ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 Đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2017 iii Mục lục Lời cảm ơn v Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu 1.1 Hệ phương trình tốn tử khơng gian Banach 5 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.3 Khái niệm ví dụ khơng gian Banach, không gian Hilbert Toán tử đơn điệu Hệ phương trình tốn tử đơn điệu 13 Bài tốn đặt khơng chỉnh 15 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 15 1.2.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 16 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu 17 1.3.1 Hiệu chỉnh trường hợp fi = 19 1.3.2 Hiệu chỉnh trường hợp fi 6= 22 Chương Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 27 2.1 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 27 2.1.1 2.1.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng 27 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 30 iv 2.2 Tốc độ hội tụ 35 2.2.1 Tốc độ hội tụ 35 2.2.2 Ví dụ số minh họa 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 v Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô giáo khoa Tốn–Tin thầy giáo trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Nhã Nam – Huyện Tân Yên – Tỉnh Bắc Giang anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học K9C bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Phương Bảng ký hiệu R H tập hợp số thực không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ Lp [a, b], < p < ∞ không gian đối ngẫu E khơng gian hàm khả tích bậc p lp , < p < ∞ đoạn [a, b] không gian dãy số khả tổng bậc p ∅ ∀x tập rỗng với x D(A) R(A) miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A I xn → x0 toán tử đồng dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Js J ánh xạ đối ngẫu tổng quát ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Mở đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ kinh tế dẫn đến việc giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức có thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở lên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm tốn đặt chỉnh đặt không chỉnh J Hadamard đưa vào đầu kỷ XX nghiên cứu điều kiện biên lên nghiệm phương trình eliptic parabolic (xem [6] tài liệu trích dẫn) Lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh nhà tốn học hàng đầu giới đặt móng cho việc nghiên cứu như: V.K Ivanov, M.M Lavrentev, A.N Tikhonov Gần đây, tầm quan trọng ứng dụng mà lớp toán nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu như: Ya.I Alber, A.B Bakushinsky, P.K Anh, Đ.Đ Áng, Ng Bường, Đ.N Hào Để giải lớp toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định, cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn ban đầu Các phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh biết thêm thơng tin định tính nghiệm là: phương pháp chọn, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp sử dụng phương trình xấp xỉ Trong trường hợp tổng quát thêm thông tin nghiệm, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh A.N 3 Tikhonov đề xuất, dựa việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh cách chọn giá trị tham số đưa vào Năm 1963 A.N Tikhonov (xem [15]) đưa phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh A(x) = f, (1) với A : H → H toán tử liên tục đóng yếu khơng gian Hilbert thực H Năm 1966 F Browder (xem [11]) đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, gọi phương pháp hiệu chỉnh Browder– Tikhonov, với A tốn tử phi tuyến đơn điệu từ khơng gian Banach E vào E ∗ , E ∗ không gian liên hợp E Tư tưởng phương pháp sử dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh J s , ánh xạ đối ngẫu tổng quát E, toán tử có tính chất Ya.I Alber (xem [5]) sử dụng ánh xạ để xây dựng phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ , (2) cho toán (1), Ah xấp xỉ A, f δ xấp xỉ f , x∗ phần tử cho trước thuộc E α tham số đưa vào Một mở rộng toán (1) tốn tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (3) đây, Ai : E → E ∗ toán tử đơn điệu, đơn trị fi ∈ E ∗ Năm 2006, Ng Bường (xem [9]) kết hợp phương trình hiệu chỉnh dạng (2) để hiệu chỉnh cho hệ phương trình (3) trường hợp vế phải fi = sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số N X αµi Ahi (x) + αJ(x) = i=0 µ0 = < µi < µi+1 < 1, i = 1, 2, , N − 1, (4) Ahi xấp xỉ Ai , α tham số hiệu chỉnh, J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E, h sai số cho trước Tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm hậu nghiệm Năm 2006, Ng Bường (xem [9]) sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng để chọn tham số hiệu chỉnh cho phương trình (4) Tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào h xác định từ phương trình: ρ(α) = hp α−q , p, q > 0, ρ(α) = α(a0 + kxhα k), với h > 0, a0 số dương cho trước, xhα nghiệm (4) phụ thuộc liên tục vào α ∈ (0, α0 ], α0 > Mục đích luận văn trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử (3), nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh dựa cách chọn tham số hiệu chỉnh sở báo [10] Nguyễn Bường đồng tác giả công bố năm 2015 Nội dung luận văn, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo gồm có chương Chương giới thiệu hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu khơng gian Banach Chương trình bày nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh giới thiệu ví dụ minh họa cho hội tụ phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm 5 Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu Chương giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu Nội dung chương trình bày mục Mục 1.1 giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu Mục 1.2 trình bày khái niệm ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1]–[4], [6], [7], [9]–[12] [16] 1.1 Hệ phương trình tốn tử không gian Banach Để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach mục sau, mục giới thiệu định nghĩa, ví dụ số tính chất hình học khơng gian Banach, khơng gian Hilbert; định nghĩa, ví dụ số tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu mạnh, tốn tử ngược đơn điệu mạnh khơng gian Banach Phần cuối giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu ... số hiệu chỉnh 27 2.1 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 27 2.1.1 2.1.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng 27 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 30 iv 2.2 Tốc độ hội tụ... đích luận văn trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử (3), nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh. .. khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu khơng gian Banach Chương trình bày nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh