Luận văn thạc sĩ toán học thác triển dấu hiệu hội tụ trong nhóm tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHÓM TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh Nội dung luận văn có tham khảo, trình bày lại phát triển khái niệm, định lý báo [10] Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp.167180 Những trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Học viên thực luận văn Dư Ngọc Minh Anh LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành luận văn em nhận nhiều giúp đỡ chun mơn từ Giảng viên khoa Tốn, giáo viên đồng nghiệp bạn lớp Hình học tơpơ khóa 26 anh chị khóa Đầu tiên em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh Người hướng dẫn khoa học, trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Thầy nhiệt tình hướng dẫn em nghiên cứu chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có luận văn tốt Em xin gửi lời cám ơn đến Thầy, Cơ cơng tác phịng Đào tạo Sau Đại học quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn thủ tục để em hồn thành luận văn yêu cầu tiến độ Em xin chân thành cảm ơn Giảng viên cơng tác khoa Tốn giảng dạy em suốt trình học tập lớp cao học Em xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Thanh Đa giáo viên đồng nghiệp quan tâm động viên giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thành viên gia đình động viên, tạo điều kiện để em yên tâm nghiên cứu Em xin cảm ơn chị Phan Ngọc Yến chị Nguyễn Phương Anh (email phanngocyen.dhsp@gmail.com nguyenphuonganhintel@gmail.com) giúp đỡ em trình tìm tài liệu chia sẻ kinh nghiệm trình làm luận văn Cảm ơn bạn Hồng Dũng, Hương anh Xuân Trung lớp cao học Hình học tơpơ khóa 26 học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hoàn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn Dư Ngọc Minh Anh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ 1.2 Các tiên đề tách 1.3 Dãy hội tụ tôpô 10 1.4 ∑ −không gian 11 1.5 Compact 12 1.6 Nhóm tơpơ 15 1.7 Không gian khả mêtric 16 Chương TÍNH CHẤT BA KHƠNG GIAN ĐỐI VỚI CÁC TẬP COMPACT DÃY 18 2.1 Không gian dãy Không gian Fréchet 18 2.2 Tính chất thớ nghịch đảo Tính chất ba không gian tập compact dãy 25 Chương NHÓM THƯƠNG ĐỐI VỚI NHÓM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI VÀ NHÓM CON COMPACT ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC 35 3.1 Lưới không gian tôpô 0  không gian 35 3.2 Sự thác triển tính chất nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai 37 3.3 Nhóm thương nhóm khả mêtric compact địa phương 43 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Giới thiệu đề tài Trong tôpô đại cương, không gian thương tính chất đối tượng thu hút nhiều nhà tốn học quan tâm, tìm hiểu Bài tốn sau chủ đề nghiên cứu chuyên sâu tỉ mỉ nhà toán học thời gian dài Cho H nhóm đóng nhóm tơpơ G , G / H không gian thương Giả thiết H G / H thoả tính chất khơng gian tơpơ Khi kết luận G có tính chất đó? Nhóm G gọi thác triển nhóm H khơng gian thương G / H Năm 1949, Jean-Pierre Serre - nhà toán học Pháp - chứng minh H tập đóng nhóm tơpơ G , hai khơng gian H G / H compact địa phương, nhóm tơpơ G compact địa phương Kết dựa thác triển tính chất từ G / H lên G , từ mở hướng nghiên cứu cho câu hỏi nêu Chúng ta có khái niệm tính chất ba khơng gian: Cho H nhóm đóng nhóm tơpơ G G / H không gian thương tương ứng, giả thiết không gian H G / H thoả tính chất P (tơpơ, đại số, hai), G thoả tính chất P , P gọi tính chất ba khơng gian J P Serre khẳng định tính compact địa phương tính chất ba khơng gian Thực tế có nhiều cơng trình chứng minh tính compact, tính đầy đủ, tính liên thơng, tính giả compact tính mêtric tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ Vào năm gần đây, kế thừa phát A.V Arhangel’skiˇı, M Bruguera, M G Tkachenko V V Uspenskij đưa nhiều kết dựa mở rộng nhóm tơpơ nhóm đóng chuẩn tắc, nhóm compact địa phương hay nhóm khả mêtric compact địa phương Điều cho thấy nghiên cứu tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ nhiều nhà toán học nghiên cứu, phát triển Tuy nhiên, đề tài nhiều vấn đề mở liên quan đến ứng dụng tính chất tơpơ đại số q trình tạo nhóm thương Mặt khác, hội tụ dãy (tập hợp) đề tài quan tâm tơpơ Vào năm 2008, A V Arhangel’skii trình bày [3] phát ban đầu thác triển tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đây vấn đề mở thu hút nhiều nghiên cứu nhà toán học Trong luận văn nghiên cứu nội dung liên quan đến số tính chất ba khơng gian dấu hiệu hội tụ tập compact dãy Các tính chất liên quan đến lưới nhóm tơpơ có thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm mêtric, compact địa phương phát biểu chứng minh Từ giải số vấn đề nghiên cứu thác triển số tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Phương pháp nghiên cứu Trình bày lý thuyết tính chất ba khơng gian, lý thuyết khơng gian thương, đưa kết qua lập luận chứng minh chi tiết Tổng hợp, bổ sung hoàn thiện từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần nghiên cứu Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày sau: Mở đầu gồm có giới thiệu đề tài, nội dung luận văn, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức tổng quan Trình bày kiến thức chuẩn bị cho luận văn gồm khái niệm, Định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ Chương 2: Trình bày tính chất ba khơng gian tập compact dãy 3 Chương 3: Trình bày thác triển tính chất liên quan đến lưới khơng gian thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai tính chất khơng gian thương nhóm khả mêtric, compact địa phương Kết luận: Hệ thống kết đạt chương chương Tài liệu tham khảo 4 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng  họ tập X cho: i , X  ii U , V   U  V  iii Ui   , i  I  iI Ui   Khi ta gọi  tôpô X  X ;   không gian tôpô 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ;   điểm x  X , U  X gọi lân cận x tồn V   cho x  V V  U 1.1.3 Định nghĩa Tập A  X tập mở với x  A có lân cận U x x chứa A Tập B  X gọi tập đóng X \ B tập mở 1.1.4 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   A  X Trên A ta xét tôpô  A   A  U :U mở X họ tập mở A Dễ thấy  A tôpô cảm sinh từ tơpơ  Khi  X ,  A  gọi không gian tôpô không gian tôpô  X ,     1.1.5 Định nghĩa Cho họ không gian tôpô đôi rời Xi iI Đặt: X iI Xi   U  X :U  Xi mở Xi , i  I  Khi  tôpô X  X ,   gọi tôpô tổng không   gian tơpơ Xi iI Kí hiệu: iI Xi  1.1.6 Định nghĩa Cho họ không gian tôpô Xi , i X iI i   họ phép chiếu pi phép chiếu p  i iI iI  iI Xét tích Descartes từ X lên Xi Khi tơpơ cảm sinh từ gọi tơpơ tích X , kí hiệu  iI i Không gian     Xi ,  i  gọi không gian tơpơ tích iI  iI  1.1.7 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   R quan hệ tương đương X Ta đặt: q: X  X/ R [x] x với X / R tập lớp tương đương R   Họ  / R  U  X / R : q 1 (U )   tôpô X / R gọi tôpô thương 1.1.8 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   , họ    gọi sở không gian  X ,   tập khác rỗng  biểu diễn qua hợp họ  Như vậy, họ tập (trên X )    gọi sở không gian  X ,   với x  X lân cận V x tồn tập mở U  cho x U  V Một không gian tơpơ  X ,   có nhiều sở khác Một họ   x  lân cận x gọi sở lân cận x với lân cận V x có U   x  cho x U  V 1.1.9 Định nghĩa Cho sở lân cận   x  , ta gọi số phần tử nhỏ có dạng   x  đặc số điểm x không gian tôpô  X ,   Kí hiệu:   x; X  Đặc số không gian tôpô  X ,   , kí hiệu   ( X , )  hay   X  cận tất số   x; X  với x  X Tức là:     X   sup   x , X  : x  X   1.1.10 Định nghĩa Không gian tôpô  X ,   gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x  X tồn sở lân cận đếm Nói cách khác X gọi thỏa tiên đề đếm thứ   X   0 , với  tập hợp song ánh với tập số nguyên dương 1.1.11 Định nghĩa Không gian tôpô  X ,   gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai có sở đếm Rõ ràng, không gian X thỏa tiên đề đếm thứ hai thỏa tiên đề đếm thứ 1.1.12 Tính chất i Không gian không gian thỏa tiên đề đếm thứ (thứ hai) thỏa tiên đề đếm thứ (thứ hai) ii Tích đếm không gian thỏa tiên đề đếm thứ (thứ hai) không gian thỏa tiên đề đếm thứ (thứ hai) 1.1.13 Định lý Cho không gian X thỏa tiên đề đếm thứ     điểm x  X có sở địa phương quy  x  Un n tức là: i Mỗi U n tập mở chứa x ii U1  U2  U3  Un , với n   iii Nếu xn  Un , với n dãy xn n hội tụ x   1.1.14 Định nghĩa Gọi U = Ui gọi phủ X X  iI iI họ tập không gian X , U U | U  U i i Một họ phủ X gọi phủ phủ X 1.1.15 Định nghĩa Phủ U gọi gọi hữu hạn (đếm được, vô hạn) U chứa hữu hạn (đếm được, vô hạn) phần tử U gọi rời rạc (đếm địa phương, hữu hạn địa phương) với điểm x  X , tồn lân cận U x có giao khác rỗng với không (không hữu hạn, không đếm được) phần tử U U gọi   rời rạc (   hữu hạn địa phương,   đếm địa  phương) U  i 1 Ui , Ui họ rời rạc (hữu hạn địa phương, đếm địa phương) tập X với i  1, 2, 1.1.16 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   A  X Một phủ A mà tất tập tập mở gọi phủ mở A 1.1.17 Định nghĩa Không gian tôpô  X ,  gọi không gian Linderloff với phủ mở X trích phủ đếm 1.1.18 Mệnh đề Không gian thỏa tiên đề đếm thứ hai không gian Linderloff Chứng minh Ta gọi: U  U I phủ mở X   Vi i sở đếm X , ta chứng minh tồn phủ đếm U Thật vậy: Mỗi U  U tồn họ Vi  i U  i    cho: Vi  X  I U     Vi  I  i   Đặt V  Vi i I  Suy V có lực lượng không đếm phủ X (do V    có lực lượng đếm được) Với Vi  V ta chọn tập U  U tương ứng cho Vi  Ui i Đặt   U  U i Dễ thấy U  U lực lượng U lực lượng V nên có lực lượng khơng q đếm Vậy ta có họ U phủ X 1.1.19 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   , tập A  X gọi trù mật (trù mật khắp nơi) A  X (tức điểm không gian điểm dính A ) 1.1.20 Mệnh đề Tập A  X trù mật với U tập mở khác rỗng X U  A   1.1.21 Định nghĩa Không gian X gọi không gian khả ly chứa tập trù mật đếm 1.1.22 Mệnh đề Mọi không gian thỏa tiên đề đếm thứ hai không gian khả ly Chứng minh   Gọi   Un n sở đếm X Ta đặt: A   xn nN xn lấy tương ứng tập U n Giả sử V tập mở X V  U : U  i i  Ui  V  xi  A cho xi Ui  V 0 0  A  V    A  X hay A trù mật Vậy ta có X khơng gian khả ly 1.1.23 Tính chất i Khơng gian mở khơng gian khả ly không gian khả ly ii Ảnh liên tục không gian khả ly không gian khả ly iii Tích đếm khơng gian khả ly không gian khả ly 1.1.24 Định nghĩa Một không gian tôpô X không gian với x  X y  Y tồn đồng phơi f từ khơng gian X vào thỏa f ( x)  y 1.1.25 Định nghĩa Trong không gian tôpô, tập A gọi G  tập A giao đếm tập mở 1.2 Các tiên đề tách 1.2.1 Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   gọi T0  không gian với hai điểm phân biệt x, y X tồn lân cận U1 x cho y  U1 lân cận U y cho x U2 1.2.2 Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   gọi T1  không gian với hai điểm phân biệt x, y X có lân cận U1 x cho y  U1 lân cận U y cho x U2 10 1.2.3 Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   gọi T2  không gian (hay không gian Hausdorff) với hai điểm phân biệt x, y X có lân cận U1 , U2 cho x U1 , y U2 U1  U2   1.2.4 Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   gọi T3  không gian (hay không gian qui) X T1  khơng gian với x  X với tập đóng A  X cho x  A tồn tập mở U1 ,U2 cho x U1 , A  U2 U1  U2   1.2.5 Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   gọi T4  không gian (hay không gian chuẩn tắc) X T1  không gian với hai tập đóng A, B phân biệt X , tồn tập mở U V cho A  U , B  V U V   1.2.6 Tính chất i T1  không gian T0  không gian ii T2  không gian (không gian Hausdorff) T1  không gian iii T3  không gian (không gian qui) T2  khơng gian (khơng gian Hausdorff) iv T4  không gian T3  không gian 1.3 Dãy hội tụ tôpô 1.3.1 Định nghĩa Dãy không gian tôpô X hàm xác định tập số nguyên dương, giá trị hàm số nguyên dương n kí   hiệu xn dãy kí hiệu  xn : n  1, 2,  đơn giản xn n   1.3.2 Định nghĩa Cho dãy xn n  :  ánh xạ tăng ngặt Ánh xạ: 11 X n x ( n )   gọi dãy xn n   1.3.3 Định nghĩa Dãy xn n gọi hội tụ tới x  X , kí hiệu xn  x , với lân cận U x tồn số nguyên dương n0 cho xn U với   n  n0 Khi x gọi điểm giới hạn dãy xn n   Nếu dãy xn n hội tụ tới x ta gọi tập x1 , x2 ,   x dãy hội tụ   dãy xn n 1.4 ∑–không gian 1.4.1 Định nghĩa Cho không gian tôpô X Gọi F phủ X lấy x  X , đây: C  x, F   F : x  F  F dãy F  Fi iI phủ đóng hữu hạn địa phương X thỏa điều kiện: Nếu K1  K2  dãy tập đóng khác rỗng X cho tồn x  X để K1  C  x, Fi  với i  I iI Ki   , Khi ta có F  Fi iI   lưới không gian tôpô X 1.4.2 Mệnh đề Nếu ta đặt C  x   iI C  x, Fi  C  x  đóng compact đếm 1.4.3 Định nghĩa   lưới F không gian tôpô X gọi   lưới mạnh X thỏa mãn C  x  compact với x  X 1.4.4 Định nghĩa Không gian X có   lưới (   lưới mạnh) gọi   không gian (   không gian mạnh) 1.4.5 Định lý Mọi   không gian paracompact   không gian mạnh 12   1.4.6 Định lý Giả sử F  Fi iI   lưới không gian X Nếu H i vừa phủ đóng hữu hạn địa phương X vừa mịn H i với   i  I H  Hi iI   lưới X 1.5 Compact 1.5.1 Định nghĩa Không gian X gọi không gian compact phủ mở X ln có phủ hữu hạn Khơng gian tôpô X gọi không gian compact đếm phủ mở đếm X ln có phủ hữu hạn Không gian tôpô X gọi không gian compact địa phương với điểm x thuộc X có lân cận U x cho U compact 1.5.2 Định lý Cho không gian tôpô  X ,   , A tập X Tập A compact với họ  Fi iI tập  A  đóng A có tính chất giao hữu hạn, tức iJ Fi   1.5.3 Định lý Nếu không gian A không gian tôpô X không   gian compact với họ Ui iI tập mở X cho A  tồn tập hữu hạn i1 , i2 , , ik   I cho A   1.5.4 Định lý (Định lý Tychonoff) Cho Xi , i  k j 1 iI iI Ui , Ui j họ không gian tôpô, ( X , ) khơng gian tích chúng i Nếu tất không gian  Xi , i  compact ( X , ) compact ii Nếu tất tập Xi khác rỗng ( X , ) compact tất khơng gian  Xi , i  compact 1.5.5 Định lý Cho không gian tôpô ( X , ) Các mệnh đề sau tương đương i ( X , ) compact đếm 13 ii Mỗi họ đếm tập đóng X có tính giao hữu hạn có giao khác rỗng iii Với dãy giảm F1  F2  tập đóng khác rỗng X , giao F khác rỗng  i 1 i 1.5.6 Tính chất: i Mọi tập compact compact đếm ii Mọi khơng gian đóng không gian compact đếm không gian compact đếm iii Nếu không gian đếm thỏa tiên đề đếm thứ hai không gian compact 1.5.7 Định nghĩa Không gian X gọi không gian paracompact phủ mở X ln có mịn mở địa phương hữu hạn Không gian X gọi không gian paracompact đếm phủ mở đếm X ln có mịn mở địa phương hữu hạn 1.5.8 Định nghĩa Không gian X gọi không gian paracompact phủ mở X ln có mịn đóng   rời rạc Khơng gian X gọi không gian paracompact đếm phủ mở đếm X ln có mịn đóng   rời rạc 1.5.9 Định nghĩa Cho X không gian Hausdorff ánh xạ liên tục f : X  Y Ánh xạ f ánh xạ hoàn chỉnh f ánh xạ đóng tất thớ f 1  y  tập compact X , y Y 1.5.10 Định lý Giả sử A, B tập đóng khơng gian Hausdorff paracompact X Nếu với x  B , tồn lân cận U x A lân cận Vx x cho U x  Vx   tồn lân cận U A lân cận V B cho U  V   14 Chứng minh Do họ Vx | x  B   X \ B  phủ mở nên có mịn mở W |   I  hữu hạn địa phương    Đặt I    I | W  B   Khi B   I Suy U  X \ V  I I0  I W A  W   với W tập mở Dễ dàng kiểm tra U  X \ I0 W W thỏa mãn tính chất cần chứng minh 1.5.11 Hệ Mọi không gian Hausdorff paracompact không gian chuẩn tắc 1.5.12 Hệ Mọi không gian Hausdorff compact không gian chuẩn tắc 1.5.13 Định lý (Định lý 1.1 [13]) Cho X khơng gian tơpơ Khi mệnh đề sau tương đương nhau: i X không gian chuẩn tắc m  paracompact ii Mọi phủ mở có lực lượng  m X ln có mịn phủ đóng hữu hạn địa phương iii Mọi phủ mở có lực lượng m X ln có mịn phủ mở   hữu hạn địa phương X không gian chuẩn tắc paracompact đếm 1.5.14 Định nghĩa Không gian tôpô ( X , ) gọi compact dãy   dãy xn n  X có dãy hội tụ điểm X 1.5.15 Tính chất i Nếu X khơng gian compact dãy X không gian compact đếm ii Trong khơng gian thỏa tiên đề đếm thứ nhất, tính compact dãy tính compact đếm tương đương 15 1.5.16 Định lý Nếu A tập đóng khơng gian compact dãy A tập compact dãy 1.6 Nhóm tơpơ 1.6.1 Định nghĩa Nhóm G nhóm tơpơ ánh xạ: GG G  x, y  xy 1 liên tục đó, G  G khơng gian tơpơ trang bị tơpơ tích 1.6.2 Mệnh đề Cho f : G  H đồng cấu nhóm tôpô Nếu f liên tục phần tử đơn vị eG G f liên tục G 1.6.3 Định lý Nếu G nhóm tơpơ A1 , A2 tập compact G A1 A2 tập compact 1.6.4 Định lý Cho G nhóm tơpơ, A tập đóng B tập compact G cho A  B   Khi tồn lân cận mở V phần tử đơn vị e cho A  VB   A  BV   1.6.5 Mệnh đề ([4, Hệ 1.2]) Một nhóm tơpơ paracompact địa phương paracompact 1.6.6 Định lý ([3]) Cho G nhóm tơpơ trái có phần tử đơn vị e tơpơ  , H nhóm đóng G Ta kí hiệu G / H tập tất lớp trái aH H G với tơpơ thương cảm sinh phép chiếu tắc  : G  G / H ,   a   aH Khi ta có điều sau:   (a) Họ   xU  : U  , e  U sở địa phương không gian G / H điểm xH  G / H (b) Ánh xạ  ánh xạ mở (c) G / H T1  không gian 1.6.7 Định lý ([3]) Cho G nhóm tơpơ trái H nhóm bất biến, đóng G Khi đó, G / H với tơpơ thương với phép toán nhân ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... ban đầu thác triển tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đây vấn đề mở thu hút nhiều nghiên cứu nhà toán học Trong luận văn nghiên cứu nội dung liên quan đến số tính chất ba khơng gian dấu hiệu hội tụ tập... gian tơpơ Khi kết luận G có tính chất đó? Nhóm G gọi thác triển nhóm H khơng gian thương G / H Năm 1949, Jean-Pierre Serre - nhà toán học Pháp - chứng minh H tập đóng nhóm tôpô G , hai không