Luận văn thạc sĩ HUS giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỮU CHỈNH GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC Q TRÌNH CĨ BƯỚC NHẢY LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỮU CHỈNH GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC Q TRÌNH CĨ BƯỚC NHẢY Chun ngành: LÍ THUYẾT XÁC SUẤT-THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.Trần Hùng Thao Hà Nội - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời nói đầu Giải tích ngẫu nhiên truyền thống nghiên cứu vi phân ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên Itơ ứng dụng hệ động lực chi phối chuyển động Brown Cùng phát triển nghiên cứu ứng dụng, người ta nhận thấy giải tích ngẫu nhiên Itơ khơng đủ nghiên cứu hệ động lực mô tả chi phối q trình có bước nhảy Nhiều q trình thực tế không liên tục theo thời gian mà có biến đổi theo kiểu nhảy bậc, thí dụ giá bất động sản giá tài sản sở Q trình Poisson Poisson phức hợp ví dụ phổ biến dùng kỹ thuật kinh tế tài chính, q trình có bước nhảy Do hình thành nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên q trình có bước nhảy Trên giới, giải tích ngẫu nhiên q trình có bước nhảy nghiên cứu mạnh vào khoảng cuối kỷ 20, với tác R.S.Bass, R.Cont P.Tankov với nhiều ứng dụng kinh tế, tài kỹ thuật Chính khả ứng dụng thực tế to lớn lý thuyết lý chọn nội dung nghiên cứu luận văn Luận văn đề cập vấn đề giải tích ngẫu nhiên trình có bước nhảy, tích phân ngẫu nhiên, cơng thức đổi biến Itô, định lý Girsanov, trình có bước nhảy quan trọng q trình Poisson, trình Lévy, Các tài liệu để chuẩn bị cho luận văn ba tài liệu quan trọng Bass, Cont sách tích phân ngẫu nhiên phương trình vi ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com phân ngẫu nhiên tác giả Philip Protter Luận văn gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên q trình có bước nhảy Chương 3: Các vấn đề liên quan iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu ii Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1.Quá trình ngẫu nhiên quỹ đạo cadlag 1.2.Quá trình đo 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Chú ý 1.3.Q trình thích nghi với lọc 1.4.Thời điểm dừng 1.4.1 Mở đầu 1.4.2 Nội dung trực quan khái niệm "Thời điểm dừng" 1.5.Martingale 1.6.Phân tích Doob-Meyer 1.7.Q trình khả đốn 1.8.Thời điểm dừng khả đoán 1.9.Semimartingales Chương Tích phân ngẫu nhiên q trình có bước nhảy 11 2.1.Biến phân bậc hai trình 12 2.1.1 Định nghĩa 12 iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.1.2 Tính chất biến phân bậc hai 13 2.1.3 Biến phân bậc hai số trình 13 2.2.Biến phân bậc hai martingale 13 2.3.Biến phân bậc hai semimartingale 14 2.4.Tích phân ngẫu nhiên q trình có bước nhảy 16 2.5.Cơng thức Itơ q trình có bước nhảy 19 2.5.1 Công thức Itô cho trình có bước nhảy hữu hạn 20 2.5.2 Cơng thức Itơ cho q trình khuếch tán có bước nhảy 22 2.5.3 Hệ công thức Itô 24 Chương Các vấn đề liên quan 26 3.1.Cơng thức Itơ q trình semimartingale semimartingale mũ có bước nhảy 26 3.1.1 Công thức Itô q trình semimartingale có bước nhảy 26 3.1.2 Công thức Itô trình semimartingale mũ 29 3.2.Định lý Girsanov q trình có bước nhảy 31 3.2.1 Độ đo xác suất tương đương 31 3.2.2 P-martingale 31 3.2.3 Định lý Girsanov q trình có bước nhảy 32 3.3.Quá trình Poisson 35 3.3.1 Định nghĩa trình Poisson 35 3.3.2 Quá trình Poisson đối trọng 36 3.3.3 Độ đo ngẫu nhiên trình điểm 37 3.3.4 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 38 3.3.5 Độ đo ngẫu nhiên Poisson đối trọng 39 3.3.6 Tích phân ngẫu nhiên độ đo ngẫu nhiên Poisson 39 3.4.Quá trình Lévy 42 3.4.1 Mở đầu 42 3.4.2 Các bước nhảy trình Lévy 44 v LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.4.3 Quá trình Lévy semimartingale 49 3.4.4 Biểu thức phân tích q trình Lévy cơng thức Lévy-Khintchin 52 Kết luận 54 vi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho Luận văn, bao gồm định nghĩa trình: đo được, thích nghi, q trình ngẫu nhiên, q trình khả đốn, q trình semimartingale, q trình bước nhảy; thời điểm dừng khả đoán, martingale, martingale trên, martingale phân tích Doob-Meyer Cho (Ω, F , P) khơng gian xác suất 1.1 Q trình ngẫu nhiên quỹ đạo cadlag Đối tượng nghiên cứu trình ngẫu nhiên họ biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T Giả sử T tập vơ hạn Nếu với t ∈ T , Xt biến ngẫu nhiên ta kí hiệu X = {Xt ,t ∈ T } hàm ngẫu nhiên với tham biến t ∈ T • Nếu T tập đếm ta gọi X = {Xt ,t ∈ T } q trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc • Nếu T = N ta gọi X = {Xn , n ∈ T } dãy biến ngẫu nhiên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com • Nếu T thuộc tập sau: (−∞, +∞) , [a; +∞) , (−∞, b] , (a, b] , [a, b] , (a, b] , (a, b) ta gọi X = {Xt ,t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số liên tục • Nếu T ⊂ Rd ta gọi X = {Xt ,t ∈ T } trường ngẫu nhiên Ta xét hàm cadlag f (t) định nghĩa sau Với ω, ta xét quỹ đạo f (t) = Xω (t) trình ngẫu nhiên X(t) Định nghĩa 1.1 Hàm cadlag Hàm f : [0, T ] → Rd gọi cadlag liên tục phải có giới hạn trái, nghĩa với t ∈ [0, T ] giới hạn f (t−) = lim f (s); f (t+) = lim f (s) s→t,st (1.1) tồn f (t) = f (t+) Hiển nhiên, hàm liên tục cadlag song điều ngược lại không Nếu t điểm không liên tục, ta ký hiệu f (t) = f (t) − f (t−) (1.2) "cỡ bước nhảy" f t Ví dụ hàm cadlag hàm có bước nhảy thời điểm T0 , giá trị thời điểm T0 định nghĩa giá trị sau bước nhảy f = 1[T0 ,T ) (t) Trong trường hợp f (T0− ) = 0, f (T0+ ) = f (T0 ) = Tổng quát hơn, cho hàm liên tục g : [0, T ] → R số fi , i = 0, 1, , n − 1; t0 = ≤ t1 ≤ ≤ tn = T , hàm hàm cadlag n−1 f (t) = g(t) + ∑ fi1[t ,t i i+1 ] (1.3) i=0 Hàm g giải thích thành phần liên tục f , bước nhảy f xuất ti , i ≥ với ∆ f (ti ) = fi − fi−1 Không phải hàm cadlag có khai triển thành thành phần liên tục thành phần bước nhảy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Quá trình đo 1.2.1 Định nghĩa Một trình ngẫu nhiên X : (Xt ,t ≥ 0) gọi đo đo σ -trường tích BR+ ⊗ F Điều có nghĩa là, với tập B ∈ BR+ ⊗ F , tập hợp: {(t, ω) : X(t, ω) ∈ B} thuộc σ -trường tích BR+ ⊗ F Đó σ -trường nhỏ chứa tập có dạng [0,t] × A với t ∈ R+ , A ∈ F 1.2.2 Chú ý a) Mọi trình liên tục đo b) Nếu X trình đo quỹ đạo Xω (t) hàm thực Borel R+ 1.3 Q trình thích nghi với lọc a) Một họ σ -trường Ft ⊂ F gọi lọc thỏa mãn điều kiện thơng thường nếu: i) Đó họ tăng, tức Fs ⊂ Ft s < t ii) Họ liên tục phải, tức Ft = Ft+ε ε>0 iii) Mọi tập P-bỏ qua A ∈ F chứa F0 (do nằm Ft ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com martingale A ∩ B = 0/ Mt (A) Mt (B) độc lập Bây xét hàm khả đoán đơn giản φ : Ω × [0, T ] × Rd −→ R n φ (t, y) = ∑ n ∑ φi j 1(T ,T i+1 ] i (t).1A j (y) (3.17) i=1 j=1 với T1 ≤ T2 ≤ · · · ≤ Tn thời điểm ngẫu nhiên khơng khả đốn, (φi j ), j = 1, , m biến ngẫu nhiên bị chặn FTi -đo được, A j j=1, ,m tập ri ca Rd vi [0, T ] ì A j < ∞ Tích phân ngẫu nhiên φ (t, y)M(dtdy) [0,T ]×Rd định nghĩa biến ngẫu nhiên T n,m φ (t, y)M(dtdy) = ∑ φi j M (Ti , Ti+1 ] × A j n m i, j=1 Rd =∑ ∑ φi j MTi+1 (A j ) − MTi (A j ) (3.18) i=1 j=1 t Tương tự, định nghĩa q trình t −→ φ (t, y)M(dtdy) Rd t n,m φ (s, y)M(dsdy) = ∑ φi j MTi+1 ∧t (A j ) − MTi ∧t (A j ) (3.19) i, j=1 Rd t Tích phân ngẫu nhiên t −→ φ (s, y)M(dsdy) cadlag, khơng khả đốn Tương Rd φ (t, y)M(dtdy) định nghĩa biến ngẫu nhiên tự tích phân đối trọng [0,T ]×Rd n,m φ (s, y)M(dsdy) = [0,T ]×Rd n,m = ∑ ∑ φi j M (Ti , Ti+1 ] × A j i, j=1 φi j M (Ti , Ti+1 ] ì A j (Ti , Ti+1 ] × A j (3.20) i, j=1 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hạn chế tất số hạng với Ti ≤ t (dừng t), chứng ta có q trình ngẫu nhiên n φ (s, y)M(dsdy) = ∑ φi MTi+1 ∧t (A j ) − MTi ∧t (A j ) (3.21) i=1 [0,t]×Rd Ta có Mệnh đề Mệnh đề 3.9 Tính bảo tồn martingale Với hàm khả đốn đơn giản φ : Ω × [0, T ] × Rd −→ R, trình (Xt )t∈[0,T ] định nghĩa tích phân đối trọng φ (s, y)M(dsdy) Xt = [0,t]×Rd martingale bình phương khả tích thỏa mãn công thức đẳng cự:   t E | Xt | | φ (s, y) |2 µ(dsdy) =E (3.22) Rd j Chứng minh Với j = 1, , m, định nghĩa Yt = M (0,t] × A j = Mt (A j ) Từ mục 3.3.5 ta biết Yt j martingale với số gia độc lập Do A j t∈[0,T ] j rời nên trình Yt độc lập j j Viết M (Ti∧t , Ti+1∧t ] × A j = YTi+1∧t − YTi∧t Khi tích phân đối trọng Xt phân tích tổng tích phân ngẫu nhiên m Xt = n ∑ ∑ φi j j j YTi+1∧t −YTi∧t j=1 i=1 t m = φ j dY j , ∑ j=1 n φ j = ∑ φi j 1(Ti ,Ti+1 ] i=1 t Do φ j trình khả đốn đơn giản ta có φ j dY j martingale, X martingale Bằng việc lấy điều kiện số hạng FTi , thấy tất 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com số hạng tổng có kỳ vọng khơng, EXt = Cuối cùng, Y j độc lập ta có   T E | XT |2 = Var  φ (s, y)M(dsdy) Rd j j = ∑ E | φi j |2 YTi+1∧t −YTi∧t i, j j j = ∑ E E | φi j |2 YTi+1∧t −YTi∧t | FTi i, j = ∑ E | φi j |2 E i, j j j YTi+1∧t −YTi∧t = ∑ E | φi j |2 µ (Ti , Ti+1 ] × A j | FTi i, j Lại E | Xt |2 ≤ E | XT |2 < ∞, X martingale bình phương khả tích 3.4 Q trình Lévy 3.4.1 Mở đầu Giả sử ta có không gian xác suất lọc Ω, F , (Ft )0≤t≤∞ , P thỏa mãn điều kiện thông thường 3.4.1.1 Định nghĩa trình số gia độc lập Một q trình thích nghi X = (Xt ,t ≥ 0) với X0 = hầu chắn, gọi trình với số gia độc lập, (i) X có số gia độc lập với khứ, tức Xt − Xs độc lập với Fs , với ≤ s ≤ t ≤ ∞ 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (ii) Xt liên tục theo xác suất, tức Xt −→ Xs t → s 3.4.1.2 Định nghĩa trình Lévy Quá trình Lévy q trình có số gia độc lập số gia dừng, tức thêm điều kiện: (iii) Xt − Xs có phân phối với Xt−s , ≤ s ≤ t ≤ ∞ 3.4.1.3 Các hệ (a) Giả sử (Xt ) trình Lévy Khi hàm đặc trưng Xt có dạng ft (u) = e−tψ(u) ψ(u) hàm liên tục với ψ(0) = Chứng minh ft (u) biến đổi Fourier Xt : ft (u) = E(eiuXt ) = eiuXt (ω) dP f0 (u) = 1, ft+s = ft (u) fs (u), ft (u) = 0, với (t, u) Áp dụng tính liên tục theo xác suất, ta kết luận ft (u) = e−Ct số C phụ thuộc vào u: C = ψ(u) ta có ft (u) = e−tψ(u) 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (b) Người ta chứng minh điều ngược lại Nếu ψ(u) hàm liên tục với ψ(0) = với t ≤ mà hàm ft (u) := e−tψ(u) thỏa mãn điều kiện ∑ αiα j ft (ui − u j ) ≤ i, j với (u1 , , un ; α1 , , αn ) hữu hạn tồn trình (Xt ) mà biến đổi Fourier ft (u) xác định 3.4.2 Các bước nhảy trình Lévy Vì trình Lévy trình cadlag, có gián đoạn bước nhảy Đặt Xt = lim Xs giới hạn bên trái X t s↑t 3.4.2.1 Định nghĩa (a) Bước nhảy Xt t trình Lévy (Xt ) xác định Xt = Xt − Xt− (b) Nếu sup | Xt |≤ C < ∞ hầu chắn, C số khơng ngẫu nhiên, ta nói X có bước nhảy bị chặn Người ta chứng minh định lý sau Định lí 3.10 Cho X q trình Lévy với bước nhảy bị chặn Khi E (| Xt |n ) < ∞ với n = 1, 2, Nhận xét: Định lý nói lên trình Lévy với bước nhảy bị chặn có moment hữu hạn cấp 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.4.2.2 Phân tích bước nhảy trình Lévy Cho Λ tập Borel bị chặn (có nghĩa ∈ / Λ, Λ bao đóng R) Với trình Lévy X, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên sau TΛ1 = inf {t > : Xt ∈ Λ} TΛ2 = inf t > TΛ1 : Xt ∈ Λ TΛn+1 = inf {t > TΛn : Xt ∈ Λ} Vì X có quỹ đạo cadlag ∈ / Λ, dễ dàng kiểm tra thấy {TΛn ≥ t} ∈ Ft+ = Ft , đó, TΛn thời điểm dừng Hơn nữa, ∈ / Λ quỹ đạo cadlag TΛ1 > lim TΛn = ∞ hầu chắn n→∞ Ta định nghĩa trình NtΛ ,t > sau: ∞ NtΛ = ∑ 1Λ ( Xs ) = 0≤s≤t ∑ 1{T ≤t } n=1 n Λ NtΛ q trình đếm khơng bộc phát Có thể kiểm tra trực tiếp để thấy rằng, với ≤ s ≤ t ≤ ∞ NtΛ − NsΛ đo với σ (Xu − Xv , s ≤ v ≤ u ≤ t) NtΛ − NsΛ độc lập Fs , tức N Λ trình với số gia độc lập Hơn nữa, NtΛ − NsΛ có số bước nhảy Λ với Zu = Xs+u − Xs , ≤ u ≤ t − s Theo tính chất dừng phân phối X, ta kết luận NtΛ − NsΛ có 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Λ ; N Λ q trình đếm có số gia dừng độc lập Vậy phân phối với Nt−s t NtΛ trình Poisson Gọi ν(Λ) = E(NtΛ ) tham số trình Poisson ν(Λ) < ∞ Định lí 3.11 (a) Hàm tập Λ → NtΛ (ω) xác định độ đo (ngẫu nhiên) σ − hữu hạn R \ {0} với (t, ω) (b) Hàm tập Λ → E NtΛ (ω) xác định độ đo (tất định) σ − hữu hạn R \ {0} Chứng minh (a) Hàm tập Λ → NtΛ (ω) thực chất độ đo đếm µt (Λ) = số s ≤ t mà Xs (ω) ∈ Λ σ − hữu hạn R \ {0} (b) Hiển nhiên 3.4.2.3 Độ đo Lévy Định nghĩa 3.12 Độ đo ν xác định ν(Λ) = E NtΛ = E ∑ 1Λ ( Xs ) 0≤s≤1 gọi độ đo Lévy trình Lévy X Bây ta ký hiệu Nt (ω, dx) = νt (ω, dx) độ đo ngẫu nhiên Người ta chứng minh định lý sau Định lí 3.13 Cho Λ tập Borel R, ∈ / Λ, f hàm Borel hữu hạn Λ Khi f (x)Nt (ω, dx) = Λ ∑ f ( Xs )1Λ ( XS ) 0