Thác triển dấu hiệu hội tụ trong nhóm tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh Nội dung luận văn có tham khảo, trình bày lại phát triển khái niệm, định lý báo [10] Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp.167180 Những trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Học viên thực luận văn Dư Ngọc Minh Anh LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành luận văn em nhận nhiều giúp đỡ chun mơn từ Giảng viên khoa Tốn, giáo viên đồng nghiệp bạn lớp Hình học tơpơ khóa 26 anh chị khóa Đầu tiên em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh Người hướng dẫn khoa học, trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Thầy nhiệt tình hướng dẫn em nghiên cứu chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có luận văn tốt Em xin gửi lời cám ơn đến Thầy, Cơ cơng tác phịng Đào tạo Sau Đại học quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn thủ tục để em hồn thành luận văn yêu cầu tiến độ Em xin chân thành cảm ơn Giảng viên cơng tác khoa Tốn giảng dạy em suốt trình học tập lớp cao học Em xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Thanh Đa giáo viên đồng nghiệp quan tâm động viên giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thành viên gia đình động viên, tạo điều kiện để em yên tâm nghiên cứu Em xin cảm ơn chị Phan Ngọc Yến chị Nguyễn Phương Anh (email phanngocyen.dhsp@gmail.com nguyenphuonganhintel@gmail.com) giúp đỡ em trình tìm tài liệu chia sẻ kinh nghiệm trình làm luận văn Cảm ơn bạn Hồng Dũng, Hương anh Xuân Trung lớp cao học Hình học tơpơ khóa 26 học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hoàn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn Dư Ngọc Minh Anh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ 1.2 Các tiên đề tách 1.3 Dãy hội tụ tôpô 10 1.4 ∑ −không gian 11 1.5 Compact 12 1.6 Nhóm tơpơ 15 1.7 Không gian khả mêtric 16 Chương TÍNH CHẤT BA KHƠNG GIAN ĐỐI VỚI CÁC TẬP COMPACT DÃY 18 2.1 Không gian dãy Không gian Fréchet 18 2.2 Tính chất thớ nghịch đảo Tính chất ba không gian tập compact dãy 25 Chương NHÓM THƯƠNG ĐỐI VỚI NHÓM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI VÀ NHÓM CON COMPACT ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC 35 3.1 Lưới không gian tôpô 0  không gian 35 3.2 Sự thác triển tính chất nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai 37 3.3 Nhóm thương nhóm khả mêtric compact địa phương 43 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Giới thiệu đề tài Trong tôpô đại cương, không gian thương tính chất đối tượng thu hút nhiều nhà tốn học quan tâm, tìm hiểu Bài tốn sau chủ đề nghiên cứu chuyên sâu tỉ mỉ nhà toán học thời gian dài Cho H nhóm đóng nhóm tơpơ G , G / H không gian thương Giả thiết H G / H thoả tính chất khơng gian tơpơ Khi kết luận G có tính chất đó? Nhóm G gọi thác triển nhóm H khơng gian thương G / H Năm 1949, Jean-Pierre Serre - nhà toán học Pháp - chứng minh H tập đóng nhóm tơpơ G , hai khơng gian H G / H compact địa phương, nhóm tơpơ G compact địa phương Kết dựa thác triển tính chất từ G / H lên G , từ mở hướng nghiên cứu cho câu hỏi nêu Chúng ta có khái niệm tính chất ba khơng gian: Cho H nhóm đóng nhóm tơpơ G G / H không gian thương tương ứng, giả thiết không gian H G / H thoả tính chất P (tơpơ, đại số, hai), G thoả tính chất P , P gọi tính chất ba khơng gian J P Serre khẳng định tính compact địa phương tính chất ba khơng gian Thực tế có nhiều cơng trình chứng minh tính compact, tính đầy đủ, tính liên thơng, tính giả compact tính mêtric tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ Vào năm gần đây, kế thừa phát A.V Arhangel’skiˇı, M Bruguera, M G Tkachenko V V Uspenskij đưa nhiều kết dựa mở rộng nhóm tơpơ nhóm đóng chuẩn tắc, nhóm compact địa phương hay nhóm khả mêtric compact địa phương Điều cho thấy nghiên cứu tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ nhiều nhà toán học nghiên cứu, phát triển Tuy nhiên, đề tài nhiều vấn đề mở liên quan đến ứng dụng tính chất tơpơ đại số q trình tạo nhóm thương Mặt khác, hội tụ dãy (tập hợp) đề tài quan tâm tơpơ Vào năm 2008, A V Arhangel’skii trình bày [3] phát ban đầu thác triển tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đây vấn đề mở thu hút nhiều nghiên cứu nhà toán học Trong luận văn nghiên cứu nội dung liên quan đến số tính chất ba khơng gian dấu hiệu hội tụ tập compact dãy Các tính chất liên quan đến lưới nhóm tơpơ có thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm mêtric, compact địa phương phát biểu chứng minh Từ giải số vấn đề nghiên cứu thác triển số tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Phương pháp nghiên cứu Trình bày lý thuyết tính chất ba khơng gian, lý thuyết khơng gian thương, đưa kết qua lập luận chứng minh chi tiết Tổng hợp, bổ sung hoàn thiện từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần nghiên cứu Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày sau: Mở đầu gồm có giới thiệu đề tài, nội dung luận văn, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức tổng quan Trình bày kiến thức chuẩn bị cho luận văn gồm khái niệm, Định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ Chương 2: Trình bày tính chất ba khơng gian tập compact dãy Chương 3: Trình bày thác triển tính chất liên quan đến lưới khơng gian thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai tính chất khơng gian thương nhóm khả mêtric, compact địa phương Kết luận: Hệ thống kết đạt chương chương Tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng  họ tập X cho: i , X  ii U , V   U  V  iii Ui   , i  I  iI Ui   Khi ta gọi  tơpơ X  X ;   không gian tôpô 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ;   điểm x  X , U  X gọi lân cận x tồn V   cho x  V V  U 1.1.3 Định nghĩa Tập A  X tập mở với x  A có lân cận U x x chứa A Tập B  X gọi tập đóng X \ B tập mở 1.1.4 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   A  X Trên A ta xét tôpô  A   A  U :U mở X họ tập mở A Dễ thấy  A tôpô cảm sinh từ tơpơ  Khi  X ,  A  gọi không gian tôpô không gian tôpô  X ,     1.1.5 Định nghĩa Cho họ không gian tôpô đôi rời Xi iI Đặt: X iI Xi   U  X :U  Xi mở Xi , i  I  Khi  tơpơ X  X ,   gọi tôpô tổng khơng   gian tơpơ Xi iI Kí hiệu: iI Xi  1.1.6 Định nghĩa Cho họ không gian tôpô Xi , i X iI i   họ phép chiếu pi phép chiếu p  i iI iI  iI Xét tích Descartes từ X lên Xi Khi tơpơ cảm sinh từ gọi tơpơ tích X , kí hiệu  iI i Khơng gian     Xi ,  i  gọi khơng gian tơpơ tích iI  iI  1.1.7 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   R quan hệ tương đương X Ta đặt: q: X  X/ R [x] x với X / R tập lớp tương đương R   Họ  / R  U  X / R : q 1 (U )   tôpô X / R gọi tôpô thương 1.1.8 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   , họ    gọi sở không gian  X ,   tập khác rỗng  biểu diễn qua hợp họ  Như vậy, họ tập (trên X )    gọi sở không gian  X ,   với x  X lân cận V x tồn tập mở U  cho x U  V Một khơng gian tơpơ  X ,   có nhiều sở khác Một họ   x  lân cận x gọi sở lân cận x với lân cận V x có U   x  cho x U  V 37 3.2 Sự thác triển tính chất nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai 3.2.1 Bổ đề Cho nhóm tơpơ G H nhóm đóng khả ly G Nếu E nhóm đóng khả ly khơng gian thương G / H 1  Y  tập khả ly G 3.2.2 Định lý Cho H nhóm đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G Khi đó, không gian thương G / H 0  không gian địa phương (khơng gian cosmic địa phương) G tổng tôpô 0  không gian (không gian cosmic con) Chứng minh Chúng ta cần xem xét trường hợp 0  không gian, trường hợp không gian cosmic tương tự Giả sử không gian thương G / H 0  không gian địa phương, tồn lân cận mở Y H G / H cho Y có cs  lưới đếm Đặt X  1 Y  X lân cận mở phần tử đơn vị e G Theo bổ đề 3.2.1, X khả ly Cho B  bm : m   tập đếm trù mật X Nếu không gian H nhóm tơpơ thỏa tiên đề đếm thứ phần tử đơn vị e G , tồn họ đếm Un : n   lân cận mở đối xứng e G cho Un31  Un  X với n  U n  H : n họ  sở địa phương e H Trong 0  không gian Y , chọn cs  lưới đếm Pk : k  Khẳng định 1: X 0  không gian  38  Đặt F  1 ( k )  bmU n : k , m, n    X Cho dãy xn n  F họ tập đếm hội tụ x X U lân cận x X , U lân cận x G Lấy lân cận mở V e G cho xV  U Nếu Un  H : n  e H , tồn n   sở địa phương cho Un  H  V  H Cho B trù mật X xUn1  X tập khác rỗng mở X , bm  xUn1 với m  Cho  : G  G / H ánh xạ mở [3, định lí 1.5.1],   xUn1  xV  lân   cận mở   x  không gian Y dãy   xi     i hội tụ   x  Y ,    x     xi  : i  i0  Pk    xU n1  xV  với i0 , k  , có 1  Pk   bmUn1  U Thật vậy, lấy z  1  Pk   bmUn1 ,   z   Pk    xUn1  xV  , z   xUn1  xV  H  x Un1  V  H Bởi z  bmUn1 bm  xUn1 nên ta có z  xUn21 Khi đó: x 1z  U n1  V  H   U n21 Tồn a Un1  V , h  H u Un1 cho x 1z  ah  u Nên h  a 1u2  Un31  U n , ta có x 1z  Un1  V Un1  H  Suy z  x Un1  V Un1  H   xV  U Hơn nữa, từ bm  xUn1 nên x  bmUn1 , tồn i1  i0 cho xi  bmUn1 i  i1 , x  x i : i  i1  1  Pk   bmUn1 Vì vậy, F cs  lưới đếm X , hồn tất chứng minh khẳng định Do tính nhóm tơpơ G khẳng định 1, ta có G 39 0  khơng gian địa phương nên G không gian paracompact địa phương, theo bổ đề 3.1.7 G không gian paracompact Cho A phủ mở 0  không gian G Do tính chất trở thành 0  khơng gian có tính di truyền, giả sử A tập hữu hạn địa phương G Theo tính chất paracompact G , họ đếm tập mở không gian khả ly đếm nên họ A đếm hình B Từ bổ đề 3.1.9 ta có A   B    B    với    :  A , với họ B đếm    Đặt X  B với   A Thì ta có G  A X Khẳng định 2: X 0  không gian với   A Đặt B  B,n : n  , với B,n 0  không gian mở G Đặt P  nN P ,n , với P ,n cs  lưới đếm 0  không gian B ,n , với n  Dễ thấy P cs  lưới đếm X Do đó, X 0  khơng gian Từ khẳng định ta có G tổng tôpô 0  không gian 3.2.3 Hệ [5] Cho H nhóm đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G Khi đó, khơng gian thương G / H 0  không gian (không gian cosmic) G 0  khơng gian (không gian cosmic) 3.2.4 Định lý Cho H nhóm đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G Khi đó, khơng gian thương G / H có cs  lưới ( 40 wcs *  lưới, k  lưới) hình đếm được, G có cs  lưới ( wcs *  lưới, k  lưới) hình đến Chứng minh Do không gian H nhóm tơpơ G thỏa tiên đề đếm thứ phần tử trung hòa e G , tồn họ đếm Un : n   lân cận mở đối xứng e G cho Un31  Un với n  U n họ  sở địa phương e H  H : n Giả sử G / H có cs  lưới ( wcs *  lưới) hình đếm Cho P   :    cs  lưới ( wcs *  lưới) hình đếm   không gian G / H Với    , họ     :   wcs *  lưới đếm   ,   không gian cosmic   khả ly Do bổ đề 3.2.1, tập 1    khả ly Đặt B  b,m : m   tập trù mật đếm 1    Đặt  F  1      b ,mU n :    m, n   Khi F họ hình đếm G Ta chứng minh F cs  lưới ( wcs *  lưới) G   Cho xi i dãy hội tụ điểm x  G U lân cận x Lấy lân cận mở V phần tử đơn vị e G cho xV  U Trường hợp 1: P cs  lưới Do Un  H : n  n  sở địa phương e H nên tồn cho Un  H  V  H Do  : G  G / H ánh xạ mở nên ( x)  ( x ) : i  i   P i     xUn1  xV  với i0  với    41 Do x 1  P  nên xUn1  1  P  tập khác rỗng mở không gian 1  P  Và B trù mật 1  P  , nên suy b ,m  xU n1 với m  Ta chứng minh: 1  P   b,mUn1  U Thật vậy, lấy z 1  P   b,mUn1 ,   z   P    xUn1  xV  , z  x Un1  V  H Vì ta có z  b ,mU n1 b ,m  xU n1 nên ta có z  xUn21 Theo khẳng định định lý 3.2.2 ta suy z  x Un1  V Un  H   xV  U Hơn nữa, từ b ,m  xU n1 nên x  b ,mUn1 , tồn i1  i0 cho xi  b ,mUn1 với i  i1 ,  x   xi : i  i1  1  P   b,mUn1 Như vậy, G có cs  lưới hình đếm Trường hợp 2: P wcs *  lưới Vì Un  H : n   sở địa phương e H , tồn n  cho Un1  H  V  H    Do P wcs *  lưới G / H , tồn dãy  xi j    dãy   xi  cho ( xi ) : j  j i   P    xU  n 1 Chúng ta giả sử xi j  xUn2 với j  j  xV  với      dãy xi i hội tụ x Do xi  1  P  nên xi Un2  1  P  tập khác rỗng mở không gian j 1  P  Và B trù mật 1  P  , suy b ,m  xi j U n2  xU n2 với m Trong trường hợp 1, có bao hàm 1  P   b,mUn1  U 42 Từ đó, G có wcs *  lưới hình đếm Giả sử G / H có k  lưới hình đếm Ta có G có wcs *  lưới hình đếm trường hợp Từ bổ đề 3.1.10 ta có tập compact G / H thỏa tiên đề đếm thứ Do tính chất “mỗi tập compact thỏa tiên đề đếm thứ nhất” tình chất ba khơng gian, nên tập compact G thỏa tiên đề đếm thứ nhất, G có k  lưới hình đếm theo bổ đề 3.1.11 Câu hỏi đặt ra: Cho H nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ Nếu khơng gian thương G / H , có cs  lưới đếm (compact đếm được) G có cs  lưới đếm (compact đếm được) hay không? Chúng ta đến định lý sau: 3.2.5 Định lý Cho H nhóm đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai bất biến nhóm tơpơ G Nếu khơng gian thương G / H không gian dãy với cs  lưới ( k  lưới, wcs *  lưới) đếm điểm G có cs  lưới ( k  lưới, wcs *  lưới) đếm điểm Chứng minh Do không gian G / H có tính dãy nên có k  lưới đếm theo bổ đề 3.1.11 Từ bổ đề 3.1.12 ta có nhóm thương G / H khơng gian mêtric tổng tôpô không gian cosmic Nếu G / H mêtric nhóm G mêtric [3, bổ đề 1.5.21] Chúng ta giả sử G / H tổng tôpô không gian cosmic G / H có cs  lưới ( k  lưới, wcs *  lưới) đếm P  P :   cho P tập cosmic với    Do 1  P  khả ly theo bổ đề 3.2.1, ta chứng minh khơng gian G có cs  lưới ( k  lưới, wcs *  lưới) đếm cách tương tự chứng minh định lý 3.2.4 Định lý 3.2.5 trả lời phần câu hỏi nêu 43 3.3 Nhóm thương nhóm khả mêtric compact địa phương Trong phần tiếp tục nghiên cứu thác triển nhóm tơpơ với tác động nhóm compact mêtric địa phương Arhangel’skii phát số định lý mở rộng nhóm tơpơ ơng nghiên cứu nhóm thương mối liên quan với nhóm compact địa phương không gian compact mêtric địa phương Chúng ta có kết sau: 3.3.1 Định nghĩa Một khơng gian tôpô X gọi không gian Cech  đầy đủ có chứa dãy đầy đủ phủ mở 3.3.2 Tính chất Cho G nhóm tơpơ H nhóm G: a) Nếu H compact địa phương không gian thương G / H không gian Cech  đầy đủ    không gian,   không gian mạnh, p  không gian, k  không gian, không gian paracompact ) nhóm G compact địa phương b) Nếu H compact mêtric địa phương không gian thương G / H không gian Fréchet (không gian Fréchet mạnh, có tính chất đếm ngặt) G compact mêtric địa phương Ta có bổ đề Arhangel’skii chứng minh: 3.3.3 Bổ đề [3] Cho H nhóm compact địa phương nhóm tơpơ G  : G  G / H phép chiếu G lên không gian thương G / H Khi đó,   tồn lân cận mở U phần tử đơn vị e cho  U đóng   G / H ánh xạ hạn chế  : U   U ánh xạ hoàn chỉnh,  U ánh xạ đầy đủ mở địa phương 3.3.4 Định lý Cho H nhóm khả mêtric compact địa phương nhóm tơpơ G Khi đó, khơng gian thương G / H có tính dãy G có tính dãy 44 Chứng minh Theo bổ đề 3.3.3, giả sử lân cận mở U phần tử đơn vị e G     cho  : U   U ánh xạ đầy đủ  U đóng G / H U   Khẳng định 1: Giả sử xn   n    hội tụ  U Nếu y điểm tụ dãy   xn    xn n  dãy U cho   xn  dãy n n tồn dãy hội tụ x với   x   y   Do  U ánh xạ hoàn chỉnh nên dãy xn n có điểm tụ U Đặt: F  1  ( x )  U   Ta có 1  ( x ) mêtric G quy nên tồn dãy Uk k tập mở G cho Uk 1  Uk với k  N  x  F      kN Uk Lấy dãy xn xn n cho xn Uk với k  N Cho p điểm hội tụ k k   dãy dãy xn Khi   p     x  p  k kN Uk Suy p  x   Điều chứng tỏ x điểm tụ dãy x n , k xn  x k Lấy lân cận mở V e G cho V  U   Khẳng định 2: Nếu C đóng theo dãy V  C  đóng  V   Cho yn n   dãy  C  cho yn  y  V Chúng ta chứng minh y    C  45 Lấy xn  C với   xn   yn với n  N Khi dãy dãy  x  có điểm tụ theo khẳng định nên tồn điểm x    y  dãy 1 n n   xn k k   dãy xn n cho xn  x Do C tập đóng theo dãy, nên k x  C y    C  Điều chứng tỏ  C  tập đóng theo dãy   ánh xạ đóng  U  đóng G / H nên  V  đóng G / H Vì G / H có tính dãy nên  V  có tính dãy,  C  đóng  V   V  Do  : U   U U Khẳng định 3: V không gian dãy G Giả sử tồn tập A đóng theo dãy khơng đóng   V Lấy điểm x  clV  A  \ A Rõ ràng, clV A  A     Lấy f   : V   V Tập B  A  f 1 f  x  tập đóng theo dãy V     tập đóng A thớ f 1 f  x   1  x   V có tính dãy nên ta có B đóng V Ta có x  B nên tồn lân cận mở W x V cho W  B   Khi C  W  A tập đóng theo dãy   tập đóng A x  C \ C Suy C  f 1 f  x   W  B     Ta có f  x   f  C  \ f  C  , f C    C  khơng đóng  V , mâu thuẫn với khằng định Theo khẳng định tính G suy G không gian dãy địa phương Như vậy, G không gian dãy Nhận xét: Tính dãy khơng phải tính chất ba khơng gian Thật vậy, tồn hai nhóm tơpơ Fréchet G H cho khơng gian tích G  H không đếm 46 ngặt Đặt H '  e  H với e phần tử đơn vị G Khi H ' nhóm bất biến đóng G  H nhóm thương  G  H  / H ' đẳng cấu với G Suy ra, H '  G  H  / H ' có tính dãy, G  H lại khơng có tính dãy 3.3.5 Hệ Cho H nhóm bất biến, compact địa phương, thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G Khi đó, nhóm thương G / H không gian dãy với cs  lưới (hay k  lưới, wcs*  lưới) đếm điểm G khơng gian dãy với cs  lưới (hay k  lưới, wcs*  lưới) đếm điểm 3.3.6 Định lý Cho H nhóm khả mêtric compact địa phương nhóm tơpơ G Khi đó, khơng gian thương G / H khơng gian Fréchet ngặt G khơng gian Fréchet ngặt Chứng minh Do Bổ đề 3.3.3, tồn lân cận mở U phần tử đơn vị e nhóm     đóng tôpô G cho  : U   U ánh xạ hoàn chỉnh  U U G / H Đặt   f   U :U   U Hiển nhiên,     f U  U không gian Fréchet ngặt f 1  f (b)  1   (b)   U  bH  U compact mêtric với b  U Mặt khác ta có khơng gian khả mêtric là không gian thỏa tiên đề đếm thứ nên tập điểm b G  tập Theo bổ đề 2.2.13, U không gian Fréchet ngặt Suy G Fréchet ngặt địa phương, G Fréchet ngặt 47 3.3.7 Định lý Cho H nhóm bất biến liên thơng, khả mêtric, compact địa phương nhóm tơpơ G Khi đó, nhóm thương G / H liên thơng dãy G liên thơng dãy Chứng minh Ta biết nhóm tơpơ G khơng liên thơng dãy tồn hai tập khác rỗng, rời nhau, mở theo dãy A B G cho G  A  B Nếu y  G / H ,   x   y với x  G , nên 1  y   xH liên thơng dãy Do 1  y   A hay 1  y   B Dẫn đến tồn hai tập khác rỗng, rời C D G / H cho G / H  C  D, 1 C   A 1  D   B Tiếp theo, chứng minh C D mở theo dãy G / H Điều dẫn đến mâu thuẫn G / H liên thông dãy   Giả sử C không mở theo dãy G / H tồn dãy yn n G / H cho yn  y  C với yn  C với n  Khi yn y 1  e  Cy 1 G / H , với e phần tử đơn vị G / H Lấy U lân cận mở e G chứng minh định lý 3.3.4, với e phần tử đơn vị G Do  U  mở nên ta giả sử yn y 1   U  với n  Theo khẳng định chứng minh định lý 3.3.4, tồn dãy hội   tụ xk k   U cho xk  x với x thuộc G  xk  yn y với   dãy y  với n k  , xk  n n k    x  1 Cy 1  1  C  1 y 1 k k   Khi   x   eCy 1 , 48   Do 1 C   A mở theo dãy G nên 1  C  1 y 1 mở theo dãy G ,   x  1  C  1 y 1 với k Vì vậy, yn y 1    xk   Cy 1 yn  C , mâu thuẫn với giả thiết Như vậy, C mở k k theo dãy Chứng minh tương tự, ta có D mở theo dãy Cho nhóm tơpơ G H nhóm compact địa phương liên thơng dãy G Nếu không gian thương G / H liên thơng dãy có kết luận G liên thông dãy hay không? Câu trả lời “có” Kết sau có [11, Định lý 3.5]: Cho H nhóm đóng, liên thơng dãy, chứa nhóm tơpơ Hausdorff G Nếu khơng gian thương G liên thơng dãy G liên thông dãy 49 KẾT LUẬN Với mục đích đặt luận văn tìm hiểu “Thác triển dấu hiệu hội tụ nhóm tơpơ”, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị, khái niệm kết liên quan đến số tính chất ba khơng gian dấu hiệu hội tụ tập compact dãy Các tính chất liên quan đến lưới nhóm tơpơ có thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm mêtric, compact địa phương Cụ thể sau:  Trình bày khái niệm số tính chất tập compact dãy, tập thỏa tiên đề đếm thứ hai tập mêtric thác triển nhóm tơpơ  Trình bày tính chất ba khơng gian tập compact dãy tính đóng, tính compact, tính thỏa tiên đề đếm thứ nhất, tính dãy, tính khả mêtric Các tính chất ba không gian tập compact, compact dãy compact đếm tính Fréchet, tính Fréchet ngặt, tính Fréchet mạnh  Tính dãy, tính Fréchet ngặt tính chất thác triển nhóm H khả mêtric, compact địa phương  Tính 0  khơng gian, cs  lưới ( wcs*  lưới, lưới) hình đếm được, cs  lưới ( wcs*  lưới, k  lưới) đếm điểm tính chất thác triển liên quan đến lưới nhóm H đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai  Sự thác triển tính liên thơng dãy với nhóm H nhóm chuẩn tắc, liên thơng, khả mêtric, compact địa phương Thông qua việc nghiên cứu tính chất ba khơng gian tập compact, compact đếm compact dãy, ta thấy vai trị quan trọng nhóm tơpơ thương việc thác triển tính chất tơpơ với nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm khả mêtric, compact địa phương Đó sở để tiếp cận vấn đề liên quan tương lai 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Tráng (2001), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Sư phạm Tp.HCM Đậu Thế Cấp (2005), Tôpô đại cương, Nxb Giáo dục Tiếng Anh A.V Arhangel’skiǐ, M.G Tkachenko (2008), “Topological Groups and Related Structures”, Atlanltis Press/ World Scientific, Paris/Hackensack, NJ A.V Arhangel’skiǐ, V V Uspenskij (2006), “Topological groups: local versus global”, Appl Gen Topol, (1), pp 67-72 M Bruguera, M Tkachenko (2004), “Extensions of topological groups not respect countable compactness”, Quest Answ Gen Topol, 22 (1), pp.33­37 A Fedeli, A Le Donne (2002), “On good connected preimages”, Topol Appl, 125, pp 489­496 S.P Franklin (1965), “Spaces in which sequences suffice”, Fundam Math, (57), pp 107­115 G Gruenhage (1984), “Generalized metric spaces”, in: K Kunen, J.E Vanghan (Eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, pp 423­501 J.A Guthrie (1971), “A characterization of o ­ space”, Gen Topol Appl, (1), pp 105­110 10 Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp.167-180 11 Shou Lin, M Tkachenko (2013), “Connected LCA groups are sequentially connected”, Comment Math Univ Carol, 54 (2), pp 263­272 51 12 Chuan Liu, Shou Lin (2012), “Generalized metrics spaces with algebraic structures”, Topol Appl, (157), pp 1966­1974 13 K Morita (1962), “Paracompactness and product space”, Fund Math,(50), pp 223 - 236 14 M Tkachenko (2014), “Paratopological and semitopological groups vs topological groups”, in: K.P.Hart, J van Mill, P Simon (Eds), Recent Progress in General Topology III, Springer Atlantis Press, pp 803­859 ... ban đầu thác triển tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đây vấn đề mở thu hút nhiều nghiên cứu nhà toán học Trong luận văn nghiên cứu nội dung liên quan đến số tính chất ba khơng gian dấu hiệu hội tụ tập... 43 3.3 Nhóm thương nhóm khả mêtric compact địa phương Trong phần tiếp tục nghiên cứu thác triển nhóm tơpơ với tác động nhóm compact mêtric địa phương Arhangel’skii phát số định lý mở rộng nhóm. .. quan đến lưới nhóm tơpơ có thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm mêtric, compact địa phương phát biểu chứng minh Từ giải số vấn đề nghiên cứu thác triển số tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Phương