; � Vậy hệ có nghiệm �3 � * Dạng 4: Giải biện luận hệ phương trình: +Phương pháp giải: - Từ phương trình hệ tìm y theo x thay vào phương trình thứ hai để phương trình dạng ax = b - Biện luận: ♦ Nếu a �0 x b a , thay vào biểu thức x tìm y, lúc hệ có nghiệm ♦ Nếu a = ta có x = b ♦ Nếu b = hệ có vơ số nghiệm, b �0 hệ vô nghiệm mx  y  2m (1) � � 4x  my  m  (2) + Ví dụ : Giải biện luận theo tham số m: � Từ (1) ta có y = mx – 2m, thay y vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + � ( – m2 )x = - 2m2 + m + � ( m2 – 4)x = ( 2m + 3)( m – 2) (3) ♦ Nếu m2 – �0 hay m ��2 x 2m  m2 2m  3m m  2m   m2 Khi y = mx – 2m = m  �2m   m � ; � � Hệ có nghiệm �m  m  � ♦ Nếu m = (3) thỏa với x, y = mx – 2m = 2x – Hệ vô số nghiệm ( x ; 2x – 4) với x �R ♦ Nếu m = - (3) trở thành 0x = Hệ vơ nghiệm Dạng 5: Định tham số m nguyên để hệ có nghiệm x, y nguyên: + Phương pháp giải: - Áp dụng phương pháp để tìm nghiệm (x, y) hệ theo tham số m K -Viết nghiệm (x, y) hệ dạng: n + f (m) với n K nguyên - Tìm m nguyên để f(m) ước K với f(m) đa thức với hệ số nguyên theo m �2x  my  (1) � mx  2y  (2) + Ví dụ : Cho hệ phương trình � a) Giải biện luận theo tham số m b) Tìm số nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên Giải: Từ (1) (2) suy ra: 2x + my = mx + 2y � ( m – 2) ( x – y ) = ♦ Nếu m = 2: Hệ vơ số nghiệm ♦ Nếu m �2: Ta có x = y vào phương trình (1) � ( m + )x = ♦ Nếu m = - 2: Hệ vô nghiệm ♦ Nếu m �2 : Hệ có nghiệm x = y = m  b) Khi m khác -2, hệ có nghiệm x = y = m  số nguyên m  1 m  1 � � �� �� m   1 m  3 � m  số nguyên � � Dạng 6: Hệ gồm ba phương trình hai ẩn số + Phương pháp giải: - Chọn hai ba phương trình hệ, giải tìm nghiệm hai phương - Nếu nghiệm (x, y) vừa tìm thỏa phương trình thứ ba nghiệm (x y) nghiệm hệ cho, không thỏa (x, y) khơng nghiệm hệ 2x  3y  (1) � � (2) �x  y  �x  4y  m (3) - Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình: � �2x  3y  � xy2 Giải: Từ (1) (2) ta có hệ: � Thay x � 11 x � 2x  3x   � � �� �� �y  x  �y  � 11 , y 5 vào (3) ta m = Vậy với m = hệ có nghiệm +Bài tập: �x  2my  � 2mx  6my  4m  1) Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm: � �mx  4y  10  m � x  my  2) Cho hệ phương trình: � ( m tham số ) a) Giải biện luận theo m b) Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên dương �x  my  � mx  3my  2m  3) Cho hệ phương trình: � a) Giải hệ m = -3 b) Giải biện luận hệ cho theo m B HỆ ĐỐI XỨNG I/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LOẠI 1: 1) Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn x y gọi hệ phương trình đối xứng loại thay đổi ẩn số x, y hệ cho phương trình hệ khơng thay đổi 2) Phương pháp giải: S xy � � P  xy ( Điều kiện: S2 – 4P �0 ) Đưa hệ cho hệ theo S P - Đặt � - Giải hệ này, tìm nghiệm ( S0 ; P0 ) hệ - x, y nghiệm phương trình X2 – S0X + P0 = Phương trình có nghiệm S2 – 4P �0 * Biện luận hệ: - Hệ cho vô nghiệm hệ chứa S, P vô nghiệm có nghiệm ( S, P) khơng thỏa mãn S2 – 4P �0 - Hệ cho có nghiệm hệ chứa S, P có nghiệm thỏa mãn S2 – 4P �0 * Chú ý: - Hệ phương trình đối xứng loại có nghiệm ( x ; y0 ) có nghiệm ( y ; x0 ) Vậy hệ có nghiệm x0 = y0 - Trong nhiều trường hợp, hệ phương trình ban đầu khơng có dạng đối xứng loại thông qua phép đặt ẩn phụ thích hợp, tốn trở dạng đối xứng loại quen thuộc Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: a) �x  y  xy  � �x  y  xy  Giải: Đặt t = - y ta hệ phương trình Sxt � � P  xt Điều kiện: S2 – 4P �0 Ta hệ phương trình Đặt � � S2 � (tm) � � P 1 � � � S  3P  S  3P  S  3S  10  � � �� �� � � � S P  P  3S P  3S S  5 � � � � � (L) � P8 � � S2 � � P  ta có * Với � 2 �x  t  � � �xt  x, t nghiệm phương trình X2 – 2X + = (1) �x  �� �y  1 Vậy nghiệm hệ (x ; y ) = ( ; -1) (1) � X = � x = t = �x  y  2xy  �2 x  y2  b) � (I) �x  y  2xy  �x  y  2xy  �2 � x y 5 (x  y)  2xy  � � Giải: � Đặt x + y = S xy = P S  2P  � � �2 S  2P  � (I) � S2 + S = 12 � S2 + S – 12 = Giải ta được: S1 = ; S2 = - * S1= � P = x y nghiệm cuả phương trình: x2 – 3x + = ( thỏa mãn S2 – 4P �0) � x1 = ; x2 = Vậy x = ; y = x = ; y = 11 * S2 = - � P = 11 x y nghiệm phương trình:x2 + 4x + = Khơng thỏa mãn S2 – 4P �0 Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( 1; ) ; ( ; 1) Bài tập: Giải hệ phương trình sau: �x  xy  y  � x  xy  y  a) � d) �xy(x  y)  2 �3 x  y3  b) � � (x  y)3  3xy(x  y)  � xy(x  y)  c) � 2 �x  y  x  y  �2 �x  y  xy  I/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LOẠI 2: f (x, y)  � � g(x, y)  Khi ta 1) Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng: � thay đổi ẩn số x, y hệ cho phương trình trở thành phương trình ngược lại 2) Phương pháp giải: Trừ theo vế với phương trình cho thu phương trình xy � �� h(x.y) Đến ta giải trường hợp � tích f( x, y ) – g( x, y) = � ( x – y) h( x, y ) = * Chú ý: Nếu hệ có nghiệm x0 ; y0 y0; x0 nghiệm hệ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: �x  2x  (1) �3 y  2y  x (2) a) � Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: x3 – y3 + 3x – 3y = � ( x – y ) ( x2 + y2 + xy + 3) = � x–y=0 � x=y Thế x = y vào (1) (2) ta được: x3 + x = � x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 0; 0) � 2x  3x  y  � 2y  3y  x  b) � Trừ theo vế ta được: 2x2 – 2y2 – 3x + 3y = y2 – x2 � 2(x2 – y2 ) – 3( x – y) = - (x2 – y2 ) � 2( x – y) ( x + y) – 3( x – y) + ( x – y)(x + y) = � ( x – y) [ 2( x + y) – + ( x + y) = � ( x – y) ( x + y – 1) = xy0 � � x  y 1  � � * x – y = � x = y Thay vào phương trình 2x2 – 3x = x2 – � x2 – 3x + = �x1  �x  y  �� � �x  y  �x  * x + y – = � x = – y Thay vào phương trình ta được: y2 – y + = Phương trình vơ nghiệm �x  y  � xy2 Vậy nghiệm hệ phương trình là: � Bài tập: Giải hệ phương trình sau: �x  2x   4y �2 y  2y   4x a) � � x  3y  � � � �y  3x  � b) 4y x 4x y �x  2y  2x  y �2 y  2x  2y  x c) � d) �y  2x  2y  x �2 �x  2y  2x  y BÀI 1: A B phải lấy giá trị số để có: A x B = A : B Hướng dẫn: Học sinh cần nắm số tính chất của: phép nhân, phép chia BÀI GIẢI - A B nhận bất - B A nhận giá trị số giá trị số BÀI 2: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số khác mà tổng chữ số 20 Hướng dẫn học sinh: Một số tự nhiên lớn số có nhiều chữ số Muốn có nhiều chữ số tổng chữ số 20 ta chọn chữ số có giá trị nhỏ Ta có: + + 2+ + + + = 21 Vậy ta bớt chữ số để số cịn chữ số tăng giá trị chữ số khác để có số lớn Chữ số hàng trăm nghìn khơng? Nhẩm tính ta có + + + + + = 20 Vậy số 953210 BÀI GIẢI Muốn có số tự nhiên lớn tổng chữ số 20 ta chọn chữ số có giá trị nhỏ có chữ số để nhiều chữ số Nếu chữ số + + 2+ + 4+ + 6= 21 dư Ta bỏ chữ số tăng số thành số lớn Ta có + + + + + = 20 Vậy số 953210 đáp số tốn BÀI 3: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số mà tổng chữ số 15 Hướng dẫn học sinh: Một số tự nhiên có chữ số lớn chữ số hàng trăm phải số lớn Kết hợp với tổng chữ số 15 chữ số hàng trăm Từ chữ số cịn lại phải có tổng Ta chọn + = Vậy số 960 BÀI GIẢI Trước hết, chọn số hàng đơn vị số Tiếp tục chọn chữ số hàng trăm chữ số hàng chục cho có tổng chữ số 15 Số cộng với 15 Vậy số tự nhiên lớn có chữ số có tổng chữ số 15 số 960 Đáp số: 960 BÀI 4: Cho A = + 11 + 111 + 1111 + + 111111111 + 1111111111 Có 10 số hạng Hỏi A chia cho dư bao nhiêu? Hướng dẫn học sinh: Vận dụng dãy số cách để giải toán Số hạng thứ chữ số 1, số hạng thứ mười 10 chữ số Cặp số hạng thứ thứ mười có 11 chữ số Số A có tất 11 x = 55 chữ số Tổng chữ số 55 55 chia dư bao nhiêu? BÀI GIẢI Số A có 55 chia Đáp số: dư BÀI 5: tổng chữ số là: (10+1) x lần = dư 55 Tìm tất số chẵn có ba chữ số mà chia số đo cho ta thương số có ba chữ số (Giải nhiều cách) Cách 1: Thương bé có ba chữ số 100 Ta biết số lẻ nhân với số chẵn số chẵn cần tìm Ta 100 x 102 x 104 x 106 x 108 x 110 x 112 x = 1008 loại Các số cần tìm 9 9 9 là: 900, có: 900 918 936 954 972 990 = = = = = = 918, 936, 954, 972, 990 Cách 2: Thương bé có ba chữ số 100 Số bị chia ứng với thương 100 là: 100 x = 900 Số 900 số chẵn có ba chữ số bé theo u cầu Các số cần tìm có dạng: 9a8, 9a6, 9a4, 9a2, 9a0 Vận dụng tính chất chia hết cho 9, ta thay a chữ số để có tổng chữ số chia hết cho Ta có: 918, 936, 954, 972, 990 Các số cần tìm là: 900, 918, 936, 954, 972, 990 Cách 3: Thương bé có ba chữ số 100 Số bị chia ứng với thương 100 là: 100 x = 900 Số 900 số chẵn có ba chữ số bé theo yêu cầu Các số cần tìm số vừa chia hết cho vừa chia hết cho hay chia hết cho 18 (2x9=18) Vậy 900 918 936+ 954+ 972+ ta lần + + 18 18 18 lượt 18 18 có = = = = = số: 918 936 954 972 990 990+ 18 = 1008 loại Các số cần tìm là: 900, 918, 936, 954, 972, 990 BÀI 6: Tìm số tự nhiên nhỏ viết chữ số khác tổng chữ số 25 Số nhỏ có chữ số nhất, giá trị chữ số lớn Hàng đơn vị 9; hàng chục 8; hàng trăm Vậy hàng nghìn để có tổng chữ số 25 Số là: 789 BÀI 7: Tìm số lớn viết chữ số khác tổng chữ số 23 Số lớn có nhiều chữ số nhất, giá trị chữ số nhỏ Ta chọn chữ số nhỏ là: 0; 1; 2; 3; 4; để có 0+1+2+3+4+5+8=23 Số lớn là: 543 210 BÀI 8: Tìm số tự nhiên bé khác chia hết cho 2; 3; 4; Số chia hết cho chia hết cho cho Số bé vừa chia hết cho 4, vừa chia hết cho là: x x 3=12 Số cần tìm là: 12 x = 60 BÀI 9: Tìm số tự nhiên bé khác chia số cho 2; 3; 4; có số dư Như 8, để dư ta thêm vào số bị chia đơn vị 60 + = 61 BÀI 10: Tìm số tự nhiên bé cho chia số cho 2; 3; 4; số dư 1; 2; 3; Như 8, để có số dư bé số chia đơn vị ta bớt số bị chia đơn vị 60 – = 59 BÀI 11: Một dãy phố có 20 nhà Số nhà đánh số lẻ liên tiếp Biết tống 20 số nhà 2000 Hãy cho biết số nhà cuối cùng.? Tổng số nhà cuối là: 2000 : (20:2) = 200 Hiệu số nhà cuối là: (20-1) x = 38 Số nhà cuối là: (200 + 38) : = 119 BÀI 12: Một dãy phố có 50 nhà Số nhà đánh số chẵn liên tiếp Biết tống 50 số nhà 4950 Hãy cho biết số nhà đầu tiên? Tổng số nhà cuối là: 4950 : (50:2) = 198 Hiệu số nhà cuối là: (50-1) x = 98 Số nhà là: (198 – 98) : = 50 Ví dụ Khi chuyển dấu phẩy số thập phân A sang bên phải chữ số, số tăng thêm 175,05 đơn vị Tính số A Hướng dẫn học sinh giải: Khi chuyển dấu phẩy số thập phân sang bên phải chữ số làm số tăng thêm 10 lần số trước tăng lần 175,05 lần số A Số A là: 175,05 : = 19,45 Ví dụ Khi chuyển dấu phẩy số thập phân B sang bên phải hai chữ số, số tăng thêm 24,75 đơn vị Tính số B Hướng dẫn học sinh giải: Khi chuyển dấu phẩy số thập phân sang bên phải hai chữ số làm số tăng thêm 100 lần số trước tăng 99 lần 24,75 99 lần số B Số B là: 175,05 : 99 = 0,25 Ví dụ Khi chuyển dấu phẩy số thập phân C sang bên trái chữ số, số giảm 18,072 đơn vị Tính số C Hướng dẫn học sinh giải: Khi chuyển dấu phẩy số thập phân sang bên trái chữ số làm số giảm 10 lần số trước giảm lần 18,072 lần số sau giảm Số C là: 18,072 : x 10 = 20,08 Ví dụ Khi chuyển dấu phẩy số thập phân D sang bên trái hai chữ số, số giảm 18,513 đơn vị Tính số D Hướng dẫn học sinh giải: Khi chuyển dấu phẩy số thập phân sang bên trái hai chữ số làm số giảm 100 lần số trước giảm 99 lần 18,513 99 lần số sau giảm Số D là: 18,513 : 99 x 100 = 18,7 Khi cộng số tự nhiên với số thập phân học sinh sơ ý viết nhầm dấu phẩy số thập phân sang bên phải hàng nên tìm tổng sai 591,4 Tìm số thập phân đó? Biết tổng 480,34 ĐS: 12,34 Tổng số tự nhiên số thập phân 2077,15 Nếu bỏ dấu phẩy số thập phân tổng 8824 tìm số tự nhiên số thập phân ? ĐS : số tự nhiên 2009, Số thập phân 68,15 Cho số thập phân A; chuyển dấu phẩy số thập phân A sang phải hàng ta số B Biết B – A = 222,12 Tìm số thập phân A ĐS : 24,68 Ví dụ 1: Khi xóa chữ số hàng đơn vị số tự nhiên số số 1809 đơn vị Tìm số tự nhiên Hướng dẫn học sinh giải: Số bé số cần tìm đơn vị lần số lần số là: 1809 = 1800 Số là: 1800 : =200 Số cần tìm là: 2009 * Hoặc số cần tìm 200 x 10 + = 2009 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên, biết xóa chữ số hàng đơn vị số ta số số phải tìm 1794 đơn vị Hướng dẫn học sinh giải: Số bé số cần tìm dơn vị số cần tìm lần số Chữ số xóa bao nhiêu? Tính nhẩm để tìm số chia hết cho mà bé hơn 1974 đơn vị.Số 1971 Vậy chữ số hàng đơn vị là: 1974 1971 = lần số là: 1794 = 1971 Số là: 1971 : =199 Số cần tìm là: 1993 * Hoặc số cần tìm 199 x 10 + = 1993 Ví dụ 3: Khi xóa chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số tự nhiên số số 1917 đơn vị Tìm số Hướng dẫn học sinh giải: Số bé số cần tìm 36 đơn vị 99 lần số 99 lần số là: 1917 36 = 1881 Số là: 1881 : 99 = 19 Số cần tìm là: 1936 * Hoặc số cần tìm 19 x 100 + 36 = 1936 Ví dụ 4: Khi xóa hai chữ số tận số tự nhiên số số 1989 đơn vị Tìm số tự nhiên Hướng dẫn học sinh giải: Số bé số cần tìm hai chữ số xóa 99 lần số Hai chữ số xóa bao nhiêu? Tính nhẩm để tìm số chia hết cho 99 mà bé hơn 1989 từ đến 18 đơn vị Số 1980 Vậy hai chữ số xóa : 1989 - 1980 = 9, Số là: 1980 : 99 Số cần tìm là: * Hoặc số cần tìm 20 x 100 + = 09 09 20 2009 = 2009 Một số luyện tập dạng tốn xóa chữ số bên phải số: 1a) Khi xóa chữ số hàng đơn vị số tự nhiên số số 1772 đơn vị Tìm số tự nhiên 1b) Khi xóa chữ số hàng đơn vị số tự nhiên số số 1753 đơn vị Tìm số tự nhiên 2a) Tìm số tự nhiên, biết xóa chữ số hàng đơn vị số ta số số phải tìm 1795 đơn vị 2b) Tìm số tự nhiên, biết xóa chữ số hàng đơn vị số ta số số phải tìm 1796 đơn vị 3a) Khi xóa chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số tự nhiên số số 1918 đơn vị Tìm số 3b) Khi xóa chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số tự nhiên số số 1919 đơn vị Tìm số 4a) Khi xóa hai chữ số tận số tự nhiên số số 1990 đơn vị Tìm số tự nhiên 4b) Khi xóa hai chữ số tận số tự nhiên số số 1991 đơn vị Tìm số tự nhiên ... chữ số hàng đơn vị số tự nhiên số số 1772 đơn vị Tìm số tự nhiên 1b) Khi xóa chữ số hàng đơn vị số tự nhiên số số 1753 đơn vị Tìm số tự nhiên 2a) Tìm số tự nhiên, biết xóa chữ số hàng đơn vị số. .. Tìm số 3b) Khi xóa chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số tự nhiên số số 1919 đơn vị Tìm số 4a) Khi xóa hai chữ số tận số tự nhiên số số 1990 đơn vị Tìm số tự nhiên 4b) Khi xóa hai chữ số tận số. .. 1) Tìm số ngun tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng 2) Cho m m2 + hai số nguyên tố, Chứng minh m3 + số nguyên tố 3) Tìm số a nguyên tố cho a + 10 , a + 14 số nguyên tố 4) Tìm số nguyên tố liên