luận văn thạc sĩ sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chun ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy PGS.TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2020 L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu lun Ăn Sỹ tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc ca mt s lợp phữỡng trnh tin hõa l cổng trnh nghiản cứu ca tổi, ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca PGS.TSKH Nguyn Thiằu Huy v PGS.TS °ng …nh Ch¥u C¡c k‚t qu£ lu“n ¡n l ho n to n trung thüc T§t cÊ nhng tham khÊo ãu ữổc tr ch dÔn v tham chi‚u ƒy ı H Nºi, ng y 22 th¡ng 12 nôm 2020 Nghiản cứu sinh Lả Anh Minh MệC LệC Danh mửc cĂc kỵ hiằu M u Chữỡng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 C¡c ¡nh gi¡ nhà ph¥n 1.2 Khỉng gian h m Banac Ch÷ìng Sü tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc ca mt lợp cĂc phữỡng trnh tin hõa cõ tr hu hn 2.1 Vã sỹ tỗn ti a quĂn t phữỡng trnh tin hõa c 2.2 Sỹ tỗn ti a t⁄p qu¡n t‰n ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa c 2.3 a t⁄p qu¡n t‰nh ch§p nh Kolmogorov Chữỡng Sỹ tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc ca mt lợp c¡c ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa câ tr„ vỉ h⁄n 3.1 Vã khổng gian pha cho 3.2 Sỹ tỗn ti a t⁄p qu¡n t‰n ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa c 3.3 a t⁄p qu¡n t‰nh ch§p nh Mackey-Glass câ tr„ vỉ K‚t lu“n v Ki‚n nghà Nhœng k‚t qu£ ¢ ⁄t ÷ỉc ã xuĐt mt s hữợng nghi¶n cøu ti‚p theo Danh mưc c¡c cỉng tr…nh khoa håc li¶n quan ‚n lu“n ¡n T i li»u tham kh£o DANH MƯC C C KÞ HI U D(A) A X N eN Pph†p chi‚u X l¶n span fek : k = 1; 2; ::::; Ng Id G(t; ) [a;b] e E khæng gian h m Banach (xem nh nghắa 1.6) E khổng gian Banach tữỡng ứng vợi khổng gian h m Ba-nach E (xem nh nghắa 1.7) C Cg R( ;A) (A) t“p gi£i cıa to¡n tß A (A) t“p phŒ cıa to¡n tß A I t“p cıa t“p sŁ thüc R k kC x¡c ành bði k kC = k kCg u x¡c ành bði h m làch sß x¡c ành bði: t ut( ) = u(t + ); [ r; 0] tr÷íng hỉp tr„ hœu h⁄n, ho°c ut( ) = u(t + ); tr÷íng hỉp tr„ væ h⁄n r h‹ng sŁ tr„ ^ P to¡n tò chiu trản C xĂc nh bi E ;t0; A e P (0); C : khæng gian Banach gỗm tĐt cÊ cĂc h m o ữổc mnh h : ( E( q ⁄o rót gån cıa u tr¶n a t⁄p u + L ;s: cịng vỵi chu'n khk ; : khổng gian tuyn tnh bao gỗm cĂc h m v( ) nh“n gi¡ trà tr¶n X , li¶n tưc tr¶n [s r; +1) cho sup e s) (t kA v(t)k < +1 t>s r k ks;+ ;t0] chu'n tr¶n khỉng gian L sup e (t s) kA v(t)k; 8v t>s r + ;s ÷ỉc + L ;s x¡c ành bði kvks;+ = M— U Vi»c nghiản cứu sỹ tỗn ti ca cĂc a quĂn tnh l mt b i toĂn cỡ bÊn lỵ thuy‚t ành t‰nh cıa c¡c h» ºng lüc Trong thíi gian gn Ơy xuĐt phĂt t yảu cu ca cĂc mỉ h…nh øng dưng, c¡c b i to¡n n y th÷íng ÷ỉc x†t ph⁄m vi kh¡i qu¡t hìn v nhn ữổc nhiãu kt quÊ thú v Trong bÊn lun ¡n n y chóng tỉi x†t b i to¡n v• sỹ tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc cho cĂc phữỡng trnh tin hõa, tữỡng ứng vợi mt s dng ca phữỡng trnh vi phƠn khổng gian Hilbert Nôm 1985, [60] (xem thảm [23]), Foias, Sell v Temam xt mt lợp cĂc phữỡng trnh tin hõa phi tuy‚n d⁄ng du + Au + R(u) = 0; dt â A l to¡n tß tuy‚n t‰nh, khỉng bà ch°n, tü li¶n hỉp tr¶n mºt khỉng gian Hilbert tĂch ữổc X vợi miãn xĂc nh D(A) trũ mt X Hìn nœa, gi£ sß A l x¡c nh dữỡng, vợi A l compact Khi õ, tỗn ti cì sð trüc chu'n fe ngn>1 cıa X ch¿ bao gỗm cĂc h m riảng ca A, Ae n = nen vợi cĂc giĂ tr riảng thọa mÂn < 6 , v Lipschitz àa ph÷ìng n ! n ! Phƒn phi tuy‚n R : X ! X l liản tửc GiÊ sò tỗn t⁄i c¡c h‹ng sŁ d÷ìng 0; 1; cho (2) Gåi S(t) : u(0) ! u(t) l mºt nßa nhõm toĂn tò xĂc nh bi nghiằm ca phữỡng trnh (1) Lữu ỵ rng, t (2) ta cõ th ch nu nghiằm tũy ỵ S(t)u0 ca phữỡng trnh (1) thuºc v o qu£ cƒu t¥m 0, b¡n k‰nh th… s‡ luæn ð l⁄i qu£ cƒu â Ti‚p theo, gi£ sß : R+ ! [0; 1] l mt h m trỡn cho trữợc xĂc nh bi > n‚u s > > (s) = < > tũy ỵ nu < s < > > : n‚u s > cho j (s)j vỵi måi s > Foias, Sell v Temam cŁ ành = 2 v x†t ph÷ìng tr…nh "modified" cıa ph÷ìng tr…nh (1) d⁄ng vỵi (s) := (s= ) ; vỵi s > 0: Khi â, c¡c t¡c gi£ ch¿ n‚u S(t)u l nghiằm ca phữỡng trnh (3) ứng vợi iãu ki»n ban ƒu u(0) = u0 X thäa m¢n jAS(t)u0j vỵi måi t > th… S(t)u0 cơng l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (1) Hìn nœa, c¡c t¡c gi£ ÷a kh¡i ni»m a t⁄p qu¡n t‰nh cho ph÷ìng tr…nh (3) nh÷ sau ([23, p.320]): Mºt t“p M X ÷ỉc gåi l a t⁄p qu¡n t‰nh cıa phữỡng trnh (3) nu ba t nh chĐt sau thọa mÂn (i) M l a Lipschitz hu hn chiãu; (ii) M bĐt bin, nghắa l S(t)M M vợi mồi t > 0; (iii) M hót c§p mơ måi nghi»m ca phữỡng trnh (3) theo nghắa dist (S(t)u0; M) ! 0; t ! 1: Lữu ỵ, t cĂc iãu ki»n ð (2) th… t ı lỵn c¡c q ⁄o cıa c¡c nghi»m thuºc a t⁄p s‡ ho n to n n‹m h…nh cƒu t¥m 0, b¡n k‰nh Hay nâi c¡ch kh¡c quÿ ⁄o cıa chóng l bà ch°n D(A) ! X x¡c ành bði Chån X = L (0; ) v x†t to¡n tò A : X Khi õ, A thọa mÂn GiÊ thi‚t vỵi 2 (A) = + r; + r; ; n + r; Ti‚p theo, ta chån g( ) = e v ành ngh¾a khỉng gian Banach Cg = vỵi chu'n k ( )k k kC := sup g v e 60 nh nghắa toĂn tò R : R Cg ! X bði Khi â, vỵi 1; kR(t; Cg tũy ỵ, ta cõ 1) R(t; 2)k a(t)k Z D„ th§y, kR(t; )k a(t)(1 + k kCg0 ); Nhữ vy, R l -Lipschitz vợi (t) = a(t) Cg ; : 69 T‰nh to¡n ìn gi£n, ta câ e sup 60 hay, i•u ki»n (3.2) ữổc thọa mÂn Hỡn na, nhn thĐy cõ th nhn giĂ tr lợn tũy ỵ Tức l , ’ 2= L1 p q B¥y gií, n‚u ta x†t E = L (R) vỵi < p < th… E = L (R) â p + q = v ta câ Tøc l , ’ E M°t kh¡c ’ k k1 Nh÷ v“y, theo Nh“n x†t 3.2, ph÷ìng trnh (3.30) cõ a quĂn tnh chĐp nhn ữổc lỵp E n‚u N v /ho°c c ı lỵn Trong õ, E l khổng gian Banach tữỡng p ứng vợi L (R) 70 K‚t lu“n ch÷ìng Khi x†t sỹ tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc cıa (3.1) ta g°p mºt sŁ khâ kh«n sau: ˆ H m gi¡ trà ban ƒu x¡c ành tr¶n kho£ng vỉ h⁄n ( ; 0], n¶n mºt sŁ ¡nh gi¡ ữổc sò dửng Chữỡng i vợi tr hu h⁄n khỉng cỈn óng Phƒn phi tuy‚n R l ’-Lipschitz nản nhữ Chữỡng 2, nh lỵ vã sỹ tỗn ti v tnh nhĐt nghiằm khổng cặn úng i vợi (3.1); Nòa nhõm sinh bi A khổng t¡c ºng l¶n khỉng gian Bannach chøa a t⁄p qu¡n tnh V vy, ta cụng khổng th sò dửng ữổc ph÷ìng ph¡p nhi„u phi tuy‚n ” v÷ỉt qua nhœng khâ khôn õ, tữỡng tỹ nhữ Chữỡng chúng ta: ˆ X†t c¡c h m gi¡ trà ban ƒu thuºc mt lợp cĂc khổng gian pha thữớng ữổc sò dửng nghiản cứu phữỡng trnh tin hõa vợi tr vổ hn l Cg (xem thảm [42]) v xƠy dỹng cĂc Ănh giĂ mợi trản khổng gian õ Ta nhn thĐy, g = e th… ta câ khæng gian C quen thuºc, v vi»c chån khæng gian pha Cg xt sỹ tỗn ti a quĂn tnh (chĐp nhn ÷ỉc) cıa c¡c ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa câ tr„ vỉ h⁄n l phị hỉp nh§t Ph¡t bi”u l⁄i kh¡i ni»m a quĂn tnh (nhữ nh nghắa 3.2) cho nõ chứa sỹ tỗn ti v tnh nhĐt cıa nghi»m; ˆ ˆ X¥y düng cỉng thøc bi”u di„n nghiằm tt ca phữỡng trnh dữợi dng phữỡng trnh Lyapunov-Perron (phữỡng trnh (3.6) Qua õ, ta cõ th sò dửng cĂc Ănh giĂ nh phƠn mụ (1.4) ca nòa nhõm (e tA )t v sỹ tỗn ti, tnh nh§t nghi»m thuºc c¡c khỉng gian h m ch§p nhn ữổc ca (3.1) xƠy dỹng a quĂn tnh chĐp nhn ữổc cho (3.1) 71 Kt quÊ chnh ca chữỡng n y l nh lỵ 3.1, õ ch iãu kiằn tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn chứa nghiằm tt ca phữỡng trnh (3.1) K‚t qu£ n y mð rºng c¡c k‚t qu£ ữổc nảu [29] xt sỹ tỗn ti a quĂn tnh lợp E cho trữớng hổp tr væ h⁄n 72 K TLU NV Nhœng k‚t qu£ ¢ ⁄t KI NNGHÀ ÷ỉc Trong b£n lu“n ¡n n y, xuĐt phĂt trỹc tip t ỵ tững ca N.T Huy [29] vã a quĂn tnh chĐp nhn ữổc, chúng tổi  tin h nh nghiản cứu cĂc b i toĂn tip theo vã a quĂn tnh chĐp nhn ữổc ca mt s lợp phữỡng trnh tin hõa khổng gian Hilbert v  nhn ữổc cĂc kt quÊ sau: Chứng minh sỹ tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc cho mt lợp phữỡng trnh tin hâa câ tr„ hœu h⁄n ho°c væ h⁄n ˆ Chøng minh sỹ tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc cho mt lợp phữỡng trnh tin hõa cĐp hai ã xuĐt mt s hữợng nghiản cứu tip theo Sau nhng kt quÊ Â t ữổc lun Ăn, mt s vĐn ã sau Ơy cõ th ữổc tip tửc nghiản cứu: Sỹ tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc ca mt s lợp phữỡng tr nh vi phƠn trung tnh Sỹ tỗn ti a quĂn tnh chĐp nhn ữổc ca mt s lợp phữỡng tr nh tin hõa cĐp hai cõ tr 73 DANH MÖC C C C˘NG TR NH KHOA H¯C LI NQUAN NLU N N N T Huy, L A Minh (2018), Admissible inertial manifolds for delay equations and applications to Fisher-Kolmogorov model , Acta Appli-candae Mathematicae 156(1), pp 15-31 L A Minh (2020), Admissible inertial manifolds for second order in time evolution equations , Khayyam Journal of Mathematics 6(2), pp 155-173 L A Minh (2020), Admissible inertial manifolds for infinite delay evo-lution equations , has been accepted for publication at Bulletin of the Korean Mathematical Society 74 T ILI UTHAMKH O Ti‚ng Anh [1] C T Anh, L V Hieu, N T Huy (2013), "Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay", Discrete and Continuous Dynamical Systems 33, pp 483-503 [2] C T Anh, L V Hieu (2013), "Inertial manifolds for retarded second order in time evolution equations in admissible spaces", Annales Polonici Mathematici 108(1), pp 21 42 [3] Bensoussan A., Landoli F (1995), "Stochastic inertial manifolds", Stochastics and Stochastics Reports 53, pp 13-39 [4] Bisconti L., Catania D (2018), "On the existence of an inertial manifold for a deconvolution model of the 2D mean Boussinesq equations", Mathematical Methods in the Applied Sciences 41(13), pp 4923 4935 [5] Brune P.; Schmalfuss B (2011), "Inertial manifolds for stochastic PDE with dynamical boundary conditions", Communications on Pure & Applied Analy-sis 10(3), pp 831 846 [6] Cardin F., Favretti M., Lovison A (2017), "Inertial manifold and large de-viations approach to reduced PDE dynamics", Journal of Statistical Physics 168(5), pp 1000 1015 [7] Chalkina N A (2012), "Sufficient condition for the existence of an inertial manifold for a hyperbolic equation with weak and strong dissipation", Russian Journal of Mathematical Physics 19(1), pp 11 20 [8] Chepyzhov V V., Kostianko A., Zelik S (2019), "Inertial manifolds for the hyperbolic relaxation of semilinear parabolic equations", Discrete and Contin-uous Dynamical Systems Series B 24(3), pp 1115 1142 75 [9] Chow S.N., Lu K (1988), "Invariant manifolds for flows in Banach spaces", Journal of Differential Equations 74, pp 285-317 [10] Chueshov I.D (1995), "Approximate inertial manifolds of exponential order for semilinear parabolic equations subjected to additive white noise", Journal of Dynamics and Differential Equations 7, pp 549566 [11] Chueshov I.D (2002), Introduction to the Theory of InfiniteDimensional Dis-sipative Systems, ACTA, Kharkiv [12] Chueshov I.D (2015), Dynamics of Quasi-Stable Dissipative Systems, Springer, Cham [13] Chueshov I D., Schmalfu , B (2005), "Averaging of attractors and inertial manifolds for parabolic PDE with random coefficients", Advanced Nonlinear Studies 5(4), pp 461 492 [14] Chueshov I., Scheutzow M., Schmalfu , B (2005), "Continuity properties of inertial manifolds for stochastic retarded semilinear parabolic equations" in Interacting Stochastic Systems, pp 353 375, Springer, Berlin [15] Chung Y., Titi E S (2003), "Inertial manifolds and Gevrey regularity for the Moore-Greitzer model of an axial-flow compressor", Journal of Nonlinear Science 13(1), pp 25 [16] Constantin P., Foias C., Nicolaenko B., Temam R (1989), Integral Manifolds and Inertial Manifolds for Dissipative Partial Differential Equations, Springer, New York [17] Constantin P., Foias C., Nicolaenko B., Temam R (1989), "Spectral barriers and intertial manifolds for dissipative partial differential equations", Journal of Dynamics and Differential Equations 1, pp 45-73 [18] Da Prato G., Debussche A (1996), "Construction of stochastic inertial mani-folds using backward integration", Stochastics and Stochastic Reports 59(3-4), pp 305 324 [19] Debussche A (1990), "Inertial manifolds and Sacker’s equation", Differential and Integral Equations 3, pp 467-486 [20] Eidelman Y., Milman V., Tsolomitis A (2004), Functional Analysis: An In-troduction, American Mathematical Society, Rhode Island 76 [21] Engel K.J., Nagel R (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, New York [22] Fabes E., Luskin M., Sell R G (1991), "Construction of inertial manifolds by elliptic regularization", Journal of Differential Equations 89(2), pp 355-387 [23] Foias C., Sell G.R., Temam R (1988), "Inertial manifolds for nonlinear evolu-tionary equations", Journal of Differential Equations 73(2), pp 309-353 [24] Gal C G., Guo Y (2018), "Inertial manifolds for the hyperviscous Navier-Stokes equations", Journal of Differential Equations 265(9), pp 4335 4374 [25] Goritskii A Y., Chalkina N A (2014), "Inertial manifolds for weakly and strongly dissipative hyperbolic equations", Journal of Mathematical Sciences 197(3), pp 291 302 [26] Hale K J., Kato J (1978), "Phase space for retarded equations with infinite delay", Funkcialaj Ekvacioj 21, pp 11-41 [27] Hino Y., Murakami S., Naito T (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay, Springer, Berlin [28] N T Huy (2012), "Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications 386(2), pp 894-909 [29] N T Huy (2013), "Admissibly inertial manifolds for a class of semilinear evolution equations", Journal of Differential Equations 254(6), pp 2638 2660 [30] N T Huy, B X Quang (2016), "Sectorial operators and inertial manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces", Applicable Analysis and Discrete Mathematics 10(2), pp 262 291 [31] N T Huy, B X Quang (2017), "Inertial manifolds for partial neutral func-tional differential equations in admissible spaces", Vietnam Journal of Math-ematics 45, pp 585 608 [32] N T Huy, B X Quang(2018), "Competition models with diffusion, analytic semigroups, and inertial manifolds", Mathematical Methods in the Applied Sci-ences 41(17), pp 8182 8200 77 [33] Koksch N., Siegmund S (2002), "Pullback attracting inertial manifols for nonautonomous dynamical systems", Journal of Dynamics and Differential Equations 14, pp 889-941 [34] Kostianko A (2017), Inertial manifolds for semilinear parabolic equations which not satisfy the spectral gap condition, Ph.D Thesis, University of Surrey, Surrey [35] Kostianko A (2018), "Inertial manifolds for the 3D modifiedLeray- model with periodic boundary conditions", Journal of Dynamics and Differential Equations 30(1), pp 24 [36] Kostianko A., Zelik S (2015), "Inertial manifolds for the 3D Cahn-Hilliard equations with periodic boundary conditions", Communications on Pure & Applied Analysis 14(5), pp 2069 2094 [37] Kwak M (1992), "Finite dimensional description of convective reaction diffu-sion equations", Journal of Dynamics and Differential Equations 4, pp 515-543 [38] Li X., Sun C (2020), "Inertial manifolds for the 3D modifiedLeray- model", Journal of Differential Equations 268(4), pp 1532 1569 [39] Lunardi A (1995), Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems, Birkhauser, Basel [40] Mallet-Paret J., Sell G R.(1988), "Inertial manifolds for reaction diffusion equations in higher space dimensions", Journal of the American Mathematical Society 1, pp 805-866 [41] Massera J L., Schaffer J J.(1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York [42] L A Minh (2020), "Inertial manifolds for neutral functional differential equa-tions with infinite delay and applications", Annales Polonici Mathematici 125 (3), pp 255-271 [43] N V Minh, Wu J (2004), "Invariant manifolds of partial functional differential equations", Journal of Differential Equations 198(2), pp 381-421 78 [44] Monvel L B., Chueshov I.D., Rezounenko A.V (1998), "Inertial manifolds for retarded semilinear parabolic equations", Nonlinear Analysis 34(6), pp 907-925 [45] Nartea C (2007), "Computation of inertial manifolds in biological mod-els FitzHugh-Nagumo model", Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova Matematica 3, pp 102 110 [46] Pazy A (1983), Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations, Springer, New York [47] Potzsche C (2008), "Discrete inertial manifolds", Mathematische Nachrichten 281(6), pp 847 878 [48] Rezounenko, A V (2002), "Inertial manifolds for retarded second order in time evolution equations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applica-tions 51(6), pp 1045 1054 [49] Robinson C J (2001), Infinite-dimensional Dynamical Systems : An Intro-duction to Dissipative Parabolic PDEs and the Theory of Global Attractors, Cambridge University Press, Cambridge [50] Romanov A V (2016), "On the hyperbolicity properties of inertial manifolds of reaction-diffusion equations", Dynamics of Partial Differential Equations 13(3), pp 263 272 [51] Schmalfuss B (2005), "Inertial manifolds for random differential equations", in Probability and Partial differential equations in Modern applied mathematics, pp 213-236, Springer, New York [52] Sell G.R., You Y (2002), Dynamics of Evolutionary Equations, Springer, New York [53] Vukadinovic J (2008), "Inertial manifolds for a Smoluchowski equation on a circle", Nonlinearity 21(7), pp 1533 1545 [54] Vukadinovic J (2009), "Inertial manifolds for a Smoluchowski equation on the unit sphere", Communications in Mathematical Physics 285(3), pp 975 990 [55] Wang, B (2015), "Periodic and almost periodic random inertial manifolds for non-autonomous stochastic equations" in Continuous and Distributed Systems II, pp 189 208, Springer, Basel 79 [56] Yang P., Wang J., O’Regan D.; Feckan, M (2019), "Inertial manifold for semi-linear non-instantaneous impulsive parabolic equations in an admissible space", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 75, pp 174 191 [57] You, Y (2004), "Spectral barriers and inertial manifolds for timediscretized dissipative equations", Computers & Mathematics with Applications 48(9), pp 1351 1368 [58] Zhang J., Ren S., Mei G (2011), "Model reduction on inertial manifolds for N-S equations approached by multilevel finite element method", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16(1), pp 195 205 [59] Zelik S (2014), "Inertial manifolds and finite-dimensional reduction for dis-sipative PDEs", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 144A(6), pp 1245 1327 Ti‚ng Ph¡p [60] Foias C., Sell G R., Temam R (1985), "Vari†t†s inertielles des †quations dif-f†rentielles dissipatives", Comptes Rendus de l’Acad†mie des Sciences - Series I - Mathematics 301(5), pp 139-141 80 ... HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chun ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG