Luận văn thạc sĩ toán tử hardy cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian morrey có trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY CĨ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY CĨ TRỌNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Trí Dũng Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu trách nhiệm hồn tồn luận văn Lê Thị Kim Hương LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Trí Dũng, người tận tình hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị khóa bạn bè chun ngành Giải tích ln bên cạnh, động viên điểm tựa vững cho thời gian làm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Lê Thị Kim Hương MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hịa 1.2 Hàm trọng 𝝎 .3 1.3 Tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử 1.4 Khơng gian 𝑩𝑴𝑶 có trọng .6 1.5 Khơng gian Morrey có trọng .9 1.6 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood 10 Kết hợp đánh giá trên, ta 13 CHƯƠNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY TRUNG TÂM CÓ TRỌNG .14 2.1 Khơng gian Morrey trung tâm có trọng khơng gian BMO trung tâm có trọng 14 2.2 Tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng 21 2.3 Tính bị chặn hốn tử tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng .24 2.4 Hốn tử bậc cao khơng gian Morrey trung tâm có trọng 37 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .40 DANH MỤC KÝ HIỆU ℕ Tập hợp số tự nhiên ℝ Tập hợp số thực ℝ𝑛 Không gian vector n chiều ℝ, mà phần tử có dạng x   x1, x2 , , xn  với 𝑥𝑖 ∈ ℝ, ∀𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 ℂ Tập hợp số phức 𝜒𝐸 Hàm đặc trưng E 𝐿𝑝 Khơng gian hàm khả tích Lebesgue 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ với chuẩn f 𝐿∞ (𝑋) Lp     p  n  f ( s ) ds    p Tập hợp hàm 𝑓 đo cho tồn số 𝑐 < ∞ thỏa f ( x)  c hầu khắp nơi 𝑋, với chuẩn định ‖𝑓‖∞ = 𝑖𝑛𝑓{𝑐: |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐 ℎầ𝑢 𝑘ℎắ𝑝 𝑛ơ𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑋} 𝑝 𝐿𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑛 ) Khơng gian hàm khả tích Lebesgue bậc p địa phương ℝ𝑛 𝐿𝑝 (𝜔) Không gian hàm khả tích Lebesgue độ đo 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích điều hịa đại nhánh quan trọng Tốn học có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier tích phân Fourier cổ điển Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hịa đại phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng đa dạng lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu Bất đẳng thức tích phân Hardy biến thể đóng vai trị quan trọng nhánh khác giải tích lý thuyết xấp xỉ, phương trình vi phân, lý thuyết khơng gian hàm Do đó, bất đẳng thức tích phân Hardy cho tốn tử biến thể nghiên cứu mở rộng nhiều Carton-Lebrun Fosset [2] định nghĩa tốn tử Hardy có trọng 𝑈𝜓 sau: 𝑈𝜓 𝑓(𝑥 ) = ∫0 𝑓 (𝑡𝑥 )𝜓(𝑡)𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , 𝜓: [0,1] → [0, ∞) hàm đo 𝑓 hàm đo nhận giá trị phức ℝ𝑛 Các tác giả 𝑈𝜓 bị chặn từ 𝐵𝑀𝑂(ℝ𝑛 ) vào Trong [21], Xiao đạt kết tương tự có thêm kết tính bị chặn 𝑈𝜓 khơng gian 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 )) Nhận thấy giá trị 𝑈𝜓 𝑓 𝑥 phụ thuộc giá trị trung bình trọng lượng 𝑓 dọc theo tham số 𝑠(𝑡, 𝑥 ) = 𝑡𝑥 Do đưa đến việc xem xét tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng 𝑈𝜓,𝑠 𝑓 kết hợp với đường cong tham số 𝑠(𝑡, 𝑥 ): = 𝑠(𝑡)𝑥 Không gian Morrey cổ điển (biến thể tự nhiên 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 )) giới thiệu Morrey [15] để khảo sát tính chất địa phương nghiệm phương trình đạo hàm riêng elliptic bậc hai Sau đó, K Yasuo S Satoru [22] đưa định nghĩa khơng gian Morrey có trọng lượng 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) để nghiên cứu tính bị chặn tốn tử cổ điển giải tích điều hịa tốn tử cực đại Hardy-Littlewood, tốn tử Calderon-Zygmund tốn tử tích phân phân số Gần đây, Z.W Fu, Z.G Liu S.Z Lu [7] thiết lập điều kiện cần đủ hàm trọng 𝜓 đảm bảo hoán tử tốn tử Hardy có trọng 𝑈𝜓 bị chặn 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 ), < 𝑝 < ∞ với biểu tượng (symbol) 𝐵𝑀𝑂(ℝ𝑛 ) Sau đó, tính bị chặn 𝑈𝜓 nghiên cứu số không gian như: không gian Morrey, không gian Campanato, 𝛼 không gian loại 𝒬𝑝,𝑞 , không gian loại Triebel-Lizorkin Do đó, tiếp nối chủ đề luận văn nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn có trọng cho tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey có trọng Các kết chủ yếu tham khảo [19] Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng số hướng nghiên cứu sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu: tìm hiểu khái niệm tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey có trọng Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp trình bày số kiến thức toán tử cực đại Hardy-Littlewood, tính ̇ 𝑝 (𝜔) Cơng việc địi hỏi tác giả chất hàm trọng 𝜔 không gian 𝐵𝑀𝑂(𝜔), 𝐶𝑀𝑂 phải vận dụng kiến thức chuyên sâu giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân giải tích thực Cấu trúc luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey trung tâm có trọng CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hịa Các định lí sau trích dẫn từ [6], cơng cụ sử dụng hầu hết chứng minh kết luận văn Định lí 1.1.1 Bất đẳng thức H𝒐̈ lder 1 𝑝 𝑞 Giả sử < 𝑝 < ∞ + = Nếu 𝑓 𝑔 hai hàm đo 𝑋 ⊂ ℝ𝑛 ‖𝑓𝑔‖1 ≤ ‖𝑓‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞 , nghĩa 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 𝑔 ∈ 𝐿𝑞 𝑓𝑔 ∈ 𝐿1 Trong suốt luận vặn này, áp dụng bất đẳng thức H o lder với cặp số ( p, p) ta nói p p’ hai số liên hợp, tức 1   p p Định lí 1.1.2 Bất đẳng thức Minkowski’s Nếu ≤ 𝑝 < ∞ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝 ‖𝑓 + 𝑔‖𝑝 ≤ ‖𝑓‖𝑝 +‖𝑔‖𝑝 1.2 Hàm trọng 𝝎 Định nghĩa 1.2.1 Ta nói 𝜔 hàm trọng 𝜔 đo ℝ𝑛 ( x)  h.k.n (hầu khắp nơi) ℝ𝑛 Với tập đo 𝐸 ⊂ 𝑋, ta định nghĩa  ( E ) :   ( x) dx E Một hàm trọng 𝜔 gọi thỏa tính chất “doubling”, nghĩa tồn số dương 𝐶 cho 𝜔(𝐵(𝑥, 2𝑟)) ≤ 𝐶𝜔(𝐵 (𝑥, 𝑟)) ... 1.2 Hàm trọng