BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN VĂN TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Đình Kế HÀ NỘI, 2021 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS TS Trần Đình Kế Các kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố luận văn, luận án khác Nghiên cứu sinh Trần Văn Tuấn i LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Đình Kế Nhân dịp này, tác giả xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Thầy hướng dẫn truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà điều thật quý báu sống Sự động viên tin tưởng Thầy động lực giúp tác giả hồn thiện luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy, cô Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả thời gian học tập, nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn giáo sư, nhà khoa học, chuyên gia, anh chị em bạn bè đồng nghiệp trao đổi, góp ý q báu chun mơn buổi xêmina Xêmina Giải tích, khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Xêmina Phương trình vi phân tích phân, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Phòng ban Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Lời cảm ơn cuối cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln bên, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả Trần Văn Tuấn ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 15 Phương pháp nghiên cứu 16 Kết đạt luận án 17 Cấu trúc luận án 18 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20 1.1 Một số không gian hàm 20 1.2 Giải tích phân thứ 21 1.3 Phép biến đổi Laplace 22 1.4 Độ đo không compact ước lượng 23 1.5 Ánh xạ nén số định lí điểm bất động 26 1.6 Lí thuyết nửa nhóm 27 1.7 Bài toán Cauchy phương trình vi phân phân thứ 29 1.8 Phương trình tích phân Volterra 33 CHƯƠNG DÁNG ĐIỆU NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG NỬA TUYẾN TÍNH 37 2.1 Dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn phương trình khuếch tán 37 2.1.1 Đặt toán 37 2.1.2 Sự tồn nghiệm tích phân 38 2.1.3 Tính hút thời gian hữu hạn 42 2.1.4 Áp dụng 47 2.2 Dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn phương trình tiến hố loại Basset 49 2.2.1 Đặt toán 50 2.2.2 Biểu diễn nghiệm tốn tuyến tính 50 2.2.3 Sự tồn nghiệm tích phân 54 2.2.4 Tính hút thời gian hữu hạn 56 2.2.5 Áp dụng 60 CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ LOẠI RAYLEIGH-STOKES NỬA TUYẾN TÍNH 63 3.1 Đặt tốn 63 3.2 Biểu diễn nghiệm tốn tuyến tính 64 3.3 Tính giải tính ổn định nghiệm 73 3.4 Sự tồn nghiệm phân rã 79 CHƯƠNG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN PHÂN THỨ 87 4.1 Đặt toán 87 4.2 Tính giải 88 4.3 Tính tính ổn định 101 4.4 Áp dụng 105 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 110 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO 113 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN Không gian Euclid N chiều Ω Miền bị chặn RN với biên ∂Ω C k (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k miền Ω Lp (Ω) Khơng gian hàm khả tích Lebesgue bậc p miền Ω L∞ (Ω) Không gian hàm đo bị chặn hầu khắp Ω Lploc (Ω) Không gian hàm khả tích Lebesgue địa phương bậc p Ω D0α f (t) Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm f (t) RL D0α f (t) Đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α hàm f (t) D(A) Miền xác định toán tử A ρ(A) Tập giải toán tử A σ(A) Tập phổ toán tử A L(X, Y ) Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian Banach X vào K(X) Khơng gian tốn tử compact từ khơng gian Banach X vào Br (x0 ) Hình cầu đóng tâm điểm x0 , bán kính r khơng gian Banach X Br Hình cầu đóng tâm điểm gốc, bán kính r khơng gian Banach X MNC Độ đo không compact k · kop Chuẩn tốn tử tuyến tính bị chặn X FrDE Phương trình vi phân phân thứ NDE Phương trình vi phân không địa phương MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu lí chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân khơng địa phương” (NDE) dùng để phương trình vi phân mà đạo hàm hàm trạng thái khơng xác định điểm mà xác định thông qua cơng thức tích phân (gọi đạo hàm “có nhớ ”) Một lớp NDE tiêu biểu lớp NDE dùng để mơ tả q trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion) ∂t k ∗ [u − u(0)] = ∆u, (1) u = u(x, t) hàm trạng thái, k hàm khả tích địa phương, ‘*’ kí hiệu tích chập Laplace, ∆ tốn tử Laplace theo biến khơng gian Lớp NDE nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học Có thể kể số kết tiêu biểu theo hướng nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán dị thường cơng trình [44, 45, 68, 83] Trong trường hợp đặc biệt k(t) = g1−α (t) = t−α , t > 0, α ∈ (0, 1), Γ(1 − α) (2) phương trình (1) phương trình khuếch tán, đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học hai thập kỷ qua Phương trình (1) với nhân k cho (2) cịn gọi phương trình vi phân phân thứ (FrDE) Có thể thấy FrDE mơ hình tiêu biểu NDE, chủ đề nghiên cứu có tính thời FrDE hướng nghiên cứu giải tích phân thứ đề xuất nghiên cứu vào năm 1695 Leibniz Euler sau phát triển nhiều nhà toán học Laplace, Fourier, Liouville, Riemann, Laurant, Hardy, Riesz, [46, 65, 72, 77] Trong vài thập kỷ trở lại đây, người ta tìm thấy nhiều ứng dụng giải tích phân thứ nói chung FrDE nói riêng ngành khoa học công nghệ, chẳng hạn tốn liên quan đến điện hóa học, lưu biến học, vật liệu xốp, vật liệu đàn hồi, vật liệu fractal, Chi tiết số tốn mơ tả FrDE tìm thấy sách chuyên khảo (xem [31, 72, 74, 77]) Phạm vi ứng dụng ngày rộng FrDE thúc đẩy nhiều nghiên cứu định tính năm gần Một vấn đề trung tâm lí thuyết định tính phương trình vi-tích phân nghiên cứu dáng điệu nghiệm Trong phạm vi luận án này, dáng điệu nghiệm NDE bao gồm câu hỏi dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn, tính ổn định nghiệm nghiệm phân rã Trong khoảng hai thập kỷ trở lại đây, hướng nghiên cứu tính ổn định nghiệm FrDE không gian hữu hạn vô hạn chiều nhận nhiều quan tâm nhà tốn học ngồi nước Với FrDE khơng gian hữu hạn chiều, tốn nghiên cứu tính ổn định nghiệm đạt nhiều kết có tính hệ thống Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho FrDE đề xuất [49] Lakshmikantham Sau đó, phương pháp áp dụng để nghiên cứu tính ổn định cho nhiều lớp FrDE như: FrDE chứa xung [1], phương trình vi phân hàm phân thứ [76], (xem thêm báo tổng quan [52]) Các điều kiện ổn định cho FrDE tuyến tính thơng qua số mũ Lyapunov phân thứ thiết lập [21], ổn định tuyến tính hố cho FrDE nửa tuyến tính nghiên cứu [22] Thêm vào đó, sử dụng vài công cụ khác bất đẳng thức kiểu Gronwall, nguyên lí so sánh hay hàm ma trận Mittag-Leffler, tác giả thu kết ổn định thời gian hữu hạn [47, 50, 51, 92] Không giống FrDE không gian hữu hạn chiều, việc nghiên cứu tính ổn định cho FrDE khơng gian vơ hạn chiều gặp nhiều khó khăn Trên thực tế, cấu trúc vơ hạn chiều khơng gian pha, kéo theo tính tốn đạo hàm phân thứ phiếm hàm Lyapunov khó thực hiện, nên việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho FrDE khơng khả thi Chính kết tính ổn định nghiệm FrDE không gian vơ hạn chiều cịn biết đến Do đó, để nghiên cứu tính ổn định cho FrDE khơng gian vơ hạn chiều ta cần tìm cách tiếp cận Gần đây, cơng trình [19] tác giả nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov lớp phương trình tán xạ-sóng nửa tuyến tính chứa xung trễ hữu hạn cách sử dụng phương pháp điểm bất động Trong [5] tác giả thiết lập tồn nghiệm phân rã kiểu đa thức cho lớp FrDE trung tính chứa trễ vơ hạn cách sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ nén Một số kết khác tính giải được, tính ổn định tiệm cận, tồn nghiệm phân rã cho FrDE khơng gian vơ hạn chiều ta tham khảo cơng trình [6, 41, 85, 90] Trong năm gần đây, hệ động lực thời gian hữu hạn nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà toán học Động thúc đẩy nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn tính toán trường vectơ khoảng thời gian bị chặn t ∈ [t0 , t1 ] hệ động lực sinh phương trình vi phân x(t) ˙ = f x(t) (3) Khi phương trình (3) xét nửa trục, người ta quan tâm tới dáng điệu thời gian ngắn nghiệm, nghĩa dáng điệu nghiệm [t0 , t1 ] Việc nghiên cứu nảy sinh từ toán vận chuyển chất lỏng, mạng hố sinh, truyền tín hiệu (xem [15, 70]), q trình xảy thời gian ngắn Do đó, việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn đóng vai trị quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Trong luận án, chúng tơi sử dụng khái niệm tính hút thời gian hữu hạn đưa [27] để phân tích dáng điệu nghiệm thời điểm cuối Cụ thể, nghiệm y hệ (3) gọi hút [0, T ] tồn số η > cho với nghiệm x(·, ξ) (3) với kiện ban đầu ξ ta có kx(T, ξ) − y(T, y(0))k < kξ − y(0)k, ∀ξ ∈ Bη y(0) \{y(0)}, Bη (y0 ) hình cầu tâm y0 bán kính η Nếu ta có sup kx(T, ξ) − y(T, y(0))k < 1, lim sup η ξ∈Bη (y(0)) η&0 nghiệm y gọi hút mũ [0, T ] Một số kết tiêu biểu theo hướng nghiên cứu tính hút thời gian hữu hạn cho phương trình vi phân thường tìm thấy cơng trình [14, 15, 27, 29] Theo khảo sát chúng tôi, chưa có nghiên cứu dáng điệu thời gian hữu hạn FrDE không gian vô hạn chiều, đặc biệt cho lớp phương trình đưa phương trình khuếch tán Do chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu tồn tính hút thời gian hữu hạn nghiệm phương trình khuếch tán chứa nhiễu phi tuyến khơng gian Banach X: d g1−α ∗ [u − u(0)] (t) = Au(t) + f u(t) , t ∈ [0, T ], (4) dt T > cố định; hàm trạng thái u(·) nhận giá trị khơng gian Banach X; A tốn tử tuyến tính, đóng khơng bị chặn; f : X → X hàm phi tuyến; g1−α ∗ v, với v ∈ L1loc (R+ ; X) tích chập Laplace Các NDE theo biến thời gian phương trình (4) với A toán tử đạo hàm riêng elliptic cấp hai sử dụng vật lí tốn để mơ hình hố q trình động lực học vật liệu có tính nhớ Trong cơng trình [45], tác giả thay nhân g1−α nhân khả tích địa phương khác, ta dùng phần tuyến tính hệ (4) để mơ tả nhiều q trình trình khuếch tán nhanh trình khuếch tán siêu chậm Sử dụng bất đẳng thức kiểu Gronwall (xem Bổ đề 1.3, Mục 1.8, Chương 1) với ước lượng địa phương nghiệm (ước lượng với kiện ban đầu nhỏ), chứng minh tính hút hút mũ nghiệm tầm thường (nghiệm 0) nghiệm tuỳ ý cho phương trình (4), số hạng phi tuyến f cho phép tăng trưởng tuyến tính Khi mơ hình hố tốn hệ phương trình tiến hố, có hai tình xem xét Tình ta xác định hệ số kiện ban đầu hệ phương trình Khi ta giải hệ nghiên cứu tính chất định tính nghiệm cơng cụ giải tích Bài tốn ứng với tình gọi tốn thuận (forward problem) Tình thứ hai xảy ta không xác định đầy đủ hệ số phương trình khơng đo kiện ban đầu Khi lúc ta phải xác định hệ số kiện nghiệm tương ứng hệ dựa vào ‘đo đạc’ bổ sung Lúc ta có tốn ngược (inverse problem) Cần nhấn mạnh rằng, khác với toán thuận, toán ngược thường tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, có độ phức tạp cao cần có cách tiếp cận phù hợp với trường hợp cụ thể Chính vậy, phương pháp giải tốn ngược phong phú Trong năm gần đây, toán ngược phương trình đạo hàm riêng phân thứ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Bài tốn xác định ngoại lực phương trình đạo hàm riêng phân thứ tuyến tính đề cập nhiều báo, hệ số xác định dựa trên: phương pháp hàm đặc trưng [48, 73, 87, 93], phương pháp quy hố [71, 86], Định lí giải tích Fredholm [78], phương pháp thác triển [34] Ngoài ra, người đọc quan tâm tham khảo [35, 37, 38] cho loại tốn ngược phương trình khuếch tán, tham số cần xác định liệu ban đầu, số hạng nguồn hệ số khác phương trình So với trường hợp tuyến tính, tốn xác định ngoại lực với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp nhiều kết liên quan cịn biết đến Trong [61], toán xác định số hạng nguồn phi tuyến nghiên cứu dựa nguyên lý cực đại cho phương trình khuếch tán Các tác giả [75] sử dụng phương pháp rời rạc hoá để nghiên cứu toán xác định số hạng nguồn phụ thuộc thời gian cho phương trình khuếch tán nửa tuyến tính Trong [79], sử dụng phương pháp tối ưu tác giả bàn toán xác định số hạng khuếch tán phi tuyến phương trình khuếch tán Sử dụng phương pháp định lí điểm bất động, tác giả [89] nghiên cứu tốn xác định số hạng nguồn cho phương trình truyền sóng phân thứ nửa tuyến tính, B Wu cộng chứng minh kết tồn địa phương Cần ý rằng, không giống phương trình bậc ngun, khơng thể kéo dài nghiệm cho phương trình phân thứ nghiệm phương trình phân thứ khơng có tính chất nửa nhóm Ngoài sử dụng phương pháp điểm bất động nghiên cứu tốn ngược xem [58, 59] Trong luận án, chúng tơi xét tốn xác định tham số (FrIP): cho ξ, ψ ∈ X, tìm (x, u, z) thoả mãn bất đẳng thức vi biến phân phân thứ D0α x(t) = Ax(t) + B(u(t))z + h(x(t)), t ∈ (0, T ], (5) hF (x(t)) + G(u(t)), v − u(t)i ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ], (6) x(0) = ξ, (7) thoả mãn điều kiện Z T ϕ(s)x(s)ds = ψ, (8) x(·) nhận giá trị khơng gian Banach X u(·) nhận giá trị không gian Hilbert U, K tập lồi đóng U, z ∈ X; D0α , α ∈ (0, 1), đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Trong mơ hình tốn, A tốn tử tuyến tính đóng X; ϕ ∈ C ([0, T ]; R) hàm không âm; B : U → R, h : X → X, F : X → U ∗ , G : U → U ∗ ánh xạ cho trước h·, ·i cặp đối ngẫu tắc U U ∗ Các bất đẳng thức vi biến phân (DVIs) xuất hệ chứa 10 phương trình tiến hố ràng buộc bất đẳng thức biến phân DVIs nghiên cứu hệ thống Pang Stewart, xem [66] Ở DVIs mơ hình tổng qt cho phương trình vi phân đại số, toán bù vi phân, Thực tế DVIs mơ tả mơ hình tốn học nơi giao thoa hệ động lực tối ưu Xét số trường hợp đặc biệt hệ (5)-(6) Giả sử, X = Rn , K = U = Rm Hệ (5)-(6) có dạng sau D0α x(t) = Fˆ (x(t), u(t), z), t ∈ (0, T ], ˆ G(x(t), u(t)) = 0, t ∈ [0, T ], ˆ Fˆ (x(t), u(t), z) = Ax(t) + B(u(t))z + h(x(t)) G(x(t), u(t)) = F (x(t)) + G(u(t)), hệ phương trình vi phân phân thứ-đại số Hệ sử dụng để mô tả mạng điện [66] Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn, X = U = K = L2 (Ω), A = ∆ toán tử Laplace với điều kiện biên và, G = −∆ Khi (5)-(6) có dạng ˆ u, z) Ω × (0, T ], ∂tα y = ∆y + h(y, − ∆u + F (y) = Ω × [0, T ], y = u = ∂Ω × [0, T ], ˆ u, z) = đó, ∂tα đạo hàm Caputo phân thứ cấp α theo biến thời gian t, h(y, B(u)z + h(y) Đây hệ loại parabolic-elliptic, hệ sử dụng để mô tả chuyển động vi khuẩn tác động hố chất [33], q trình khôi phục ảnh [36] DVIs phân thứ (FrDVIs) đề xuất [57], tác giả sử dụng phương pháp bậc tô pô để chứng minh tính giải Trong cơng trình [42], tính chất định tính cho lớp FrDVI nghiên cứu Chú ý FrDVIs [42, 57] thiết lập không gian hữu hạn chiều Tuy nhiên, phương trình tiến hố DVIs mơ tả 11 phương trình đạo hàm riêng, có DVIs vơ hạn chiều Trong năm gần đây, DVIs không gian vô hạn chiều thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học, kể đến kết tiêu biểu [4, 54, 55, 56], tác giả nghiên cứu tính giải dáng điệu tiệm cận nghiệm DVIs mà ràng buộc phương trình tiến hố cấp khơng gian Banach Trong luận án nghiên cứu câu hỏi xác định số hạng ràng buộc FrDVI (5)-(7) Cụ thể, biểu diễn B(u(t))z phương trình (5), số hạng B(u(t)) biên độ ràng buộc, số hạng z ∈ X hướng ràng buộc giả sử chưa biết Số hạng xác định sử dụng phép đo (8) Chú ý rằng, ϕ(t) = T −1 , điều kiện đo dạng (8) giá trị trung bình hàm trạng thái [0, T ] Bài toán (FrIP) nghiên cứu sau Dưới giả thiết A tốn tử quạt, chúng tơi chứng minh nghiệm tích phân (5)-(8) nghiệm cổ điển Sử dụng định lí điểm bất động Schauder chúng tơi chứng minh tồn nghiệm tồn cục (x, u, z) với kiện ban đầu (ξ, ψ) Bổ sung thêm giả thiết hệ số Lipschitz F nhỏ, chứng minh ánh xạ (ξ, ψ) 7→ (x, u, z) Lipschitz địa phương từ X × D(A) tới C([0, T ]; X) × C([0, T ]; U) × X, từ chúng tơi nhận kết tính tính ổn định nghiệm Bên cạnh lớp phương trình khuếch tán, luận án quan tâm tới hai lớp NDE khác nghiên cứu gần động lực học chất lỏng Lớp NDE thứ liên quan đến phương trình Basset dạng d k0 u + k ∗ [u − u(0)] (t) + Au(t) = f u(t) , t ∈ (0, T ] dt u(0) = u0 , (9) (10) hàm trạng thái u(·) nhận giá trị không gian Hilbert khả ly H; k ∈ L1loc (R+ ), k0 > 0; A tốn tử tuyến tính H f : H → H hàm 12 phi tuyến NDE (9) xuất mơ hình hố nhiều q trình, chẳng hạn: q trình truyền nhiệt vật liệu có tính chất nhớ (xem [20, 67]); q trình hố dịng pha mơi trường xốp (xem [3, 32]) Khi k0 = k = g1−α , α ∈ (0, 1), phương trình (9) phương trình khuếch tán (4) Khi k0 > k = g1/2 phương trình (9) phương trình Basset phi tuyến (xem [9]) Phương trình Basset đề xuất nghiên cứu vào năm 1910 nhà toán học người Anh, A.B Basset ông nghiên cứu chuyển động hạt mơi trường chất lỏng có nhớt khơng nén tác động lực hấp dẫn Trong cơng trình [62], tác giả sử dụng phương pháp số tìm nghiệm gần phương trình loại Basset Tính đặt phương trình Basset tuyến tính thiết lập gần cơng trình [9, 12, 32] Theo biết, kết nghiên cứu định tính cho lớp phương trình loại Basset cịn hạn chế Trong luận án này, mục đích chúng tơi tìm điều kiện thích hợp k f để chứng minh tồn nghiệm tính hút thời gian hữu hạn cho nghiệm (9)-(10) trường hợp k0 > Sử dụng cách tiếp cận cơng trình [44], chúng tơi dẫn cơng thức nghiệm dạng biến thiên số cho hệ (9)-(10) chứng minh bất đẳng thức kiểu Gronwall tương ứng với hệ (9)-(10) Sau sử dụng ngun lí ánh xạ co kết hợp với ước lượng địa phương nghiệm để chứng minh tồn tính hút thời gian hữu hạn nghiệm Hệ tính hút, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn/đối tuần hoàn (9), nghĩa là, nghiệm thoả mãn u(0) = ±u(T ) Lớp NDE thứ hai liên quan đến phương trình Rayleigh-Stokes dạng ∂t u − ∆u − ∂t (m ∗ ∆u) = f (t, u) Ω, t > 0, Bu = ∂Ω, t ≥ 0, 13 (11) (12) u(·, 0) = ξ Ω, ∂t = ∂ ∂t ; (13) m ∈ L1loc (R+ ) hàm không âm; f hàm phi tuyến; ξ ∈ L2 (Ω) kiện ban đầu; B toán tử biên thuộc hai dạng sau Bu = u Bu = ν · ∇u + ηu, η > 0, với ν pháp tuyến biên ∂Ω Có thể thấy, phương trình (11) dạng tổng quát nhiều lớp phương trình Nếu m số khơng âm (11) phương trình khuếch tán cổ điển Trong trường hợp m hàm quy, ví dụ m ∈ C (R+ ), (11) trở thành phương trình khuếch tán có nhớ: Z t ∂t u − (1 + m(0))∆u − m0 (t − s)∆u(s)ds = f (t, u), lớp phương trình nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, xem tài liệu [17, 23, 64] kết liên quan đến lớp phương trình Ngồi ra, m(t) = m0 g1−α (t), m0 > 0, α ∈ (0, 1), ta có phương trình ∂t u − (1 + m0 ∂tα )∆u = f (t, u) Đây phương trình Rayleigh-Stokes phân thứ (xem [13]), với ∂tα đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α Phương trình Rayleigh-Stokes phân thứ sử dụng để mơ tả dịng chảy khơng Newton mơi trường vật liệu có tính đàn hồi tính nhớt Theo đó, phương trình Rayleigh-Stokes phân thứ sử dụng để nghiên cứu nhiều tốn áp dụng thực tiễn cơng nghiệp, kĩ thuật (xem [13] với tài liệu trích dẫn đó) Các phương pháp số để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình Rayleigh-Stokes phân thứ nghiên cứu [13, 18] Gần đây, cơng trình [60, 82], tác giả bàn tốn giá trị cuối cho phương trình Rayleigh-Stokes phân thứ Trong luận án, đặt vấn đề nghiên cứu tính giải tính 14 ổn định tốn (11)-(13) trường hợp m hàm khơng quy (chẳng hạn m khơng bị chặn lân cận t = 0) Để nghiên cứu nội dung này, đặt giả thiết hàm + γm, γ > 0, hàm hoàn toàn dương Dựa giả thiết này, thiết lập công thức biểu diễn nghiệm dạng biến thiên số chứng minh bất đẳng thức kiểu Gronwall cho hệ (11)-(13) Kết hợp bất đẳng thức với ước lượng địa phương nghiệm thu kết tồn tính ổn định theo nghĩa Lyapunov nghiệm Ngồi ra, tính nghiệm không đảm bảo, chứng minh tồn tập compact khác rỗng nghiệm phân rã hệ (11)-(13), cách áp dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ nén Từ lí vừa kể trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu luận án là: “Dáng điệu nghiệm số lớp phương trình tiến hố khơng địa phương” Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số vấn đề định tính số lớp NDE, bao gồm: tính hút thời gian hữu hạn nghiệm; tính ổn định tiệm cận nghiệm theo nghĩa Lyapunov; tính giải được, tính tính ổn định toán xác định tham số 2.2 Đối tượng nghiên cứu Trong luận án, xét bốn lớp tốn sau ? Phương trình khuếch tán ? Phương trình loại Basset 15 ? Phương trình loại Rayleigh-Stokes ? Bất đẳng thức vi biến phân phân thứ 2.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận án thể thông qua nội dung sau ? Nội dung Nghiên cứu dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn thơng qua tính hút hút mũ thời gian hữu hạn nghiệm cho hai lớp NDE: lớp phương trình khuếch tán lớp phương trình loại Basset ? Nội dung Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận nghiệm phương trình tiến hố loại Rayleigh-Stokes nửa tuyến tính ? Nội dung Tính giải được, tính tính ổn định toán xác định tham số lớp bất đẳng thức vi biến phân phân thứ Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng công cụ giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích phân thứ, phương trình tích phân Volterra với nhân hồn tồn dương, lí thuyết ổn định, lí thuyết điểm bất động lí thuyết nửa nhóm Ngồi ra, nghiên cứu nội dung cụ thể, sử dụng số kết kĩ thuật tương ứng Cụ thể: • Để chứng minh tồn nghiệm, nghiệm phân rã sử dụng phương pháp ước lượng theo độ đo khơng compact định lí điểm bất động • Để chứng minh tính hút khoảng thời gian hữu hạn sử dụng bất đẳng thức kiểu Gronwall kết hợp với ước lượng địa phương nghiệm 16 ... HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN VĂN TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học. .. tính năm gần Một vấn đề trung tâm lí thuyết định tính phương trình vi-tích phân nghiên cứu dáng điệu nghiệm Trong phạm vi luận án này, dáng điệu nghiệm NDE bao gồm câu hỏi dáng điệu nghiệm thời... luận án là: ? ?Dáng điệu nghiệm số lớp phương trình tiến hố khơng địa phương? ?? Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số vấn đề định tính số lớp NDE, bao