TOÀN văn LUẬN án TIẾN sĩ TOÁN học CN TOÁN GIẢI TÍCH

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án thực tác giả Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Hồng; đề tài Luận án mới, kết Luận án hoàn toàn cơng trình sử dụng Luận án chưa cơng bố trước Nghiên cứu sinh Hồng Văn Cần Lời cảm ơn Bằng tất lịng kính trọng mình, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Xuân Hồng, người Thầy dìu dắt, hướng dẫn tơi q học tập nghiên cứu Thầy tạo nhiều điều kiện tốt cho tơi q trình làm nghiên cứu sinh Tôi thực cảm thấy may mắn hạnh phúc Thầy hướng dẫn Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TS Nguyễn Quang Diệu, trưởng môn Lý Thuyết Hàm, tạo điều kiện, góp ý cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Cô môn Lý Thuyết Hàm, Thầy Cơ giáo khoa Tốn-Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Trường Hà Nội, tháng năm 2021 NCS Hồng Văn Cần Mục lục Kí hiệu Mở đầu Tổng quan vấn đề nghiên cứu 12 Nghiệm yếu phương trình Monge-Ampère phức F -siêu lồi bị chặn 16 1.1 Miền F -siêu lồi bị chặn lớp Cegrell 16 1.2 Sự tồn nghiệm tốn M A(Ω, µ) 24 Tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền F -siêu lồi bị chặn 36 2.1 Sự hội tụ F -địa phương dung lượng cho tập F -mở 36 2.2 Tính ổn định nghiệm tốn M A(Ω, µ) 46 Xấp xỉ hàm lớp F(Ω) 54 3.1 Một số tính chất hàm lớp F(Ω) 54 3.2 Xấp xỉ hàm lớp F(Ω) 57 Kết luận kiến nghị 67 Danh mục cơng trình sử dụng luận án 69 Tài liệu tham khảo 70 Kí hiệu • N: Tập hợp số tự nhiên • N∗ : Tập hợp số tự nhiên lớn • Cn : Khơng gian vectơ phức n chiều • |x − y| := |x1 − y1 |2 + |x2 − y2 |2 + + |xn − yy |2 : Khoảng cách Euclidean hai điểm x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) Cn • B(a, r) := {z ∈ Cn : |z − a| < r}: Hình cầu mở tâm a bán kính r • C0∞ (Ω): Tập hợp hàm trơn vơ hạn có giá compact Ω • L∞ (Ω): Không gian hàm đo Lebesgue, bị chặn hầu khắp nơi Ω • L∞ loc (Ω): Khơng gian hàm đo Lebesgue, bị chặn địa phương h.k.n Ω • Lp (Ω): Khơng gian hàm khả tích bậc p Ω • Lploc (Ω): Khơng gian hàm khả tích địa phương bậc p Ω • SH(Ω): Tập hợp hàm điều hòa Ω • SH − (Ω): Tập hợp hàm điều hịa âm Ω • P SH(Ω): Tập hợp hàm đa điều hịa Ω • P SH − (Ω): Tập hợp hàm đa điều hòa âm Ω • F -P SH(Ω): Tập hợp hàm F -đa điều hịa Ω • F -P SH − (Ω): Tập hợp hàm F -đa điều hịa âm Ω • QB(Cn ): σ -đại số Cn sinh tập Borel tập đa cực Cn • QB(Ω): tập hợp tất tập có dạng A ∩ Ω A ∈ QB(Cn ) F • G : Bao đóng tập G F -tơpơ • G: Bao đóng tập G tơpơ Euclid • ∂F G: Biên tập G F -tơpơ • ∂G: Biên tập G tơpơ Euclid • (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u: Độ đo Monge-Ampère phức u • N P (ddc u)n : Phần không đa cực o Monge-Ampốre (ddc u)n ã M A (, à): Phương trình Monge-Ampère phức cho hàm F -đa điều hòa xác định tập F -mở Ω với µ độ đo khơng âm cho trước • uj u: Dãy {uj } hội tụ tăng tới u • uj u: Dãy {uj } hội tụ giảm tới u • uj → u: Dãy {uj } hội tụ tới u •j +∞: Cho j tăng tới +∞ • Capn (E, Ω): Dung lượng tương đối E ã supp à: Giỏ ca o ã supp f : Giỏ ca hm f • δa : Độ đo Dirac điểm a • 1E : Hàm đặc trưng tập E • h.k.n: Hầu khắp nơi Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình Monge-Ampère phức vấn đề trọng tâm Lý thuyết đa vị, nhiều nhà toán học giới quan tâm E Bedford, B.A Taylor, Z Blocki, U Cegrell, S Kolodziej số nhà toán học khác Hướng nghiên cứu Luận án nghiên cứu phương trình Monge-Ampère phức Lý thuyết F -đa vị Lý thuyết đa vị dựa cấu trúc tôpô Euclid thơng thường Cn , cịn Lý thuyết F -đa vị dựa cấu trúc tôpô plurifine Tôpô plurifine (kí hiệu F -tơpơ) miền Ω ⊂ Cn tôpô yếu Ω làm cho tất hàm đa điều hòa Ω liên tục M.El Kadiri, I.M Smit, S.El Marzguioui, J Wiegerinck người đặt móng cho Lý thuyết F -đa vị năm gần đây, N.X Hồng số tác giả phát triển sâu rộng Lý thuyết F -đa vị Năm 2003, cơng trình [19], M.El Kadiri đưa khái niệm hàm F -đa điều hòa định nghĩa tập F -mở nghiên cứu tính chất hàm Năm 2014, cơng trình [22], M.El Kadiri J Wiegerinck định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức cho hàm F -đa điều hòa hữu hạn, họ chứng minh độ đo khơng âm triệt tiêu tất tập đa cực Họ định nghĩa phần không đa cực N P (ddc u)n hàm F -đa điều hòa xác định F -miền Ω cho N P (ddc u)n = lim A j→+∞ (ddc max(u, −j))n , A ∈ QB(Ω) A∩{u>−j} Phương trình Monge-Ampère phức cho hàm F -đa điều hòa tốn tìm hàm F -đa điều hịa u thỏa mãn: N P (ddc u)n = µ QB(Ω) µ độ đo khơng âm cho trước Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình dành quan tâm đặc biệt nhà toán học đầu ngành Khi Ω miền siêu lồi bị chặn, U Cegrell [15] số nhà toán học khác tồn nghiệm phương trình vài điều kiện phù hợp Ω µ Khi Ω F -miền, cơng trình [37], tác giả đưa điều kiện đủ µ để phương trình có nghiệm Hướng nghiên cứu chúng tơi quan tâm nghiên cứu phương trình miền F -siêu lồi bị chặn tính ổn định nghiệm phương trình Một ứng dụng quan trọng phương trình MongeAmpère phức để giải tốn xấp xỉ Trong Luận án này, nghiên cứu xấp xỉ hàm lớp F(Ω) Ω miền F -siêu lồi bị chặn Mục đích nghiên cứu Mục đích Luận án là: • Nghiên cứu nghiệm yếu phương trình Monge-Ampère phức miền F -siêu lồi bị chặn • Chỉ điều kiện cho miền F -mở Ω độ đo µ để phương trình M A(Ω, µ) có nghiệm • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phng trỡnh M A(, à) ã ng dng nghiờn cứu toán xấp xỉ hàm lớp F(Ω) • Tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu, để tìm vấn đề nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu • Các hàm F -đa điều hịa dưới, miền F -siêu lồi bị chặn • Các lớp Cegrell cho hàm F -đa điều hịa • Tốn tử Monge-Ampère phức cho hàm F -đa điều hòa • Phương trình Monge-Ampère phức nghiệm chúng lớp hàm Cegrell cho hàm F -đa điều hịa Phương pháp nghiên cứu • Dùng công cụ kĩ thuật Lý thuyết đa vị Lý thuyết F -đa vị, kiến thức Giải tích hàm, Giải tích phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án Lý thuyết đa vị Lý thuyết F -đa vị hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm ứng dụng chúng giải tích phức nhiều biến, hình học vi phân phức, phương trình đạo hàm riêng phức, hệ động lực học phức, giải tích hyperbolic, Kết Luận án góp phần nghiên cứu phát triển lý thuyết F -đa vị kỹ thuật hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án 10 Ngoài phần: Mục lục, Mở đầu, Tổng quan vấn đề nghiên cứu, Kết luận kiến nghị, Danh mục cơng trình sử dụng Luận án, Tài liệu tham khảo, nội dung Luận án bao gồm ba chương: • Chương Nghiệm yếu phương trình Monge-Ampère phức miền F -siêu lồi bị chặn Trong chương này, nhắc lại số khái niệm quan trọng lí thuyết F -đa vị, ví dụ hàm F -đa điều hịa dưới, tốn tử Monge-Ampère phức cho hàm F -đa điều hòa hữu hạn, miền F -siêu lồi bị chặn, Tiếp theo, chúng tơi đưa ngun lí so sánh cho số hàm lớp Cegrell cho hàm F -đa điều hịa dưới, cơng cụ sử dụng chứng minh tồn nghiệm tốn M A(Ω, µ) Sau đó, chúng tơi đưa kết Luận án, tính giải tốn M A(Ω, µ) miền F -siêu lồi bị chặn chứng minh kết • Chương Tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền F -siêu lồi bị chặn Phần đầu chương, mở rộng khái niệm dung lượng cho tập F -mở Cn giới thiệu khái niệm hội tụ F -địa phương dung lượng dãy hàm F -đa điều hịa Chúng tơi nghiên cứu mối liên hệ hội tụ F -địa phương dung lượng dãy hàm F -đa điều hòa với hội tụ F -địa phương dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng Sau đó, chúng tơi sử dụng kết để nghiên cứu tính ổn định nghiệm tốn M A(Ω, µ) 59 miền siêu lồi khơng có tính chất F -xấp xỉ Ví dụ 3.2.2 Cho miền D đĩa đơn vị C, xét miền D\[ −1 , ] 2 Đây miền siêu lồi khơng có tính chất F -xấp xỉ Ví dụ 3.3 [46] tồn miền F -siêu lồi bị chặn có tính chất F -xấp xỉ, khơng có điểm phần Euclid Trong chương này, chúng tơi định lí hàm lớp F(Ω) Chú ý Fp (Ω) F(Ω), ∀p > Do đó, kết tổng quát Trước chứng minh kết chương này, cần bổ đề sau: Bổ đề 3.2.3 Giả sử Ω miền F -siêu lồi bị chặn Cn cho u, v ∈ F(Ω) thỏa mãn (i) u ≥ v Ω; (ii) (ddc u)n ≤ (ddc v)n Ω ∩ {v > −∞}; (iii) Ω (dd c max(u, −1))n ≥ Ω (dd c max(v, −1))n Khi đó, u = v Ω Chứng minh Vì Ω miền bị chặn nên tồn R > cho Ω B(0, R) Chúng ta đặt ρ(z) := |z|2 − R2 , z ∈ Cn Chọn ε, δ ∈ (0, 1) Chúng ta đặt uε,δ := max(u, −2δR2 ε−1 ) vε,δ := max((1 − ε)uε,δ + δρ, v) Vì u ∈ F(Ω) nên tồn dãy {ϕk } ⊂ E0 (Ω) cho ϕk k u Ω +∞ (ddc ϕk )n < +∞ sup k≥1 Ω Theo Mệnh đề 3.1.3 ta có (ddc max(u, −1))n = sup Ω k≥1 (ddc ϕk )n = Ω (ddc uε,δ )n Ω 60 Dễ dàng nhìn thấy max(v, −2(1 − ε)δR2 ε−1 − δR2 ) ≤ vε,δ ≤ max(δ sup ρ, v) Ω Mệnh đề 3.1.2 suy (ddc max(δ sup ρ, v))n ≤ Ω Ω (ddc vε,δ )n Ω (ddc max(v, −2(1 − ε)δR2 ε−1 − δR2 ))n ≤ Ω Bởi supΩ ρ < nên Mệnh đề 3.1.3 suy (ddc max(v, −2(1 − ε)δR2 ε−1 − δR2 ))n (ddc max(δ sup ρ, v))n = Ω Ω Ω (ddc max(v, −1))n = Ω Kết hợp với (iii) ta có (ddc vε,δ )n = Ω (ddc max(v, −1))n Ω (3.1) c ≤ n c (dd max(u, −1)) = Ω n (dd uε,δ ) Ω Vì u ≥ v Ω nên uε,δ = u {v > −2δR2 ε−1 }, theo Định lí 4.8 [22] kết hợp với (ii), có (ddc v)n ≥ (ddc u)n = (ddc uε,δ )n ≥ (1 − ε)n (ddc uε,δ )n {v > −2δR2 ε−1 } mà (ddc ((1 − ε)uε,δ + δρ))n ≥ (1 − ε)n (ddc uε,δ )n Ω, nên Mệnh đề 2.6 [46] suy (ddc vε,δ )n ≥ (1 − ε)n (ddc uε,δ )n {v > −2δR2 ε−1 } (3.2) Dễ ràng thấy rằng, (1 − ε)uε,δ + δρ ≥ (1 − ε)u − δR2 ≥ u − δR2 (1 − ε)uε,δ + δρ ≥ −2δR2 ε−1 (1 − ε) − δR2 = −2δR2 ε−1 + δR2 , từ suy 61 vε,δ = (1 − ε)uε,δ + δρ {v < −2δR2 ε−1 + δR2 } ∪ {v < u − δR2 } Do đó, theo Định lí 4.8 [22] có (ddc vε,δ )n = (ddc ((1 − ε)uε,δ + δρ))n ≥ (1 − ε)n (ddc uε,δ )n + δ n (ddc ρ)n {v < −2δR2 ε−1 + δR2 } ∪ {v < u − δR2 } Kết hợp với (3.2) suy (ddc vε,δ )n ≥ (1 − ε)n (ddc uε,δ )n + δ n 1{v cho k ∈ N∗ cho k ≥ a Bởi max(u, −k − s) = u Ω ∩ {u > −a} nên (ddc uj,k+s )n = 1Ω (ddc max(u, −k − s))n ≥ 1Ω∩{u>−a} (ddc u)n Ωj , ∀s ≥ Do đó, Mệnh đề 4.3 [44] suy (ddc max(uj,k , , uj,k+s ))n ≥ 1Ω∩{u>−a} (ddc u)n Ωj , ∀s ≥ Vì max(uj,k , , uj,k+s ) (sup uj,k+l )∗ h.k.n Ωj s +∞ l≥0 nên Định lí [16] suy (ddc (sup uj,k+l )∗ )n ≥ 1Ω∩{u>−a} (ddc u)n Ωj l≥0 Hơn nữa, (supl≥0 uj,k+l )∗ uj h.k.n Ωj k +∞, sử dụng tiếp Định lí [16] ta suy (ddc uj )n ≥ 1Ω∩{u>−a} (ddc u)n Ωj Cho a → +∞, có (ddc uj )n ≥ (ddc u)n Ω ∩ {u > −∞} Bởi (supl≥0 uj,k+l )∗ ≥ uj,k nên Bổ đề 3.3 [1] suy (ddc (sup uj,k+l )∗ )n ≤ Ωj l≥0 (ddc uj,k )n với k ≥ Ωj 64 Do đó, theo Hệ 3.4 [1] có (ddc (sup uj,k+l )∗ )n (ddc uj )n = lim k→+∞ Ωj (ddc uj,k )n ≤ sup k≥1 Ωj (ddc max(u, −1))n = sup k≥1 l≥0 Ωj Ω (ddc max(u, −1))n = Ω Cho j −→ +∞, Định lí 4.5 [21] (3.3) suy (ddc v)n ≥ (ddc u)n Ω ∩ {v > −∞} (3.5) Tiếp theo, chứng minh v ∈ F(Ω) Đặt vk := max(v, kρ), k ∈ N∗ Vì vk ≥ kρ ρ ∈ E0 (Ω) nên Mệnh đề 3.4 [46] suy vk ∈ E0 (Ω) Bởi max(uj , kρj ) vk h.k.n Ω j +∞ nên Mệnh đề 2.7 [46], Bổ đề 3.3 [1] (3.4) suy (ddc vk )n ≤ sup(lim inf sup k≥1 k≥1 Ω j→+∞ (ddc max(uj , kρj ))n ) Ω (ddc max(uj , kρj ))n ) ≤ sup(lim inf k≥1 j→+∞ (ddc uj )n ≤ lim inf j→+∞ Ωj Ωj (ddc max(u, −1))n < +∞ ≤ Ω Do v ∈ F(Ω) vk v Bởi max(vk , −1) max(v, −1) hàm max(vk , −1), vk thuộc lớp E0 (Ω) nên theo Mệnh đề 2.7 65 [46] Mệnh đề 3.4 [46] có (ddc max(v, −1))n ≤ lim inf k→+∞ Ω (ddc max(vk , −1))n Ω (ddc vk )n ≤ lim inf k→+∞ Ω (ddc max(u, −1))n ≤ Ω Kết hợp với (3.5) áp dụng Bổ đề 3.2.3 kết luận v = u Ω 66 Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất hàm lớp F(Ω) Mệnh đề 3.1.2 nguyên lí so sánh cho hàm lớp lớp F(Ω) Định lí 3.2.4 rằng, hàm u ∈ F(Ω) xấp xỉ dãy tăng hàm đa điều hòa âm xác định dãy giảm miền siêu lồi rộng Kết luận kiến nghị I Kết luận Trong phần này, ta điểm lại kết đạt Luận án Cụ thể, Luận án nghiên cứu phương trình Monge-Ampère phức miền F -siêu lồi bị chặn, nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức miền F -siêu lồi bị chặn, nghiên cứu xấp xỉ hàm F -đa điều hòa đạt kết sau đây: • Chứng minh tồn nghiệm tốn M A(Ω, µ) trường hợp Ω miền F -siêu lồi bị chặn • Chứng minh tính ổn định nghiệm tốn M A(, à) trờn F -siờu li b chn ã Chứng minh hàm lóp F(Ω) xấp xỉ dãy hàm đa điều hòa xác định lân cận Euclid miền F -siêu lồi bị chặn Ω • Chứng minh số nguyên lí so sánh cho số hàm lớp F(Ω) Ω miền F -siêu lồi bị chặn II Kiến nghị Từ kết thu luận án trình nghiên cứu, đề xuất số hướng nghiên cứu sau: 68 • Nghiên cứu để đưa định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức cho lớp hàm F -đa điều hịa khơng bị chặn • Nghiên cứu tính ổn định tốn M A (, à) cho cỏc lp hm cú trng ã Nghiờn cứu tốn M A (Ω, µ) cho lớp hàm F -đa điều hịa khơng bị chặn • Nghiên cứu tính ổn định tốn M A (Ω, µ) cho lớp hàm F -đa điều hịa không bị chặn Cuối cùng, xin trân trọng đón nhận góp ý quý báu quý đọc giả hướng nghiên cứu, vấn đề liên quan tới đề tài luận án để tiếp tục phát triển hướng nghiên cứu Danh mục cơng trình sử dụng Luận án [1] N X Hong and H.V Can, On the approximation of weakly plurifinely plurisubharmonic functions, Indag Math., 29 (2018) 1310–1317 [2] N X Hong and H.V Can, Weakly solutions to the complex MongeAmpère equation on bounded plurifinely hyperconvex domains, Complex Anal Oper Theory., 13 (2019) 1713–1727 [3] N X Hong, N.T Lien and H.V Can, The stability of solutions to the complex Monge-Ampère equations in bounded F -hyperconvex domains, J Math Anal Appl., 483 (2020) 123606 69 Tài liệu tham khảo [1] P ˚ Ahag, U Cegrell, R Czy˙z and P H Hiep, Monge-Ampère measures on pluripolar sets, J Math Pures Appl., 92 (2009), 613–627 [2] P ˚ Ahag, U Cegrell, and P H Hiep, A product property for the pluricomplex energy, Osaka J Math 47 (2010), 637–650 [3] P ˚ Ahag, U Cegrell and P H Hiep, Monge-Ampère measures on subvarieties, J Math Anal Appl., 423 (2015), no 1, 94–105 [4] P ˚ Ahag, R Czy˙z and P H Hiep, Concerning the energy class Ep for < p < 1, Ann Polon Math., 91 (2007), 119–130 [5] B Avelin, L Hed and H Persson, Approximation of plurisubharmonic functions, Complex Var Elliptic Equ., 61 (2016), no 1, 23–28 [6] E Bedford and B A Taylor, The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampère equation, Invent Math., 37 (1976), 1–44 [7] E Bedford and B A Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math., 149, 1–40 (1982) [8] E Bedford and B A Taylor, Fine topology, Silov boundary and (ddc )n , J Funct Anal., 72 (1987), 225–251 [9] S Benelkourchi, A note on the approximation of plurisubharmonic functions, C R Acad Sci Paris, 342 (2006), 647–650 [10] S Benelkourchi, Approximation of weakly singular plurisubharmonic functions, Int J Math., 22 (2011), 937–946 [11] S Benelkouchi, V.Guedj and A.Zeriahi, Plurisubharmonic functions with weak singularities, Acta Universitatis Upsaliensis, Proceeding of the conference in honour of C.Kiselman (in press) [12] Z Blocki, On the definition of the Monge-Ampère operator in C2 , Math Ann 328 (2004), 415–423 [13] H Cartan, Théorie générale du balayage en potentiel newtonien, Ann Univ Grenoble, 22 (1946), 221–280 70 71 [14] U Cegrell, Pluricomplex energy, Acta Math., 180 (1998), 187–217 [15] U Cegrell, The general definition of the complex Monge-Ampère operator, Ann Inst Fourier (Grenoble), 54 (2004), 159–179 [16] U Cegrell, Convergence in capacity, Canad Math Bull., 55 (2012), 242–248 [17] U Cegrell and L Hed, Subextension and approximation of negative plurisubharmonic functions, Michigan Math J., 56 (2008), no 3, 593– 601 [18] U Cegrell and S Kolodziej, The equation of complex Monge-Ampère type and stability of solutions, Math Ann 334 (2006), no 4, 713–729 [19] M El Kadiri, Fonctions finement plurisousharmoniques et topologie plurifine, Rend Accad Naz Sci XL Mem Mat Appl (5) 27 (2003), 77–88 [20] M El Kadiri, B Fuglede and J Wiegerinck, Plurisubharmonic and holomorphic functions relative to the plurifine topology, J Math Anal Appl., 381 (2011), 107–126 [21] M El Kadiri and I M Smit, Maximal plurifinely plurisubharmonic functions, Potential Anal., 41 (2014), 1329–1345 [22] M El Kadiri and J Wiegerinck, Plurifinely plurisubharmonic functions and the Monge-Ampère operator, Potential Anal., 41 (2014), 469–485 [23] S El Marzguioui and J Wiegerinck, The plurifine topology is lacally connected, Potential Anal., 25 (3)(2006), 283–288 [24] S El Marzguioui and J Wiegerinck, Connectedness in the plurifine topology In: Functional Analysis and Complex Analysis, Contemp Math., Amer Math Soc Providence, RI, 481 (2009), 105–115 [25] S El Marzguioui and J Wiegerinck, Continuity properties of finely plurisubharmonic functions, Indiana Univ Math J., 59 (2010), 1793– 1800 [26] J.E Fornaess, J Wiegerinck, Approximation of plurisubharmonic functions, Ark Mat 27 (1989), no 2, 257– 272 [27] B Fuglede, Finely harmonic functions, Lecture Notes in Math., vol 289, Springer, Berlin (1972) [28] L M Hai and P H Hiep, Some weighted energy classes of plurisubharmonic functions, Potential Anal., 34 (1) (2011), 43–56 72 [29] L M Hai and P H Hiep, An equality on the complex Monge-Ampère measures, J Math Anal Appl 444 (2016), no 1, 503–511 [30] L M Hai, P H Hiep, N X Hong and N V Phu, The MongeAmpère type equation in the weighted pluricomplex energy class, Int J Math., 25 (2014), no 5, Article Id: 1450042, 17 pp [31] L M Hai, T V Thuy and N X Hong, A note on maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Acta Math Vietnam., 43 (2018), 137–146 [32] L M Hai, N V Trao and N X Hong, The complex Monge-Ampère equation in unbounded hyperconvex domainsin Cn , Complex Var Elliptic Equ., 59 (2014), no 12, 1758–1774 [33] L Hed, Approximation of negative plurisubharmonic functions with given boundary values, Internat J Math., 21 (2010), no 9, 1135–1145 [34] L Hed and P Persson, Plurisubharmonic approximation and boundary values of plurisubharmonic functions, J Math Anal Appl., 413 (2014), no 2, 700–714 [35] N X Hong, The locally F -approximation property of bounded hyperconvex domains, J Math Anal Appl., 428 (2015), 1202–1208 [36] N X Hong, Monge-Ampère measures of maximal subextensions of plurisubharmonic functions with given boundary values, Complex Var Elliptic Equ., 60 (3) (2015), 429–435 [37] N X Hong, Range of the complex Monge-Ampère operator on plurifinely domain, Complex Var Elliptic Equ., 63 (2018), 532–546 [38] N X Hong and H.V Can, On the approximation of weakly plurifinely plurisubharmonic functions, Indag Math 29 (2018) 1310– 1317 [39] N X Hong and H.V Can, Weakly solutions to the complex MongeAmpère equation on bounded plurifinely hyperconvex domains, Complex Anal Oper Theory 13 (2019) 1713–1727 [40] N X Hong, L M Hai and H Viet, Local maximality for bounded plurifinely plurisubharmonic functions, Potential Anal., 48 (2018), 115–123 [41] N X Hong and H Viet, Local property of maximal plurifinely plurisubharmonic functions, J Math Anal Appl., 441 (2016), 586– 592 73 [42] N X Hong, N.T Lien and H.V Can, The stability of solutions to the complex Monge-Ampère equations in bounded F -hyperconvex domains, J Math Anal Appl., 483 (2020) 123606 [43] N X Hong, N V Trao and T V Thuy, Convergence in capacity of plurisubharmonic functions with given boundary values, Int J Math., 28 (2017), Article Id:1750018, 14p [44] N V Khue and P H Hiep, A comparison principle for the complex Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications, Trans Amer Math Soc., 361 (2009), 5539–5554 [45] N Sibony, Une classe de domaines pseudoconvexes, Duke Math J., 55 (1987), 299-319 [46] N V Trao, H Viet and N X Hong, Approximation of plurifinely plurisubharmonic functions, J Math Anal Appl., 450 (2017), 1062– 1075 [47] J Wiegerinck, Plurifine potential theory, Ann Polon Math., 106 (2012), 275–292 [48] Y Xing, Convergence in capacity, Ann Inst Fourier (Grenoble), 58 (2008), no 5, 1839–1861 ... thức Giải tích hàm, Giải tích phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án Lý thuyết đa vị Lý thuyết F -đa vị hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm ứng dụng chúng giải tích phức nhiều biến, hình học. .. nghiên cứu phát triển nhà toán học E Bedford, B.A Taylor, U Cegrell, S Kolodziej số nhà toán học khác Đặc biệt, Ω miền siêu lồi U Cegrell [15] số tác giả khác toán M A(Ω, µ) giải độ đo µ thỏa mãn... kỷ tốn M A(Ω, µ) biết 14 toán Dirichlet cho hàm đa điều hịa Ω tập mở Euclid, nghiên cứu phát triển nhà toán học E Bedford, B.A Taylor, S Kolodziej, U Cegrell số nhà toán học khác Đặc biệt, Ω miền