BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES ZARATI MODULO p LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS TS LÊ MINH HÀ Phản biện 2: TS NGUYỄN LÊ CHÍ QUYẾT Phản biện 3: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN HỒNG CHƠN PGS TS NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Phan Hoàng Chơn PGS TS Nguyễn Sum Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả thầy hướng dẫn cho phép sử dụng đưa vào luận án chưa công bố trước TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Phan Hoàng Chơn PGS TS Nguyễn Sum i Tác giả Phạm Bích Như Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn tận tình hướng dẫn giúp đỡ PGS TS Phan Hoàng Chơn, PGS TS Nguyễn Sum nhiều người khác Nhân dịp xin gửi lời tri ân đến tất người giúp đỡ Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Phan Hoàng Chơn, người thầy, người anh người bạn đồng hành động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu sinh Mặc dù bận rộn thầy kiên trì giảng dạy, hướng dẫn cho tơi kiến thức Tôpô đại số tuần suốt năm Nếu khơng có thầy tơi khơng thể có tâm để theo đuổi việc học tập nâng cao trình độ Tơi xin bày tỏ lời tri ân sâu sắc PGS TS Nguyễn Sum, thầy giảng dạy, hướng dẫn cho nhiều ý kiến đóng góp q báu chun mơn định hướng nghiên cứu Thầy người nghiêm túc học thuật lại gần gũi, giản dị sống nhân duyên để trở thành nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn Lời cảm ơn chân thành gửi đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy ln động viên hướng dẫn thủ tục cần thiết để tơi hồn thành chương trình học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau đại học q Thầy, Cơ Khoa Tốn tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt việc học tập trường Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Cần Thơ, Khoa Khoa học Tự nhiên, q thầy Bộ mơn Tốn chia sẻ công việc, động viên giúp đỡ tơi nhiều để tơi thuận lợi hồn thành việc học tập nâng cao trình độ Cảm ơn chị Dương Thị Tuyền thấu hiểu cho em lời khuyên chân thành ii Xin cảm ơn anh, chị, em học nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt hai cô em gái dễ thương TS Dư Thị Hịa Bình TS Lưu Thị Hiệp, sát cánh động viên, giúp đỡ nhiều cho từ ngày đầu Quy Nhơn học tập để vượt qua khó khăn có thêm động lực hồn thành tốt chương trình nghiên cứu sinh Lời cuối cùng, muốn cảm ơn đến đại gia đình tơi ln chia sẻ, động viên tơi lúc khó khăn, đặc biệt tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến mẹ tơi, người sinh tôi, suốt đời hy sinh cho chị em tơi Cảm ơn mẹ chăm sóc cháu để yên tâm học tập Cảm ơn chồng ủng hộ định em Cảm ơn hai cho mẹ thêm động lực để mẹ không ngừng cố gắng Bình Định, 2021 Tác giả, Phạm Bích Như iii Các ký hiệu dùng luận án D[s]: Không gian tất bất GLs : Nhóm tuyến tính tổng qt, 17 H n (X, F2 ): Đối đồng điều thứ n X biến tác động GLs Fp [y1 , , ys ], 18 lấy hệ số F2 , 12 Es = (Z/p)s : Không gian véctơ s chiều Hs (M ): Đồng điều thứ s M , 20 hay p-nhóm abel sơ cấp hạng s, N # : Đối ngẫu N , 4, 15, 17, 28 P i : Lũy thừa Steenrod bậc i Fp , 1, P (F2 ⊗GLs H∗ (BEs )): Đối ngẫu 12 đại số Dickson F2 ⊗A D[s], 44 QX: Khơng gian vịng lặp vơ hạn Ps = H ∗ BEs : Đối đồng điều không X, gian phân loại BEs , 15, 17 Ss : Lũy thừa toàn thể ổn định , 20 Sq i : Toán tử Steenrod bậc i F2 , 1, Sq : Toán tử squaring, 77 TorA ∗,∗ (Fp , M ): Đồng điều đại số 11 Steenrod lấy hệ số A -môđun Sts : Lũy thừa tồn thể (khơng ổn định) M , 16, 20, 22, 35 , 29, 31, 35 ∗,∗ A : Đại số Steenrod trường Fp , 1, ExtA (M, Fp ): Đối đồng điều đại số Steenrod lấy hệ số A - 13, 14 A∗ : Đối ngẫu đại số Steenrod mô đun M , 4, 17 Ext∗,∗ (F2 , F2 ): Đối đồng điều đại A trường Fp , 14 Ds (−): Dẫn xuất thứ s hàm tử D , số Steenrod lấy hệ số trường 16, 35, 36 F2 , 10, 77 Ext∗,∗ (Fp , Fp ): Đối đồng điều đại A Ds : Dẫn xuất thứ s hàm tử D , 15 e ∗ (BZ/p): Đối đồng điều thu gọn H số Steenrod lấy hệ số trường khơng gian phân loại p-nhóm Fp , 2, 4, 51, 52 e ∗ (BZ/p), Fp ): Đối đồng điều ExtA (H ∗,∗ abel sơ cấp, 4, 6, 75 e : Biểu diễn mức độ dây chuyền P đại số Steenrod lấy hệ số e ∗ (BZ/p), 8, 47, 60, 73 H P , 44, 45, 48 Γ+ M : Phức dây chuyền A -môđun BEs : Không gian phân loại Es , 15, M , 4, 20, 21 17 iv Λ: Đại số Lambda, 5, 23, 24 Rs : Hàm tử Singer , 15 Λs : Không gian Λ sinh tất Rs M : Xây dựng Singer, 2, 4, 16, 29, đơn thức có độ dài s, 31–33, 35, 36, 76 P : Toán tử lũy thừa, 44, 76 23 π∗S (S0 ): Nhóm đồng luân ổn định Σs M : Treo thứ s M , 14, 15, 36 Σpn : Nhóm đối xứng tác động lên tập mặt cầu, # Ann(N ): Không gian N # bao sở Es , 5, 28 β: Toán tử Bockstein, 1, 12, 45 gồm tất phần tử triệt tiêu F2 : Trường số có phần tử, tác động phần tử bậc Fp : Trường có đặc số p lẻ, 1, 12 dương A , 2, 51, 52 e ∗ RP ∞ : Đối đồng điều thu gọn H Z/p: Σps -môđun tầm thường Z/p, không gian xạ ảnh vô hạn chiều, 28 B [s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối e ∗ RP n : Đối đồng điều thu gọn không H đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều p- gian xạ ảnh n chiều, e ∗ (BZ/p): Đồng điều thu gọn khơng H nhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z/p, 29 gian phân loại p-nhóm abel M: Phạm trù A -mơđun trái sơ cấp, 47, 58 phân bậc, 14 Pˆ : A -môđun mở rộng P1 , 16, 38 R: Đại số Dyer-Lashof modulo p, 3, 5, 24, 47 Rs : Không gian R, 6, 24, 52, 58 U: Phạm trù tất A -môđun không ổn định, 14, 15, 38 Z/p: Σps -môđun Z/p thông qua tác động dấu, 28 B [s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều pnhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z/p, 5, 24, 28, 30, 37, 51, 52 D : Hàm tử bất ổn định hóa, 15, 16 v Mục lục Mục lục vi Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đại số Steenrod 11 1.2 Môđun đại số Steenrod 14 1.3 Đồng cấu Lannes-Zarati 15 1.4 Phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum 17 1.5 Đại số Lambda đại số Dyer-Lashof 22 1.6 Dãy phổ 24 Chương Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 28 2.1 Hàm tử Singer 28 2.2 Biểu diễn mức độ dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 34 2.3 Chứng minh Mệnh đề 2.2.2 38 2.4 Toán tử lũy thừa 44 2.5 Trường hợp p = 49 2.6 Kết luận Chương 50 Chương Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati 51 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p Fp 3.2 3.4 Đối đồng điều đại số Steenrod 58 e ∗ (BZ/p) 75 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p H e ∗ (BZ/2) 77 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo F2 H 3.5 Kết luận Chương 89 3.3 vi 51 Kết luận 90 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 92 Tài liệu tham khảo 93 vii Mở đầu Các hàm tử đồng điều đối đồng điều kì dị công cụ sử dụng để nghiên cứu tốn phân loại kiểu đồng ln khơng gian tôpô Tuy nhiên công cụ chưa đủ mạnh để giải toán quan trọng Vào năm 1947 Steenrod [61] xây dựng toán tử đối đồng điều sau với số nguyên i ≥ Sq i : H n (X, F2 ) → H n+i (X, F2 ), X khơng gian tơpơ, F2 trường có phần tử 0, H ∗ (X, F2 ) đối đồng điều X trường F2 Toán tử Sq i gọi toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i Tốn tử tác động cách tự nhiên đối đồng điều X với hệ số F2 Đến năm 1952, ông [60] mở rộng kết cho trường hợp p số nguyên tố lẻ Cụ thể với số nguyên không âm i, ông xây dựng toán tử P i : H q (X, Fp ) → H q+2(p−1)i (X, Fp ), P i gọi lũy thừa Steenrod Từ tốn tử đối đồng điều trở thành công cụ quan trọng sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân Các toán tử toán tử đối đồng điều ổn định Đại số sinh toán tử Steenrod Sq i , i ≥ (trường hợp p = 2); lũy thừa Steenrod P i với i ≥ toán tử Bockstein β (trường hợp p > 2) gọi đại số Steenrod, ký hiệu A Sau cơng trình Steenrod, cấu trúc đại số Steenrod Adem [3], Cartan [68], Serre [73] Milnor [47] nghiên cứu cách sâu sắc Một vấn đề quan trọng nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân khơng gian tơpơ xác định nhóm đồng ln, đặc biệt nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Trong [1] Adams xây dựng dãy phổ, sau gọi dãy phổ Adams, hội tụ thành phần p-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu π∗S (S0 ) Trang E2 dãy phổ Adams đối đồng điều đại số Steenrod, ký hiệu Ext∗,∗ (Fp , Fp ) Kể từ cơng trình đời việc xác định đối đồng điều A đại số Steenrod trở thành đề tài hấp dẫn, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Từ năm 60 kỷ trước nhà tốn học có nhiều cơng trình nghiên cứu Ext∗,∗ (Fp , Fp ) với p = 2, tiêu biểu có cơng trình Adams A [1], Wang [65], May [46], Tangora [64], Lin [39], Lin-Mahowald [40], Bruner [10] nhiều công trình khác Tuy nhiên tốn khó Cho đến tốn xác định đối đồng điều đại số Steenrod mở, đặc biệt trường hợp p lẻ Có nhiều cơng cụ nhiều phương pháp tiếp cận để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod đại số vi phân phân bậc Lambda (xem Bousfield [6], Chen [11], Lin [39], Singer [56], Wang [65]), dãy phổ May (xem May [44], [45], Tangora [64], Chơn-Hà [14, 15]), giải thức tối tiểu (xem Bruner [9]) công cụ bất biến modular Điển hình cho cơng cụ bất biến modular đồng cấu chuyển đại số Singer [57] xây dựng năm 1989 (gọi đồng cấu chuyển Singer) đồng cấu Lannes-Zarati xây dựng năm 1987 [72] (gọi đồng cấu Lannes-Zarati) Ngay từ đời đồng cấu chuyển Singer đồng cấu Lannes-Zarati thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p, ký hiệu ϕM s , định nghĩa lần Lannes-Zarati [72] sau với A -môđun không ổn định M tùy ý với số nguyên s ≥ s,s+t ϕM (M, Fp ) −→ Ann((Rs M )# )t , s : ExtA với A -môđun N bất kỳ, ký hiệu N # đối ngẫu N Ann(N # ) không gian N # bao gồm tất phần tử triệt tiêu tác động phần tử bậc dương A Rs M xây dựng Singer Hơn đồng cấu Lannes-Zarati modulo p xem phân bậc liên kết ánh xạ Hurewicz H : π S (X ) ∼ = π∗ (QX ) → H∗ (QX ) trang E2 dãy ∗ phổ Adams hội tụ đến thành phần p-xoắn π∗S (X ), QX := limn Ωn Σn X khơng gian vịng lặp vô hạn (xem Lannes-Zarati [71], Lannes [70] cho trường hợp p = Kuhn [38] cho trường hợp p số nguyên tố lẻ) Do đó, việc nghiên cứu dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p cịn có liên quan mật thiết với việc mô tả ảnh ánh xạ Hurewicz Với p = 2, Lannes Zarati [72] ϕF1 đẳng cấu ϕF2 toàn cấu Sau đó, Hưng cộng [27], [32], [34] làm sáng tỏ kết quả, ϕFs với ≤ s ≤ tầm thường tất phần tử có gốc dương Những kết có quan hệ mật thiết với giả thuyết Curtis [22] cho trường hợp p = Wellington [66] cho trường hợp p lẻ lớp cầu Các kết Adams [1] Browder [8] khẳng định có phần tử bất biến Hopf phần tử bất biến Kervaire π∗S S0 (nếu tồn tại) phát tương ứng chu trình vĩnh cửu Ext1,∗ (F2 , F2 ) Ext2,∗ (F2 , F2 ) qua ánh A A e ∗ RP ∞ M = H e ∗ RP n , Hưng Tuấn [34] xạ Hurewicz Thêm vào đó, với M = H M M chứng minh ϕM đẳng cấu, ϕ1 không tầm thường ϕs bị triệt tiêu tất phần tử có gốc dương với ≤ s ≤ Kết rằng, dáng điệu ϕM s có quan hệ chặt chẽ với giả thuyết Eccles (xem phần thảo luận Zare [67]) Do đó, hiểu biết đồng cấu Lannes-Zarati modulo p đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu ánh xạ Hurewicz việc khảo sát giả thuyết lớp mặt cầu Như trình bày đồng cấu Lannes-Zarati modulo nghiên cứu cách cẩn thận nhiều tác giả suốt thời gian dài đồng cấu Lannes-Zarati modulo p với p nguyên tố lẻ chưa nhiều người quan tâm nghiên cứu Trong luận án tập trung nghiên cứu dáng điệu đồng cấu LannesZarati modulo p với p lẻ # Cụ thể thiết lập biểu diễn mức độ dây chuyền (ϕM s ) phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum biểu diễn mức độ dây chuyền ϕM s phức Λ ⊗ M # , với A -môđun M Phương pháp tiếp cận gần với cách Hưng cộng sử dụng [26] [34] cho p = với số thay đổi thích hợp Tuy nhiên, với trường hợp p lẻ việc tính tốn trở nên phức tạp nhiều tác động tốn tử Bockstein Việc sử dụng đại số Lambda để nghiên cứu ảnh nhân đồng cấu LannesZarati modulo p (1.6) cho trường hợp M = Fp (với p lẻ) tránh việc phải sử dụng kết toán “hit” Rs Fp [30], [25], [27], [32] Với phương pháp F thu kết dáng điệu ϕs p với s ≤ trường hợp p lẻ Tuy nhiên với s lớn, việc tính tốn gặp nhiều khó khăn quan hệ Adem đại số Dyer-Lashof modulo p R, nói chung khó tính, R xem đối ngẫu Rs Fp Để khắc phục khó khăn này, chúng tơi phát triển tốn tử lũy thừa P tác động lên Exts,∗ (Fp , Fp ) (xem Liulevicius [41] May [19]) Với M = Fp M = A e ∗ (BZ/p), chúng tơi tồn tốn tử lũy thừa P tác động H ExtsA (M, Fp ) (Fp ⊗A Rs M )# Hơn tác động tương thích với thông qua đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ϕM s Một họ {ai : i ≥ i0 } ⊂ Exts,∗ (M, Fp ) gọi P -họ ai+1 = P (ai ) A M với i ≥ i0 Kết cho phép xác định ϕM s (ai ) thông qua ϕs (ai0 ), điều làm F giảm đáng kể tính tốn việc nghiên cứu dáng điệu ϕs p với s ≤ e ∗ (BZ/p) H ϕs với s ≤ cho trường hợp p số nguyên tố lẻ Chú ý phương pháp chúng tơi sử dụng cho trường hợp p = với sửa đổi bậc Ngồi phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận án chia làm chương Trong Chương chúng tơi trình bày kiến thức cần thiết cho phần luận án, bao gồm đại số Steenrod, đồng cấu Lannes-Zarati, phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum, đại số Lambda đại số Dyer-Lashof dãy phổ Các kết luận án trình bày Chương Chương Trong Chương nghiên cứu biểu diễn mức độ dây chuyền đối ngẫu ϕM s phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum biểu diễn mức độ # dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati ϕM s phức Λ ⊗ M Với A -môđun M bất kỳ, đặt Γ+ M = {(Γ+ M )s }s≥0 phức xây dựng Singer [56] cho trường hợp p = Hưng-Sum [33] cho trường hợp p lẻ thuận tiện gọi phức Γ+ M phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum Trong đó, Hưng-Sum Γ+ M phức thích hợp để tính đối đồng điều đại số Steenrod Khi M môđun không ổn định, Rs M chứa (Γ+ M )s (xem Mệnh đề 2.1.2) Hơn (sai khác dấu) phép nhúng tắc Rs M ,→ (Γ+ M )s biểu diễn mức độ dây chuyền đối ngẫu (tuyến # tính) ϕM eM s , ký hiệu (ϕ s ) , kết đề cập định lý sau Định lý 2.2.1.(Chơn-Như [17, Định lý 3.1]) Với A -môđun M bất kỳ, đồng cấu # (ϕ eM s ) : Rs M / (Γ+ M ) s cho γ 7→ (−1) (s−2)(s−1) γ đơn cấu biểu diễn mức độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes# Zarati (ϕM s ) Định lý phiên tổng quát Định lý 1.3 [34] cho trường hợp p lẻ Với M = Fp , Zarati [74] Rs Fp ∼ = B [s], với B [s] ảnh ánh xạ hạn chế từ đối đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều p-nhóm abel + sơ cấp Vì thế, (sai khác dấu) phép nhúng tắc B [s] ,→ Γ+ s = (Γ Fp )s F biểu diễn mức độ dây chuyền (ϕs p )# , kết thể hệ sau Hệ 2.2.3.(Chơn-Như [17, Hệ 3.3]) Đồng cấu (ϕ es p )# : B [s] F / Γ+ s cho γ 7→ (−1) (s−2)(s−1) γ F biểu diễn mức độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati (ϕs p )# Năm 1970, Priddy [54] chứng minh đại số Lambda Λ đẳng cấu với giải thức đối Koszul đại số Steenrod Đại số Lambda sử dụng luận án tương ứng với đại số Lambda định nghĩa Bousfield cộng [6] tác động phản tự đẳng cấu Fp -môđun vi phân Đại số Dyer-Lashof R đại số toán tử đồng điều tác động lên đồng điều khơng gian vịng lặp vơ hạn Đại số R đẳng cấu với đại số thương đại số Λ (xem Curtis [22] Wellington [66]) Cho A -mơđun M , Λ ⊗ M # phức dây chuyền vi phân cho d(λ ⊗ h) = d(λ) ⊗ h + X (−1)deg λ+(1−) deg h λλi−1 ⊗ hβ 1− P i , i−≥0 với λ ∈ Λ h ∈ M # Với A -môđun M bất kỳ, Hưng-Sum [33] chứng minh tồn đẳng / Λ# cấu Fp -môđun vi phân ν M := {νsM }s≥0 : Γ+ M (p−1)i1 −1 νsM (u11 v1 ⊗ M cho · · · uss vs(p−1)is −s Ss (m)) = (−1)i1 +···+is + P ` F 0), kết hợp với khẳng định Định lý 3.1.2, suy ϕ2 p khơng phải tồn cấu Như vậy, dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati hạng trường hợp p lẻ khác với trường hợp p = F Theo kết trên, tương tự trường hợp p = 2, ta thấy ánh xạ ϕs p với s ≤ không tầm thường phần tử có gốc dương tương ứng với phần tử bất biến Hopf phần tử bất biến Kervaire Sự kiện khẳng định lần có mối liên hệ mật thiết đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ánh xạ Hurewicz giả thuyết lớp mặt cầu Sử dụng kết toán tử lũy thừa P kết hợp với phương pháp dùng đại số Lambda Λ để khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ta thu định lý sau Định lý 3.1.4.(Chơn-Như [18, Định lý 5.1]) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p hạng ϕ3 p : Ext3,3+t (Fp , Fp ) A F / (F p ⊗A R3 Fp )# t đơn cấu với t = bị triệt tiêu tất phần tử có gốc t dương Từ kết này, nhận thấy trường hợp p lẻ dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ϕM s với s > tương tự trường hợp p = Dựa vào giả thuyết lớp cầu Wellington [66] Giả thuyết 1.2 [34], đưa giả thuyết Giả thuyết Cho A -môđun không ổn định M , đồng cấu Lannes-Zarati modulo p s,s+t ϕM (M, Fp ) s : ExtA / (F p ⊗A Rs M )# t tầm thường tất phần tử có gốc t dương với s > Trường hợp p = 2, giả thuyết xác nhận cho M = F2 với ≤ s ≤ e ∗ (BZ/2) với Hưng cộng (xem [30], [25], [27], [32]) cho M = H ≤ s ≤ Hưng-Tuấn [34] Trường hợp p lẻ M = Fp , Định lý 3.1.4 giả thuyết với s = Những kết thúc nghiên e ∗ (BZ/p) H cứu dáng điệu ϕs Để thực việc tiến hành xây dựng dãy phổ mở rộng dãy phổ dùng Cohen-Lin-Mahowld [20], Lin [39] Chen e ∗ (BZ/p), Fp ) , với s = 0, thu kết sau [11] để tính Exts (H A Định lý 3.2.2 (Chơn-Như [18, Định lý 5.3], Crossley [21, Định lý 1.1]) Nhóm mở e ∗ (BZ/p), Fp ) có Fp -cơ sở bao gồm tất phần tử rộng Ext0,t (H A i −1 e ∗ b hi ∈ Ext0,2(p−1)p (H (BZ/p), Fp ), i ≥ 0; A i −1 e ∗ b hi (k ) ∈ Ext0,2kp (H (BZ/p), Fp ), i ≥ 0, ≤ k < p − A e ∗ (BZ/p), Fp ) cho định lý sau Nhóm Ext1,1+t (H A e ∗ (BZ/p), Fp ) Định lý 3.2.5.(Chơn-Như [18, Định lý 5.4]) Nhóm mở rộng Ext1,1+t (H A có Fp -cơ sở bao gồm tất phần tử cho danh sách sau i e ∗ (BZ/p), Fp ), i ≥ 1; α0b hi ∈ Ext1,2(p−1)p (H A i e ∗ (BZ/p), Fp ), i ≥ 1, ≤ k < p − 1; (H α0b hi (k ) ∈ Ext1,2kp A e ∗ (BZ/p), Fp ), ≤ ` < p − 2; α b(`) ∈ Ext1,2(p+`)+2 (H A 1,2(p−1)pi +2pi −1 e ∗ hi (1) ∈ ExtA (H (BZ/p), Fp ), i ≥ 0; hib i +p hib hj ∈ Ext1,2(p−1)(p A j )−1 e ∗ (BZ/p), Fp ), i, j ≥ 0, j 6= i, i + 1; (H 1,2(p−1)pi +2kpi −1 e ∗ hib hj (k ) ∈ ExtA (H (BZ/p), Fp ), i, j ≥ 0, j 6= i, i + 1, ≤ k < p − 1; i +pi−1 )+2kpi −1 e ∗ dbi (k ) ∈ Ext1,2(p−1)(p (H (BZ/p), Fp ), i ≥ 1, ≤ k ≤ p − 1; A i+1 −1 e ∗ b ki (k ) ∈ Ext1,2(k+1)p (H (BZ/p), Fp ), i ≥ 0, ≤ k < p − 1; A i 1,2(p−1)(p +p pbi (k ) ∈ ExtA i+1 )+2(k+1)pi −1 e ∗ (BZ/p), Fp ), i ≥ 0, ≤ k < p − (H Sử dụng Mệnh đề 2.2.5 Định lý 3.2.2, 3.2.5 để nghiên cứu nhân ảnh e ∗ (BZ/p) H ϕs , ta thu kết Định lý 3.3.1.(Chơn-Như [18, Định lý 5.6]) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p hạng e ∗ (BZ/p) H ϕ0 e ∗ (BZ/p), Fp ) : Ext0,t (H A / (F p e ∗ (BZ/p))# ⊗A R0 H t đẳng cấu Kết tương tự cho trường hợp p = Hưng - Tuấn công bố [34] Định lý 3.3.2.(Chơn-Như [18, Định lý 5.7]) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p hạng e ∗ (BZ/p) H ϕ1 e ∗ (BZ/p), Fp ) : Ext1,1+t (H A / (F p e ∗ (BZ/p))# ⊗ A R1 H t xác định h i pi [pi −1] b với i ≥ 0; hi hi (1) 7→ βQ ab h i i j hib hj 7→ βQp ab[(p−1)p −1] với ≤ j < i; h i pi [kpj −1] b hi hj (k ) 7→ βQ ab với ≤ j < i, ≤ k < p − 1; b ki (k ) 7→ (P )i k+1 [k] βQ ab , i ≥ 0, ≤ k < p − 1; Những phần tử lại 7→ e 2t+ (BZ/p) xem Fp -không gian Ở đây, ký hiệu a b[t] phần tử sinh H véctơ Hệ 3.3.3 (Chơn-Như [18, Hệ 5.8]) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p hạng e ∗ (BZ/p) H ϕ1 khơng phải tồn cấu Kết tương tự trường hợp p = (xem Chú ý 3.4.4) Phương pháp tiếp cận chúng tơi có giá trị cho trường hợp p = với thay đổi thích hợp Do đó, cách sử dụng phương pháp ta kiểm tra lại kết Lannes-Zarati [72], Hưng cộng [30], [25], [27], [32] [34] với tính tốn đơn giản (xem Mục 3.4) Hơn nữa, từ kết Chen [12] phần tử không phân tích Ext6,6+t (F2 , F2 ) với ≤ t ≤ 114, khảo sát dáng điệu đồng cấu LannesA Zarati hạng ϕF6 phần tử thu kết sau Định lý 3.4.2.(Như [50, Định lý 1.1]) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng ϕF6 : Ext6,6+t (F2 , F2 ) A / Ann((R 6M ) # )t tầm thường phần tử khơng phân tích Ext6,6+t (F2 , F2 ) với ≤ A t ≤ 114 Trong Mục 3.2 Chương 3, xây dựng dãy phổ sử dụng để chứng minh Định lý 3.2.2 Định lý 3.2.5 Dãy phổ xem phiên tổng quát dãy phổ đươc sử dụng Cohen-Lin-Mahowld [20], Lin [39] and Chen [11] cho trường hợp p lẻ 10 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, khái quát kiến thức liên quan cần thiết cho chương luận án Các nội dung trình bày bao gồm đại số Steenrod, môđun đại số Steenrod, đồng cấu Lannes-Zarati, phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum, đại số Lambda đại số Dyer-Lashof 1.1 Đại số Steenrod Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược đại số Steenrod số tính chất sử dụng phần sau Vào năm 1947, Steenrod [61] định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian tơpơ Các tốn tử đối đồng điều tác động cách tự nhiên đối đồng điều không gian tôpô X Sq i : H n (X, F2 ) → H n+i (X, F2 ), gọi toán tử Steenrod với ∀i ≥ 0, n ≥ Các toán tử giao hoán với phép treo nên chúng gọi toán tử đối đồng điều ổn định Các toán tử Steenrod nghiên cứu Cartan [68], Adem [3], Serre [73], Milnor [47] Năm 1950, Cartan [68] chứng minh với x, y ∈ H ∗ (X ), n Sq (xy ) = n X Sq i (x)Sq n−i (y ), i=1 11 ... ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES- ZARATI MODULO p CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS TS LÊ MINH HÀ Phản... Ảnh đồng cấu Lannes- Zarati 51 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes- Zarati modulo p Fp 3.2 3.4 Đối đồng điều đại số Steenrod 58 e ∗ (BZ /p) 75 Ảnh đồng cấu Lannes- Zarati modulo p H e... đồng cấu Lannes- Zarati modulo p với p nguyên tố lẻ chưa nhiều người quan tâm nghiên cứu Trong luận án t? ?p trung nghiên cứu dáng điệu đồng cấu LannesZarati modulo p với p lẻ # Cụ thể thiết lập