Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)

Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2017 iii Mục lục Lời cảm ơn v Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu 1.1 Hệ phương trình toán tử không gian Banach 5 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.3 Khái niệm ví dụ không gian Banach, không gian Hilbert Toán tử đơn điệu Hệ phương trình toán tử đơn điệu 13 Bài toán đặt không chỉnh 15 1.2.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 15 1.2.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh 16 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu 17 1.3.1 Hiệu chỉnh trường hợp fi = 19 1.3.2 Hiệu chỉnh trường hợp fi = 22 Chương Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 27 2.1 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 27 2.1.1 2.1.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng 27 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 30 iv 2.2 Tốc độ hội tụ 35 2.2.1 Tốc độ hội tụ 35 2.2.2 Ví dụ số minh họa 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 v Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô giáo khoa Toán–Tin thầy cô giáo trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Nhã Nam – Huyện Tân Yên – Tỉnh Bắc Giang anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học K9C bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Phương Bảng ký hiệu R H tập hợp số thực không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ Lp [a, b], < p < ∞ không gian đối ngẫu E không gian hàm khả tích bậc p lp , < p < ∞ đoạn [a, b] không gian dãy số khả tổng bậc p ∅ ∀x tập rỗng với x D(A) R(A) miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A I xn → x0 toán tử đồng dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 Js J ánh xạ đối ngẫu tổng quát ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Mở đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ kinh tế dẫn đến việc giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức có thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho toán trở lên vô nghiệm vô định Người ta nói toán đặt không chỉnh Khái niệm toán đặt chỉnh đặt không chỉnh J Hadamard đưa vào đầu kỷ XX nghiên cứu điều kiện biên lên nghiệm phương trình eliptic parabolic (xem [6] tài liệu trích dẫn) Lý thuyết toán đặt không chỉnh nhà toán học hàng đầu giới đặt móng cho việc nghiên cứu như: V.K Ivanov, M.M Lavrentev, A.N Tikhonov Gần đây, tầm quan trọng ứng dụng mà lớp toán nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu như: Ya.I Alber, A.B Bakushinsky, P.K Anh, Đ.Đ Áng, Ng Bường, Đ.N Hào Để giải lớp toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định, cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban đầu Các phương pháp giải toán đặt không chỉnh biết thêm thông tin định tính nghiệm là: phương pháp chọn, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp sử dụng phương trình xấp xỉ Trong trường hợp tổng quát thêm thông tin nghiệm, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh A.N Tikhonov đề xuất, dựa việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh cách chọn giá trị tham số đưa vào Năm 1963 A.N Tikhonov (xem [15]) đưa phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử đặt không chỉnh A(x) = f, (1) với A : H → H toán tử liên tục đóng yếu không gian Hilbert thực H Năm 1966 F Browder (xem [11]) đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, gọi phương pháp hiệu chỉnh Browder– Tikhonov, với A toán tử phi tuyến đơn điệu từ không gian Banach E vào E ∗ , E ∗ không gian liên hợp E Tư tưởng phương pháp sử dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh J s , ánh xạ đối ngẫu tổng quát E, toán tử có tính chất Ya.I Alber (xem [5]) sử dụng ánh xạ để xây dựng phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ , (2) cho toán (1), Ah xấp xỉ A, f δ xấp xỉ f , x∗ phần tử cho trước thuộc E α tham số đưa vào Một mở rộng toán (1) toán tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (3) đây, Ai : E → E ∗ toán tử đơn điệu, đơn trị fi ∈ E ∗ Năm 2006, Ng Bường (xem [9]) kết hợp phương trình hiệu chỉnh dạng (2) để hiệu chỉnh cho hệ phương trình (3) trường hợp vế phải fi = sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số N αµi Ahi (x) + αJ(x) = i=0 µ0 = < µi < µi+1 < 1, i = 1, 2, , N − 1, (4) Ahi xấp xỉ Ai , α tham số hiệu chỉnh, J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E, h sai số cho trước Tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm hậu nghiệm Năm 2006, Ng Bường (xem [9]) sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng để chọn tham số hiệu chỉnh cho phương trình (4) Tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào h xác định từ phương trình: ρ(α) = hp α−q , p, q > 0, ρ(α) = α(a0 + xhα ), với h > 0, a0 số dương cho trước, xhα nghiệm (4) phụ thuộc liên tục vào α ∈ (0, α0 ], α0 > Mục đích luận văn trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (3), nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh dựa cách chọn tham số hiệu chỉnh sở báo [10] Nguyễn Bường đồng tác giả công bố năm 2015 Nội dung luận văn, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo gồm có chương Chương giới thiệu hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach Chương trình bày nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh giới thiệu ví dụ minh họa cho hội tụ phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu Chương giới thiệu hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu Nội dung chương trình bày mục Mục 1.1 giới thiệu hệ phương trình toán tử đơn điệu Mục 1.2 trình bày khái niệm ví dụ toán đặt không chỉnh Mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1]–[4], [6], [7], [9]–[12] [16] 1.1 Hệ phương trình toán tử không gian Banach Để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach mục sau, mục giới thiệu định nghĩa, ví dụ số tính chất hình học không gian Banach, không gian Hilbert; định nghĩa, ví dụ số tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu mạnh, toán tử ngược đơn điệu mạnh không gian Banach Phần cuối giới thiệu hệ phương trình toán tử đơn điệu 28 cho phương trình hiệu chỉnh (1.5) xét phương trình toán tử A(x) = f trường hợp toán tử A cho xác vế phải f cho xấp xỉ f δ thỏa mãn (1.7) Trong trường hợp vế phải f biết xác, toán tử A cho xấp xỉ Ah thỏa mãn (1.10), để chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h) thỏa mãn điều kiện Định lý 1.3.2 ta xét hàm ρ(α) = α(a0 + t(α)), a0 số dương t(α) = xhα , với h > 0, phụ thuộc liên tục vào α ∈ (0, α0 ], α0 > Tham số hiệu chỉnh α chọn dựa việc giải phương trình ρ(α) = hp α−q , p, q > (2.1) Sự tồn tham số hiệu chỉnh α phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện Định lý 1.3.2 trình bày bổ đề sau Bổ đề 2.1.1 (xem [8]) (i) Với p, q, h > tồn giá trị α > thỏa mãn phương trình (2.1); (ii) lim α(h) = 0; h→0 (iii) Nếu q ≥ p lim h/α(h) = 0; h→0 (iv) Giả sử q ≥ p > Khi đó, tồn hai số dương C1 , C2 cho với h > đủ nhỏ, ta có C1 ≤ hp α−1−q (h) ≤ C2 Chứng minh (i) Do hàm t(α) = xhα liên tục khoảng [α0 , +∞), α0 > 0, nên hàm αq ρ(α) liên tục [α0 , +∞) lim αq ρ(α) = +∞ α→+∞ 29 Mặt khác, từ (1.12) ta có αq ρ(α) = α1+q a0 + xhα ≤ α1+q a0 + x + ≤ α1+q a0 + x c(h) + α x c(h) α + αq c(h) + αq x c(h) α Với < h < ta chọn α > cho α1+q a0 + x < hp /3, αq c(h) < hp /3, αq x c(h) < hp /3 α Vậy, αq ρ(α) < hp (2.2) Đặt d(α) = αq ρ(α) − hp , α ∈ [α0 , +∞) Ta có lim d(α) = +∞ α→+∞ (2.3) Từ (2.2), (2.3), ta thấy tồn α > cho d(α) < Do d(α) liên tục [α0 , +∞) nên tồn giá trị α = α(h) thỏa mãn (2.1) (ii) Rõ ràng, từ (2.1) công thức ρ(α) ta có α(h) ≤ a−1−q hh/1+q , hay lim α(h) = h→0 (iii) Ta có h α(h) q = [hp α−q (h)]αq−p (h) = ρ(α(h))αq−p (h)) = α(h) a0 + xhα(h) αq−p (h) ≤ a0 α1+q−p (h) + αq−p (h) α(h) x + c(h) + Vậy, lim h/α(h) = h→0 α(h) x c(h) 30 (iv) Ta có hp α−1−q (h) = α−1 (h)ρ(α(h)) = a0 + xhα(h) ≤ C2 , cho h/α(h) → +0 h → suy xhα(h) ≤ c với h đủ nhỏ Mặt khác, điểm hội tụ yếu x∗ dãy {xhα(h) } khác Thật vậy, x∗ = điểm hội tụ yếu từ (1.9) tính đơn điệu Ah0 ta suy Ah0 k (x), x − xhαkk ≥ Ah0 k (xhαkk ), x − xhαkk N αkµi Ahi k (xhαkk ), xhαkk − x + αk J(xhαkk ), xhαkk − x ≥ i=1 N αkµi Ahi k (x), xhαkk − x + αk J(x), xhαkk − x , ≥ ∀x ∈ X, i=1 αk = α(hk ) Cho k → +∞ ta nhận A0 (x), x − ≥ ∀x ∈ E Nghĩa ∈ S0 , điều mâu thuẫn với giả thiết ∈ S0 Do đó, tồn số dương c1 cho xhαh ≥ c1 Vậy, C1 ≤ hp α−1−q (h) ≤ C2 ✷ 2.1.2 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng Trong mục này, ta xét toán chọn tham số hiệu chỉnh cho hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (1.3) Nội dung mục viết sở báo [10] Như trình bày mục trên, nghiệm hiệu chỉnh xδα phương trình hiệu chỉnh (1.14) cho hệ (1.3) tồn với α > cố định Đồng thời, α, δ/α → δ → dãy nghiệm hiệu chỉnh xδα hội tụ mạnh đến nghiệm x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, với giả thiết S = ∅ Tham số hiệu chỉnh α(δ) chọn sau Xét hàm ρ(α) = α xδα − x∗ 31 Tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào δ (α = α(δ)) chọn từ việc giải phương trình ρ(α) = α−q δ p , p, q > (2.4) Bổ đề 2.1.2 (xem [10]) Giả sử E không gian Banach phản xạ có tính chất ES; E ∗ , không gian liên hợp E, lồi chặt; A0 , A1 , , AN ánh xạ hemi-liên tục có tính chất E; f0 , f1 , , fN là N + phần tử E ∗ cho tập nghiệm S hệ phương trình (1.3) khác rỗng Khi đó, ta có: (i) Hàm ρ(α) xác định (2.4) liên tục (α0 , +∞), với α0 > 0; (ii) Nếu AN liên tục x∗ thỏa mãn AN (x∗ ) − fNδ > 0, ∀δ ≥ 0, (2.5) fN0 = fN , lim ρ(α) = +∞ α→+∞ Chứng minh Giả sử α, β ∈ (α0 , +∞) Từ (1.14) suy N N α µi (Ai (xδα )−fiδ )− i=1 β µi (Ai (xδβ )−fiδ )+αJ(xδα −x∗ )−βJ(xδβ −x∗ ) = θ i=1 Do đó, α J(xδα − x∗ )−J(xδβ − x∗ ), xδα − xδβ + (α − β) J(xδβ − x∗ ), xδα − xδβ N αµi Ai (xδα ) − Ai (xδβ ), xδα − xδβ + i=1 N (αµi − β µi ) Ai (xδβ ) − fiδ , xδα − xδβ = + i=1 Từ bất đẳng thức kết hợp với tính chất J, J(x) − J(y), x − y ≥ ( x − y )2 , x, y ∈ E, 32 ta suy xδα − x∗ − xδβ − x∗ + α0 |α−β | δ xβ − x∗ α0 ≤ N | αµi − β µi | Ai (xδβ ) − fiδ xδα − x∗ + x∗ + xδβ i=0 Từ bất đẳng thức (1.17) suy ra, α → β xδα − x∗ → xδβ − x∗ , nghĩa xδα − x∗ liên tục β ∈ (α0 , +∞) Vì vậy, ρ(α) liên tục (α0 , +∞) Từ (1.14) suy N N α µi (Ai (xδα ) − Ai (x∗ )) + αJ(xδα αµi (fiδ − Ai (x∗ )) − x∗ ) = i=0 i=0 Bằng cách tác động vào hai vế phương trình với xδα − x∗ , sử dụng tính đơn điệu Ai định nghĩa J ta có N xδα − x∗ ≤ i=0 α1−µi fiδ − Ai (x∗ ) Vậy, lim α→+∞ xδα − x∗ = Điều kiện (ii) bổ đề suy từ bất đẳng thức N −1 ρ(α) ≥ α µN AN (xδα ) − fNδ − i=0 αµN −µi Ai (xδα ) − fiδ , cách sử dụng (2.5), tính liên tục AN x∗ , µN > µi tính bị chặn Ai (xem [6], Định lí 1.3.16) với i = 0, 1, · · · , N − 1, ta có điều ✷ phải chứng minh Bổ đề 2.1.3 (xem [10]) Giả sử E, Ai fi , i = 0, 1, , N giả thiết Bổ đề 2.1.2 Với p, q, δ > 0, tồn giá trị α > 0, cho (2.4) Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.2, hàm α → α1+q xδα − x∗ = αq ρ(α) 33 liên tục (α0 , +∞) với α0 > lim αq ρ(α) = +∞ α→+∞ Mặt khác, từ (1.17) suy N q α ρ(α) ≤ α q+1 N q µi x∗ − z + α δ α +α q αδ i=0 1/2 α µi x∗ − z i=0 Với < δ < 1, ta chọn α > cho N α q+1 q N µi x∗ − z , α δ α , α i=0 q αδ 1/2 α µi x∗ − z < δ p /3 i=0 Vậy, αq ρ(α) < δ p với α đủ nhỏ Do đó, tồn giá trị α = α(δ) ✷ cho α(δ)q ρ(α(δ)) = δ p Bổ đề 2.1.4 (xem [10]) Giả sử E, Ai fi , i = 0, 1, , N cho Bổ đề 2.1.2 N ánh xạ họ {Ai }N i=0 đơn điệu chặt Khi đó, lim α(δ) = δ→0 Chứng minh Không làm tính chất tổng quát, ta giả thiết Ai đơn điệu chặt với i = 0, 1, , N − Ta chứng minh phương pháp phản chứng với giả thiết x∗ không thuộc S Giả sử kết luận sai, tức tồn dãy δk → k → +∞ Khi xảy hai khả (1) αk = α(δk ) → C0 , C0 số dương; (2) αk → +∞ Trường hợp (1), từ (2.4) suy C01+q lim k→+∞ xαδkk − x∗ = Thay δ, α x (1.14) δk , αk , xδαkk cho k → +∞, ta có N C0µi (Ai (x∗ ) − Ai (z)) = 0, i=0 z ∈ S (2.6) 34 Tác động vào phương trình x∗ − z sử dụng tính chất đơn điệu Ai với i = 0, 1, , N C0 > 0, ta có Ai (x∗ ) − Ai (z), x∗ − z = 0, i = 0, 1, · · · , N Do Ai đơn điệu chặt với i = 0, 1, · · · , N − nên từ đẳng thức suy −1 x∗ ∈ ∩N i=0 Si Mà từ (2.6) suy x∗ ∈ SN Vậy, x∗ ∈ S, mâu thuẫn với giả thiết x∗ ∈ / S Trường hợp (2), từ (2.4) suy lim k→+∞ xδαkk − x∗ δkp ρ(αk ) = lim = lim 1+q = k→+∞ αk k→+∞ α k (2.7) Tiếp tục thay δ, α x phương trình (1.14) δk , αk xαδkk , ta có N −1 αµk N AN (xδαkk ) − fNδk − i=0 αk µN −µi Ai (xδαkk ) − fiδk p ≤ αk xδαkk − x∗ = ρ(αk ) = α−q k δk Trong bất đẳng thức cho k → +∞ từ (2.7), tính bị chặn địa phương Ai với i = 0, 1, · · · , N − 1, tính liên tục AN x∗ với điều kiện (2.5) αk → +∞, δk → ta có bất đẳng thức +∞ ≤ Điều vô ✷ lý Định lý chứng minh Bổ đề 2.1.5 (xem [10]) Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ đề 2.1.4 Nếu q ≥ p lim δ/α(δ) = δ→0 Chứng minh Dễ dàng δ α(δ) p = [δ p α(δ)−q ]α(δ)q−p = ρ(α(δ))α(δ)q−p Mặt khác, từ (1.17) suy N N µi ρ(α(δ)) ≤ α(δ) x∗ − z + δ α (δ) x∗ − z α (δ) + α(δ)δ i=0 1/2 µi i=0 35 Do đó, δ lim δ→0 α(δ) p = ✷ Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.1.6 Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ đề 2.1.3 Nếu < p ≤ q lim xδα(δ) = x0 δ→0 Chứng minh Kết suy từ Bổ đề 2.1.4, 2.1.5 kết hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho toán (1.14) (xem [9], [14]) ✷ 2.2 Tốc độ hội tụ Mục trình bày tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 2.2.1 Tốc độ hội tụ Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng, ta cần kết bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 (xem [10]) Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ đề 2.1.3 < p ≤ q Khi đó, với δ > đủ nhỏ, tồn hai số dương C1 , C2 cho C1 ≤ δ p α−1−q (δ) ≤ C2 Chứng minh Từ (1.7) (1.15) ta có, ρ(α) = α(δ) xδα(δ) − x∗ , với Bổ đề 2.1.6 suy lim δ p α−1−q (δ) = lim α−1 (δ)ρ(α(δ))) = x0 − x∗ > δ→0 δ→0 36 ✷ Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh việc sử dụng bổ đề ta cần phải có thêm điều kiện đặt lên toán tử hệ thức sau: Cho a, b, c số không âm đủ bé, p > q > Nếu ap ≤ bap + c ta có ap = O bp/p−q + c gọi bất đẳng thức Young (xem [13]) Định lý 2.2.2 (xem [10]) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) Ánh xạ A0 khả vi Fréchet thỏa mãn: A0 (y) − f0 − A0 (x0 )∗ (y − x0 ) ≤ τ A0 (y) − f0 , (2.8) với y thuộc lân cận x0 ∈ S, A0 (x0 ) đạo hàm Fréchet A0 x0 ∈ E, A0 (x)∗ toán tử liên hợp A0 (x); ánh xạ A1 , A2 , , AN liên tục Lipschitz lân cận điểm x0 với số Lipschitz tương ứng L1 , L2 , , LN ; (ii) Tồn phần tử ω ∈ E cho A0 (x0 )∗ ω = J(x0 − x∗ ), với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J thỏa mãn J(x) − J(y), x − y ≥ mJ x − y s , ∀x, y ∈ E, s ≥ 2, mJ số dương (iii) Tham số hiệu chỉnh α = α(δ) chọn (2.4) Khi đó, ta có xδα(δ) − x0 = O(δ γ ), γ= 1+q q − p pµ1 , s−1 s (2.9) 37 Chứng minh Từ (1.14), (2.8), tính đơn điệu Ai điều kiện (iii) định lí ta có mJ xδα − x0 s ≤ J(xδα − x+ ) − J(x0 − x+ ), xδα − x0 = α N αµi fiδ − Ai (xδα ), xδα − x0 i=0 + J(x0 − x+ ), x0 − xδα ≤ ≤ δ α δ α (2.10) N αµi xδα − x0 + ω, A0 (x0 )(x0 − xδα ) i=0 N αµi xδα − x0 + ω A0 (x0 )(x0 − xδα ) i=0 Mặt khác, từ (2.8) ta có A0 (x0 )(x0 − xδα ) ≤ (1 + τ ) A0 (xδα ) − f0 A0 (xδα ) − f0δ + δ ≤ (1 + τ ) N αµi Ai (xδα ) − fiδ + α xδα − x+ ≤ (1 + τ ) δ + i=1 N αµi + α xδα − x+ ≤ (1 + τ ) δ i=0 N αµi Ai (xδα ) − Ai (x0 ) + i=1 Nếu α chọn (2.4), với δ đủ nhỏ α(δ) ≤ xδα(δ) − x0 < c, c số dương đủ nhỏ Do vậy, ta có αµi (δ) ≤ αµ1 (δ) Ai (xα(δ) ) − Ai (x0 ) ≤ C, số dương Vì Ai bị chặn địa phương x0 nên từ (2.10) Bổ đề 2.2.1, ta nhận mJ xδα(δ) − x0 s ≤ (1 + N )C2 δ 1−p αq (δ) xδα(δ) − x0 + ω (1 + τ ) δ(1 + N ) + α−q (δ)δ p + CN αµ1 (δ) ≤ (1 + −q/(1+q) 1−p N )C2 C1 δ 1+q µ xδα(δ) − x0 + pµ1 − 1+q CN C1 δ 1+q 38 Áp dụng Young cho bất đẳng thức ta nhận xδα(δ) − x0 = O δ η ✷ Định lí chứng minh 2.2.2 Ví dụ số minh họa Xét hệ phương trình Ai (x) = 0, i = 1, 2, (2.11) đây, Ai = BiT ∗ Bi với     −2 −1 −1     B1 = 0 −1  ; B2 = −2  −1 −1 −1 1 Ta có det(Ai ) = 0, i = 1, nên phương trình (2.11) đặt không chỉnh, hệ (2.11) nói chung đặt không chỉnh Ta thấy x0 = (0, 0, 0)T ∈ R3 nghiệm có chuẩn nhỏ hệ (2.11) Từ kết đạt ta tìm nghiệm hệ (2.11) từ việc giải phương trình hiệu chỉnh αµ1 A1 (x) + αµ2 A2 (x) + αJ(x − x∗ ) = 0, (2.12) ví dụ ta chọn x∗ = (0, 0, 0) ∈ R3 , µ1 = 0, µ2 = 1/2, α = 10−3 Ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không với dãy lặp (xem [14]) zm+1 = zm − βm αµ1 A1 (zm ) + αµ2 A2 (zm ) + αm (zm ) để tìm nghiệm (2.12) với xấp xỉ ban đầu z0 = (1, 1, 1) ∈ R3 αm = (1 + m)−1/8 , βm = (1 + m)−1/2 Trong tính toán thử nghiệm, max zim+1 − zim ≤ err 1≤i≤3 dừng tính toán, với err sai số cho trước Sau kết tính toán 39 m err x0 − zm 10 9.3115 ×10−3 1.6250 ×10−2 50 3.9691 ×10−5 6.9863 ×10−5 100 1.1444 ×10−6 2.0268 ×10−6 200 1.1811 ×10−8 2.1096 ×10−8 Bảng 2.1 Kết tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (1.14) 40 Kết luận Luận văn đề cập đến vấn đề sau: • Trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu, hemi-liên tục không gian Banach, sở giải phương trình toán tử phụ thuộc tham số trường hợp vế phải không trường hợp vế phải khác không • Giới thiệu cách chọn tham số hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch suy rộng, sở đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh tới nghiệm xác hệ phương trình toán tử cho • Đưa ví dụ số minh họa cho tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu (2000), Fixed point theory for lipschitzian-type mappings with applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York [5] Ya.I Alber (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach spaces", Sibirian Mathematics Journal, 26, 3–11 [6] Y Alber, I.P Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone types, Springer Verlag [7] V Barbu (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Acad.Bucuresti Romania [8] Ng Buong (2005), "On monotone ill-posed problems", Acta Mathematica Sinica, 21(5), 1001–1004 42 [9] Ng Buong (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), 372–378 [10] Ng Buong, T.T Huong, and Ng.T.T Thuy (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Functional Analysis and Applications, 20(2), 187–197 [11] F.E Browder (1966), "Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sei U.S.A, 56(4), 1080–1086 [12] I Ekeland, R Temam (1970), Convex analysis and variational problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland [13] A Neubauer (1998), "An a-posteriori parameter choice for Tikhonov regularization in Hilbert scales leading to optimal convergence rates", SIAM Journal Numer Math., 25, 1313–1326 [14] Ng.T.T Thuy (2012), "Regularization for a system of inverse-strongly monotone operator equations", Nonlinear Funct Anal Appl., 17(1), 71–87 [15] A.N Tikhonov (1963), "Regularization of inorrectly posed problems and the regularization method", Dolk Acad Nauk SSSR Math, 4, 1624–1627 [16] M.M Vainberg (1972), Variational method and method of monotone operators in the theory of nonlinear equations, M Nauka, in Russian ... không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach Chương trình bày nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh. .. luận văn trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (3), nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh. .. hiệu chỉnh 27 2.1 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 27 2.1.1 2.1.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng 27 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 30 iv 2.2 Tốc độ hội tụ