Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề về phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên

Mục đích nghiên cứu của luận án là Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên. Công thức biến thiên hằng số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên. Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên. Xây dựng lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên.

BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ ——————– * ——————— PHAN THỊ HƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ CAPUTO NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2020 Cơng trình hồn thành Học viện Kỹ thuật Quân Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Đoàn Thái Sơn TS Tạ Ngọc Ánh Phản biện 1: PGS TS Trần Đình Kế Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Tiến Dũng Phản biện 3: PGS TS Hồ Đăng Phúc Luận án bảo vệ Hội đồng đánh giá luận án cấp Học viện theo định số 4672/QĐ-HV, ngày 25 tháng 12 năm 2020 Giám đốc Học viện Kỹ thuật Quân sự, họp Học viện Kỹ thuật Quân vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án Thư viện Học viện Kỹ thuật Quân sự, Thư viện Quốc gia MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Phép tính vi phân, tích phân cơng cụ phổ biến để mơ tả q trình tiến hóa Bằng việc nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân, người ta biết trạng thái thời dự đoán dáng điệu khứ hay tương lai q trình Tuy nhiên, tượng hay gặp sống có tính chất phụ thuộc vào q khứ phụ thuộc nói chung khơng giống tất thời điểm Một lý thuyết xây dựng để giải tốn thực tế vừa nêu giải tích phân thứ Lý thuyết có ưu so với phép tính vi phân, tích phân cổ điển mơ q trình có trí nhớ Trong bốn thập kỷ gần đây, người ta phát ngày nhiều ứng dụng giải tích phân thứ ngành khoa học khác từ Vật lý, Hóa học, Sinh học đến Tài chính, Khoa học xã hội, Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác tùy thuộc vào cách người ta tổng quát hóa đạo hàm dn dxn f (x) cho trường hợp n không nguyên Tuy nhiên, hai khái niệm dùng phổ biến đạo hàm Riemann-Liouville đạo hàm Caputo Đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville phát triển Abel, Riemann Liouville nửa đầu kỷ 19 Tuy nhiên, áp dụng đạo hàm để mô tả tượng thực tế gặp hạn chế điều kiện ban đầu tốn giá trị ban đầu khơng có ý nghĩa vật lý Đạo hàm phân thứ Caputo M Caputo xây dựng năm 1969 So với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho tốn thực tế điều kiện ban đầu mơ hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lý Lý thuyết phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên hướng nghiên cứu tương đối sinh từ lý thuyết phương trình vi phân phân thứ lý thuyết xác suất Bằng cách kết hợp kết hai ngành sở trên, lý thuyết phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên nhận lợi hai ngành đưa mơ hình tốn học thích hợp cho tượng tự nhiên xã hội Tuy nhiên, tương phản số lớn công bố phương trình vi phân phân thứ tất định, có số báo liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên với đạo hàm phân thứ Caputo hầu hết báo dừng lại việc thiết lập kết tồn nghiệm nghiên cứu tính quy nghiệm (xem Sakthivel năm 2013, Y Wang năm 2016, Z Wang năm 2008) Ở phân biệt hai loại nghiệm, loại nghiệm nhẹ (mild solutions), tồn loại nghiệm đưa Sakthivel năm 2013 Tuy thế, điều kiện đưa báo chặt Với điều kiện yếu hơn, chứng minh tồn nghiệm nhẹ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Loại nghiệm thứ hai nghiệm cổ điển (classical solutions) theo hiểu biết tác giả, câu hỏi tồn nghiệm loại đề cập Y Wang năm 2016 Z Wang năm 2008 Trong Z Wang năm 2008, tác giả chưa chứng minh tồn nghiệm cổ điển với bậc phân thứ α ∈ ( 12 , 34 ) Y Wang năm 2016 việc chứng minh định lý tồn nghiệm toàn cục gặp vấn đề thác triển nghiệm từ khoảng nhỏ [0, Ta ] toàn khoảng [0, ∞) Luận án khắc phục hạn chế Ngồi ra, chúng tơi cịn đưa cơng thức biến thiên số số tính chất nghiệm cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Việc giải số phương trình vi phân phương trình vi phân ngẫu nhiên tốn có nhiều ý nghĩa ứng dụng Thực tế phương trình vi phân ngẫu nhiên giải nghiệm hiển tìm nghiệm hiển biểu thức phức tạp Vì vậy, nhiều thập kỷ qua, toán thu hút nhiều quan tâm nhà tốn học ngồi nước Đối với phương trình vi phân phân thứ tất định, phương pháp giải số xây dựng cách có hệ thống đầy đủ Tiếp nối hướng nghiên cứu dựa theo ý tưởng báo X Zhang năm 2008, đưa lược đồ số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên đánh giá tốc độ hội tụ lược đồ số Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận án nghiên cứu nội dung sau: Nội dung Sự tồn nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Nội dung Công thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Nội dung Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Nội dung Xây dựng lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu • Để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên, chúng tơi xây dựng chuẩn có trọng số phù hợp áp dụng Định lý điểm bất động Banach • Sự phụ thuộc liên tục nghiệm cổ điển vào điều kiện ban đầu chứng minh dựa ước lượng khoảng cách hai nghiệm phân biệt thời gian hữu hạn Để chứng minh phân tách tiệm cận hai nghiệm phân biệt dùng phương pháp chứng minh phản chứng • Để có cơng thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên, dùng Định lý biểu diễn Itô công thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ tất định • Lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên đánh giá tốc độ hội tụ dựa kết biết lược đồ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên kỹ thuật rời rạc hóa để tránh điểm kỳ dị nhân Kết luận án Luận án đạt kết sau đây: • Chứng minh tồn nghiệm cổ điển, nghiệm nhẹ phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) • Đưa cơng thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) • Chứng minh phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu nghiệm cổ điển phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) • Chứng minh khoảng cách hai nghiệm phân biệt phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên tiến đến không nhanh tốc độ đa thức với số mũ đủ lớn Từ đó, chúng tơi chứng minh số mũ Lyapunov bình phương trung bình nghiệm khơng tầm thường phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn ln khơng âm • Xây dựng lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 21 , 1) đưa tốc độ hội tụ cho lược đồ Đánh giá tốc độ hội tụ tính ổn định lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên tuyến tính chiều Cấu trúc luận án Luận án gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Chương 3: Lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau 1.1 Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên Mục trình bày số khái niệm chuyển động Brown, tích phân ngẫu nhiên Itô kết bổ trợ gồm Định lý biểu diễn Itô, định lý tồn nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên, lược đồ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên tốc độ hội tụ 1.2 Một số kiến thức giải tích phân thứ Mục dành để trình bày khái niệm tích phân phân thứ Riemann- Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, phương trình vi phân phân thứ Caputo, hàm Mittag-Leffler công thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ tất định Chương Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Trong chương này, nghiên cứu tồn nghiệm cổ điển, nghiệm nhẹ, công thức biến thiên số số tính chất nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Nội dung Chương viết dựa báo [CT1] [CT2] Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án 2.1 Sự tồn nghiệm cổ điển phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Trong mục này, chúng tơi xét phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) đoạn [0, T ] có dạng C α D0+ X (t) = b(t, X (t)) + σ (t, X (t)) dWt , dt (2.1) với T > bất kỳ, b, σ : [0, T ] × Rd → Rd đo (Wt )t∈[0,∞) chuyển động Brown chiều tiêu chuẩn không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) trang bị lọc F := (Ft )t∈[0,∞) thỏa mãn điều kiện thông thường Với t ∈ [0, ∞), đặt Xt := L2 (Ω, Ft , P) ký hiệu không gian tất hàm khả tích bình phương trung bình f = (f1 , , fd )T : Ω → Rd với d f ms E(|fi |2 ) = := i=1 E f 2, Rd trang bị chuẩn Euclide Một trình ngẫu nhiên đo X : [0, ∞) → L2 (Ω, F, P) gọi F -tương thích X (t) ∈ Xt với t ∈ [0, ∞) Định nghĩa 2.1 Với η ∈ X0 , trình ngẫu nhiên đo được, F tương thích X gọi nghiệm cổ điển (2.1) với điều kiện ban đầu X (0) = η X (0) = η với t ∈ (0, T ] X (t) = η + Γ(α) t t (t − τ )α−1 σ (τ, X (τ ))dWτ (t − τ )α−1 b(τ, X (τ ))dτ + 0 Sau phát biểu kết mục tồn nghiệm toàn cục phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Định lý 2.1 (Sự tồn nghiệm toàn cục phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên) Giả sử hệ số b, σ phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện sau: (H1) Tồn L > cho với x, y ∈ Rd , t ∈ [0, T ] ta có b(t, x) − b(t, y ) ≤ L x − y , σ (t, x) − σ (t, y ) ≤ L x − y (H2) σ (·, 0) b(·, 0) thỏa mãn T σ (·, 0) ∞ := esssup σ (τ, 0) < ∞, τ ∈[0,T ] b(τ, 0) dτ < ∞ Khi đó, phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu X (0) = η ∈ X0 có nghiệm tồn cục ϕ(·, η ) đoạn [0, T ] Để chứng minh định lý này, chúng tơi xây dựng chuẩn có trọng số phù hợp áp dụng Định lý điểm bất động Banach Cụ thể, chứng minh gồm bước sau: • Bước : Xây dựng khơng gian Banach (H ([0, T ]), · H ) • Bước : Đưa toán tử Tη xác định khơng gian • Bước : Chứng minh toán tử Tη ánh xạ co chuẩn có trọng số phù hợp, phương pháp dùng để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (xem Nhận xét 2.1 X Han P E Kloeden năm 2017) Ở đây, hàm trọng số hàm Mittag-Leffler E2α−1 (·) định nghĩa sau ∞ E2α−1 (t) := k =0 tk Γ((2α − 1)k + 1) với t ∈ R Ký hiệu không gian H ([0, T ]) tất trình ngẫu nhiên X : [0, T ] → L2 (Ω, F, P) đo được, FT -tương thích với FT := (Ft )t∈[0,T ] thỏa mãn X H2 := esssup X (t) ms < ∞ t∈[0,T ] Khi đó, ta có (H ([0, T ]), · H2) không gian Banach Với η ∈ X0 , chúng tơi định nghĩa tốn tử Tη : H ([0, T ]) → H ([0, T ]) Tη ξ (0) := η với t ∈ (0, T ] Tη ξ (t) := η + Γ(α) t b(τ, ξ (τ )) dτ + (t − τ )α−1 t σ (τ, ξ (τ )) dWτ (t − τ )α−1 Bổ đề toán tử xác định tốt Bổ đề 2.1 Với η ∈ X0 , toán tử Tη xác định tốt Kết sau bổ đề kỹ thuật dùng để ước lượng cho toán tử Tη để phục vụ cho chứng minh kết phần Bổ đề 2.2 Với α > γ Γ (2α − 1) t γ > ta có bất đẳng thức sau (t − τ )2α−2 E2α−1 γτ 2α−1 dτ ≤ E2α−1 γt2α−1 Chọn cố định số dương γ cho γ> 3L2 (T + 1)Γ(2α − 1) Γ(α)2 (2.2) 10 2.3 Sự tồn nghiệm nhẹ phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) đoạn [0, T ] có dạng sau C α D0+ X (t) = AX (t) + b(t, X (t)) + σ (t, X (t)) dWt , dt (2.5) T > bất kỳ, (Wt )t∈[0,∞) chuyển động Brown chiều tiêu chuẩn khơng gian xác suất có lọc đầy đủ (Ω, F, F := (Ft )t∈[0,∞) , P), A ∈ Rd×d b, σ : [0, T ] × Rd → Rd hàm đo thỏa mãn điều kiện (H1) (H2) Định lý 2.1 Bây nhắc lại khái niệm nghiệm nhẹ phương trình (2.5) Định nghĩa 2.2 (Nghiệm nhẹ phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên) (xem R Sakthivel năm 2013) Một trình ngẫu nhiên đo được, F -tương thích Y gọi nghiệm nhẹ phương trình (2.5) với điều kiện ban đầu Y (0) = η Y (0) = η đẳng thức sau với t ∈ (0, T ] Y (t) = Eα (tα A)η + + t (t t (t α−1 − τ) − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)b(τ, Y (τ )) dτ (2.6) α Eα,α ((t − τ ) A)σ (τ, Y (τ )) dWτ Tiếp theo, thiết lập kết tồn nghiệm nhẹ phương trình (2.5) Để đạt kết này, yêu cầu hệ số b, σ phương trình thỏa mãn điều kiện (H1), (H2) Định lý 2.1 Kỹ thuật để chứng minh kết xây dựng chuẩn có trọng số phù hợp (so sánh với Định lý 2.1) Định lý 2.3 (Sự tồn nghiệm nhẹ toàn cục) Giả thiết hệ số b, σ phương trình (2.5) thỏa mãn điều kiện (H1) (H2) Khi đó, với η ∈ X0 bất kỳ, tồn nghiệm nhẹ Y phương trình (2.5) thỏa mãn Y (0) = η toàn đoạn [0, T ], ký hiệu ψ (t, η ) Chú ý 2.2 Kết tồn nghiệm nhẹ lớp hệ phương trình rộng chứng minh R Sakthivel năm 2013 Tuy nhiên, giả thiết cho hệ số hệ mạnh (H1), (H2) 11 2.4 Cơng thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Trong mục này, xây dựng công thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) đoạn [0, T ] có dạng sau C α D0+ X (t) = AX (t) + b(t, X (t)) + σ (t, X (t)) dWt , dt (2.7) T > bất kỳ, (Wt )t∈[0,∞) chuyển động Brown chiều tiêu chuẩn khơng gian xác suất có lọc đầy đủ (Ω, F, F := (Ft )t∈[0,∞) , P), A ∈ Rd×d b, σ : [0, T ] × Rd → Rd hàm đo thỏa mãn điều kiện (H1) (H2) Định lý 2.1 Theo Định nghĩa 2.1, nghiệm cổ điển phương trình (2.7) với điều kiện ban đầu X (0) = η ∈ X0 trình ngẫu nhiên đo được, F -tương thích thỏa mãn X (0) = η đẳng thức sau với t ∈ (0, T ] X (t) = η + + Γ(α) Γ(α) t (t t (t − τ )α−1 (AX (τ ) + b(τ, X (τ ))) dτ (2.8) α−1 − τ) σ (τ, X (τ )) dWτ Theo Định lý 2.1, với η ∈ X0 , phương trình (2.7) tồn nghiệm, ký hiệu ϕ(·, η ) Định lý sau đưa cơng thức biến thiên số cho phương trình (2.7), biểu diễn đặc biệt nghiệm ϕ(·, η ) Định lý 2.4 (Công thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên) Cho η ∈ X0 ϕ(·, η ) nghiệm phương trình (2.7) Khi đó, đẳng thức t ϕ(t, η ) = Eα (tα A)η + (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)b(τ, ϕ(τ, η )) dτ t + (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)σ (τ, ϕ(τ, η )) dWτ (2.9) với t ∈ [0, T ] Chú ý 2.3 (i) Nếu khơng có nhiễu phương trình (2.7), tức σ (t, X (t)) ≡ 0, (2.9) trở thành cơng thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ tất định 12 (ii) Ta có E1 (M ) = E1,1 (M ) = eM với M ∈ Rd×d Cho α → 1, (2.9) trở thành dạng sau (một cách hình thức) t tA t (t−τ )A ϕ(t, η ) = e η + e e(t−τ )A σ (τ, ϕ(τ, η )) dWτ b(τ, ϕ(τ, η )) dτ + 0 Đây công thức biến thiên số cho nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dX (t) = (AX (t) + b(t, X (t))) dt + σ (t, X (t)) dWt Như ứng dụng Định lý 2.4, hệ sau đưa cơng thức nghiệm tường minh phương trình vi phân phân thứ ngẫu nhiên tuyến tính khơng có dạng C α D0+ X (t) = AX (t) + b(t) + σ (t) dWt , dt X (0) = η (2.10) Hệ 2.1 Giả sử b ∈ L2 ([0, T ], Rd ), σ ∈ L∞ ([0, T ], Rd ), T > Khi đó, nghiệm hiển phương trình (2.10) đoạn [0, T ] cho t X (t) = Eα (tα A)η + (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)b(τ ) dτ t (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)σ (τ ) dWτ + Nhờ kết Định lý 2.3 nên muốn chứng minh Định lý 2.4 cần chứng minh ϕ(t, η ) = ψ (t, η ) với η ∈ X0 , t ∈ [0, T ], (2.11) ψ (·, η ) nghiệm nhẹ phương trình (2.7) Để rõ ràng hơn, chúng tơi trình bày tóm tắt ý tưởng chứng minh định lý Trước tiên, áp dụng Định lý biểu diễn Itô cho hàm f ∈ XT ta tồn q trình tương thích Ξ ∈ M2 ([0, T ], Rd ) cho T f = Ef + Ξ(τ ) dWτ , M2 ([0, T ], Rd ) khơng gian q trình ngẫu nhiên (f (t))0≤t≤T đo được, Ft -tương thích nhận giá trị Rd thỏa mãn E T |f (t)|2 dt < 13 ∞ Do vậy, để chứng minh (2.11) điều kiện đủ chứng minh đẳng thức T ϕ(t, η ), C + T Ξ(τ ) dWτ = ψ (t, η ), C + Ξ(τ ) dWτ với C ∈ Rd Ξ ∈ M2 ([0, T ], Rd ) Để làm điều này, thiết lập ước lượng Mệnh đề 2.1 cho T ϕ(t, η ) − ψ (t, η ), C + Ξ(τ ) dWτ Trước khẳng định chứng minh ước lượng này, cần chuẩn bị kết ước lượng thành phần hạng tử trên, tức ta cần ước lượng T E(ϕ(t, η ) − ψ (t, η )) c + c ∈ R, ξ ∈ M2 ([0, T ], R) ξ (τ ) dWτ Tiếp theo định nghĩa hàm χξ,η,c , κξ,η,c , χξ,η,c , κξ,η,c : [0, T ] → Rd T ξ (τ ) dWτ , χξ,η,c (t) := Eϕ(t, η ) c + (2.12) T κξ,η,c (t) := Eb(t, ϕ(t, η )) c + ξ (τ ) dWτ , (2.13) T ξ (τ ) dWτ , χξ,η,c (t) := Eψ (t, η ) c + (2.14) T ξ (τ ) dWτ κξ,η,c (t) := Eb(t, ψ (t, η )) c + (2.15) Để chứng minh Định lý 2.4 ta cần kết bổ trợ sau Chú ý 2.4 Trong chứng minh tồn nghiệm cổ điển nghiệm nhẹ, ta có ϕ(·, η ), ψ (·, η ) ∈ H ([0, T ], Rd ) Do đó, χξ,η,c , κξ,η,c , χξ,η,c , κξ,η,c đo bị chặn [0, T ] Bổ đề 2.3 Với t ∈ [0, T ], khẳng định sau χξ,η,c (t) = c Eα (tα A)Eη 14 t (t − τ )α Eα,α ((t − τ )α A) κξ,η,c (t) + Eξ (τ )σ (τ, ϕ(τ, η )) dτ,(2.16) + χξ,η,c (τ ) = c Eα (tα A)Eη t (t − τ )α Eα,α ((t − τ )α A) κξ,η,c (τ ) + Eξ (τ )σ (τ, ψ (τ, η )) dτ.(2.17) + Mệnh đề 2.1 Cho MT := maxt∈[0,T ] Eα,α (tα A) Khi đó, với C ∈ Rd Ξ ∈ M2 ([0, T ], Rd ) ta có T ϕ(t, η ) − ψ (t, η ), C + Ξ(τ ) dWτ ≤ 2dMT2 L2 T 2α−1 C+ 2α − T 2.5 ϕ(τ, η ) − ψ (τ, η ) ms t T +2dMT2 L2 C + ms dτ (t − τ )2α−2 ϕ(τ, η ) − ψ (τ, η ) ξ (τ ) dWτ t ξ (τ ) dWτ ms ms Cận cho phân tách tiệm cận hai nghiệm phân biệt phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Trong mục này, dành thời gian để nghiên cứu khoảng cách tiệm cận hai nghiệm phân biệt phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) đoạn [0, T ] có dạng C α D0+ X (t) = b(t, X (t)) + σ (t, X (t)) dWt , dt (2.18) với T > bất kỳ, (Wt )t∈[0,∞) chuyển động Brown chiều tiêu chuẩn không gian xác suất có lọc đầy đủ (Ω, F, F := (Ft )t∈[0,∞) , P) b, σ : [0, T ] × Rd → Rd đo thỏa mãn điều kiện (H1) (H2) Định lý 2.1 Kết mục phân tách tiệm cận hai nghiệm phân biệt phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên phát biểu định lý sau Định lý 2.5 (Sự phân tách tiệm cận hai nghiệm phân biệt phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên) Cho η, ζ ∈ X0 dτ 15 cho η = ζ ϕ(·, ζ ), ϕ(·, η ) hai nghiệm cổ điển phương trình (2.18) Khi đó, với > ta có 2α lim sup t 1−α + ϕ (t, η ) − ϕ (t, ζ ) t→∞ ms = ∞ Để kết thúc phần này, đưa ứng dụng Định lý 2.5 liên quan đến số mũ Lyapunov bình phương trung bình nghiệm khơng tầm thường phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Cụ thể, xét phương trình sau C α D0+ X (t) = A(t)X (t) + B (t)X (t) dWt , dt (2.19) A, B : [0, T ] → Rd×d đo thỏa mãn esssup A(t) < ∞, t∈[0,T ] esssup B (t) < ∞ t∈[0,T ] Theo Định lý 2.1, với η ∈ X0 \ {0}, phương trình (2.18) tồn nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu X (0) = η , ký hiệu Φ(·, η ) Số mũ Lyapunov bình phương trung bình nghiệm khơng tầm thường Φ(·, η ) định nghĩa λms (Φ(·, η )) := lim sup log Φ(t, η ) t→∞ t ms Trong hệ sau đây, chúng tơi số mũ Lyapunov bình phương trung bình nghiệm khơng tầm thường khơng âm Hệ 2.2 (Tính khơng âm số mũ Lyapunov bình phương trung bình) Số mũ Lyapunov bình phương trung bình nghiệm khơng tầm thường phương trình (2.19) ln khơng âm, tức λms (Φ(·, η )) ≥ với η ∈ X0 \ {0} 16 Chương Lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Trong thực tế số phương trình vi phân ngẫu nhiên tìm cơng thức tường minh nghiệm xác, việc tìm nghiệm xấp xỉ vấn đề đáng quan tâm Mục đích chương xây dựng lược đồ số kiểu EulerMaruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên đánh giá tốc độ hội tụ tính ổn định lược đồ vừa đưa Nội dung Chương viết dựa báo [CT3] Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án 3.1 Lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Cho T > xét phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) đoạn [0, T ] có dạng C α D0+ X (t) = b(t, X (t)) + σ (t, X (t)) dWt , dt (3.1) (Wt )t∈[0,∞) chuyển động Brown chiều tiêu chuẩn không gian xác suất có lọc đầy đủ (Ω, F, F := (Ft )t∈[0,∞) , P) b, σ : [0, T ] × Rd → Rd đo thỏa mãn điều kiện sau đây: (H3) Tính liên tục Lipschitz toàn cục Rd b σ : Tồn L > cho với x, y ∈ Rd , t ∈ [0, T ], b(t, x) − b(t, y ) ≤ L x − y , σ (t, x) − σ (t, y ) ≤ L x − y 17 (H4) Tính liên tục Hăolder on [0, T ] ca b v : Tồn L1 , L2 > β, γ ∈ [0, 1] cho với x ∈ Rd , t, s ∈ [0, T ] ta có b(t, x) − b(s, x) ≤ L1 |t − s|β , σ (t, x) − σ (s, x) ≤ L2 |t − s|γ Chú ý 3.1 Dễ dàng chứng minh từ điều kiện (H3) (H4) ta có tính chất sau (H5) Tăng trưởng khơng q tuyến tính: Tồn K > cho với t ∈ [0, T ], x ∈ Rd ta có b(t, x) ≤ K (1 + x ), σ (t, x) ≤ K (1 + x ) Để tránh điểm kỳ dị nhân, giới thiệu lược đồ rời rạc hóa gọi lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Với n ∈ N∗ , nghiệm xấp xỉ X (n) (·, η ) xác định X (n) (0, η ) := η với t ∈ (0, T ] ta đặt X (n ) (t, η ) := η + Γ(α) + Γ(α) τn (s) = kT n (n ) =: τk t b(τn (s), X (n) (τn (s), η )) ds (t − s)1−α t σ (τn (s), X (n) (τn (s), η )) dWs , (ρn (t) − τn (s))1−α 0 ρn (s) = (k +1)T n (3.2) (n ) (k +1)T =: ρk với s ∈ ( kT n , n ] Phương trình giải bước khoảng T k T (k +1) n , n , với k = 0, 1, , n − 3.2 Tốc độ hội tụ lược đồ số kiểu Euler-Maruyama Trong mục này, chúng tơi trình bày kết chương đánh giá khoảng cách bình phương trung bình nghiệm số X (n) (t, η ) nghiệm xác X (t, η ) phương trình (3.1) Định lý 3.1 (Tốc độ hội tụ lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên) Giả thiết hệ số b, σ phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện (H3) 18 (H4) Khi đó, tồn số C phụ thuộc vào T, L, L1 , L2 , α, β, γ cho X (n) (t, η ) − X (t, η ) sup 0≤t≤T κ := β, γ, α − 2 ms ≤ C , n2κ (3.3) Chú ý 3.2 (i) Khi hệ số b, σ khơng phụ thuộc vào thời gian tốc độ hội tụ lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình (3.1) α − 12 (ii) Khi α = 1, tức phương trình (3.1) trở thành phương trình vi phân ngẫu nhiên tốc độ hội tụ lược đồ Định lý 3.1 trùng với tốc độ hội tụ mà biết cho lược đồ Euler-Maruyama cổ điển (xem P E Kloeden E Platen năm 1992) (iii) Rõ ràng tồn mối quan hệ kết chương với kết đưa lược đồ Euler cho phương trình Volterra ngẫu nhiên với nhân kỳ dị (xem X Zhang năm 2008) Vì nhân hệ mà nghiên cứu hiển nên tốc độ hội tụ lược đồ Euler nhận hiển Lưu ý tốc độ hội tụ X Zhang năm 2008 không hiển Để chứng minh Định lý 3.1 cần hai bổ đề bổ trợ sau Bổ đề 3.1 Nếu hệ số b, σ phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện (H5) với n ∈ N∗ ta có sup X (n) (t, η ) 0≤t≤T ms ≤ C1 , C1 := (1 + η ms )E2α−1 (6T + 6)K Γ(2α − 1) 2α−1 T Γ2 (α) (3.4) Bổ đề 3.2 Giả sử hệ số b, σ phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng khơng q tuyến tính (H5) Khi đó, với n ∈ N∗ t, t ∈ [0, T ] nghiệm xấp xỉ Euler-Maruyama có tính chất X (n) (t, η ) − X (n) ( t, η ) ms ≤ C2 n2α−1 + C3 |t − t |2α−1 , C2 := 8K (1 + C1 ) T 2α−1 , (2α − 1)Γ2 (α) C3 := 8(T + 2)K (1 + C1 ) , (2α − 1)Γ2 (α) (3.5) 19 với C1 xác định Bổ đề 3.1 Kết chương mở rộng cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) đoạn [0, T ] có dạng N C α D0+ X (t) = b(t, X (t)) + σi (t, X (t)) i=1 dWti , dt (3.6) b σi , i = 1, N, đo thỏa mãn giả thiết (H3) (H4) với số β, γ Cho điều kiện giá trị ban đầu X (0) = η ∈ X0 , dạng tích phân tương ứng phương trình (3.6) t X (t) = η + Γ(α) b(s, X (s)) ds + (t − s)1−α Γ(α) N t i=1 σi (s, X (s)) dWsi −α (t − s) Bây giờ, áp dụng lược đồ số kiểu Euler-Maruyama (3.2) Mục 3.1 cho phương trình sau: Với n ∈ N∗ , nghiệm xấp xỉ X (n) (·, η ) xác định X (n) (0, η ) := η với t ∈ (0, T ] ta đặt X (n) (t, η ) := η + Γ(α) + Γ(α) τn (s) = kT n (n ) =: τk t b(τn (s), X (n) (τn (s), η )) ds (t − s)1−α N i=1 ρn (s) = t σi (τn (s), X (n) (τn (s), η )) dWsi , −α (ρn (t) − τn (s)) (k +1)T n (n) (k +1)T =: ρk với s ∈ ( kT n , n ] Bằng kỹ thuật chứng minh tương tự Định lý 3.1, ta kết sau Định lý 3.2 Giả sử b σi , i = 1, N, hàm đo thỏa mãn giả thiết (H3) (H4) Khi đó, tồn số C không phụ thuộc vào n cho sup X (n) (t, η ) − X (t, η ) 0≤t≤T κ := β, γ, α − ms ≤ C , n2κ (3.7) 20 3.3 3.3.1 Lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên chiều tuyến tính Lược đồ Euler-Maruyama mũ Xét phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên chiều tuyến tính có dạng dWt (3.8) dt Gần đây, H T Tuan năm 2020 chứng minh phương trình (3.8) ổn định tiệm cận C α D0+ X (t) = λX (t) + µX (t) ∞ λ < µ s2α−2 Eα,α (λsα ) 2 ds < (3.9) Cơng cụ để chứng minh kết sử dụng công thức biến thiên số đưa Định lý 2.4, tức dạng tích phân phương trình (3.8) cho t α (t − s)α−1 Eα,α (λ(t − s)α )X (s) dWs X (t) = Eα (λt )X (0) + µ (3.10) Dựa lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên, xây dựng lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình (3.8) Với bước chia h > cố định, Lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình (3.8) xác định Xh (0) := X (0) ∈ X0 với t ∈ (0, T ] ta đặt t α (t−τh (s))α−1 Eα,α (λ(t−τh (s))α )Xh (τh (s)) dWs , Xh (t) := Eα (λt )X (0)+µ (3.11) τh : (0, ∞) → [0, ∞) định nghĩa τh (s) = kh 3.3.2 với s ∈ (kh, (k + 1)h], k = 0, 1, 2, (3.12) Tốc độ hội tụ ổn định phương pháp EulerMaruyama mũ Trong mục quan tâm đến tốc độ hội tụ ổn định phương pháp số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên chiều tuyến tính (3.8) 21 Định lý 3.3 (Tốc độ hội tụ ổn định lược đồ EulerMaruyama mũ) (i) Với T > bất kỳ, tồn số C phụ thuộc vào T, λ µ cho sup Xh (t) − X (t) ms ≤ Chα− t∈[0,T ] (ii) Giả sử điều kiện (3.9) Với bước chia h > bất kỳ, tồn K > cho nghiệm Xh phương trình (3.11) thỏa mãn Xh (t) ms ≤ K X (0) với t ≥ ms với δ ∈ (0, α) bất kỳ, ta có limt→∞ tδ Xh (t) ms = Từ suy nghiệm số ổn định tiệm cận Để chứng minh Định lý 3.3, cần bốn bổ đề chuẩn bị Bổ đề 3.3 Đặt M1 := max0≤t≤T (Eα (λtα ))2 , M2 := max0≤t≤T (Eα,α (λtα ))2 C4 := M1 E2α−1 µ2 M2 Γ(2α − 1)T 2α−1 Khi đó, với h > ta có sup0≤t≤T Xh (t) ms X (0) ms (3.13) ≤ C4 Bổ đề 3.4 Đặt M3 := max ∂x Eα (λx) , M4 := x∈[0,T α ] max ∂x Eα,α (λx) x∈[0,T α ] 8µ2 M2 C4 + 4µ2 M4 C4 T 2α−1 C5 := 4M3 T X (0) + , (3.14) 2α − C4 cho (3.13) Khi đó, với h > t, t ∈ [0, T ] ta có ms Xh (t) − Xh ( t ) ms ≤ C5 |t − t |2α−1 Bổ đề 3.5 Giả sử λ > Khi đó, tồn M (λ, α) phụ thuộc vào λ α cho Eα (λtα ) ≤ M (λ, α) , max{1, tα } Eα,α (λtα ) ≤ M (λ, α) max{1, t2α } với t ≥ (3.15) Bổ đề 3.6 Giả sử µ α ∞ (Eα,α (λs )) − α s t lim sup µ t→∞ ds < 1, δ ∈ (0, α) Khi đó, ta có Eα,α (λ(t − s)α ) max{1, t2δ } ds < (t − s)2−2α max{1, s2δ } 22 Kết luận kiến nghị Kết đạt Trong luận án này, tập trung nghiên cứu số vấn đề phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Luận án đạt số kết sau: • Chứng minh tồn nghiệm cổ điển, nghiệm nhẹ phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) • Chứng minh phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu nghiệm cổ điển phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) • Chứng minh cơng thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) • Chứng minh khoảng cách tiệm cận hai nghiệm phân biệt 2α phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên lớn t− 1−α −ε t → ∞ với > • Xây dựng lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên đánh giá tốc độ hội tụ lược đồ Đánh giá tốc độ hội tụ tính ổn định lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên chiều tuyến tính 23 Một số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên cần nghiên cứu thêm thời gian tới, dự định nghiên cứu vấn đề sau: • Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 21 , 1) • Tính quy nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 12 , 1) • Nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân phân thứ ngẫu nhiên với đạo hàm "substantial" phân thứ Caputo bậc α ∈ ( 12 , 1) có dạng X (t) = η + Γ(α) + Γ(α) t e−β (t−s) b(s, X (s)) ds (t − s)1−α t e−β (t−s) σ (s, X (s)) dWs (t − s)1−α 0 • Nghiên cứu mở rộng kết Lp với p > cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 21 , 1) • Xây dựng lược đồ số khác cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ ( 21 , 1) nghiên cứu tốc độ hội tụ tính ổn định lược đồ số 24 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án [CT1] D T Son, P T Huong, Kloeden P E., H T Tuan (2018), Asymptotic separation between solutions of Caputo fractional stochastic differential equations, Stoch Anal Appl., 36(4), pp 654-664, (SCIE) [CT2] P T Anh, D T Son, P T Huong (2019), A variation of constant formula for Caputo fractional stochastic differential equations, Statist Probab Lett., 145, pp 351–358, (SCIE) [CT3] D T Son, P T Huong, Kloeden P E., V A My (2020), EulerMaruyama scheme for Caputo fractional stochastic differential equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 380, https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.112989, (SCIE) Các kết luận án báo cáo Xêmina Bộ mơn Tốn, Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân Xêmina Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân Xêmina Phòng Xác suất-Thống kê, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Hội nghị Khoa học nhà nghiên cứu trẻ lần thứ XIV (4/1/2018), Học viện Kỹ thuật Quân Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018), Nha Trang Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 17 (18/4/2019), Hà Nội Hội thảo Tối ưu Tính toán Khoa học lần thứ 18 (20/8/2020), Hà Nội ... chúng tơi cịn đưa cơng thức biến thiên số số tính chất nghiệm cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Vi? ??c giải số phương trình vi phân phương trình vi phân ngẫu nhiên tốn có nhiều ý... dung Cơng thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Nội dung Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên Nội dung Xây dựng lược đồ số kiểu... hàm phân thứ Caputo, phương trình vi phân phân thứ Caputo, hàm Mittag-Leffler công thức biến thiên số cho phương trình vi phân phân thứ tất định 6 Chương Một số tính chất nghiệm phương trình vi