ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC THÀNH TÍCH NGOÀI CỦA BA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC THÀNH TÍCH NGỒI CỦA BA VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC THÀNH TÍCH NGỒI CỦA BA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 i Mục lục Mục lục i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Danh mục hình vẽ v Phần mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Tích ngồi hai vectơ mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Biểu thức tọa độ tích ngồi hai vectơ 1.1.4 Mối quan hệ tích ngồi tích vơ hướng hai vectơ 1.1.5 Diện tích tam giác 1.1.6 Diện tích hình bình hành 1.1.7 Diện tích tứ giác Tích ngồi ba vectơ khơng gian 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Biểu thức xác định tích ba vectơ 1.2.4 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ khác vectơ không 1.2.5 Tích ngồi ba vectơ hình học Euclid 1.2.6 Thể tích hình hộp ii Vận dụng tích ngồi hai vectơ để giải số tốn hình học phẳng 2.1 2.2 11 Ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng 11 2.1.1 Hệ thức ba vectơ 11 2.1.2 Công thức cộng cung lượng giác 12 2.1.3 Đường thẳng, giao điểm hai đường thẳng 12 2.1.4 Điều kiện đồng quy ba đường thẳng 2.1.5 Định lý Céva 14 13 Một số ví dụ minh họa ứng dụng tích ngồi hai vectơ q trình giải tốn hình học phẳng 15 Vận dụng tích ngồi ba vectơ để giải số tốn hình học khơng gian 3.1 3.2 25 Ứng dụng tích ngồi ba vectơ khơng gian 25 3.1.1 Thể tích hình tứ diện 25 3.1.2 Điều kiện đồng phẳng cho bốn điểm 26 3.1.3 Phương trình mặt phẳng hình học Euclid 27 3.1.4 Định lý Thales không gian 28 Một số ví dụ minh họa ứng dụng tích ngồi ba vectơ q trình giải tốn hình học khơng gian 29 Kết luận Tài liệu tham khảo 55 57 iii Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Phó Giáo sư - Tiến sĩ Trịnh Thanh Hải Tác giả xin trân trọng bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn Phạm Ngọc Thành iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt → − − (→ a, b) (a, b) S[XY Z] SXY Z → − − → − → − a ↑↑ b (→ a ↑↓ b ) → − → − a k b VTCP VTPT BĐT → − − Góc lượng giác hai véc tơ → a, b Góc hai đường thẳng a, b Diện tích đại số 4XY Z Diện tích hình học 4XY Z → − − Hai véc tơ → a , b hướng (ngược hướng) → − − Hai vectơ → a , b phương Vectơ phương Vectơ pháp tuyến Bất đẳng thức v Danh mục hình vẽ Hình 1: Hình 2: Hình 3: Hình 4: 14 Hình 5: 15 Hình 6: 16 Hình 7: 17 Hình 8: 18 Hình 9: 19 Hình 10: 20 Hình 11: 22 Hình 12: 23 Hình 13: 26 Hình 14: 28 Hình 15: 29 Hình 16: 30 Hình 17: 31 Hình 18: 35 Hình 19: 36 Hình 20: 37 Hình 21: 38 Hình 22: 39 Hình 23: 40 Hình 24: 41 Hình 25: 42 vi Hình 26: 45 Hình 27: 46 Hình 28: 47 Hình 29: 48 Hình 30: 49 Hình 31: 50 Hình 32: 50 Hình 33: 51 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình giáo dục trung học phổ thơng mơn tốn, nội dung tích ngồi vectơ, mà cụ thể tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ không gian chưa đưa vào giảng dạy mà nội dung đề cập đến chương trình mơn tốn dành cho học sinh chun tốn Trong đề thi học sinh giỏi, có nhiều liên quan đến tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ khơng gian Xuất phát từ thực tế trên, với mong muốn đưa cách hệ thống kiến thức tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ khơng gian ứng dụng khái niệm, tính chất tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ không gian để giải số tốn, tác giả lựa chọn đề tài "Tích ngồi ba vectơ không gian ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày cách hệ thống tích ngồi hai vectơ mặt phẳng tích ngồi ba vectơ khơng gian Đồng thời trình bày ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng, tích ngồi ba vectơ không gian 2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ: a Tìm hiểu tích ngồi hai vectơ mặt phẳng: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ tích ngồi hai vectơ, mối quan hệ tích ngồi tích vơ hướng hai vectơ, diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, diện tích tứ giác b Tìm hiểu tích ngồi ba vectơ khơng gian: Định nghĩa, tính chất, biểu thức xác định tích ngồi ba vectơ, điều kiện đồng phẳng ba vectơ, tích ngồi ba vectơ hình học Euclid, thể tích hình hộp c Tìm hiểu ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng tích ngồi ba vectơ khơng gian d Sưu tầm số tốn hình học phẳng, hình học không gian đề thi tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng; đề thi THPT Quốc Gia; đề thi chọn học sinh giỏi nước Quốc tế khai thác tính chất tích ngồi hai vectơ, tích ngồi ba vectơ để giải Sau đưa lời giải tốn Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn trình bày ba chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Vận dụng tích ngồi hai vectơ để vào giải số tốn hình học phẳng Chương Vận dụng tích ngồi ba vectơ vào giải số tốn hình học không gian Một cách cụ thể, luận văn trình bày kết tài liệu tham khảo [1] 3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương 1, luận văn chọn lọc trình bày số kiến thức liên quan đến tích ngồi hai vectơ mặt phẳng tích ngồi ba vectơ khơng gian 1.1 Tích ngồi hai vectơ mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa → − − Tích ngồi hai vectơ → a , b kí hiệu [~a, ~b] số xác định sau: " → − → − a = * Nếu → − → − [~a, ~b] = b = " → − → − − − a 6= → − → → − → * Nếu → − → − [~a, ~b] = | a |.| b | sin( a , b ) b 6= Từ định nghĩa ta có hệ hiển nhiên: → − → − a k b ⇔ [~a, ~b] = 1.1.2 Tính chất Tích ngồi hai vectơ có tính chất sau đây: i) [~a, ~b] = −[~b, ~a](phản giao hoán) → − − ii) [~a, b + → c ] = [~a, ~b] + [~a, ~c] (phân phối) iii) [k~a, l~b] = (kl)[~a, ~b] 4 1.1.3 Biểu thức tọa độ tích ngồi hai vectơ → − − Định lý 1.1 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ → a (x1 ; y1 ), b (x2 ; y2 ) Khi [~a, ~b] = x1 y2 − x2 y1 1.1.4 Mối quan hệ tích ngồi tích vơ hướng hai vectơ Trong hình học phẳng, với hai vectơ tùy ý ~a ~b, ta có biểu thức: (~a.~b)2 + [~a, ~b]2 = ~a2 ~b2 1.1.5 Diện tích tam giác Diện tích đại số tam giác ABC số đại số (có thể dương, −→ −→ âm khơng), kí hiệu S[ABC] = [AB, AC] Định lý 1.2 i) Nếu tam giác ABC có hướng dương S[ABC] = SABC ii) Nếu tam giác ABC có hướng âm S[ABC] = −SABC −→ Hệ 1.1 Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC Biết AB = −→ (x1 ; y1 ), AC = (x2 ; y2 ) Khi SABC = |x1 y2 − x2 y1 | Tính chất 1.1 Cho tam giác ABC điểm M i) S[ABC] = S[M AB] + S[M BC] + S[M CA] (Hệ thức Chasle diện tích) −−→ −−→ −−→ ii) S[M BC] M A + S[M CA] M B + S[M AB] M C = ~0 iii) Nếu điểm M thuộc đường thẳng BC ta có: −−→ −−→ S[ABC] = S[M AB] + S[M CA] = [BC, M A] 1.1.6 Diện tích hình bình hành Diện tích đại số hình bình hành ABCD số đại số (có thể −→ −→ dương, âm khơng), kí hiệu S[ABCD] = [AB, AC] 5 1.1.7 Diện tích tứ giác Diện tích đại số tứ giác lồi ABCD tính theo cơng thức sau −→ −−→ S[ABCD] = [AC, BD] Chứng minh Theo hệ thức Chasle diện tích đại số, ta có S[ABCD] = S[AAB] + S[ABC] + S[ACD] + S[ADA] −→ −→ −→ −−→ = + [AB, AC] + [AC, AD] + 2 −→ −−→ −→ = [AC, AD − AB] −→ −−→ = [AC, BD] 1.2 Tích ngồi ba vectơ khơng gian 1.2.1 Định nghĩa − − − Tích ngồi ba vectơ → x ,→ y ,→ z không gian hàm vectơ − − − ba vectơ → x ,→ y ,→ z nhận giá trị thực tuyến tính theo vectơ → − → − → − − − − − − − x , y , z phản đối xứng theo → x ,→ y ,→ z , kí hiệu [→ x ,→ y ,→ z ] 1.2.2 Tính chất Tích ngồi ba vectơ khơng gian có hai tính chất sau đây: − i) Tuyến tính vectơ, nghĩa → x chẳng hạn ta có: − − − − − − − − − − * [→ x +→ x ,→ y ,→ z ] = [→ x ,→ y ,→ z ] + [→ x ,→ y ,→ z] 2 − − − − − − * [α→ x ,→ y ,→ z ] = α[→ x ,→ y ,→ z] ii) Phản xứng nghĩa hốn vị hai vectơ cho nhau, giá trị tích ngồi đổi thành số đối xứng Chẳng hạn ta có: − − − − − − * [→ x ,→ y ,→ z ] = −[→ y ,→ x ,→ z] − − − * Đặc biệt:[→ x ,→ x ,→ z]=0 − − − * Nếu ba vectơ → x ,→ y ,→ z có hai vectơ phương tích ngồi chúng không − − − − − − − − Chẳng hạn: Nếu → y = α→ x [→ x , α→ x ,→ z ] = α[→ x ,→ x ,→ z]=0 1.2.3 Biểu thức xác định tích ngồi ba vectơ − − − − − − Chọn ba vectơ tùy ý không đồng phẳng → u ,→ v ,→ w thỏa mãn [→ u ,→ v ,→ w] = − − − − − − δ , δ 6= ba vectơ → x ,→ y ,→ z phân tích theo → u ,→ v ,→ w sau: → − → − → − → − x = x1 u + x2 v + x3 w → − − − − y = y1 → u + y2 → v + y3 → w → − → − → − → − z = z1 u + z2 v + z3 w (1.1) Ta có − − − − − − − − − − − − [→ x ,→ y ,→ z ] = [x1 → u +x2 → v +x3 → w , y1 → u +y2 → v +y3 → w , z1 → u +z2 → v +z3 → w] Ta khai triển vế phải dựa vào hai tính chất tuyến tính phản xứng, cuối được: − − − [→ x ,→ y ,→ z ] = (x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − x3 y2 z1 − x2 y1 z3 − x1 y3 z2 ) × − − − [→ u ,→ v ,→ w ] x1 x2 x3 Quy ước y1 y2 y3 =x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − x3 y2 z1 − x2 y1 z3 − x1 y3 z2 z1 z2 z3 gọi định thức Vậy ta có x1 x2 x3 − → − − − − [→ x ,→ y ,→ z ] = y1 y2 y3 [→ u ,− v ,→ w] z1 z2 z3 (1.2) Chú ý 1.1 viết dạng Định thức x1 x2 x3 ∆ = y1 y2 y3 = z1 (x2 y3 −x3 y2 )+z2 (x3 y1 −x1 y3 )+z3 (x1 y2 −x2 y1 ) z1 z2 z3 x1 x2 x3 hay ∆ = y1 y2 y3 = Az1 + Bz2 + Cz3 ,với A = x2 y3 − x3 y2 , z1 z2 z3 B = x3 y1 − x1 y3 , C = x1 y2 − x2 y1 − − Nếu chọn hai vectơ → x, → y khơng phương A, B , C khơng triệt tiêu đồng thời ta chọn z1 , z2 , z3 vô số cách tức chọn vectơ → − − − − z cho ∆6=0 [→ x ,→ y ,→ z ]6=0 → − − − Vậy ta có vơ số cách chọn x ,→ y ,→ z tích ngồi chúng khác khơng 1.2.4 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ khác vectơ không − − − Định lý 1.3 Ba vectơ khác vectơ không → x ,→ y ,→ z đồng phẳng tích ngồi chúng khơng Chứng minh − − − − − − * Điều kiện cần: Giả sử → x ,→ y ,→ z đồng phẳng ta có → z = α→ x + β→ y → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − [ x , y , z ] = [ x , y , α x + β y ] = α[ x , y , x ] + β[ x , y , y ] = − − − * Điều kiện đủ: Giả sử ta có [→ x ,→ y ,→ z ] = − − Nếu → x ,→ y phương rõ ràng chúng đồng phẳng với vectơ → − z → − → − − − − − Nếu → x ,→ y không phương, ta chọn vectơ t cho [→ x ,→ y , t ] 6= → − − − Cho nên vectơ {→ x ,→ y , t } không đồng phẳng (theo điều kiện cần) → − − → − − − − − − ta phân tích vectơ → z theo → x ,→ y, t :→ z = α→ x + β→ y + γ t → − → − − − − − − − − − − [→ x ,→ y ,→ z ] = [→ x ,→ y , α→ x + β→ y + γ t ] = γ[→ x ,→ y , t ] → − − − − Ta thấy [→ x ,→ y , t ] 6= kéo theo γ = suy vectơ → z đồng phẳng − − với hai vectơ → x ,→ y 1.2.5 Tích ngồi ba vectơ hình học Euclid Khái niệm sở trực chuẩn − − − − − − Quy ước [→ x ,→ y ,→ z ] = vectơ → x ,→ y ,→ z ba vectơ đơn vị tạo → − → − → − thành tam diện thuận ba { x , y , z } gọi sở trực chuẩn Định lý 1.4 Nếu tích ngồi với sở trực chuẩn với sở trực chuẩn khác Chứng minh Trước hết ta lấy cở sở trực chuẩn thứ → −0 → − − − { x , y , → z } có chung vectơ → z với sở trực − − − chuẩn {→ x ,→ y ,→ z } − − − Ta phải chứng minh [→ x ,→ y ,→ z ] = suy → −0 → −0 → − [ x , y , z ] = [0 (xem hình vẽ 1) ta Thật gọi α góc xOx có → −0 − − x = cos α→ x + sin α→ y → −0 → − − − − y = − sin α→ x + cos α→ y , z0 = → z cos α sin α → −0 → −0 → −0 [ x , y , z ] = − sin α cos α = cos2 α + sin2 α = 0 → − → − → − Trong trường hợp tổng quát, vị trí x0 , y , z so với vị − − − trí → x ,→ y ,→ z Ta gọi OU giao tuyến mặt phẳng (XOY ) với mặt phẳng vng góc với OZ qua O, tức mặt phẳng chứa OX , OY Ta chọn trục OV → − − − − − − cho {→ u ,→ v , z } trực chuẩn trục OR cho {→ u ,→ r ,→ z } trực chuẩn (xem hình 2) − − − Ta biến đổi sở {→ x ,→ y ,→ z} theo ba bước: − − − i){→ x ,→ y ,→ z} → − − − {→ u ,→ r ,→ z } với phép quay trục Z , góc ψ → − − − − − − ii){→ u ,→ r ,→ z } → {→ u ,→ v , z } với phép quay trục U , góc θ → − → − → − → − − − iii){→ u ,→ v , z } → { x0 , y , z } với phép quay trục Z , góc ϕ Trong bước sở sau có chung trục với sở trước, tích ngồi sở trước tích ngồi sở sau → − → − → − → − − − − − − − − − một: [ x0 , y , z ] = [→ u ,→ v , z ] = [→ u ,→ r ,→ z ] = [→ x ,→ y ,→ z ] = Các góc ψ , θ, ϕ gọi góc Euler (Động học) 9 1.2.6 Thể tích hình hộp − − − Cho ba vectơ bất kì, khơng đồng phẳng → x ,→ y ,→ z Từ điểm O − → − − → − → − − − dựng → x = OA, → y = OB, → z = OC Dựng hình hộp với ba cạnh OA, OB, OC gọi hình hộp dựng − − − ba vectơ → x ,→ y ,→ z − − − − Ta chọn sở trực chuẩn {→ u ,→ v ,→ w } cho → u phương − − − − với vectơ → x, → v đồng phẳng với → y ,→ z Như vậy, ta viết (xem hình 3) → − − − x = |→ x |.→ u → − − − − − d) x = |→ y | cos α.→ u + |→ y | sin α.→ v (trong ta gọi α góc xOy → − → − → − − − − Mặt khác ta phân tích → z = k + h ,trong k đồng phẳng → x, → y → − − − − − → v , h theo phương → w (vng góc với mặt phẳng (→ u ,→ v )) → − → − → − − − − − − − − Khi đó: [→ x ,→ y ,→ z ] = [→ x ,→ y , k + h ] = [→ x ,→ y, h] → − − − ta có [→ x ,→ y , k ] = → − − − − − − − − − − Vậy [→ x ,→ y ,→ z ] = [|→ x |→ u , |→ y | cos α.→ u +|→ y | sin α.→ v, h] → − − − − − = |→ x ||→ y | sin α.[→ u ,→ v , h ] → − → − − h = ±| h |.→ w , → − − → − − − − − − [→ x ,→ y ,→ z ] = ±|→ x ||→ y | sin α| h |[→ u ,− v ,→ w] → − → − → − = ±| x || y | sin α| h | − − ta thấy |→ x ||→ y | sin α = S , gọi S diện tích hình bình hành dựng → − → − − x ,→ y Cịn | h | chiều cao hình hộp mà đáy hình bình hành −→ − đáy có đỉnh C (→ z = OC) − − − Ta có [→ x ,→ y ,→ z ] = ±|h|S = ±V ,V thể tích hình hộp có cạnh OA, OB, OC → − −→ −−→ −→ − Nếu h hướng với → w , tức tam diện {OA, OB, OC} thuận − − − ta có [→ x ,→ y ,→ z ] = V −→ −−→ −→ − − − Như thể tích hình hộp có cạnh OA = → x , OB = → y , OC = → z → − → − → − → − → − → − [ x , y , z ] tam diện { x , y , z } thuận Nếu tam diện nghịch, ta có tích ngồi âm nên phải lấy giá trị tuyệt đối − − − Tóm lại, tích ngồi [→ x ,→ y ,→ z ] thể tích hình hộp dựng ba 10 − − − − − − vectơ → x ,→ y ,→ z với dấu + {→ x ,→ y ,→ z } tam diện thuận, với dấu − ngược lại Đó ý nghĩa hình học tích ngồi ba vectơ Chú ý 1.2 Từ cơng thức (1.2) x x → − → − → − chuẩn [ x , y , z ] = y1 y2 z1 z2 → − → − → − chọn ba { u , v , w } sở trực x3 − − − y3 = [→ x ,→ y ].→ z z3 11 Chương Vận dụng tích ngồi hai vectơ để giải số tốn hình học phẳng 2.1 Ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng 2.1.1 Hệ thức ba vectơ Định lý 2.1 Trên mặt phẳng cho ba vectơ ~a, ~b, ~c ta ln có: [~b, ~c].~a + [~c, ~a].~b + [~a, ~b].~c = (2.1) Chứng minh * Nếu ba vectơ ~a, ~b, ~c phương với [~a, ~b] = [~b, ~c] = [~c, ~a] = dẫn đến (2.1) * Nếu có cặp vectơ khơng phương, chẳng hạn ~a ~b, [~a, ~b] 6= vectơ ~c = α~a + β~b (∗) Lần lượt lấy tích ngồi hai vế với ~a ~b, ta được:[~c, ~a] = β[~b, ~a], [~c, ~a] [~b, ~c] ,β = − (∗∗) [~c, ~b] = α[~a, ~b] tức α = − ~ ~ [~a, b] [~a, b] ~ −[b, ~c]~a − [~c, ~a]~b Từ (∗) (∗∗) ta có ~c = [~a, ~b] [~b, ~c].~a + [~c, ~a].~b + [~a, ~b].~c = 12 2.1.2 Công thức cộng cung lượng giác Định lý 2.2 Cho ba vectơ ~a, ~b, ~c vectơ đơn vị: |~a| = |~b| = |~c| = 1; gọi (~a, ~c), (~a, ~b), (~b, ~c) góc lượng giác; ta đặt (~a, ~b) = α, (~b, ~c) = β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (2.2) Chứng minh Theo định lý Chasles góc cho ta hệ thức: (~a, ~c) = (~a, ~b) + (~b, ~c) + k2π , k số nguyên hay (~a, ~c) = α + β + k2π Từ (2.1)ta có [~a, ~c].~b = [~a, ~b].~c + [~b, ~c].~a Nhân vơ hướng với ~b ta có: [~a, ~c].~b2 = [~a, ~b].~c.~b + [~b, ~c].~a.~b Do ~a, ~b, ~c ba vectơ đơn vị, ta công thức (2.2) 2.1.3 Đường thẳng, giao điểm hai đường thẳng Đường thẳng Đường thẳng qua A, theo phương ~u quỹ tích điểm M cho −−→ −−→ AM phương với ~u tức [AM , ~u] = −−→ −→ [OM − OA, ~u] = (2.3) Với O điểm gốc chọn Phương trình (2.3) phương trình đường thẳng Giao hai đường thẳng − Cho thêm đường thẳng thứ hai qua B theo phương → v (khác → − u ), mà phương trình Ta đặt −−→ −−→ [OB − OM , ~v ] = (2.4) −−→ OM = α~u + β~v (2.5) ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC THÀNH TÍCH NGỒI CỦA BA VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... tích ngồi ba vectơ, điều kiện đồng phẳng ba vectơ, tích ngồi ba vectơ hình học Euclid, thể tích hình hộp c Tìm hiểu ứng dụng tích ngồi hai vectơ mặt phẳng tích ngồi ba vectơ không gian d Sưu... tài "Tích ngồi ba vectơ khơng gian ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày cách hệ thống tích ngồi hai vectơ mặt phẳng tích ngồi ba vectơ khơng gian Đồng thời trình bày ứng dụng tích