ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHO[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN XUÂN THÀNH THÁI NGUYÊN, 5/2019 ii Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian chuẩn 1.1.3 Không gian Banach 1.1.4 Khơng gian có tích vơ hướng 1.1.5 Không gian Hilbert 1.2 Đạo hàm suy rộng không gian Sobolev 1.3 Hàm nội suy 13 Chương Đánh giá sai số nội suy 2.1 2.2 16 Hàm nội suy chiều 16 2.1.1 Hàm nội suy số chiều 16 2.1.2 Hàm nội suy tuyến tính chiều 18 2.1.3 Hàm nội suy bậc hai chiều 21 2.1.4 Ví dụ số 26 Hàm nội suy tuyến tính hai chiều 28 iii Chương Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn 37 3.1 Bài toán biên elliptic 37 3.2 Phương pháp biến phân 39 3.3 Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn 43 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Việc nghiên cứu trình tự nhiên thường dẫn đến tốn biên phương trình đạo hàm riêng Giải số tốn yêu cầu quan trọng thực tiễn Một phương pháp hay dùng để giải số (giải gần đúng) phương trình đạo hàm riêng phương pháp phần tử hữu hạn Ý tưởng xấp xỉ nghiệm không gian hữu hạn chiều sinh hàm đa thức (tuyến tính, bậc cao) phần tử hữu hạn (trong đó, phần tử hữu hạn hiểu đoạn thẳng chiều, tam giác hai chiều, tứ diện ba chiều) Mục đích luận văn nghiên cứu việc xấp xỉ hàm số hàm nội suy tuyến tính (hoặc số, bậc hai) chiều hai chiều đánh giá sai số phương pháp nội suy Cụ thể đánh giá sai số nội suy không gian hàm L2 W Các hàm nội suy tuyến tính dùng để đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn Nội dung luận văn trình bày ba chương, gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đánh giá sai số nội suy Chương Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Phan Xuân Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu viết luận văn 2 Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, tồn thể thầy trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập Trường Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K11 (khóa 2017-2019), bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 11 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Hứa Thị Thùy Bông Bảng ký hiệu kxk chuẩn vectơ x Rn không gian Euclide n-chiều L2 (a, b) khơng gian hàm bình phương khả tích (a, b) Lloc (Ω) khơng gian hàm khả tích địa phương Ω L∞ (Ω) không gian hàm đo bị chặn hầu khắp nơi Ω Wm (Ω) không gian Sobolev cấp m C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vơ hạn lần có giá compact Ω C(Ω) không gian hàm liên tục miền Ω C m (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp m miền Ω eoc estimated order of convergence - ước lượng tốc độ hội tụ uI (x) hàm nội suy (đa thức) hàm u(x) Vh không gian hữu hạn chiều không gian Hilbert V h bước lưới (của phép chia miền) Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức không gian, khái niệm đạo hàm suy rộng, không gian Sobolev khái niệm hàm số nội suy Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1, 3, 4] 1.1 1.1.1 Các không gian hàm Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Không gian vectơ V trường vô hướng K tập đối tượng, đối tượng gọi vectơ, có xác định hai phép tốn: 1) Phép cộng: ứng cặp phần tử x y thuộc V có cách xác định phần tử thuộc V , viết x + y; 2) Phép nhân với vô hướng: ứng phần tử x ∈ V số k ∈ K có cách xác định phần tử thuộc V , viết kx; cho tính chất sau thỏa mãn: 1/ x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ; 2/ x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ V ; 3/ Tồn θ ∈ V cho θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V Phần thử θ gọi phần tử “trung hòa” hay phần tử “không” V ; 4/ Với x ∈ V tồn −x ∈ V cho x + (−x) = −x + x = θ Phần tử −x gọi phần tử “đối” x; 5/ k(x + y) = kx + ky, ∀x, y ∈ V, 6/ (k + l)x = kx + lx ∀x ∈ V, 7/ k(lx) = (kl)x ∀x ∈ V, 8/ 1x = x, ∀k ∈ K; ∀k, l ∈ K; ∀k, l ∈ K; ∀x ∈ V Tám tính chất gọi tám tiên đề không gian vectơ Chú ý 1.1.2 Sau thường ta xét trường hợp K trường số thực R 1.1.2 Không gian chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Khơng gian chuẩn, cịn gọi khơng gian định chuẩn, khơng gian vectơ V ứng với phần tử x ∈ V có cách xác định số thực ký hiệu kxk gọi chuẩn x, thỏa mãn ba tính chất: 1/ kxk ≥ 0, ∀x ∈ V ; kxk = ⇔ x = θ; 2/ kkxk = |k|.kxk, ∀x ∈ V, 3/ kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀k ∈ K; ∀x, y ∈ V Ba tính chất gọi ba tiên đề chuẩn vectơ hay không gian chuẩn Tập phần tử không gian vectơ V gọi tập không gian chuẩn V Sự hội tụ Trong không gian chuẩn V xét dãy phần tử {xn } Nói dãy xn hội tụ tới x ∈ V (hay có giới hạn x ∈ V ) dãy số kxn − xk −→ n −→ ∞, tức ∀ > ∃N : n > N ⇒ kxn − xk < Khi ta viết xn −→ x n −→ ∞ hay đơn giản xn −→ x Nói dãy xn hội tụ V hay dãy xn hội tụ tồn x ∈ V để xn −→ x 1.1.3 Không gian Banach Cho V không gian chuẩn Xét dãy {xn } ∈ V Định nghĩa 1.1.4 Ta nói dãy xn dãy Cauchy với số > cho trước tồn số nguyên dương N tương ứng để n, m > N ⇒ kxn − xm k < Dãy Cauchy có tính chất sau: Mọi dãy Cauchy khơng có q giới hạn Thực vậy, giả sử {xn } ∈ V có hai giới hạn a b với a 6= b, nghĩa kb − ak > Khi với = kb − ak/4 tồn số nguyên N > cho n > N kxn − ak < kb − ak , kxn − bk < kb − ak Từ b − a = (xn − a) − (xn − b) ta suy kb − ak Vậy có b 6= a, nghĩa dãy Cauchy có giới hạn 7 Trong khơng gian chuẩn V dãy hội tụ dãy Cauchy Thực vậy, giả sử xn → x ∈ V ∀ > ∃N : n > N ⇒ kxn − xk < Do ∀ > ∃N : n, m > N ⇒ kxn − xm k < kxn − xk + kxm − xk ≤ + = 2 Nhưng dãy Cauchy hội tụ Định nghĩa 1.1.5 Một không gian chuẩn V dãy Cauchy hội tụ không gian đầy Không gian chuẩn đầy gọi khơng gian Banach 1.1.4 Khơng gian có tích vơ hướng Tích vơ hướng Trong khơng gian vectơ V trường số thực R tồn ánh xạ: V × V → R, tức ứng cặp (u, v) ∈ V × V có cách xác định số thực ký hiệu (u, v)V cho năm tính chất sau thỏa mãn: (i) (u, v)V = (v, u)V ∀u, v ∈ V (ii) (u + w, v)V = (u, v)V + (w, v)V (iii) (ku, v)V = k(u, v)V ∀u, v, w ∈ V ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ R (iv) (u, u)V ≥ ∀u ∈ V (v) (u, u)V = ⇔ u = θ đại lượng (u, v)V gọi tích vơ hướng khơng gian vectơ V V gọi khơng gian có tích vơ hướng Năm tính chất gọi năm tiên đề tích vơ hướng 8 Chú ý 1.1.6 Thường khơng sợ hiểu lầm, người ta bỏ số V viết (u, v) thay cho (u, v)V cho gọn Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunhiacowski (C-S-B) Trong khơng gian có tích vơ hướng có bất đẳng thức sau, gọi bất đẳng thức CauchySchwarz-Bunhiacowski, viết tắt C-S-B: |(u, v)V |2 ≤ (u, u)V (v, v)V hay |(u, v)| ≤ (u, u).(v, v) (C − S − B) Chứng minh Theo tính chất (iv) tích vơ hướng ta có (u + tv, u + tv) ≥ ∀t ∈ R Do (u, u) + (u, tv) + (tv, u) + (tv, tv) = (u, u) + 2t(u, v) + t2 (v, v) ≥ ∀t ∈ R Ta gặp tam thức bậc hai t, t ≥ ∀t ∈ R ⇒ có biệt số (u, v)2 − (u, u)(v, v) ≤ ⇒ bất đẳng thức C-S-B 1.1.5 Không gian Hilbert Không gian tiền Hilbert khơng gian Hilbert Trong khơng gian có tích vơ hướng V ta xét đại lượng p (u, u) ∀u ∈ V Theo tính chất tích vơ hướng, đại lượng thỏa mãn ba tiên đề p chuẩn vectơ Không gian vectơ V với chuẩn kukV := (u, u) không gian chuẩn Không gian chuẩn gọi không gian tiền Hilbert Nếu không gian tiền Hilbert khơng gian đầy gọi không gian Hilbert Không gian Hilbert không gian Banach Trong không gian Hilbert V (u, v) = ∀v ∈ V u = θ 9 Thực vậy, thay v = u ta suy (u, u) = Vậy theo tính chất (v) tích vơ hướng u = θ (phần tử khơng) Chú ý 1.1.7 Trong không gian Hilbert V bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng |(u, v)| ≤ kuk.kvk 1.2 Đạo hàm suy rộng không gian Sobolev Cho Rn tập điểm x = (x1 , x2 , , xn ), xi ∈ R, n số nguyên dương Ta tập trung quan tâm đến trường hợp n ≤ Xét điểm y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Đại lượng p d(x, y) := (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + · · · + (yn − xn )2 gọi khoảng cách từ y đến x δ số dương, tập ω(x, δ) := {y ∈ Rn : d(x, y) < δ} gọi δ-lân cận x Ω ⊂ Rn , x ∈ Rn Ta nói x điểm Ω x ∈ Ω tồn δ-lân cận x nằm hoàn toàn Ω Ta nói Ω tập mở Ω gồm điểm Ta nói x điểm biên Ω θ-lân cận x chứa điểm thuộc Ω điểm không thuộc Ω Tập hợp gồm tất điểm biên Ω gọi biên Ω, thường ký hiệu Γ Ta viết Ω := Ω ∪ Γ Ta nói Ω tập đóng Ω chứa tất điểm biên Chẳng hạn Ω tập đóng Ta nói Ω liên thơng hai điểm Ω nối với đường thuộc Ω Ta nói Ω bị chặn tồn điểm x0 ∈ Rn số thức ρ cho d(x0 , x) ≤ ρ ∀x ∈ Ω 10 Tập Ω Rn , không rỗng, mở, liên thông gọi miền; Ω bị chặn miền bị chặn Cho Ω miền bị chặn Rn Xét không gian hàm thực sau: C(Ω) tập hàm u(x) liên tục Ω với kukC(Ω) := max{|u(x)|} x∈Ω Khi đại lượng kukC(Ω) thỏa mãn ba tiên đề chuẩn vectơ C(Ω) với chuẩn vectơ định nghĩa trở thành không gian Banach, giữ ký hiệu C(Ω) Sau ta dùng ký hiệu: Cho αi nguyên, αi ≥ 0, i = 1, 2, , n Khi |α| := α1 + α2 + · · · + αn α := (α1 , α2 , , αn ), α D u := ∂ ∂x1 α1 ∂ ∂x2 α2 ∂ ∂xn αn m số nguyên ≥ Xét tập C m (Ω) := {u|Dα u(x) ∈ C(Ω), |α| ≤ m} với chuẩn kukC m (Ω) := X |α|≤m max{|Dα u(x)|} x∈Ω C m (Ω) không gian Banach Trường hợp m = C (Ω) trùng với C(Ω) Đạo hàm suy rộng Ta ký hiệu Lloc (Ω) không gian hàm khả tích địa phương, tức u ∈ Lloc (Ω) u khả tích tập đóng bị chặn K ⊂ Ω Khơng gian C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Với φ, ψ ∈ C0∞ (Ω), ta có cơng thức tích phân phần Z Z ∂ψ(x) ∂ϕ(x) ψ(x)dx = − ϕ(x) dx ∂xi Ω Ω ∂xi 11 Dựa cơng thức tích phân này, người ta đưa khái niệm đạo hàm suy rộng sau Định nghĩa 1.2.1 Hàm u ∈ Lloc (Ω) có đạo hàm suy rộng biến xi , tồn hàm v ∈ Lloc (Ω) cho Z Z ∂ϕ(x) v(x)ϕ(x)dx = − u(x) dx với ϕ ∈ C0∞ (Ω) ∂xi Ω Ω Ta ký hiệu đạo hàm suy rộng ∂u(x) := v(x) ∂xi Một cách đệ quy, ta định nghĩa đạo hàm suy rộng cấp α hàm u(x), ký hiệu hàm Dα u(x) ∈ Lloc (Ω) Z Z α |α| [D u(x)]ϕ(x)dx = (−1) u(x)Dα ϕ(x)dx với ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω Ω Lưu ý, hàm có đạo hàm có đạo hàm suy rộng hai đạo hàm trùng Nhưng có hàm số có đạo hàm suy rộng mà khơng có đạo hàm thường Khi định nghĩa khơng gian Sobolev phần sau, đạo hàm hiểu theo nghĩa suy rộng Thí dụ khơng gian Hilbert L2 (Ω) tập tất hàm số u(x) có bình phương khả tích Ω: Z [u(x)]2 dx < ∞, dx = dx1 dx2 dxn Ω Tích phân hiểu theo nghĩa Lebesgue Tích phân Lebesgue dạng mở rộng tích phân Riemann Một hàm số khả tích Riemann khả tích Lebesgue lúc hai tích phân Nhưng có hàm số khả tích Lebesgue mà khơng khả tích Riemann Trong L2 (Ω) người ta xét đại lượng Z (u, v)L2 (Ω) := u(x)v(x)dx Ω 12 Theo tính chất tích phân, đại lượng thỏa mãn tính chất tích vơ hướng, nên tích vơ hướng L2 (Ω) Sau ta định nghĩa chuẩn vectơ: kukL2 (Ω) sZ q := (u, u)L2 (Ω) = [u(x)]2 dx Ω Khi L2 (Ω) khơng gian đầy trở thành khơng gian Hilbert Nếu tích phân hiểu theo nghĩa Riemann L2 (Ω) khơng đầy khơng phải khơng gian Hilbert Ta định nghĩa không gian L∞ (Ω) không gian hàm u đo bị chặn hầu khắp nơi với chuẩn kukL∞ (Ω) := esssupx∈Ω {|u(x)|} := sup |u(x)| inf K⊂Ω,µ(K)=0 x∈Ω\K Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: Cho f, g ∈ L2 (Ω) Khi ta có bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Z 2 Z Z f (x)g(x)dx ≤ f (x)dx g (x)dx Ω Ω Ω Chứng minh Với t ∈ R ta có Z [f (x) − tg(x)]2 dx ≥ Ω ⇔ t2 Z g (x)dx − 2t Ω Z Z f (x)g(x)dx + Ω f (x)dx ≥ ∀t Ω Biểu thức trái tam thức bậc hai t Để tam thức bậc hai không âm, với t, biệt thức 40 ≤ Z 2 Z Z 40 = f (x)g(x)dx − g (x)dx f (x)dx Ω Z ≤0⇔ Ω Ω 2 Z Z f (x)g(x)dx − g (x)dx f (x)dx ≤ Ω Ω Ω Vậy Z Ω 2 Z Z f (x)g(x)dx ≤ g (x)dx f (x)dx Ω Ω 13 Bây đạo hàm hiểu theo nghĩa đạo hàm suy rộng Ta định nghĩa không gian Sobolev sau: Giả sử m số nguyên không âm Ω miền bị chặn Xét tập W m (Ω) := {u|Dα u ∈ L2 (Ω), |α| ≤ m} Trong W m (Ω) người ta đưa vào tích vơ hướng (u, v)W m (Ω) := X (Dα u, Dα v)L2 (Ω) |α|≤m chuẩn kukW m (Ω) := q (u, u)W m (Ω) Khi W m (Ω) trở thành khơng gian Hilbert Trường hợp m = W (Ω) trùng với L2 (Ω) Khi m = chuẩn không gian W (Ω) cho sZ u2 (x)dx + kukW (Ω) : = Ω Z |∇u(x)|2 dx, Ω v uZ 2 n Z X u ∂u dx = t u2 (x)dx + ∂x i Ω Ω i=1 Giả sử Γ := ∂Ω biên miền Ω Ta định nghĩa W01 (Ω) := {u|u ∈ W (Ω), u|Γ = 0} Không gian Sobolev W m (Ω) ký hiệu H m (Ω) 1.3 Hàm nội suy Cho Ω miền bị chặn không gian Rn Ta giả sử Ω đa giác (n = 2) hay đa diện (n = 3) Ta thực việc chia miền Ω thành phần 14 tử hữu hạn Ω= [ Tk , k Tk đoạn thẳng (n = 1), tam giác (n = 2) hình tứ diện (n = 3) Ta giả sử việc chia miền Ω thỏa mãn điều kiện sau: i) Các phần tử hữu hạn khơng có điểm chung ii) Khơng có đỉnh tam giác nằm cạnh tam giác (n = 2), hay khơng có đỉnh tứ diện nằm cạnh hay mặt tứ diện khác, khơng có cạnh tứ diện nằm mặt tứ diện khác (n = 3) iii) Các góc tam giác (n = 2) hay góc tam diện (n = 3) tứ diện không nhỏ θ0 > Điều đảm bảo diện tích tam giác (n = 2) hay thể tích tứ diện (n = 3) dần đến cạnh dần đến Gọi {xi , i = 1, , N } tập nút lưới Xét hàm số u(x) xác định miền Ω Ý tưởng ta muốn xấp xỉ hàm u(x) hàm uh (x), với uh (x) đa thức phần tử hữu hạn Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm số u(x) ∈ C(Ω) Hàm uI (x) gọi hàm nội suy tuyến tính u(x) Ω uI (xi ) = u(xi ) với i = 1, , N uI (x) hàm tuyến tính phần tử hữu hạn Tk Ta định nghĩa hàm nội suy số hay hàm nội suy đa thức với bậc lớn Mục đính luận văn chứng minh đánh giá sai số hàm nội suy không gian khác nhau, tức đánh giá sai số ku − uI k Đó nội dung chương luận văn Để chứng minh đánh giá sai số ta cần sử dụng khai triển Taylor sau 15 Định lý 1.3.2 (Khai triển Taylor) Đặt X k! u (x; y) = ∂ α u(x)y α , α! (k) |α|=k α! = α1 ! αn ! y α = y1α1 ynαn Ta có cơng thức Taylor Z n X (k) 1 u(x + y) = u (x; y) + (1 − t)n u(n+1) (x + ty; y)dt k! n! k=0 16 Chương Đánh giá sai số nội suy Nội dung chương trình bày hàm số nội suy chiều hàm số nội suy tuyến tính hai chiều 2.1 Hàm nội suy chiều Cho hàm số u(x) xác định đoạn [a, b] Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn điểm chia a = x0 < x1 < x2 < < xn = b, xk = x0 + kh = x0 + k b−a , n b−a bước lưới n Ta xét hàm nội suy số, tuyến tính, bậc hai hàm u [a, b] h = đánh giá sai số tương ứng 2.1.1 Hàm nội suy số chiều Ta xây dựng không gian hàm số khúc xác định [a, b] sau Sh :={ϕ0k (x), k = 1, , n}, ϕ0k (x) = 1 x ∈ [xk−1 , xk ], 0 ngược lại ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO... lớn Mục đính luận văn chứng minh đánh giá sai số hàm nội suy không gian khác nhau, tức đánh giá sai số ku − uI k Đó nội dung chương luận văn Để chứng minh đánh giá sai số ta cần sử dụng khai triển... ty; y)dt k! n! k=0 16 Chương Đánh giá sai số nội suy Nội dung chương trình bày hàm số nội suy chiều hàm số nội suy tuyến tính hai chiều 2.1 Hàm nội suy chiều Cho hàm số u(x) xác định đoạn [a, b]