ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2020 ĐẠI HỌC QUỐC G[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chun ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 9460101.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy PGS.TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy PGS.TS Đặng Đình Châu Các kết luận án hoàn toàn trung thực Tất tham khảo trích dẫn tham chiếu đầy đủ Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2020 Nghiên cứu sinh Lê Anh Minh MỤC LỤC Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 13 1.1 Các đánh giá nhị phân 13 1.2 Không gian hàm Banach 17 Chương Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 2.1 Về tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa cấp hai 2.2 23 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 2.3 23 31 Đa tạp quán tính chấp nhận phương trình Fisher Kolmogorov Chương 47 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn 51 3.1 Về khơng gian pha cho phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 51 3.2 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn 3.3 52 Đa tạp quán tính chấp nhận phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ vơ hạn dạng phân phối 68 Kết luận Kiến nghị 73 Những kết đạt 73 Đề xuất số hướng nghiên cứu 73 Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 74 Tài liệu tham khảo 75 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU D (A) miền xác định toán tử A Aβ lũy thừa bậc β toán tử A Xβ miền xác định toán tử Aβ λN trị riêng thứ N toán tử A eN P hàm (vector) tương ứng với trị riêng λN λN +1 + λN xác định γ = λN +1 − λN xác định α = phép chiếu X lên span {ek : k = 1, 2, , N } Id toán tử đồng G(t, τ ) hàm Green (xem (1.5)) χ[a,b] hàm đặc trưng eα ký hiệu hàm số eα (t) = e−α|t| , ∀t ∈ R Rt Λ1 : E → E xác định (Λ1 ϕ)(t) = ϕ(τ )dτ γ α Λ1 t−1 E không gian hàm Banach (xem Định nghĩa 1.6) E không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach E (xem Định nghĩa 1.7) Cβ không gian Bannach hàm liên tục [−r, 0], nhận giá trị Xβ (xem (2.19)) Cgβ không gian Bannach hàm liên tục (−∞, 0], kAβ φ(θ)k nhận giá trị Xβ cho sup < +∞ g(θ) θ60 R(λ, A) toán tử giải toán tử A ρ(A) tập giải toán tử A σ(A) tập phổ toán tử A I tập tập số thực R k · kCβ xác định kφkCβ = sup kAβ φ(θ)k, ∀φ ∈ Cβ θ∈[−r,0] k · kCgβ xác định kφkCgβ = sup ut hàm lịch sử xác định bởi: θ60 kAβ φ(θ)k , ∀φ ∈ Cgβ g(θ) ut (θ) = u(t + θ), ∀θ ∈ [−r, 0] trường hợp trễ hữu hạn, ut (θ) = u(t + θ), ∀θ trường hợp trễ vô hạn r Pˆ số trễ toán tử chiếu Cβ xác định (Pˆ φ)(θ) = e−θA P φ(0), ∀φ ∈ Cβ E γ,t0 ,β không gian Banach gồm tất hàm đo mạnh h : (−∞, t0 ] → Xβ cho e−γ(t0 −·) kAβ h(·)k ∈ β E(−∞,t với chuẩn khkγ,β := ke−γ(t0 −·) kAβ h(·)kkβ 0] u∗ quỹ đạo rút gọn u đa tạp L+ γ,s không gian tuyến tính bao gồm hàm v(·) nhận giá trị Xβ , liên tục [s − r, +∞) cho sup eγ(t−s) kAβ v(t)k < +∞ t>s−r k · ks,+ chuẩn không gian L+ γ,s xác định kvks,+ = sup eγ(t−s) kAβ v(t)k, ∀v ∈ L+ γ,s t>s−r MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu tồn đa tạp quán tính tốn lý thuyết định tính hệ động lực Trong thời gian gần xuất phát từ u cầu mơ hình ứng dụng, toán thường xét phạm vi khái quát nhận nhiều kết thú vị Trong luận án xét tốn tồn đa tạp qn tính chấp nhận cho phương trình tiến hóa, tương ứng với số dạng phương trình vi phân không gian Hilbert Năm 1985, [60] (xem thêm [23]), Foias, Sell Temam xét lớp phương trình tiến hóa phi tuyến dạng du + Au + R(u) = 0, dt (1) A tốn tử tuyến tính, khơng bị chặn, tự liên hợp không gian Hilbert tách X với miền xác định D (A) trù mật X Hơn nữa, giả sử A xác định dương, với A−1 compact Khi đó, tồn sở trực chuẩn {en }n>1 X bao gồm hàm riêng A, Aen = λn en với giá trị riêng thỏa mãn < λ1 λ2 · · · , λn → ∞ n → ∞ Phần phi tuyến R : X → X liên tục Lipschitz địa phương Giả sử tồn số dương ρ0 , ρ1 , ρ2 cho lim sup ku(t)k2 ρ20 , lim sup kA1/2 u(t)k2 ρ21 , lim sup kAu(t)k2 ρ22 t→∞ t→∞ t→∞ (2) Gọi S(t) : u(0) → u(t) nửa nhóm tốn tử xác định nghiệm phương trình (1) Lưu ý rằng, từ (2) ta nghiệm tùy ý S(t)u0 phương trình (1) thuộc vào cầu tâm 0, bán kính ρ0 ln lại cầu Tiếp theo, giả sử θ : R+ → [0, 1] θ(s) = tùy ý hàm trơn cho trước xác định s < s < s > cho |θ0 (s)| với s > Foias, Sell Temam cố định ρ = 2ρ2 xét phương trình "modified" phương trình (1) dạng du + Au + θρ (|Au|) R(u) = dt (3) với θρ (s) := θ (s/ρ) , với s > Khi đó, tác giả S(t)u0 nghiệm phương trình (3) ứng với điều kiện ban đầu u(0) = u0 ∈ X thỏa mãn |AS(t)u0 | ρ với t > S(t)u0 nghiệm phương trình (1) Hơn nữa, tác giả đưa khái niệm đa tạp quán tính cho phương trình (3) sau ([23, p.320]): Một tập M ⊆ X gọi đa tạp quán tính phương trình (3) ba tính chất sau thỏa mãn (i) M đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều; (ii) M bất biến, nghĩa S(t)M ⊆ M với t > 0; (iii) M hút cấp mũ nghiệm phương trình (3) theo nghĩa dist (S(t)u0 , M ) → 0, t → ∞ Lưu ý, từ điều kiện (2) t đủ lớn quỹ đạo nghiệm thuộc đa tạp hồn tồn nằm hình cầu tâm 0, bán kính ρ Hay nói cách khác quỹ đạo chúng bị chặn Như vậy, đa tạp quán tính tồn cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Việc nghiên cứu khơng mang lại kết quan trọng nội toán học, mà đem đến ứng dụng thực tế đầy ý nghĩa Sự tồn đa tạp quán tính chứng minh chi tiết số lớp phương trình vi phân, chẳng hạn: số dạng điều chỉnh phương trình Navier - Stokes [24, 58], phương trình Boussinesq trung bình [4], phương trình hyperbolic [2, 7, 8, 25, 48], phương trình Moore-Greitzer [15], phương trình Cahn-Hilliard [36], phương trình Smoluchowski [53, 54], mơ hình Leray-α [35, 38], mơ hình thú mồi [32], mơ hình FitzHugh-Nagumo [45], phương trình vi phân đạo hàm riêng tổng quát [6, 16, 30], phương trình phản ứng khuếch tán, tiêu hao [37, 50, 59], phương trình nửa tuyến tính dạng tổng quát [11, 28, 34], phương trình trung tính [31] Khái niệm đa tạp qn tính thay đổi mở rộng cho số nhiều lớp phương trình vi phân tổng quát, chẳng hạn: phương trình vi phân khơng autonomous [33], phương trình vi phân đạo hàm riêng có trễ [1, 2, 44] hay phương trình vi phân ngẫu nhiên [3, 5, 10, 13, 14, 18, 51, 55], đa tạp quán tính cho hệ rời rạc [47, 57], đa tạp quán tính cho phương trình parabolic có xung [56] số kết khác Trong đó, tác giả sử dụng phương pháp sau Phương pháp Hadamard (hay gọi phương pháp biến đổi đồ thị) (chẳng hạn [17, 40]) Phương pháp Lyapunov - Perron (dựa công thức biến thiên số) (chẳng hạn [9, 23, 52]) Phương pháp quy elliptic (chẳng hạn [19, 22]) Ta nhận thấy điểm chung tất kết quỹ đạo nghiệm nằm mặt Lipschitz đa tạp quán tính sau co giãn bị chặn (lớp L∞ ) Trên thực tế, tốn địi hỏi quỹ đạo bị chặn tương đối khắt khe (chẳng hạn mơ hình kỹ thuật phức tạp quỹ đạo nghiệm sau co giãn thuộc không gian Lp , không gian Lorentz Lp,q , ) Một câu hỏi đặt tự nhiên mở rộng khái niệm đa tạp quán tính cho quỹ đạo nghiệm sau co giãn mặt đa tạp thuộc lớp không gian hàm chứa L∞ hay khơng? Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, năm 2013 [29], N.T.Huy lần đề xuất xây dựng khái niệm đa tạp quán tính mới, gọi đa tạp quán tính chấp nhận Cụ thể, N.T.Huy xét phương trình vi phân dạng du + Au = f (t, u), t > s dt u(s) = us với s ∈ R (4) A toán tử xác định dương, tự liên hợp có phổ rời rạc khơng gian Hilbert tách X Với β < đặt Xβ = D (Aβ ), phần phi tuyến f : R × Xβ → X ϕ-Lipschitz, ϕ hàm dương thuộc không gian hàm Banach chấp nhận N.T Huy đưa định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận cho lớp phương trình vi phân dạng (4) ([29, Definition 3.1]), khác biệt so với đa tạp quán tính (truyền thống) N.T Huy [29, Remark 3.2] là: Nếu định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận ta chọn E = L∞ ta đa tạp qn tính (truyền thống) Sử dụng phương pháp Lyapunov - Perron, đánh giá nhị phân, với tính chất chấp nhận không gian hàm, đánh giá đối ngẫu, N.T Huy tồn đa tạp quán tính lớp E cho lớp phương trình dạng (4) [29, Theorem 3.6] Với ý nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân, mục tiêu luận án "Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa" nghiên cứu mở rộng kết [29] tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho số lớp phương trình tiến hóa có nhiều ứng dụng thực tiễn là: phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn, phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn, phương trình tiến hóa cấp hai Cụ thể, ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, luận án gồm có 03 chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, kết bổ trợ giả thiết sử dụng xuyên suốt chương lại luận án Chương Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn Trong chương này, trước hết xây dựng không gian pha phép đổi biến phù hợp đưa phương trình tiến hóa cấp hai phương trình tiến hóa cấp Qua đó, nghiên cứu tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trỡnh tin húa cp hai dng xă(t) + 2εx(t) ˙ + Ax(t) = K(t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0, x(s) = xs,0 , s ∈ R, x(s) ˙ =x , s,1 A tốn tử thỏa mãn Giả thiết (xem trang 14); K : R × Xβ → X ϕ-Lipschitz Kết tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có dạng áp dụng phương trình truyền sóng tắt dần ∂ 2u ∂u ∂ 2u (t, x) + 2ε (t, x) = (t, x) + a(t) ln (1 + |u(t, x)|) , ∂t2 ∂t ∂x với x ∈ (0, π), t > t0 , u(t, 0) = u(t, π) = 0, t > t0 , ∂u u(t0 , x) = φ1 (x), (t0 , x) = φ2 (x), < x < π, ∂t φ1 , φ2 hàm cho trước, a(t) xác định 1 n t ∈ n − n+c , n + n+c với n = 1, 2, 2 a(t) = trường hợp cịn lại (5) Sau đó, xây dựng khái niệm tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn dạng du + Au = B(t, ut ), t > s, t, s ∈ R; us = φ ∈ Cβ , dt A tốn tử thỏa mãn Giả thiết (xem trang 14); B : R×Cβ → X ϕ-Lipschitz Kết áp dụng cho phương trình Fisher Kolmogorov có trễ dạng ∂ w(t, x) ∂w(t, x) a = w(t − r, x) , + aw(t, x) − ∂t ∂x K(t) t > s, < x < π w(t, 0) = w(t, π) = 0, t ∈ R w(x, t) = φ(x, t), x π, −r t với w(t, x) biểu thị cho mật độ dân số vị trí x thời gian t; r số dương, a > hệ số tái sinh tuyến tính K(t) > sức chứa môi trường thời điểm t Kết Chương công bố cơng trình (SCIE) 10 cơng trình (Scopus) Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án Chương Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn Trong chương này, định nghĩa xét tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn dạng du + Au = R(t, ut ), t > s, dt us (θ) = φ(θ), θ ∈ (−∞, 0], s ∈ R, A toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; R : R × Cgβ → X ϕ-Lipschitz với Cgβ := kAβ φ(θ)k φ ∈ C((−∞, 0], Xβ ) : sup < +∞ g(θ) θ60 không gian Banach trang bị chuẩn kφkCgβ = sup θ60 kAβ φ(θ)k , ∀φ ∈ Cgβ g(θ) Ở g : (−∞, 0] → [1, +∞) hàm liên tục cho trước Kết Chương áp dụng để tồn đa tạp quán tính chấp nhận phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ phân phối dạng R0 −θ2 +θ |w(t + θ, x)| ∂w(t, x) ∂ w(t, x) = − rw(t, x) + a(t) e dθ ∂t ∂x + |w(t + θ, x)| −∞ t > s, ∀0 < x < π w(t, 0) = w(t, π) = 0, t ∈ R w(s + θ, x) = φ(θ, x), x π, θ 0, s ∈ R, r > số, a(t) hàm số cho (5) 11 Kết Chương nhận đăng tạp chí Bulletin of the Korean Mathematical Society (SCIE), cơng trình Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy PGS TS Đặng Đình Châu Trước tiên, tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới hai thầy động viên, giúp đỡ tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu viết luận án Những gợi ý, bảo ân cần, nhận xét đánh giá hai thầy trình nghiên cứu học quý giá không cho cá nhân ngày qua mà đường nghiên cứu khoa học sau Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung, Bộ mơn Phương trình vi phân Hệ động lực nói riêng tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Hồng Đức, tập thể giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu, tham gia đại hội, hội thảo Tốn học đặc biệt q trình viết luận án Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi ln u thương, động viên hỗ trợ mặt thời gian, hy sinh vật chất lẫn tinh thần để giúp tơi hồn thành trình học tập, nghiên cứu viết luận án Nghiên cứu sinh Lê Anh Minh 12 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các đánh giá nhị phân Ký hiệu, k · k h·, ·i chuẩn tích vơ hướng khơng gian Hilbert tách X Cho A tốn tử tuyến tính X Trước hết, nhắc lại khái niệm phổ phân loại phổ tốn tử tuyến tính (xem thêm [20]) Giả sử A tốn tử tuyến tính xác định D (A) ⊂ X với D (A) = X Khi với y ∈ X cho trước, giả sử tồn y ∗ thuộc X cho hAx, yi = hx, y ∗ i , ∀x ∈ D (A) (1.1) Giả thiết D (A) = X đảm bảo tồn y ∗ Do đó, ta xác định tốn tử liên hợp A∗ : D (A∗ ) ⊂ X → X D (A∗ ) = {y ∈ X : ∃!z ∈ X, hAx, yi = hx, zi , ∀x ∈ D (A)} , với y ∈ D (A∗ ), ta xác định A∗ y = z z phần tử thỏa mãn hAx, y} = hx, zi với x ∈ D (A) Định nghĩa 1.1 Một tốn tử tuyến tính (khơng bị chặn) A gọi tự liên hợp A∗ = A Nghĩa là, D (A∗ ) = D (A) A∗ x = Ax với x ∈ D (A) Định nghĩa 1.2 Cho A : D (A) → X tốn tử tuyến tính với D (A) = X Ta nói số λ giá trị quy A toán tử (A − λI)−1 tồn bị 13 chặn Số µ khơng giá trị quy gọi giá trị phổ Một tập hợp gồm tất giá trị phổ toán tử A gọi tập phổ toán tử A ký hiệu σ(A) Tập hợp ρ(A) := C \ σ(A) gọi tập giải toán tử A Định nghĩa 1.3 (Phổ điểm) Phổ điểm toán tử A ký hiệu σp (A) tập gồm tất giá trị riêng toán tử A Điều có nghĩa là, λ ∈ σp (A) tồn x ∈ D (A) \ {0} cho Ax = λx Nói cách khác, λ giá trị riêng x véctơ riêng A tương ứng với trị riêng λ Dễ thấy, λ ∈ σp (A) ker(A − λI) 6= lúc này, số chiều ker(A − λI) gọi bội số (multiplicity) giá trị riêng λ Định nghĩa 1.4 (Phổ liên tục) Phổ liên tục toán tử A ký hiệu σc (A) tập gồm tất giá trị λ ∈ σ(A) \ σp (A) cho Im(A − λI) tập thực trù mật X Định nghĩa 1.5 (Phổ dư) Phổ dư toán tử A ký hiệu σr (A) xác định σr (A) = σ(A) \ (σp (A) ∪ σc (A)) Như vậy, với λ ∈ σr (A), ta có Im(A − λI 6= X ker(A − λI) = Nhận thấy, A tốn tử tuyến tính đóng σ(A) = σp (A) ∪ σc (A) ∪ σr (A) Trong luận án này, ta giả sử Giả thiết Toán tử tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp có giải compact Ta ý 14 Toán tử A gọi xác định dương, tồn a > cho akuk2 hAu, ui , ∀u ∈ D (A) (1.2) Toán tử A gọi có giải compact, tốn tử giải R(λ, A) = (λI − A)−1 compact với λ ∈ ρ(A) Khi đó, A toán tử tự liên hợp, nên phổ A bao gồm giá trị riêng thực Từ bất đẳng thức (1.2) suy phổ A chứa [a, +∞), A có giải compact nên phổ A bao gồm phổ điểm, tức giá trị riêng với bội hữu hạn Hơn nữa, phổ A không chứa điểm giới hạn (xem thêm [49, 52]) Ta giả sử < a = λ1 λ2 λ3 · · · giá trị riêng A, lặp lại với bội tương ứng, ta giả sử {e1 , e2 , e3 , · · · } vec tơ riêng ứng với giá trị riêng trên, lập thành sở trực chuẩn X Ta có i = 1, 2, · · · Aei = λi ei , Nếu X có số chiều vơ hạn λi → ∞ i → ∞ Mặt khác x= ∞ X hxk , ek iek kxk = k=1 ∞ X |hxk , ek i| , ∀x ∈ X k=1 Hơn nữa, x ∈ D (A) ⇔ ∞ X λ2k |hx, ek i| < ∞, k=1 15 Ax = ∞ X λk hx, ek iek , ∀x ∈ D (A) k=1 Với β < 1, ta có ∞ X ( Xβ = D (Aβ ) = x∈X: ) λ2β k |hx, ek i| < ∞ , k=1 β A x= ∞ X λβk hx, ek i ek , ∀x ∈ Xβ k=1 Áp dụng định lý ánh xạ phổ cho toán tử tuyến tính A: f hàm liên tục, giá trị thực xác định σ(A) tốn tử tuyến tính f (A) xác định f (A)x = ∞ X f (λi ) hx, ei i ei i=1 với miền xác định f (A) ( D (f (A)) = x∈H: ∞ X ) |f (λi )|2 | hx, ei i |2 < ∞ i=1 Đặc biệt, C0 -nửa nhóm sinh −A xác định sau e −tA x := ∞ X e−tλi hx, ei i ei i=1 Với N ∈ N∗ , ta xây dựng phép chiếu trực giao PN lên span {ek : k = 1, 2, , N } , công thức PN x = N X hx, ek iek (1.3) k=1 Mệnh đề 1.1 ([12]) Cho PN phép chiếu định nghĩa (1.3) Đặt QN = I − PN (quy ước Q0 = I) Ta có " # β β kAβ QN e−tA xk + λβN +1 e−tλN +1 kQN xk , ∀x ∈ X t 16 Khi β = 0, ta quy ước 00 = Tương tự, kAβ PN e−tA xk λβN eλN |t| kPN xk , ∀x ∈ X Để đơn giản, từ ta viết P thay cho PN Lúc này, ta có đánh giá nhị phân sau ke−tA P k eλN |t| , ∀t ∈ R; kAβ e−tA P k λβN eλN |t| , ∀t ∈ R; ke−tA (I − P ) k e−λN +1 t , ∀t > 0; # " β β + λβN +1 e−λN +1 t , ∀t > kAβ e−tA (I − P ) k t Hơn nữa, ta định nghĩa hàm Green e−(t−τ )A [I − P ] với t > τ, G(t, τ ) := −e−(t−τ )A P với t τ (1.4) (1.5) Dễ thấy G(t, τ ) từ X vào Xβ Mặt khác, theo đánh giá nhị phân (1.4), với γ = keγ(t−τ ) Aβ G(t, τ )k η(t, τ )e−α|t−τ | α = 1.2 λN +1 − λN β β + λβN +1 t−τ η(t, τ ) = λβ N λN + λN +1 ta có với t 6= τ, (1.6) t > τ, t τ Không gian hàm Banach Trong phần này, với I = (−∞, t0 ] I = R, giả sử B λ σ - đại số Borel độ đo Lebesgue I tương ứng, ta nhắc lại khái niệm 17 ... Chương Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 2.1 Về tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa cấp hai 2.2 23 Sự tồn đa tạp quán. .. "Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa" nghiên cứu mở rộng kết [29] tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho số lớp phương trình tiến hóa có nhiều ứng dụng thực tiễn là: phương. .. tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 51 3.1 Về không gian pha cho phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn 51 3.2 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa