Đề tài Khai triển wavelet cho không gian Bφ-splines gồm 3 chương trình bày giới thiệu một số kiến thức cơ sở để tiếp cận với lý thuyết wavelet; dành cho việc giới thiệu cách xây dựng không gian Bφ-splines bậc nhất và khai triển wavelet cho không gian này; giới thiệu cách xây dựng không gian các Bφ-splines bậc hai và khai triển wavelet cho không gian này.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠỌ ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG DẠI HỌC SƯ PHẠM
TRAN THI HOANG ANH
KHAI TRIEN WAVELET CHO KHONG GIAN B,-SPLINES
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS LÊ THỊ NHƯ BÍCH
Trang 2LỜI CẢM ƠN
Luận uăn nàu được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình,
chu đáo của Cô giáo, TS Lê Thị Như Bích Tôi zin gửi đến Cô sự trân
trọng tà biết ơn sâu sắc
Xin được bàu tỏ lòng biết ơn tà kính trọng đến quý Thầu Cô giáo Trường DHSP Huế, DHKH Huế, những người đã tận tình giảng day va
luôn động tiên, khích lệ tôi trong suốt hai năm học quạ
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn BGH trường DHSP Huế, các Thầu Cô Khoa Toán trường DHSP Huế, DHKH Huế va PQLSDH trường DHSP
Huế, những người đã giúp tôi có được kiến thức khoa học cũng như những
Trang 3Mục lục Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Lời nói đầu 1 MỘT SỐ KIÊN THỨC CƠ SỞ 11 12 13 14 15 16 17 Xấp xỉ một hàm số bởi các hàm bậc thang [1] Wavelet Haar [1]
Một số tính chất của cơ sở wavelet Haar [1]
Mối liên hệ giữa các hàm H(x) và B(x) [I]
Công thức khai triển và hồi phục [1] Be splines ÁẶẠẶtaaa Một số kết quả đại số [4] .- - 2 KHONG GIAN CAC B,-SPLINES BAC NHAT 21 22 23 24 25 26 27 Xây dựng các B,-splines bậc nhất [3| “Tính chất của các B;-splines bậc nhất [3] Một ó ví dụ về Ö,-s| Mối liên hệ của các 8;-splines bậc nhất [3]
Các phiếm hàm song trực giao 3]
Công thức khai triển, hồi phục [3]_ -: +
2.6.1 Công thức khai triển
2.6.2 Công thức hồi phục -
Trang 43.1 Xây dựng các B,-splines bậc hai [5] -
3/2 Diều kiện đầy đủ của hệ veetơ -
3.3 Tính chất của các Ø;-splines bậc hai [5] .-
3.4 Một số ví dụ về 8,-splines bậc hai [5] -
3.5 Các phiếm ham song trực giao [5] -
346 Mối liên hệ của các 8,-splines [5]
3⁄7 Công thức khai triển, hồi phục [5} -
3.7.1 - Công thức khai triển -
3.7.2 Cong thite hdi phuc ee 3.8 - Khai triển wavelet cho dãy lưới lồng vào nhau [5]
Kết luận
“Tài liệu tham khảo
Trang 5LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết wavelet được áp dụng nhiều trong lĩnh vực xử lý thông tin, trong
đó khai triển wavelet được xem như một công cụ hiệu quả để xây dựng các thì toán nén các luồng dữ liệu lớn Luồng dữ liệu này có thể là một dãy các tín hiệụ
số rời rạc, và khi xử lý di
hàm thực nào đó và xử lý chúng thông qua hàm số nà
đường cong B-splines (basic splines) đã được biết đến từ lâu (khoảng giữa thế kỹ thứ 19, do nhà Toán học Nikolai Lobachevski nghĩ ra) Phương trình đường
cong này là tổ hợp tuyến tính của các đa thức có bậc không vượt quá n — 1
Mở rộng khái niệm B-splines, Z;-splines được xây dựng ( khoảng vào năm 2005)
dựa trên một vector hàm số ¿ thỏa mãn tính khả vi liên tục đồng thời giá trị
của các thành phần của vector hàm số này tại các điểm chia lưới không làm suy
biến định thức ma trận Wronskian Các Z;-splines này không nhất thiết phải là những đa thức mà nó có thể là một hàm số bất kỳ, như hàm lượng giác, hàm
hyperbol, hàm số mũ, Đặc biệt dựa trên các B,-splines nay ta xây dựng được
không gian wavelet, mà khai triển wavelet cho không gian này cho ta công thức
khai triển và công thức hồi phục, một thuật toán để nén dãy tín hiệu số
tín hiệu này, ta hay xem chúng như giá trị của mộ Việc xắp xỉ n điểm bởi
Vì vai trò quan trọng của nó nên hiện nay không gian các Ö,-splines nàỵ
vẫn đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứụ Việc tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về không gian các B,-splines
cũng như hiểu rõ về lý thuyết wavelet cũng như ứng dụng của nó Chính vì vậỵ tôi chọn đề tài này làm đề tài luận văn thạc sĩ chuyên ngành Giải tích của mình
Nội dung của luận văn được chia làm ba chương
Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ sở để tiếp cận với lý thuyết wavelet
Chương 2 dành cho việc giới thiệu cách xây dựng khơng gian các Ư;-splines bậc nhất và khai triển wavelet cho không gian nàỵ
Chương 2 giới thiệu cách xây dựng không gian các B,-splines bậc hai và khai mn wavelet cho khong gian naỵ
Mặc dù bản thân đã hết sức có gắng nhưng trong việc trình bày luận văn
không thể tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn
Trang 6Chương 1
MỘT SỐ KIÊN THỨC CƠ SỞ
Lý thuyết wavelet bắt đầu xuất hiện khoảng 20 năm trước đây, và đến nay đã có những bước tiến đáng kể, đặc biệt là những ứng dụng của nó trong lĩnh
vực xử lý thông tin, truyền tải, nén dữ liệu, Các nhà toán học đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết wavelet phải kể đến là Meyer, Chui,
Daubechies, Matlat,
Lý thuyết wavelet xoay quanh các vấn đề liên quan đến việc xây dựng một
hệ phân tích đa phân giải (viết tắt là MRA), gồm một dãy các không gian con {V„} lồng vào nhau của không gian #2 Các không gian này sinh ra từ một hàm sinh g(z), được gọi là hàm sinh MRA, và từ đó ta xây dựng các hàm wavelet 0(z) tương ứng Từ hàm wavelet /(z) này, bằng cách co giãn theo tỉ lệ 2" và tịnh
tiến m đơn vị trên trục hoành, ta xây dựng được các hàm 1„„„(z) là một cơ sở
của không gian LÊ
Với cách x một hàm ƒ (tức dữ liệu vào) có thể được biểu diễn
dựng này,
xắp xỉ ở các độ phân giải khác nhau thông qua dãy không gian {V„} Ở độ phân
giải càng cao (tức ø càng lớn), việc xấp xỉ càng chính xác, tuy nhiên cũng cần
nhiều hệ số để biểu diễn sự xấp xỉ đó Ngược lại, ở độ phân giải thấp, cần ít hệ số để biểu diễn hơn, tuy nhiên độ chính xác cũng thấp, sai số lớn Ta có thể hình dung một bức ảnh kỹ thuật số, ở độ phân giải càng cao, bức ảnh càng rõ
nết nhưng dung lượng cũng sẽ lớn, vi
sao chép, lưu trữ, truyền tải sẽ gặp khó
khăn Còn khi ta làm việc đó với một bức ảnh dung lượng nhỏ, tốc độ sẽ nhanh hơn, dĩ nhiên bức ảnh khi xem sẽ không đẹp và nét bằng Vấn đề này nảy sinh
câu hỏi làm thé nao dé mot ham f biểu diễn ở độ phan
sang độ phân giải thấp và ngược lạị Không gian wavelet cho ta làm được điều
này nhờ mối liên hệ chặt chẽ giữa các hệ số khi biểu điễn hàm ƒ ở độ phân giải n
và độ phân giải ø + 1 và ngược lạị Từ đó ta có thể linh hoạt thay đổi biểu diễn
hàm ƒ ở các độ phân giải khác nhaụ Để tiếp cận với lý thuyết wavelet, ta sẽ tìm
hiểu hàm wavelet đơn giản nhất, là hàm wavelet Haar trong các phần sau đâỵ
cao có thể biến đổi
Trang 71.1 Xấp xỉ một hàm số bởi các hàm bậc thang [1]
Ký hiệu: 72 = {/ :R —+ €: J2 |/(912á! < se} Trong không gian này, ta định nghĩa tích vô hướng:
0) = [sola
12 là không gian Hilbert có chuẩn là ||/|I= (FA)
Ký hiệu ! = {( : 2 lan|? < co} Xét các hàm số:
nek
Xaglsy =f bh TERMIMEHD) 0, xế [2"k,2"(+1))
Ta biét rằng mỗi hàm / € #2 đều được xấp xỉ bởi các hàm bậc thang faŒ) =3 )ekAnk, neN kez sao cho lim [Jin ~ fll =0 Dat Và = {0n té (an¿)xcz € É}
Khi đó, {V„} là một dãy các không gian con của 72, đồng thời với mọi ƒ € 1°,
tồn tại „ € Vạ sao cho:
lim |lfn- fll =0
Day {Vn} có các tính chất sau:
1) CVA CMCC
Dãy {„}„ez được gọi là một phân tích đa phân giải (viết tắt là MRA) của 2 Cho B(z) là hàm xác định như sau: 1 0<z<l s2 x#|0,1) Khi đó {B(z — k)}¿ez là cơ sở trực chuẩn của Vũ Đặt By x(x) =99/3B(2"z— k) n,k€ Z
Ta quy ước Öọ¿(z) = B¿(z) khi đó {B„¿}¿ez là cơ sở trực chuẩn của V„ Hàm B(z) được gọi là hàm sinh MRA (hay ham me)
Trang 81.2 Wavelet Haar [1] Goi Wn 1A phan bi true giao ciia Vj, trong Vaya, ta có: Wa Dvn = + WalVn Khi đó 12=@M, Waly n An!
Không gian W,, duge goi la khong gian wavelet Ta sé di tim cơ sở trực chuẩn
⁄„ là phép giãn 2" của Vạ nên 1W„ là phép giãn 2" cia Wọ Do đó,
để tim cd sở trực chuẩn của W„, ta đi tìm cơ sở trực chuẩn của Hj
Để làm được điều này, ta xét hàm số:
1 0<z<j H(z)=9 -1, g<z<1 0, r¢ (0,1)
Hàm H(z) được gọi 1A wavelet Haar
1.3 Một số tính chất của cơ sở wavelet Haar [1]
Dinh nghia 1.1 Mot ham ý € L2 được gọi là một ham wavelet true chuẩn niều
0 {Unm}nmez là một cơ sở trực chuẩn của L3, trong đó m(+) = 9/3/(9"z — m), m,n € Z Cỡ sở (0u„u} sinh ra bởi ý được gọi là cơ sở tauelet trực chuẩn của LÊ Bồ đề 1.1 Dat Hy (x) = H(n — k) tà
Hay(x) = 2"/7H(2"2 —k) n,kEZ, rER
Trang 98
J moRr0ie =1 khi k=E, J meiRrr =0khik#k
R ầ
Như vậy, {H¿}¿ez là hệ trực chuẩn của Wọ Ta sẽ chứng mình {/¿}cz là cơ sở
cha Wo That vi i méi g € Wo, khi d6 g € Vị, luôn tồn tai day (cj) € ? sao cho: Vo eBae = Yolcu Brar + cat Bia1y) ta tz Vì gLVp nén ta 6 e141 = cy Mat khác, ta lại có: 1 Hị = yah 2 Byatya) Do đó 9 = Sole B21 ~ ex1Bi ats) tz 1 =v2 La hat — Brats) een (Bia — Bi =v3Š euH, (cx) €P az
Suy ra {Hy}xez 1A cơ sở của Wọ Do đó, {H¿}¿ez là cơ sở trực chuẩn của tọ Vậy
{H„x(z)}xez là cơ sở trực chuẩn của W„
Định lý 1.1 Day {H„k}„xcz là cơ sở tnaoclet trực chuẩn của L3
Chứng minh
Ta có L2 = @W„, mà {H,„¿(z)}xez là cơ sở trực chuẩn của W„ nên {H„z}„xez
Trang 101.5 Công thức khai triển và hồi phục [1]
Vì {H„x}„xcz là cơ sở trực chuẩn của 72 nên với mọi ƒ € 12, ta luôn có: f= duHu với dụ = (ƒ, Huy)- Mặt khác V; -@®1: ke va Vj > 0 khi j => =oe nên 2= )enBj +” duHại kez n>j kez Không mắt tính tổng quát, ta giả sử j = 0 khi đó 7=S)aP.+ > YS dutae teZ n=O ke Dat xa fv = VaBe+ OY date =1 570 ke Suy ra f = Projy,f và ||ƒw — f|| + 0 khi N > oo Mat khée, fy € Vy nén ta có: fv = ewe Bve ta Do đó v >>>» kez J=0 keZ kez Với B(x) = B(2r) + B(3x ~ 1) và H(z) = B(3z) ~ B(z ~ 1) ta tính được: 1 n~1k = Fe (Cnak + €nak+1) 1
Trang 11Ví dụ 1.1 4 Cho f(x) = > cap Bax VOi co = 1, c41 = 2, c42 = 4, 43 = -2, địa = =0 cụ = ( 0,1,2,4,—9, ~3,0, ) Suy ra: ca; = 2( ¬- 2) dạy = 2% 10,420 ) eux = 2V% dyy = 2V% ,0,1,0, ) ce = Ặ ,0, 50 ") dy = A 0.2 0 ) Do đó
Sle) = 3G) + 5NŒ) +2V5Min(z) + 35ăz) = Š Haăz)
Trang 12Dinh ly 1.2 B-spline bậc ra có tính chất sau: 1) supp Äj„ = [0.m] 2) Nm € C™?(R) va Nim la mét da thite bậc ra — 1 trên mỗi đoạn [k,k+ 1], 0 < k<m~—1 3) Nn(z) > 0 Vz € (0,m), 4) Na) đối xứng qua đường thẳng z = m/2, tite là ANăz) = Nay (m — 2) Chứng mình 1) Ta c6 supp = (0,1)
supp Ni, = supp Ny + + supp Ny = [0,m] ees eee
2) No(z) 1a da thite bac 1 trén [k,k + 1], 0 < k <1 nén No(x) € C°(R)
Giả sử Aju-i(z) là da thite bac m —2 trén [k,k +1], 0S k <m=2 va Nala) € cm(R) Ta có NaG) = [”, Na-t0)4 “1 Suy ra Nin(x) la da thtte bac m—1 trén [k, +1], 0 < k < m—1 và Äj„(z) € C®=!(R) 3) Ta c6 Ni(x) = B(x) > 0 Vx € (0,1)
Giả sử Nn—i(z) > 0 Vz € (0m — 1) Suy ra
Năz) = [, Nm-ăt)dt > 0 Var € (0,m)
Trang 13Ví dụ 1.3 r€ (0.1) r € (1,2) a € (2,3) 2 ¢ (0.3) Ví dụ 1.4 ré (0,1) ré (1.2) ré (2,3) r€[3,4) x ¢ (0,4) Dinh ly 1.3 B-splines bac m la ham sinh MRẠ 1.7 Một số kết quả đại số [4] Các kết quả sau nhằm phục vụ cho việc tính toán ở chương 3 B6 đề 1.2 Cho a, b, e, d, e, ƒ € R9, khi đó:
det(a x b,e x d,e x ƒ = det(a, e, đ) det(b, e, f) — det(b e, đ) det(ạ ẹ J
Bé6 dé 1.3 Cho cde vector A, B, Ơ, D€ 8, la có:
det(A x B, Bx C, Cx D) = det(A, B, C) det(B, C, D)
B6 dé 1.4 Cho cdc vector A, B, C, ec RỲ, ta có:
det(A x B, Bx C,c) = det(A, B, CB c)
B6 dé 1.5 Cho cdc vector B, Ơ, D, E,ec RỲ uà Ơ e = 0, ta có:
Trang 14Chương 2
KHÔNG GIAN CÁC B,-SPLINES
BAC NHAT
Khai niém B,-splines duge dua ra đầu tiên khoảng vào năm 2005 bởi Makarov Theo đó, các /Z2;-splines được xây dựng từ việc xáp xỉ một vectơ hàm số hai thành phan y(t) € Ca, 6) C > nhAt Tiép sau đó, khoảng vào năm 2006, Ỵ K Demjanovich đã mở rộng khái niệm này
bằng cách xấp xỉ một hàm vectơ ba thành phan g(t) € C?[a,b] dé được các B,-
splines bậc haị Các Ö,-splines này khác biệt hơn các Z-splines ở chổ nếu i
Ö-splines được cấu thành từ c:
splines này được gọi là các /;-splines bậ
: đa thức thì các ö,-splines là tổ hợp tuyến tính
của các hàm bất kỳ thỏa mãn tính chất của vectơ hàm số y(t) Cae B,-splines
bac cao hơn cũng được xây dựng vào những năm sau đó với mục đích xây dựng không gian wavelet để biểu diễn xắp xỉ bởi một hàm tốt hơn Trong chương này,
ta sẽ tìm hiểu về các B„-splines bậc nhất Ta sử dụng các ký hiệu sau: 1) R? là không gian các vectơ cột có hai thành phần
2) aTb là tích trong của hai veetơ a và b (ab = (a,b) = aib + asb;)
4) (a,b) là ma trận vuông cấp 2 vdi a,b,c € R?
5) det(a,b) là định thức của ma trận vuông cắp 2 với a, b € R2
Trang 15Xét y(t) = (vo(t) yi (t)) la hàm vectơ có hai thành phần của không gian Œ!(a, b)
và thỏa mãn điều kiện: det(y(t), '()) #0, Vt€ (a, 9) “Ta ký M=[|Œ; z;si) 5; = Íry, zjsa|, Je= {k= 1, k}, k,j €Z jez Cho Ky € R!, Ky > 1, 4(Ko, a,b) là tập hợp các z; € X thỏa mãn: Kg" S (aj+1 — 23)() — 5-1)" S Ko Dat hy = sup/ez(Zj+1 — #/)- Day {a;};ez được gọi là dãy vectơ đầy đủ nếu det(a,-,a;) # 0, Vj € Z “Ta sẽ tìm các hàm số œ;(2) thỏa mãn: wj(t) =0 Veg MNS), j € Z, lt) = D7 ajuy(t), We € (estes) jen Theo quy tac Cramer ta c6: det(o(t), sn) 430) = “Feeley, aja)? €€ (xy, 5s1), đet(a/_¡.£()) %É) ="Nn(a,-na,) £€(#j+1.Z7+2).-
Khi đó, các hàm số œ;(j € Z) được gọi là các H,-splines bậc nhất
BL(X) ={u:u= $2ej¿j, c¡ € R} gọi là không gian các Z;-splines bậc nhất trên
7
lưới X
Bồ đề 2.1 Nếu ¿ € C1(a,b) tà de(¿,)(t) # 0Vt € (a,b), X € X(Ko,a,b) vdi
Trang 16Bổ đề 2.2 Néu day vecto {a;} day dii thi w,(t) € C(a,b) va: d' g(t) w;(t) = b0 , Ê€[Tj,7+1) bj ý Gxt) w(t) = at - Ê€ÍZj‡i,#jz2] bia; sj() =0, YE# [ry,zjei] Từ bổ đề trên suy rạ ,Ê€ [Zj.Zj+1) [eye — [est ahi = leh T—, FC [Zj+1,2723] lopah =lom]n  â th zseal Do đó, ta có: #j(œj) =0, @j(#j+1) = 1, @j(#j+a) = 0 Từ đó ta có định lý sau Định lý 2.1 Voi j ke Z fa có: 1) øj(0) € C(a,) 2) supp #;() = [z;,;x3]- 3) øj(t) > 0 với £ € (zj,zj+2) và œ;() = 0, với £ ý [zj +] k 4) Yaj(t) =1 a 5) {uj(t)}jez 1 hệ độc lập tuyến tính 2.3 Một số ví dụ về Ö,-splines bậc nhất [3] Vi du 2.1 Cho g(t) = (1,P)7 vad € R\{0} Suy ra g(t) = (0,41) và det(y(t), ¢ (t)) =ẻ
X là một lưới trén khodng (a,b) khong chứa điểm 0, các B„-splines bậc nhất trên lưới X như sau:
t€ Ezy,z/e)
Trang 17Vi du 2.2 Cho g(t) = (1,sin At)” va A R\{O} Suy ra y(t) = (0,Acos At)? va det (y(t), ¢ (t)) = Acos At
X là một lưới trên khoảng (a,b) không chứa các điểm bì + Fh (k € Z), các
B„-splines bậc nhất trên lưới X như sau:
te ley, 2541)
oo SCL E [a541.2,
Bi ga Ce leven asl
Vi du 2.3 Cho ¢(t) = (1,e)? va \ € R\{0} Suy ra y(t) = (0, re)? va
det( y(t), ¢'(t)) = Ae*
X la mét ludi trén khoding (a,b), céc B,-splines bac nht trén ludi X như sau: at ete Dace 1€) eye) = 4 TY Deacon 1€ jei#jsz]
2.4 Mối liên hệ của các Ö,-splines bậc nhất [3]
“Trong phần này, ta sẽ bổ sung thêm điểm £ vào lưới X thu được lưới mới X
Trang 192.5 Các phiếm hàm song trực giao [3]
Hệ );ez được gọi là song trực giao với hệ {ei} en nếụ 0e) 1j €7, với ð,„ được định nghĩa như sau: _Í0 ¡Z2 1, i=j, Dat u(xj+1) = (fj.u) voi u € C(a,b), 7 € Z, ta c6 suppƒ; = zj+1 Dinh lý 2.4 Hé {fj} jez song truc giao vdi hé {wy hy ex: nghia la: Œ.ep) =ỗjỵ 7 €Z Chứng minh Với j < j —1 và Với j > 7 + 1 ta có œ/(z;;¡) = 0 Suy ra: (fj wy) = wy (zh41) = 0 Véi j’ = j, ta c6: ey) = j6) =@jgjai) =1
Dinh ly 2.5 Phương trình ñ(z;;\) = vị, j € Z, {uj} là đấu số thực cho trước có
nghiệm duy nhất trong không gian B}(X) Nghiệm nàu xác định như sau: H(t) = Yo vjaj(0) jez Chứng mình 'Ta có Ñyk) = Ö e7 ( in) = ty ja
Suy ra ñ(2) là một nghiệm của phương trình ñ(z;¿¡) = +; Giả sử #(2) cũng là
Trang 20Định lý 2.6 J Gk =0 Gy = 5) >k+l1 Chứng mình Với ƒ >k+2, ta có øj~i(/) = Ø;(£) nên: ý = (8y) = (Gey) = 955 Với ƒ <k~2, ta có œj(£) = 7;(t) nên: sợ =/.8/) = jsy-) Với 7ƒ k— 1, ta Có: 4ik~I = (fj 8k~1) = (fi @k~1) — Pe=1k(fj; 9k) = Với j = k, ta có : 4k = (1:5k) = ((:©k) — (f:k+))(Pek = (ỗjk — ỗjk)/Pkx = 0 Với ƒ = k+ 1, ta có suppƒ; = z;¿¡ và (#kyi#kys) = (kyas Tk+3)
Do d6 w(t) =Zp41(#) Mat khac supp, (t) = [7,742] nên: dike = (Fiera) = (fie) = bia Dinh ly 2.7 Dat Q = (aij)ijez, ta có:
QB =1
Chứng mình
Ta c6: w(t) = Bz(£) Suy ra (w)"(t) = (@)"(t)B" hay QB? =1
2.6 Công thức khai triển, hồi phục [3]
2.6.1 Công thức khai triển
“Ta nhắc lại các ký hiệu: B}(X) là không gian sinh bởi các Z;-splines bậc
nhất trên lưới X B1(X) là không gian sinh bởi các ,-splines bậc nhất trên lưới
X., B.(Ä)=({W:u= 32c; c €R!} 7
-{ã:
Trang 21Ta 06 BL(X) c BL(X) Xết ánh xạ
P: BL(X) — BL(X)
TH PE= Drains
với a¡ = (ƒ,.8) Dat Q = 1 — P, véi I 1a phép dong nhat va W = QB,(X)
Trang 22Chứng mình Với ¡ < k— 1, ta có Với ¡ > k, tà có Suy ra S pụa — 3 pueaa án = >+ x la san Với j # k, ta có Với j = k, ta có — 3) ñx9i—Pk~ikfk-iPkkfkei— 3 Š,k—iSi1i = CE—Pk-l4€k~ĨPkkfkti isẻ ae Hệ quả 2.1 Không gian W la khéng gian mét chiéu được sinh ra bởi oe W = {bay :b€ R} 2.6.2 Cong thức hồi phục
Cho ñ € B`(Ä) va Pu = $2a/0,, Qữ = bớy, với a¡,b là những số cho trước
Khi đó, ta sẽ tìm cách biểu diễn e; trong công thức # theo a; va b Lúc đó ta có công thức hồi phục ¬ <k-1 a= ana, i >k+l Me ~ Pk, kOk—1 ~ Ph kOe Định lý 2.9 Tu có: 2.7 Khai triển wavelet cho dãy lưới lồng vào nhau [3] Ký hiệu X*,
sao cho lưới X* chứa nhiều hơn lưới X*~`! một đi
=0,1,2, là một dãy các lưới lồng vào nhau X° c X! c X? Cc
Giả sử X* € Kía,b, Ko),
Trang 23
Ky € R va hy: < €, s = 0,1,2, , với e được trình bày ở bổ đề 2.1 Ta có BLX*) C B.(X*†!), s = 0,1,2, Suy ra B}(X9) C B`(X)) C BÌ(X?) C Ký hiệu w,, là Ø,-splines bậc nhất được xây dựng trên lưới X* Khi đó, ta có: "3 với được xác định như sau: ar aa, a arn Py = Gee ~ Fy + Face ) AaB -¡ @) — đự, Pi = ST — dacs i <k-2, ¡ >k+l, Poy = bray, JAK re = Skyỵ JFK Ký hiệu X = X*, X = X*?!, ta có khai trién wavelet BX") = B(x") Dw" Lap lại quá trình này, ta có công thức khai triển wavelet cho không gian B, như Uạ) =B,(x)@1°@1'@1? Tit cdc s6 0,1,2, , ta xây dựng dãy con sau: 80 < 81 < 82 < .Sp < cSg <
và dãy lưới tương ứng X*° C X* C X*% C Trong đó, lưới X* thu được bằng
cách bổ sung s„ — s„ điểm vào lưới X* Lúc đó, ta có: BL(X**) C BL(X**") C B}(X312) C C B;(Xđ%) Vi ôĂ l hàm Ö;-splines trên lưới X**, «;¡„„ là hàm Ư¿-splines trên lưới X*+ su =3) nh, J Mi
trong đó, các hệ số g(”*) Z 0 không vượt qua 2%-*r
Sử dụng tính chất hệ {/7*};ez song trực giao với hệ {« }uez và
[Han ta đễ dàng tính được công thức khai triển và hồi phục
Trang 24Chương 3
KHÔNG GIAN CÁC B,- SPLINES
BẬC HAI
Các Ø-splines bậc hai được xây dựng một cách tương tự các Z;-splines bậc
nhất, bằng việc xấp xỉ một hàm vectơ ba thành phần, tuy nhiên việc xây dựng
các B,-splines này có phần phức tạp hơn do điều kiện để hệ vectơ đầy đủ phức tạp hơn Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu các Z-splines bậc haị
Trong chương này ta sử dụng các ký hiệu:
1) R2 là không gian các vectơ cột ba thành phần 2) aø là tích vô hướng của hai vectơ a và b
4) (a,b,c) ld ma trận vuông cấp 3 với ạb.c € R3
5) det(a,b,e) là định thức của ma trận vuông cấp 3 với a,b,c € R3
3.1 Xây dựng các B,-splines bậc hai [5]
“Trên khoảng (a,b) C ÌR ta xét X là một lưới xác định như sau:
X:«.<#-i <zg <#i < với
a= lim zjb= lim aj joc joe
Xét ¿(f) = (go(f).i(9),£ă9)) là hàm veetơ có ba thành phần của không gian
C?(ạb) và thỏa mãn điều kiện:
đet(g(t) £(£) g"()) #0, Vt € (a, 6)
Ta ký hiệu
M=[|LJŒ› zy)
Trang 25NÓ) = ¿(t) x #( øj = eÉj) #j = #(œj), Nj =NŒ;) bj= NjxN¡;¿i {b;}jez la day vecto théa man det (bj_1,b;.bj41) 40, Vj €Z
Ta sẽ tìm cdc ham sé 0;(t) théa man: 9/() =0 Vt€ AM \ Sj, j €Z elt) = Yd 295(0 vite M je “Theo quy tắc Cramer ta có: 9j()=0V£€ AM \Sj, j€Z det(bj_2,bj-1.9(t)) det(bj-2, bj bj) det(bj-1,(t), by) det(by-1, bỵ by1) bj 9/() = -£€ y1.) 9/0) = + Ê€ (Z7,Z7+1) )j+2) bj+2)
Khi d6, céc ham s6 2,(j € Z) duge goi là các Z,-splines
B2(X) = {u:u=YajQj, aj € R'}goi là không gian các B,-splines tren ludi X
7
+ ʀ (j+1.Zj+3)
3.2 Diéu kiện đầy đủ của hệ vectơ
Bỗ đề 3.1 Cho ¿ là ham vector có # thành phần khả tì liên tục Khi đó, nếu
đet(c(£),ø (t).e (9) # 0 thà det(Nú), (9 NÏ (0) #0 Yt€ (a,b) Chứng mình Ta có N(t) = y(t) x y(t) Suy ra: N@) =0 x £0) +) xế (9 = e() xe () NỈ) =£@) x9) +£@) xe”) Giả sử det(N(),N (), NỈ (9) = 0, tức là
det(c() x £ (9.£Œ) x £”().£ Œ) x £”( + ø(9) x e”()) =0 Vt € (ạB)
Khi đó, tồn tại a, đ Z 0 sao cho:
# xế +exe”=ăgx#)+8(y x#”)
Suy ra:
xe xe +exexe”=a¿xexe+8exexe”
Do do, yxy xy" = 0 hay det(y(t), y(t) x # (Đ) = 0 Điều này mâu thuẫn với
giả thiết det(g(f).e ()„e (9) # 0
Trang 26Bỗ đề 3.2 Cho Kẹ € RÌ, Ko > 1, r tà n thỏa mãn: Kyl <n! < Ko
Giả sử 0ectø hàm số N(t) 06 dao hàm liên tục cấp hai trên [a,b], uới a > 0 thỏa điều kiện:
| det(N(t) N(t), N’(#))| >a, ve € (a,6)
Khi đó, luôn tồn tại số đương 5 = 5(a, Ko, N) sao cho vdi r € (0,6) ta có:
|det(N(t), Nt+7),N(t-+7+0))| > 0/2, Wee [a,0) Định lý 3.1 Giả sử y(t) la ham vecto c6 ba thành phần thảo mãn
det(y(t), #(9, ø"(9) #0, Vt € la, ðÌ
Khi đó, uới mỗi Kạ > 1, luôn tồn tai € > 0, € = c(ạb.Kg.) sao cho uới X €
K(a,b, Ko) tà hự < e thì dãy tectơ {Nj};cz là đầu đủ Chứng mình
Vi det(y(t), g(t) £"()) # 0 nên det(N.NỈ,N”)() #0 Ve € [a,b] Mat khac,
ham sé det(y(t) g(t), o"(t) 40 nén det(N,N’,N’)(¢) lien tue trén doan [a,b]
nên tồn tai a > 0, a = ăa,b,N) sao cho:
| det(N(t),N'(t),.N’(t))| >a, Wt € (a,6)
Trang 273.3 Tính chất của các Ö,-splines bậc hai [5] Với j € Z ta dat:
#j =v(j), A=gj-s, 8F =ÿj-s, b
d= gin d’ =yhy1 € =0/‡2, 6 =0jxs, Í=0jis, Ê =v)¿a A=Nj-2, B= Nj, C=Nj, D= Nyy, E=Njy2, F=Njss Khi đó, ta có thể ai: det(A x B,B x C.£(9) SÁ) = qVAxB.Bx©G.CxDÐ)' (E27) — det(B x Ơ,z(),Ð x E) 9) = GaqBx GC x D,D xy’ tH) a) = det(y(t),D x E,E x F) „ức Gas) det(C x D,D xẸExE Định lý 3.2 Tu có: 90) = B y(t) [det(B, C,D))"', t € (x;-1,2;) _ Bẹ() — de(B.D.B(G¿(0) _ det(B,C.D) det(B, C.D) det(C D BE)” EY ) det ( 0;(t) = E(t) [det(C,D, EB)", t € (xj+1.2)42) 9/0) t€(j.#jxa) Chứng mình Ta có:
o,(e) — HAZ B.Bx Ciel) det(A,B.C).(B.9(0) 7Ú” an(AxB,.BxŒ.GxD) det(A, B,C) det(B, C.D)
=B,g(t) [det(B,C,D))", t € (x;-1.2))
6,0 - -4°(2().D xẸBxE) _ _ de(D.EF)(B())
i) = det(CxD,DxE,ExF) ~ det(C,D,E).det(D,ẸF)
= 2;(t) = Ẹy(t) [det(C,D, EB)", ¢ € (541.2542)
det(B x C.e(0).D xE)_ _ det(C.D,E).(B.c()) - det(B,D,E).(C.£(9)) de(B x€,C xD,D xE) — det(B, C.D) det(C, DE)
_ Belt) det(B,D.E)(C.y(t)) © det(B,C,D) — det(B, C.D) det(C.D,E) Ta cũng có:
det(B x C.e(0).D xE) det(B.C,D).(Ẹc()) - det(B,.C.E).(D.e(9)) de(B x C,CxD,DxE) - det(B, C, D) det(C, DE)
Trang 28Định lý 3.3 Ham 0,(t) có thể thác triển thành hàm liên tục trên (a,b) O;(t) € CÍ(a,b)
Chứng mình
Vì v(t) = (go(£).£i(f).gă£)) là hàm vectơ có ba thành phần của không gian €?(ạb) và theo định lý 2.1 ta suy ra 9;(t) € C(a, 6)
Dinh ly 3.4 Ham 0,(t) có các tính chất sau: d d 5(¢j-1) = F.5(2j-1) = 0, 25(0j42) = F.2s(aj+2) = 0 Be d Be SO) = a eDy a) ~ Tae ED Ed d Ed 50) =e EO = que DĐ De d 4-16 2) = BED Chứng mình Ta 06 0,(t) = B.y(t) [det(B,C,D)}"!, mà B =N,_¡ N¿_¡ = £/~¡ xế, _¡ nên: d d 2525-1) = F%5(@5-2) = 0, 9/02/45) = FOj(j42) = 0 Ta lại có Bete 1 B c 9/6) = Bại (de(B,C.Đ)Ì ` = 1B.C.Đ) „ Suy ra: d eit) = By; (det(B,C,D)j”” = , = 25 (0541) = Ẹyjs1 [det(C,D,B)]"! = „ Suy ra: a , - Ed 90/41) = Esjvi [det(C, D,E)| ” = meDE
Nhận xét 3.1 Cho các bién u,v.w,y,t théa man det(N(u), N(v), N(w)) 4 0 vdi
a<u<u<œ<b Khi đó, định nghĩa hàm w(u,v,w,y,t) trén miền xác định
D= {(u,v,w,y,t):a<u<u<w<y<t<b,t€ (a,v)U(v,w) U(w,2)U (x,y) U (y,b)}
như sau:
Trang 29Niu) -o(t) det(N@), No) Nw) Nu).e(t) đet( Nụ), Nụ), NS)) ~——te(Nu), det Nu), Nv), Nw) )det(N@) Nw) Nw) N) Nụ) Nự)cÚ) — — Niy)-2(t) det No), Nw) Nw) w(u,v,w.ỵt) = Vt € (u,v) w(t, 0,0, 9st) = Vt € (v,w)
wo(u, 0,0, yt) = Vt € (wy)
Trang 302 9= Ó - tet ten T-t+1, t€(12) 0, t 22 t <0 te (0,1) Ăt) = , t€(1,2) te (2,3) +23 Vi du 3.2 Xét gt) = (L,eost,sint) va hadi X = 52 tới xy = 5.5 2 “Ta có y '(t) = (0,—sint, cost), y "(t) = (0, —cost, — sint), N(¢) = (1, — cost, —sint) 1 0 0
det(y(t), g(t), 9"(t)) = det} cost —sint t}=140 (3.2)
sint cost —sint
Khi đó, ta sẽ xác dinh duge cac ham B,- splines trên lưới X như sau:
Q(t) =
Trang 31
3.5 Các phiếm hàm song trực giao [5]
Cho {F,},.;là các phiếm hàm xác định trên không gian C(a, b) cho béi công
thức:
#j(u) = det(£, 2+1 £j41)/(j) — det(f,Øj+1:7+1)8(#j)
Định lý 3.5 {F,},.„ song trực giao uới day hàm {9} „.„ nghĩa là: Ej(Q;) =ðj„, Vj ý €Z Chứng mình Nếu j < 7 ~ 1 và j > ƒ +2 thì z; không phải là điểm trong của supp9: Do đó: 9/(j)=0, 9⁄(j)=0 Do đồ Fj(9;) = 5,7 =0 Ta có Fj(u) = D.(cw(zj) = fu(z;)) Suy ra B/(9;) =Ð (e 9/0,) = e 0;(zj)) = |(@.e)(B.e)- (D e)(B e)| [det(B.C.D)j ` = det(B,C,D) [det(B.C,D)|”! =1 vị 8 (9-1) =D (e9 ¡y) — e 9-1)
=Í(Ð.e)(Ð e) - (Ð e)(Ð e)] [det(B.C,D)j”” =0
Vậy F;(O/) = 6), Vij € Z Dinh ly da được chứng minh
Định ly 3.6 Phương trình F;(0) = tị j € Z1 € B„(X) có nghiệm duy nhất Nghiệm này xác định như sau:
ñ) = Š2u9;()
5
Trang 32Chứng mình Ta có (06) = F,Ö 29/0) = 5j(97(9)ez) 4 7z
Suy ra ñ() là một nghiệm của phương trình F;(ñ) = + Giả sử (2) cũng là một nghiệm của phương trình Z;(ữ) = ø Khi đó ta có:
F(u(t) = 8(t)) = F,(8() = F,(6()) =0
Do đó, ñ(£) = ?(£) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
3.6 Mối liên hệ của các Ö,-splines [5]
Trang 33Định lý 3.8 Tu có:
S,-1Ú) = @k~1() + đc
det (Nj—1, Ni, X) det(X, Ne+i, Ni-+2) k+i(9)
det(Ny-1, Nẹ Nes) det(Nị Nev Neva) det(Ni, X, Nest)
_ đet(Ñ, Ma, ÑNóa)
9x0) = w(t) +
9,i() 4k+1() + #k+2() 3.7 Công thức khai triển, hồi phục [5] 3.7.1 Công thức khai triển
B3(X) là không gian sinh bởi các Z3-splines trên lưới X B3(X;) là không =8; z;€RH 7 a gian sinh bởi các B,-splines trên lưới Xị, B2(Xy) = (7: Ta có B?(X) C BỆ(XI) Xét ánh xạ P:BỀ(Xì) —+ BỆ(X) io SRW, 7 Dat Q = 1 — P, với 7 là phép đồng nhất và W = QBỆ(X) được gọi là không gian wavelet Khi đó ta có: Bim) =Bx) Pw được gọi là khai tién wavelet cita khong gian B2(X1) Vì BỆ(Xì) = BỆ(X) @W nên với ñ € BỆ(Xì) ta có: 3 " ` 65 = 0() =Š 2ad thị, j€Z
3 đua =c—3 2 dR() = cị~Š di E(Ô cá) = c~Š 24 32 eFi6x) ĩ T ar
Trang 34Pj(ey) =1 khí jSk—1, Pj(6jkp)= kh j>k+1
det(X.Ñ: Nị) det( Nii, Ne, Niev1)
det( Niạ Ny, X)" Pilon) = “TON, Ni, XD Fiera) = Chứng mình Với j < k— 1 ta có F, j = fjei nên Đj( Do đó ý; nên Fj(4¡) = fi(wi) = 653.1 € Z Voi j > k +1 ta có fj+1(wi) = djrr it € Z Fj@) =0 Vú, 7) # {( 20): <k—1}U{(2,0): Í > +1} Ty; Ta lại có w; € C'(a,b) va suppux = [&:-1, E042] nén Fe(wi) = 0 với i ¢ {(k— 1,4} =0 khí j<k—1, Fy(wjy1)=0 khí j>k+1 ¬ .u Fi(u) = Newt - (peu (xe) — @kt(Zk)) Suy ra ""“= 5 1 " p3 det(Ny_1, Nz X) ~ det(Ni-1 Nị X) w(t) = Ne-rp(t)[det(Nua,Nx,X)]* Suy ra
Filey) = (Nusa - ee)(Nent - 4) — (Nusa - 9p)(Neaa- ve) _ det(NiạNụ Nes)
det(Nia, Nụ X) ~ “det(Ni- Nu, X)
Dinh lý 3.9 Trong khai trién wavellet ctia khong gian B,(X1), ta 06 thé viét lại
công thức khai triển như sau:
&=Ăe¡ khí <Šk—1, a=eaki khi i>k+1
oy = SKN Nes) | det Nat Nes Nest)
det( Nii, Ne, X) *~ det(Nx-1, Ne, X)
boy ae dot(X, Nuvị Nuy2s)
eet Get Ng Nev, Ni+2) det( Niị Nẹ X)
det(Nị X Nit)
dete Neva, Neva) **?
Trang 35Với i > k +1, ta 06 Fi(wig1) = 1 va Alu; a5 = 7 Flu) =e =0 khi j #¡+ 1 Suy ra “Ta có Ak=c-Lfi(Gk-i + ceFk(ok _ tể0,NG Noo), dểNG LNG NGu) det(Npạ Nụ X) det(Ny_1, Nị X) Ta lại có bị =ej—aj =0 khí jk—1, bị =ej—aj-i=0 khí ¡>k+9 be = ce = dines = C4 — Ak~tdè~ — akd det(N¿.X.Đ¿„¡) det(Ny_1.Nx.X) © deta Ne New) 8? det(Nia Ne New) _ det(NẹX.Newi) - det(N,_¡.Đ¿,X)
© 8 HN Ne Nea)! det(Nea Ne New)
det(X, Ny, Ny det(Ng_i, Nx Nj * + “Net TƯ NA =0 Suy ra b =0 khi jZk+1 =œ ẢÔ ` näs=“ mm
= cag, — (ANE Nisa), dot(Nna Ne Nes), det(X Nes Nu¿¿,)
el Teta, Np X) 8! det(Npaa Ng XS)” det(Ny Neva Neyo) "¬ ) **2det(Nị Newt Neva) det(X,N¿.¡.N;¿a, ) NÑ.X) det(Ñ,.X.N¿„¡)
x etOX,NG Ni} + det(Ng uc Ne)đ] + 9e = TƯN Noo Nga) 22 Nhu,
Hệ qua 3.2 Không gian VU là không gian một chiều được sinh ra bởi B,-splines
De
Trang 363.7.2 Công thức hồi phục
Cho ữ € BỆ(X¡) va Pu Khi đó,
Đai, Qa by ¿ì, với a¡.b là những số cho trước Yaidis +b; - 7€ Z được gọi là công thức hồi phục
Định lý 3.10 Tu có thể uiết công thức hồi phục như sau:
cj=aj khi FSk-1, @j=aj| khí j>k+1
Trang 375 = Aja — 2540) #8) = Wj) + (ps2 — ayer) (ajax) = ý “Ta có T(t) = 3 2 0jø;, t€ (a,0) jek x 1 c #j+2 + Tj+1 5y = =5(8j+2= zja) Ía; = (“PT is + sản) Filwj) = 645, 4 = fi(v) Với t € (xk, 7441) va VOI k € Z, cdc ham s6 w;(t) théa man công thức xấp xỉ: p(t) = Mp2 2 + Tere p1 + There suppa C (25.2343) Suy ra 1 1 1 wp -2(t) 1 Teitte Cette S ko The z steer Thy + Te | | iy] ale 2 2 ThaTk TAT Thea Tha ont) f Đặt 1 1 1 Tk-1ŸTE TỶ Trịi Thịt Tk‡2 1 Av =det | 2 2 2 | = 5 tere) 2 (te 24) (e424) TR-ITk TkTkỳi Tk+lTk+2
“Ta tính toán được
#@k-ăĐ) = (Ekèi — #è¬l) “(teen — te) (tes — ĐỀ, #=1() = (eg = tea)" (eee — #k)”(gkya = te)?
X[Fk~IZkei(ksa — #k) + #kzkrăE+ — #k) —#f(Fkyik+2 ~ #k—k) + Ê(Gk—x + 4k ~ Theite+2)|-
#k(Đ) = (xi — #k)(k+a — #k)(Ekvi — ĐỂ Thay £ = z¿ +7, 7 € (#k,zk+a), khi đó
0k-3(Zk +7) = (Tkẹt — #k~1)T (ket — #k) (ky — #k 7),
#9k~(k +7) = (een — thr) Meg — #k)Đ (ky; — 4)?
X[rŸ(Œk~i — #k — #kẹt — #k+2) + 27(#kèi — #k)(Tk‡a — #k)
(x — #k~x)(Ek+i — #k)(Ek+a — #E)]
Trang 39Ta có thể tính toán hệ số 4 tai ug 2 1 2 ae abel 7 be A #(a + e) + 2rbc + (a — b)bc] +
= lew —7)* — Tˆ(a + e) + 2rbc + (a — b)be + ar?| ai
Ta c6 thé tinh toan hé s6 B tai uj,
"[(b — a)(b — z)Šc + (~r(a + e)b + 2bŠer + (a = e)bÄe) + ăb + e)r*)| = 7 T(t) = uy + Tu, + Re 3.8 Khai triển wavelet cho dãy lưới lồng vào nhau I5]
Cho X°, s=0,1,2, là một dãy các lưới lồng vào nhau X° C XÌ c X®C
sao cho lưới XẺ có nhiều hơn lưới X*”! một điểm Giả sit X* € K(a,b, Ko),
Ko € R va hy: < e s = 0,1,2 với e được trình bày ở định lý 3.1 Ta có BỆ(X*) C B$(X*+}), s = 0,1,3, Suy ra B2(X°) C B3(X") C B3(X?) c Ký hiệu ø«¡„ là ,-splines bậc hai được xây dựng trên lưới X* Khi đó, ta có: wis(t) = 3 2426j„+1(9), VE € (2,6) với được xác định như sau: ðj¿ (<Sk=1), dig = Sing (jJ>k+2), 1€Z mm" Ness) det(Ng1.NụX)
fue det(NeaNeNew)) “*~ det(NiasNeNew) d2=0 (EZ {k= 1k}, ding =0 (iE Z {k,k+1});
Trang 40Ký hiệu X = X*, X = X*!!, ta có khai triển wavelet Bex) = BX) Dw Lặp lại quá trình này, ta có công thức khai triển wavelet cho không gian B„ như: sau: + (2°) = đ(x))@+?@x'@? .0 Tit cdc 6 0,1,2, , ta xây dựng dãy con B, S0 < 81 < 82 < .Sp < c§g <
và dãy lưới tương ứng X*° C X* C X*% C Trong đó, lưới X*+ thu được bằng
cách bổ sung s„ — s„ điểm vào lưới X* Lúc đó, ta có:
BỆ(X%) C BỆ(X*%*!) c BỆ(X%*3) C C B(X*đ%)
Vi ôĂ là hàm Ø,-splines trên lưới X*%, «;,„„ là hàm Ư,-splines trên lưới X*%
Hise = dy 6y,
trong đó, các hệ số p}'*) z 0 không vượt quá 2*'~*
Sử dụng tính chất hệ {/)"};ez song trực giao với hé {wy ,.}yez VA
a7") = (F055)