Mục tiêu của đề tài Tích đối xứng của không gian metric suy rộng là nghiên cứu một số tính chất tôp được bảo tồn từ không gian metric suy rộng lên tích đối xứng Fn(X). Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ‘TRUONG DAI HOC SU PHAM DA NANG
TRAN THT DAO
TÍCH ĐỐI XỨNG
CUA KHONG GIAN METRIC SUY RONG
LUAN VAN THAC Si TOAN HOC
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ‘TRUONG DAI SU PHAM DA NANG
TRAN THI DAO TÍCH ĐỐI XỨNG CỦA KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC Ï TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 8.46.01.02
NGƯỜI HƯỚNG KHOA HOC
TS LUONG QUOC TUYEN
Trang 4‘TRANG THONG TIN LUAN VAN THẠC SĨ
‘Ten đề tài : TÍCH ĐÓI XỨNG CỦA KHONG GIAN METRIC SUY RONG Ngành : Toán Giải Tích Khóa: K36
Họ và tên học viên: Trần Thị Đào
Người hướng dẫn khoa học: TS, Lương Quốc Tuyển
Co sé đào tạo: Trường Dai He Sư Phạm - Đại Học Eà Nẵng
Tom tit
fi văn:
*Những kết quả chính của Ì
cửu luận văn thạc sĩ khoa học "Tích đối xứng của không gian Metric suy rộng” đã đạt được một số kết quả sau đây:
~ Trình bảy lại một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết một số kết quả của topo đại cương ~ Trình bày về cơ sở của topo, cơ sở tại một điểm, cơ sở lân cận, topo Vietoris và chúng mình một số tính chất cơ bản của nó ~ Chứng minh chỉ tiết một số tính chất topo trên siêu không gian và tích đối xứng cấp "
~ Chứng minh chỉ tiết mối liên hệ giữa e-mạng cũng như cẢ-mạng có tính chất ø-(P)
trên không gian metric suy rộng X với cn-mạng cũng như c‡-mạng có tính chat oP) trên tích đối xứng cắp n của nó
*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
Luận văn được nghiên cứu dựa trên 07 tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh được trình bảy tương đối kĩ lưỡng và đầy đủ, nó là tài lau tham khảo bổ ích cho các học viên, sinh vign quan tam nghiên cứu hướng này
*Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận vẫn:
"Trong thời gian tới chúng tối tiếp tục nghiên cứu về s-mạng và sp-mạng có tính chất
Trang 5INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Close mapping and application,
Major: Mathematical analysis
Pull name of Master student: TRAN THI DAO Supervisors: PhD LUONG QUOC TUYEN
‘Training institution; The University of Danang, University of Eduacation Summary
* The main results of the thesis:
‘The research topic of the master of science thesis " Close mapping and application " thas achieved the following results:
- To systematically present and demonstrate in detail some results of the general topology
« Presenting the basis of topology, basis at a point, neighboring basis, Vietoris topology and proving some of its basic properties
~ Demonstrate in detail some topological properties on hyperspace andl symmetry produet of order
~ Demonstrate in detail the relationship between cn-network as well as ck-network with properties 0-(P) om the extrapolated metric space X with cn- network as well as ‘ck- network with properties o-(P) on the product its n-order symmetry
in practice and subsequent research of the thesis:
* The applical
The thesis is researched based on 07 references in English which are presented relatively carefully and completely, itis a useful reference for students who are interested in studying this direction
* The next research direction of the thesis:
In the coming time, we will continue to study en-network as well as ef-network with properties o-(P) on the product its n-order symmetry and on hyperspace some
topological properties on hyperspace F(X)
-Keyword: Super Spatial, Symmetric product of order n, Extended metric space
Supervior's confirmation Student
2 v2Z
Trang 6LOI CAM ON
Để hoàn thành được luận văn này, lời đầu tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển đã tan tinh hướng dẫn tác giả trong, suốt quá trình thực hiện đề tài
‘Tie gid cing xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tit cả các quý thầy cô đã tân tinh day bảo tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Dang thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp cao học Toán Giải
“Tích K36 - ĐN, đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập vừa qua
Trang 7MUC LUC 1 Lido chon dé tai
2 Muc dich nghiên cứu
3 Déi tugng và phạm vi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu
5 —_ Ý nghĩa khoa học và thực tiến
6 Cấu trúc của luận văn
Khong gian topo
1.1 Khái niệm về khong gian topo 12 Lân cân
1.3 Tap hap dong
14 Bao dong eta mot tap hop 1.5 Phan trong của tập hợp 1.6 Biên của một tập hợp Lữ Các tien đề tách 1⁄8 Không gian compact
1.9 Ảnh xạ liên tục
1.10 Không gian con
Trang 822 23 Kết luận và 1 2
Siêu không gian và tích đối xứng cấp ø
cn-mang và ck-mang có tính chất ø-(P) trên tích đối xứng Z/(X)
Trang 9
1 Lí do chọn đề tài
Nam 1931, K Borsuk và S Ulam đưa ra khái niệm tích đối xứng của một không gian topo bit ky va quan tâm nghiên cứu mối liên hệ giữa một tính chất topo nào đó có trên X và có trên tích đối xứng cấp n (xem [I]) Hơn nữa, các tắc giả còn chứng minh rằng, tích đối xứng cấp ø có thể thu được từ không gian thương của tích Cartesian X, Trong những năm gần đây, tích đối xứng cắp n đã thu hút nhiều người nghiên cứu topo đại cương trên thế giới quan tâm, các tác giả quan tâm theo nhiều hướng nghiên cứu khác nhau và thu được nhiều kết quả tha vi Tuy nhiên, sự nghiên cứu về tích đối xứng cũa các không gian metrie suy rong được tập trung nhiều ở một số tác giả như C Good và § Macfas (1), L X Peng and Y Sun (J5), Z Tang, S Lin and F Lin (6|) Các tác giả này quan tâm nghiên cứu những tính chất về không gian, chẳng hạn X là không gian thỏa
tấn tiên đề đếm được thứ nhất, không gian Fréchet, không gian dãy, &-không
gian thì Z2(X) có như vậy không và ngược lại; nghiên cứu các tính chất phủ, các tính chất mạng như 4-mạng, c+mang, sn-mang nào đó có trên không gian metric suy rộng X, thì có trên tích đối xứng cấp n hay không
Năm 2019, Lương Quốc Tuyển và Ông Văn Tuyên đã nghiên cứu về en-mang,
c&-mang có tính chất ø-(P) và
với các tính chất ø-(P) được bảo tồn lên tích đối xứng cấp m (xem [7j) chứng mình được rằng en-mạng và ek-mang
‘Voi mong muốn có tằm nhìn tổng quan hơn các tính chất mạng trên không
sgian metric suy rộng, tích đối xứng Z;( X) và mối liên hệ các tính chất topo gi
chúng, dưới sự hướng dẫn của TS Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết định chọn
Trang 10Tích đối xứng của khong gian metric suy rong’ làm đề tài luận văn thạc sỹ toán học cho mình
2 Mục đích nghiên cứu
Mye dich chính của đề tài là nghiên cứu một số tính chất topo được bio ton
từ không gian metric suy rộng lên tích đối xứng F(X) 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Không gian metric suy rộng, các
không gian Z(X) đối xứng Z„(X 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sự bảo tồn một số tính chất topo trén khong gian metzie suy rộng đối xứng
4 Phương pháp nghiên cứu
"Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến sự bảo tôn các tính chất topo trên khong gian metric suy rộng lên tích đối xứng Bằng những kiến thức đã được học tai
Khoa Toán, Trường Dại học Su phạm, Dai học Đà Nẵng, chọn lọc và sắp xếp
những kiến thức phù hợp đưa vào luận văn Nhờ đó, phân t h, phát triển
đưa ra các tính chất mi lien quan sự bảo tồn các tính chất topo trên không gian
metric su xông lên tích đối xứng
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Trang 11
6 Cau trac cia luan van
Nội dung luận văn được trình bày trong hai chưng Ngoài ra, luận văn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mỡ đầu, phần Kết luận và Tài liêu tham khảo
“Chương 1, trình bày một số kiến thức cở bản của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2
“Chương 2, trình bày về tích đối xứng của không gian metric suy rộng được chia làm 3 mục
Mục 2.1, trình bày về cơ sở của topo, cơ sở tại một điểm, cơ sở lân cn, topo
Vietoris va chứng mình một số tính chất cơ bản của nó
Mục 32, trình bày về siêu không gian và tích đối xứng cấp n Chứng minh chỉ tiết một số tính chất topo trên siêu không gian và trên tích đối xứng cấp m
Mục 3⁄3, dành cho
metric suy rộng trên tích đối xứng cấp m và trên siêu không gian F(X) Chứng mình chỉ tiết mối liên hệ giữa cr-mạng cũng như cả-mang có tính chất ø-(P) trên ốc nghiên cứu một số tính chất mạng của khong gian
không gian meic suy rộng X với ơn-mang cũng như cš-mạng có tính chất ơ-(P)
Trang 12CHUONG 1
KHONG GIAN TOPO
Chương này đành cho việc trình bày lại một cách có hệ thống và chứng mình chỉ tết một số kết quả của topo dai cương nhằm phục vụ cho việc chứng mình các kết quả chính của luận văn Kết quả chính của chương này được tham khảo trong [2]
1.1 Khái niệm về không gian topo
1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp và r là họ nào đó gồm các tấp con
của X thỏa mãi ác điều kiện sau ()9.Xer (2) Néu {04},¿ C r, thì U (8) Nếu Ú, V €z, th TV er Khi đó,
© 7 được gọi là một fopo trên À
Trang 131.1.2 Ví du (1) Giả sử (X,d) là một không gian metric Ta đặt
(U < X0 mô trong (X.0)
Khi đó, + la một topo trên X Ta nối rằng r fi topo được sinh bỏiú Như vậy, V
mở trong (X,z) khi và chỉ khi W € z, khi và chỉ khi V mở trong (X,4)
(2) Cho tap hợp X và mị = {Ú, X}, ry = P(X) Khi đó, rị và rạ là các topo trên -X Ta nối rằng zị là topo thô và z Ia topo rai rae
(3) Cho X = (ø,8,c} và
n= {8 X.(e} (a9).{e}},
n= (OX lah edhe},
a= {te ta} Khi đó, và ụ không là topo,; là topo
1.1.8 Nhận xót, Đồi với không gian topo (X,z), ta có (1) 0, X là các tập hợp mở trong X
(3) Hợp tùy ý c tập hợp mở trong X là tập hợp mở trong X
(3) Giao hữu hạn các tập hợp mở trong, X là tập hợp mở trong X Tuy nÌ
sino thy ý tập hợp mỡ trong X có thể Khong ma trong X
Trang 14
0s |r| <4 voi moi nen, Qua giới hạn khi n> 90 ta suy ra z = 0 Như vậy, (1A, (0) « {0} khong là tập mổ trong E Như vậy, nhân xét được chứng minh a 1.2 Lan can
1.2.1 Dinh nghia Cho 4 là tập con khác rỗng của không gian topo (X,r) Khi đó, tập con của X được gọi là một lan cận của tập A niếu tồn tại V € z sao cho
AcVvct:
Ngoài ra, nếu U € z, thì ta nói rằng U là lân cận mở của A Dac biệt, néu A = {z} thì ta nói rằng U IA lên côn của z 1.2.2 Nhận xí .Gi sử (X,z) là một không gian topo Khi đó,
(1) Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở Tùy nhiên, mỗi tập mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó
(2) Giao hữu hạn các lân cận của A cũng là một lân cận của 4 Tuy nhiên, giao thy ý các ln cận của A có thể không là lân cận của A
Ching mink Gi sử R la tập số thực với khoảng cách thông thường Ta đặt
¬ -
Khi đó, theo chứng mình của Nhận xét 1.1.3, (\ 4, = {0} không là một lân cận
của Ú a
1.2.3 B6 dB Giá sử (X,z) là không gian tao Khi đó, các mệnh đề sau tương đương
Trang 15(2) U la lan cận của mọi điển thuộc nó;
(8) Voi moi z € U, tần tai lan cận V„ của z sao cho z € V„ CƯ
Chứng mãnh (1) — (3) Giả sử U mỡ và z € U Nếu ta lấy V = Ú, thì rõ ràng V€z và z€ V CÚ Như vậy, U là lân cận của z (2) = 8) 7, th V; Ia lan cin etia x va x € Ve CU ii sit U 1A lân cận của mọi z € U Khi đó, với moi z € U, ta lấy
(8) — (1) Giả sử với mọi z € U, tồn tại lân cân V, eta 2 a0 cho 2 € Ve CU
Khi đó, vì V⁄, là lân cận của z nên tồn tại W, € z sao cho x € W, C V5 Do 46, U= U}c UW¿c U „c0
Đo đó, U = LJ W,€z: n
1.3 Tập hợp đóng
Trang 16* UAL 0.) “Thật vậy
© Giả sử z € LJ 4„ Khi đó, tồn tại n € N sao cho z € 4, = HH 10,0) © Gili sit € (0,1), khi đó 0 < x <1, Bai vi 1~2 > 0 nên tồn tại n € N sao cho 0<2<1—z Do đó, 0<z <1— 2T, Như ví Như vậy, nhận xét được chứng minh a 1.3.4 Vi du Cho X a,b,c} {0.x {a}, {0.5}, {0,0}, {0h} Khi đó, z là mot topo tren X
'Các tập hợp đóng trong X 1a X, 0, {be}, {eh (8); (ave) 1.4 Bao đóng của một tập hợp
1.4.1 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian topo (X,z) Khi đó, giao
Trang 17Cheng mink (1) Bai vi X là tập đồng chứa A nên X€CX :F đồng, AC F} Do đó, 2 tồn tại () Ta có « Bởi vì Ä= (FC X : F đồng Ala tap dong chứa A AC F) nên theo Nhận xét 1.3.2 ta suy ra
«A tap đồng nhỏ nhất chứa 4
‘That vay, giả sử G là tập đóng nhỏ nhất chứa 4 Khi đó,
Ge{PCX: F dong, ACF), kéo theo F=N CX: F dong, AC F.C (3) Ne A€{FCX:F đồng, AC F} Suy ra 4= (FC X:F đồng, AC F} CA (4) Ta có Ac øc
nhỏ nhất chứa A nên Ä C 7 T là tập đồng chứa
Trang 1810 2 Các tập đóng trong X chứa A là: X, {ø,c} "Như vậy, = XN fae} = fa, © Truong hop 2: A 0,0} © Cée tập đóng trong X là: X, 0, {0c}, {c}, {9} {a.c}: © Các tập đóng trong X chứa A là: X Như vay, =X « Trường hợp 3: A= {b,c} Cách 1
© Che tập đóng trong X là: X, 0, {0c}, {c}, {ð}, {ae}
ø Các tập đóng trong X chứa A là: X, {be}
Nhu vậy, =X 0 {be} = (6 Cách 2, Bai Vi A déng nen 7Ã Như vậy, ta có A= A 1.4.4 Vi du Xét R với topo thông thường, 4 C R Hãy tìm 2 bất (2,8); A= (a0); A= (a,b) Bai gidi, Ta 06 Ta a,b; Ta = fb 1.4.5 Bỗ đề Giả sử (X,z) là không gian topo Khi dé, (1) AUB=AvB;
©) URC U An đẳng thức không sấy mỹ
Trang 19" Chứng minh (1) Ta có s4UBc 4U “Thật vậy, vì AC AUB va BC AUB nen theo Nhận xét 1.4.2 ta có Ac 405; Bc AUB Như vậy, TUB c AUB + Theo Nhân xét 1.4.2(2) ta có AC: BCT
Do d6, AUB C AUB Lai theo Nhận xét 1.42 (2), và Ð đồng Do đó, theo Nhận xét 1.3.2 (2), ÄU Ð đóng Như vậy, áp dụng Nhân xét 1.2 ta thu được
AUB c AUB =AuB
(2) Véi mọi a € 1 ta có Ay CU Ag Theo Nhận xét 1.4.2 ta suy ra Tec UA Gi moi a €1 Do d6, Y Fe c UA (3) Theo Nhan xét 1.4.2(2) ta e6 ACA va BC B Dodo, ANBC ANB Sit dụng Nhận xét 1.3.2 va Nhan xét 1.4.2 ta suy ra ANB c ANB=AnB
Bay gid, ta chứng tỏ rằng đẳng thức không xẩy ra Thật vậy, giả sử E là tập
Trang 202
1.4.6 Dinh lí, Giá sử (X,z) là một khong gian topo, F C X Khi đó, z € khi và chỉ khi vdi moi lan cận mở V của z ta đều đó V nF #0,
Ching minh Điều kiện cần Giả sử z € T và V là một lân cận mỡ cña z Ta phải ching minh ing Vn F 4 0 Thật vậy, giả sử ngược hủ rằng V 0£ = 0, Khi d6, F CX \V, kéo theo Fc XVV Bởi 7 nên X \ V đồng, kóo theo XẤW =X\V Do đó, C X \ V, kéo theo xzeTnV=W
Nhờ mâu thuẫn này ta suy ra điều phải chứng mình
Điều kiện đủ Giả sử mọi lân cận mở V7 bắt kỳ của z ta đều có V (1# £0 Ta
tị giả sử ngược lại rằng x ¢ F Khi d6, x € X\F
Bởi vì F đóng nên X \ F là lân cận mở của z Theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra FO(X\Ƒ) #0 Do đó, phải chứng mình z € F Thật 0Z£n(XYP)C£o(X\E)=0, dy là một mâu thuẫn oO
1.4.7 Định nghĩa Giả sử (X,d) là một không gian metrie, (ra) © X Ta n6i day {z,} hội tụ đến z nếu d(z„,z) =» 0, nghĩa là với mọi e > 0, tồn tại N € N sao cho d(,,z) < £ với mọi n > N ta ký hiệu z„ —¬ z hoặc lim z, 1⁄48 Định lí Giá sử (X,đ) là sư hi tà chỉ khi lồn tai day {xạ} C F sao cho zạ => 3 Không gian metric, E C X Khi đó, z €T”
Ching minh © Điều kiện cần Giả sử r € , khi đó theo Định lí 1.4.6 ta suy ra với mọi lân can mé V cia z ta có V f1 # 0 Do đó,
Blz.A/n) OF 0 với mọi n EN
Trang 2118
3u € B(, lýn) với mọi n EN,
kéo theo 0 < d(z,,z) < 1/n Qua giới hạn khi = oc ta thủ được lìm đ(z,.z) = Ú, kếo theo 24 z
+ Điều kiện đủ Giả sử tồn tại {z,} C E sao cho x, ¬ z Ta phải chứng mình +€ Thật vậy, giả sử ngược lạ z ý Ÿ Khi đó, z € X \Z Bởi vì X \# € z nên tồn tại r > 0 sao cho Øz,r) C X \, Mặt khie, vi za z niên tồn tại V € Ni sao cho
(74,3) < r Với mọi n > A., Do đó, ta suy ra rằng
ay € Blz,r) CX\F
Suy ra xy ¢F, kếo theo zw ¢ F Điều này mâu thuẫn với zy € E a 1.4.9 Định lí, Giả sử (X,4) là một khong gian metric, F CX Khi dé, F đồng trong X Khí tà chỉ khí néu vdi mọi đâu {x,} C E` mix, +, ta đều 062 € F Ching minh « Điều kiện cần Giả sử F đồng, [z,} C E sao cho 2, + x Khi d6,
© Boi vi F dong nen F = F + Theo Dinh li 148, 2 €F =F
‘ Điều kiện đủ Giả sử với mọi dãy {z„} C F mà z„ => z ta đều có z € F Ta
phải chứng mình # đóng, nghĩa là phải chứng mình F c F
“Thật vậy, giả sử z ¢ F Khi đó, theo Dịnh lí 1.48, tồn tại dãy {24} CF sao
Trang 22“u 1.5 Phần trong của tập hợp 181 jnh nghĩa Gi của tắt cả các tập con mở nằm trong 4 được goi là phẩn irong của A, và ký hiệu Tat4 Như vị sử 4 là tập con của không gian topo (X,z) Khi đó, hop ImA=UlV er: Vc A} 1.5.2 Nhận xét Giá sử 4, 8 là e
tập con của không gian topo (X,z) Khi đó, (1) Is+A là tập con mở lớn nhất nằm trong A:
(2) A mé kbi va chi khi Tata = A:
(3) Nếu AC B, thi tnt c mB;
hing minh, (1) Boi vi Ime = UV € +: VC A} nen Int là tập con mở nằm trong A Bay gid, giả sử Ở là tập mở lớn nhất nằm trong 4 Suy ra G€{V€z:VC 4] Do đó,
GCU(V €z:VC A}= TneA () Giả sử A mỡ, khí đồ 4€ {V €r :V C 4} Suy ra
ACUW er: VC A= Int Ngược lại, nếu Ing = A, thi theo (1) ta suy ra 4 mỡ
(8) Cách 1 Bởi vì AC B nên
(V€z:VCA]}C{V€z:V CĐ} Do 46, Int c Int B
Cách 2 Theo (1), Int Ii tap md trong A.C Ö, va Int B là tập mở lớn nhất
nằm trong B Nhu vay, Int Ac Int B a
Trang 2315 Bai giải (1) Trường hợp 1: {hoc} Ta 06 (Ver:VA) = {6.10} Suy ra Int = 0U {5} = {ð) (Ð) Trường hợp 3: M = {a.Ð) Cách 1 Ta có WVer:VoM {0 {a} {4.0} (0}} Suy ra TnEA = OU {a} U {a,b} U {0} = {0,0} Cách 2 Bồi vì M {a,6) € + nên theo Nhận xết 1.5.2, Tn$A = Mr 1.5.4 Vi du Xét ® với topo thông thường, AC R Hãy tìm Tne4 biết BỊ; Á= (8,8); A= (a8 A 9)
Đài giải Bởi vì phần trong của 4 là tập hợp mở lớn nhất nằm trong 4 nên ta có = (8,8); Tne(a,b) = (a,8); Tnt(a,Bj = (a,b); Tntịa,ð) = (a,b) n
Tntịa,
1.5.5 Định lí Giá sử (X,z) la không gian topo Khi đó, (1) Iat(ANB) = Ten IB;
(2) tmeAU IneB C tnt(AUB), ding thức không sấu ra; (3) IA =X \XVA
Ching mink (1) Béi vi Tat C A và Ta C B nên IntAn IntB AC,
Mặt khéec, vi Int tatB la tap mé nim trong AM B va Tnt(A 0B) la tập mở lớn nhất nằm trong An nên
Trang 2416
Lai vi Int(AMB) C Tat va Tnt(AQB) C Tntổ nên
Int(AN B) C Int AN intB (2)
Từ (L1) và (12) ta suy ra điều phải chứng mình
(2) Boi vi Int CA và In C 8 nên TntAUTnt C AUĐ, Do đó, Tn.AUTnt là tập mở nằm trong 4U 8 Mặt khác, vì Tnt(4AU B) là tập mở lớn nhất nằm trong AU B nén IntAU Int B C Int(A UB)
Bay gid, ta chứng mình đẳng thức không xẩy ra
“Thật vậy, xét R là tập số thực với topo thông thường Ta lấy 4 = (0.1) B= (1,2) Khi đó,
IntA = (0,1), IntB = (1,2) và Tat(4U B) = (1,3) Như vậy,
(3) Boi vi X\ AC X\A nen
Trang 251.6 Biên của một tập hợp 1.6.1 Định nghĩa Giả sử 4 là tập con của không gian topo Khi đó, biển của -A là tập hợp được ký hiệu Ø4 = Ẩn X\4 1.6.2 Định lí Giá sử (X,z) là một không gian topo, AC X Khi đó, (1) mea = A\ a4; (2) A=Avaa
(8) {AUB) CdAUAB, ding thite không xéy ra; (4) (A.B) COAUAB, đẳng thúc khang xdy ra Ching mink, (1) Ta 66 B\ F = E(X\ F)
Trang 2618 Bay giờ, ta xét R vi topo thông thường, lấy A= (0.2), B= (1,3) Khi đó, I0.5|a[CS:T0P.S) LNB ban (CSuEs)) = lun (C00085) = 4031 Hoàn to tướng tự ta thủ được 28 = (1.3), KAU) = {03), 8An)= (13) Như vậy, Ø(AU B) = {0.3} € {0,1,3.8} = 0AU08; Ø(An B) = {1,3} (0,1,3,3}= 0AUØB: (ANB) = {1,2} ¢ 0= ANB Nhữ vậy, định lí được 1.7 Các tiên đề tách 1 Định nghĩa Cho không gian topo (X,r) Khi đó, (1) X được gọi là 7;
lông gian néu voi moi x, ý € X mà + 7 , tồn tại các
lăn cận mé U cia x va V của sao cho z ¢V vay ¢U,
(Ø) X được gọi là Tạ-không gian hay không gian Hausdorff néu voi moi = w€ X mà z Z w, tồn tại các lân cận mỡ U của z và V của sao cho UaV=0
(3) X được gọi là không gian chính quy nếu với mọi F đóng, z ¢ F, tồn tại
các lân cận mở của x, V cia F sao cho UNV
Trang 27
10
(5) X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu với mọi E, F đồng sao cho ENF = 0, tồn tại các lân cận mở Ứ của E và của sao cho UAV =0
(6) X được gọi là Tị-không gian nếu X la 7; không gian và chuẩn tắc
1.7.2 Định lí Đối nới không gian topo (X,z), các khẳng định sau là đúng
(1) X là Tị-Mhông gian khi tà chỉ khi tập một điểm {z} là đồng trong X tới
moi z€ X;
(2) X là không gian chính quy khi tà chỉ khi với mọi z € V € +, tồn tại W er
sao cho z€ W C TŸ € V;
(3) X 1a Không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi nối mọi F đồng sao cho F C Ver, tin tai Wer sao cho FEW WV
Ching mink (1) « Diéw kiện cần Giả sử X là Tị-không gian, z € X Ta chứng mình rằng (z} là đóng
“Thật vây, giả sử € 2Ý \ {x), kéo theo z z Khi đó, tồn tại lân cận mổ V của sao cho x £ V, kéo theo V CX \ {2}
thư vay, X\ {x} md, nghia Ia (z} đồng + Điều kiện đủ Giả sử tập một điểm bắt kỳ của X là đóng Ta chứng minh tầng X là Tì-không gian
“Thật vậy, giã sử z,y.€ X sao cho z z Khi đó, vì tập một điểm là đồng nên U — X (y] là lần cận mở của z không chia y va V =X \ (z} là lân cận mỡ của
không chứa z Như vậy, X là Tị-không gian
() « Điều kiện cần Giả sử X là không gian chính quy, và z € V € Tà đặt E= X \ V, Khi đó, F dong và x ¢ F Bai vì X là không gian chính quy nên tồn tai các lân cân mở IW của z và U của E sao cho WAU = 0, kéo theo W CX \U
Như vậy, ta có
~eWWCTFCXNP=X\UcX\F=V:
Trang 28”
“Thật vay, giả sử F đóng, x ¢ F Khi đó, ta đặt V = X\F € z Theo giả thiết,
tan tai 1 € 7 suo cho xe Wc Wc V Tà đặt Ứ = X \TP, tà có oW la lan cận mỡ của z + Bồi vì Ƒ= X\V CXÀT U €7 nên Ú là lân cận mở của F 2 Ta có Wav =Wa(X\W) cwo(X\W)=0 Như vậy, nW=0 a 1.7.8 Dinh li, D6i vi không gian topo (X,7), ta có Lh — 1
“Tuy nhiên, chiều ngược lại không đúng 1.8 Không gian compact
1.8.1 Định nghĩa Giả sử 4 là tập con của không gian topo (X,z) vAW = {Va}oer
là họ gồm các tập con nào đó của X Khi đó
(1) U được gọi là một phủ của 4 nếu AC Ù lí
(2) V được gọi là phủ con của t/ ph A néu YC và V phủ A
(8) Một phủ ⁄ của 4 được gọi là phủ mở của 4 nếu ## phủ 4 và C 7
1.8.2 Định nghĩa Giả sử £ là tap con của không gian topo (X,z) Khi đó, # được gọi là tập con compact trong X nếu mỗi phủ mở của #, tồn tại phủ con hữu hạn Nếu & = X, thì ta nói rằng X là khong gian compact
1.8.3 Nhận xét Dồi với khong gian topo (X,), các khẳng định sau là đúng (1) Hợp hữu hạn các tap con compact Ia tap con compact
Trang 29a
(3) Nếu X là 7-không gian, thì mỗi tập con compact của X đều đóng (4) Giả sử E, F là các tập con compact rời nhau trong 7;-khong gian X Khi
đó, tồn tai các lân cân mở U của E và V của F sao cho UNV = Do đó, nếu X là Ti-không gian compact, thi X là chuẩn tắc,
Chứng mình (1) Giả sử A, B là hai tập compaet Ta chứng minh 4U compact
“Thật vậy, giả sử tý = {U, :a € 1} là phủ mở của AUB, kéo theo AUB CU Ua, Khi đó,
© U phii ma tap compact A nén tồn tại ay, ,a, € 1 sao cho ACU)
©U phủ mở tập compact B nén tn tai a„.i, ,a„.„, € ƒ sao cho BC UU,
Nut vy, (Uays-+++Vassn} là phủ on hữu hạn của # phit AUB (Ð) Giả sử #4 = {U, :a € 1} là phủ mỡ của 4 Khi đó,
3 MU [X \ A) là phủ mổ của X, kéo theo nó là phủ mổ của tập compact B 2 Bởi vì X \.4 không phủ phần tử nào của 4 + Ta có 8= AU(B\ 4) Như vậy, tồn tại aụ, ,ơ, € 7 sao cho AC UVa, (3) Giả sử X là T-không gian và A compact Ta phải chứng mình 4 đóng nghĩa là phải chứng mình X \ A € z
‘That vây, giả sử z € X \ A Khi đó, với mỗi y € A ta có Z z
© Bai vi X là 7i-không gian nên tồn tại các lân cận mỡ U, cita x va tý của y sao cho U,f Vụ =
ø Bởi vi {¥,:y€ 4} là phủ mở của 4 eompaet nên tồn tại ụ, , , € A sao
Trang 302
© Ta dat U = (U,,, khi d6 U la lan can mỡ của z và
voac(Aen)o(U)-U (Aw)ov] Ueno,
Nhu vay, 2 €U CX\ A, nghia a X\ Aer,
(4) Ta có
© Voi moi x € F, vi EOF =O nen x ¢ F Theo cách chứng minh trong (3), tồn tại các lân can mé U; ctia x va V, etia F sao cho Up = 2 Bởi vì (U; :z € E} là phủ mỡ của £ compaet nên tồn tại zạ z„ € EB sao cho PC Ủ Dat 7 Ủ02, của F thến mãn vow =(Qu.)a( AV Khi d6, 0 1a lan cân mở của E và V là lân cận mở Ủ C- (A ⁄) <Uwnove)
Bay giờ, giả sử X là 7ekhông gian compact, £ và F là hai tập con đóng rời nhau Khi đó, theo (2) ta suy ra £ va F Ia hai tập con compact rời nhau Theo
điều vừa chứng mình ta suy ra tồn tại các lân cận mở 7 của E và V của F sao
Trang 31” 1.9 Ánh xạ liên tục
1.9.1 Định nghĩa Giả sử ƒ : (X,z) ~› (Y,z) là ánh xạ từ không gian topo (X,7) vào không gian (Y,ø) Khi đó,
(1) ƒ được gọi là ánh xạ liên tục tại điểm zụ € X nếu với mỗi lân cận mỡ của /(ạ) trong Ý, tôn tại lân cận mổ của 29 trong X sao cho f(U) CV
(2) f gọi là liên tue trên X (hay liên tục) nếu ƒ liên tục tại mọi điểm của X 19.2
inh It Gid sit f+ (Xr) -+ (Ye) la dn za từ không gian topo (X.7) vito không gian (Y,ø) Rhi đó, các khẳng định sau là tương đương
(1) ƒ lien tue
(J) Tạo ảnh của mỗi tập hợp mỏ trong Y: là một tập hợp mé trong X (3) Tao ảnh của mỗi tập hợp đồng trong Y là một tập hợp đồng trong X (4) /(8) € TỔ tái mọi AC X; (8) 7B) € ƒT(B) ti mọi BC Y; (6) ƒˆ"(n$B) C Tneƒ“(B) ti mọi BC Y, Chứng mảnl (1) —> (3) Giả sử ƒ là ánh xạ liên tụe và 7 md trong Y, Tà chứng mình /-!(7) mỡ trong X
“Thật vậy, giả sử z € /-1(U) IKhi đó, U là lân cân mở của ƒ(z) trong Y Bởi vì 7 là ánh xạ liên tục nên tổn tại lân cận mở V của z trong X sao cho f(V) CU
Như
FeV SURV) CHU),
(9) — (8) Giả sử rằng (2) thỏa mãn và F đóng trong Y Khi đó, ¥\ F mo trong Y, Bởi Vì (2) thỏa mãn nên f-1(¥' \ F) md trong X Mat khác, vì
Trang 324
nên f-'(F) dong trong X
(8) —+ (4) Giả sử (3) thỏa mãn và F(A) đóng trong ¥ nen f-"(7H)) dong trong X Mặt khác, vì A C /~'{(/(4)) C /~'Ƒ)) nên Ac FAFA) = FFA), Suy ra /(4) c F(A) (4) = (6) Theo khẳng định (4), với moi B.C Y ta có LOB) c TƯ T(B)) c Ð "(B) c FB) (5) = (6) Với mọi BC Y, ta có Suy ra ƒ7!(meB) = ƒ"!(Y \YVB) = X\ f(VVB) 5) Mặt khác, vì (5) thỏa mãn nên XƯTŒ=7TWNBJc /-'(V\P), (16) Như vậy, từ (1.5) và (L6) ta suy ra /7!GatB) CX \ VFB) = me f(B)
Trang 33”
1.9.4 Định lí Giá sử ƒ : (X,z) > (Ya) la Gh xa liên tục Khi đó, nếu K là tập
con compaet trong X, thì ƒ(K) là lập con compact trong Y Chứng mình Giả sử = Va: € 7] là phủ mỡ của /(E), nghĩa là /(K) C V2 Khi đó, Kc7'0@)c7(U) =7)
Đổi vì CC ø nên /“ (V2) € 7 với mọi a € J Do đó, {J-"(Va) +a € 1) 1a phủ mở của K trong X, Bởi vì K compact nén tn tại a ,a„ sao cho K C Ủ ƒ~!(W2,) Suy rà ‘ ƒ(K)Cƒ (ur “0)) 7 Uslr *(2] <Ö Như vậy, /(K) compaet trong a
1.10 Không gian con
1.10.1 Bổ đề Giá sử (X,z) là khong gian topo, F CX Khi dé, re = (VF V €7} là một topo trên F
Chứng mình Ta có
(1) Bồi vì z là một topo nên 0,X € z Do d6, 0= ON F € 1, P= XOF € rp
(2) Giả sit {Wiser C re Khi d6, tan tai {Vi}ier Cr sao cho w V0 F voi mọi ¡ € 1 Bai vi (V;} Cz nen YVi€ z Do đó, Um =Utinr)=(Un)arer
(8) Giả sử A,B € te Khi d6, tồn tại UV”
Trang 346
1.10.2 Định nghĩa Giả sử (X,z) là không gian topo, F CX, (24) CX Khi d6, (1) (Fre) được gọi là không gian cơn của (X,r);
(2) {z,} được gọi là hội tự đến zụ trong X nếu với mọi lân cận V của zụ, tồn tai N EN sao cho {zo} U {ann > N}CV
1.10.8 Nhận xét Giả sử (F,zy) là không gian con cita (X,7), UC F va (24) CF Khi đó,
(1) 0 mé trong (F,zg) <= tồn tại V mở trong X sao cho U = FAV;
(9) U là lân cận của z trong F ©— tồn tại lân cận V của z trong X sao cho U=FnV;
(3) 24-92 trong F <=> 24 > trong X
Chứng mình (1) Suy trực tiếp từ định nghĩa
(2) Điều kiện cằn Giả sử là lân cận của z trong F Khi đó, tồn tại W € re sao cho x € W CU Bai Vi W € zp nen tdn tại 4 € 7 sao cho TỪ = 1A Dặt V=UU(X \ F), ta thủ được se€A=(AnF)U(An(XAE)) CWU(VE)CU(X£)=V: 0U(XE)nE=(0n#)01X#)n#]=0 Điều kiện di Gi «Wn#
itn tai lan cận V của z trong X sao cho U = FAV Khi đó, vì V là lân cận cña z nên tồn tại AE r sao cho z € ACV Ta cd ANF € rp xeAnFcVnE Như vậy, Ứ là lân cận của z trong F: (3) Giả sử {z„} C F, khi đó,
+ Giả sử z„ ~ z trong F va U Ia lan cận của z trong X Khi đó, (1# là lân
cận của z trong Ƒ- Bởi vì z„ — z trong F nên tồn tại nọ € Ñ sao cho
Trang 35Nhut vay, 25 z trong X
+ Gia sit x, > r trong X va U Ia lan cận của z trong # Khi đó, tồn tại lân
cân V của z trong X sao cho U — VOE Bồi vì s„ —> z trong X nên tồn tại nụ €
sao cho z, € với mọi n > no, kéo theo
am EV NF =U vOi min > no
Nhut vay, 9-7 trong F a
1.10.4 Dinh If Giả sử (F.zp) là không gian con của (X,z), E C E- Khi đó, (1) E đóng trong F khi va chỉ khi tồn tại tập con đóng A trong X sao cho E=AnF: @) E°=EnE: Chứng mink, (1) Ta 66 E đồng trong F => F\ E € 7p,
== tin tai V er sao cho F\E= VF,
Trang 36CHƯƠNG 2 TICH DOI XỨNG CỦA KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG “Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày về cơ ở cña topo, cơ sở tai
một điểm, cơ sở lân cận, topo Vietoris và chứng mình một số tính chất cơ bản
chúng tôi nghiên cứu về siêu không gian và tích đối xứng cắp ø
chỉ tiết một số tính chất topo trên siêu không gian và trên tích đối xứng cắp n Nhờ đó, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất mạng của không gian metric rong trên tích đối xứng cấp » và trên siêu không gian F(X) Chứng mình chỉ tiết mối liên hệ giữa c-mang cũng như cä-mang có tính chất ø-(P) trên khong gian metric suy rộng X với cn-mang cũng như ck-mang có tính chất ø-(P) trên tích đối xứng cấp n của nó,
"Ngoài ra, chúng tôi quy ước thêm rằng nếu A là tập con của không gian topo X, thì bao đóng của 4 được ký hiệu là 7, và nếu A là tập con
gian Z(X), thì chúng tôi ký hiện c1(24) là bao đồng của A Giả sử rằng #/ là họ nào đó gồm các tập con của khong gian topo (X,r), ta ký hiệu
ủa siêu khơng
Uữ =U(U :U €#) Ngồi ra, chúng tôi dùng thêm ký hiệu
N= (1,2 ) 0 ={0}UN,
Trang 37”
2.1 Cơ sở của topo và topo Vietoris
Mụe này đành cho việc trình bày về cơ sở của topo, cơ sở tại một điểm, cơ sở lân cận, topo Vietoris và chứng minh một số tính chất cơ bản của nó 2.1.1 Định nghĩa (2) Cho (A Hing BIA of sở của z hay của (X,z) nếu mỗi phần tử của z là hợp nào đó các 7) là một không gian topo và 8 C z Tà nói
2.1.2 Nhận xét (J3) B là cơ sở của z khi và chỉ khi với mọi U € z, với mọi +€ , tồn tại Be B sno cho re BCU
‘That vay, gid sit B la cơ sở của z, U € z và z € U Khi đó, theo định nghĩa cơ
số, tôn tại họ {Ø, :a € A} CB sao cho xer= 0x Do đó, tồn tại ay € A sao cho 2 € Ung Như vậy, lồn tại Us, € B sao cho 2 EU ny CU Ngược lại, giả sử rằng véi moi U € 7 và với moi x € U, tin tai B € B sao cho +€ BC U Ta chứng mình rằng B là cơ sở của z “Thật vậy, giả sử U € r Khi đó, theo giả thiết ta suy ra với mỗi z € U, tồn tại B, €B sao cho + € B, C U Ta có 0= UJŒ)c UJ#,cữ
vay, U 1A hợp nào đó các phần tử của 8 2.1.8 Định lí (J3) Giá sử B là cơ số của z Khi đó,
(1) Với moi z € X, tổn tại U € B sao cho + € U
Trang 3830
Chứng minh (1) Giả sử z € X, khi đó vì z € X € r và B là cơ sở của 7 nên tồn tai U € B sao chor EU CX,
(9) Giả sử U, V € B và z € UAV Khi dé, vi BC r nen U, V € 7, kéo theo UAV er Mat khác, vì B là cơ s8 etia X nen W € B sao cho re WCUAV.O 2.1.4 Dinh Ii ((2)) Giá sử B là một họ gồm các tập con của X thỏa mãn hai điều kiện tong Dinh lí 2.1.8 Khả đó, tin tai mot topo + sao cho E là cơ sở của Chứng mình Goi z là họ mà mỗi phần tử của r là hợp nào đó các phần tử của 8 Khi đó, z là một topo trên X Thật vậy,
(1) Bởi vì hợp của họ rỗng là rỗng nên @ € z Mặt khác, từ điều kiện (1) của Dinh lí 2.1.3 ta suy ra X er,
(2) Giả sử (Ua}aca C z Khi đó, với mỗi œ € A, tồn tai (Ba 8 € J2} sao cho Như vậy, (3) Bay giờ, gid sit U,V € z Khi đó, tồn tại các họ (U,:a€A)CB, (Ú¿:2€P]CB sao cho v=Uu a Ta có av=(J (J0) ¿ muốn chứng mink UAV € z ta chỉ cần chứng mình rằng mỗi ,f3Ý2 € 7:
sử œ€ A, đ € T Khi đó, từ điều kiện (2) cia Dinh Ii 2.13 suy ra với mỗi z € Uạ Ø Ví, tồn tại Ủ, € B sao cho
Trang 3931 Do đó, ta có 0n trìc 0c0aw„ Điền này chứng tỏ rằng tr, 2 V/ € n
2.1.5 Định nghĩa (2|) Giả sử (X,z) là một không gian topo Khi đó, một họ B(z) gồm các lân cận mở của z được gọi là cơ sở tại z nếu với mọi lan cận V của +, tồn tại Ứ € B(z) sao cho z € E7 CV,
Hồ {B(z)}cx được gọi là hệ lên cận của không gian topo (X,7)
3.1.6 Định lí ([2) Giả sử (X,z) là một không gian topo, {B(z)},.v là hệ lân cân của X Khi dé,
(1) Với mọi z € X, B(x) £0 va wi moi U € Bữ), z € Ư; (2) Nếu r € U € B(y), thì tỏn tại V € B(z) sao cho V CU, (8) Vi mọi U¿.U; € BG), tồn tại U € Ble) sao cho U C Uy (1U
Chứng mình (1) Bai vi X € z nên với mọi x € X, X € B(x), kéo theo B, Z Hơn nữa, nếu Ú € B(z), thì U là lân cận mở của z, do đó 2 € U
(2) Giả sử z € U € B(y), khi đó U là lân cận mở của ự Bồi vì z € € r nên U là lân cận mở của z Mặt khác, vì B(z) là cơ sở tại z nên tồn tại € BỊz) sao chor eV CU,
(3) Giả sử ị,0a € B(z), khi đồ z € 1; 00; € z Bởi vì B(z) là cơ số tại z nên
tồn tại U € B(x) sao cho Ứ C Ui 02 a
3.1.7 Định lí (3) Giá sử (Be)zcx la ho các tập con của X thỏ mãn các tính chất trong Dinh li 2.1.6 Khi dé, tin tai mot topo + trên X sao cho ho {B,}ex
la hé cơ sở lân cân của +
Trang 4032 (a) cL) (AC X : A đồng và khác rỗng); (3) 3Ý ={A€ CE(X) : A compact): (3) Z4(X) = {A€#Y: |A| <n); (4) F(X) = {4 € 2X : 4 hữu hạn} và đt 8S (0i ) 0 0€, ke N} trong đó đi
ñ) =[4€CB(X):AC J0, AOU # 8 với mới <b}
2.1.9 Định lí (J0) B là eg sở của một topo © nao dé tren CL(X)
Ching mink Ta goi Y là họ mà mỗi phần tử của nó là hợp nào đó các phần tử cña B Khi đó, theo Dinh i 2.1.4, ta chỉ cần chứng mình rằng thỏa mãn hai khẳng định trong Định lí 2.1.3 Thật vay
+ Khẳng định 1 Nến A € CL(X), thì tồn tại B € B sao cho Ae B
“Thật vậy, vì X € z nên (X) € B Mặt khác, vì AC X va AN #0 nen ta suy rà rằng Á € (X), + Khẳng dink 2 New By By € B va Ae By By thi tdn tai B € B sao cho Aeôc Bia; “Thật vậy, giả sử rằng đi = (0, ,U2, ñà = (Mụ ) € B, A€ (0ị, U/) (Ms Khi đó,
AnU, Z0 với mại ¡ < s; AC L0, ea