Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với toán tử j đơn điệu trong không gian banach

Đại Học Thái Ngun Trường Đại Học Khoa Học Trần Xn Thiện TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH VỚI TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun Nghành: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Cơng trình hồn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường Phản biện 1: PGS TS Đỗ Văn Lưu Phản biện 2: GS TS Trần Vũ Thiệu Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun Ngày 12 tháng 10 năm 2013 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Ngun Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Chương Một số vấn đề 1.1 Khơng gian Banach 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Sự hội tụ khơng gian Banach 1.1.3 Khơng gian phản xạ 1.1.4 Đạo hàm Fréchet 1.1.5 Khơng gian Hilbert 1.1.6 Khơng gian lồi chặt 1.1.7 Khơng gian E-S(Ephimov Stechkin) 1.1.8 Ánh xạ J-đơn điệu 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.2.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu Chương Tốc độ hội tụ hiệu chỉnh phương tốn tử J-đơn điệu khơng gian Banach 2.1 Giới thiệu sơ 2.2 Kết Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 5 7 8 9 10 trình với 15 15 18 24 25 LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành Trường Đại Học Khoa học, Đại học Thái Ngun hướng dẫn tận tình Giáo sư Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Tốn-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Học viên Trần Xn Thiện Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mở đầu Rất nhiều tốn nảy sinh thực tiễn, khoa học, cơng nghệ tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed), nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Do tính khơng ổn định tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số tốn gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lời giải tốn Vì nảy sinh vấn đề tìm phương pháp giải ổn định cho tốn đặt khơng chỉnh cho sai số kiện ban đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn ban đầu Một phương pháp hiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Mục đích đề tài là: hội tụ mạnh thuật tốn phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov khơng gian Banach lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đưa đánh giá tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh Ngồi phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo nội dung luận văn gồm hai chương Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề khơng gian Banach lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu số định lí, bổ đề quan trọng có liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài Trong chương chúng tơi trình bày chứng minh hội tụ mạnh thuật tốn phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov khơng gian Banach lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đưa đánh giá tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Tuy nhiên hiểu biết thân khn khổ luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong dạy đóng góp ý kiến Thầy Cơ độc giả quan tâm tới luận văn Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Tác giả Trần Xn Thiện Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương Một số vấn đề Trong chương chúng tơi nhắc lại số kiến thức giải tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài Các khái niệm tham khảo tài liệu [1] [2] 1.1 1.1.1 Khơng gian Banach Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Khơng gian định chuẩn khơng gian tuyến tính X ứng với phần tử x ∈ X có số ||x|| gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: ||x|| > 0, ∀x = 0, ||x|| = ⇔ x = 0; ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (Bất đẳng thức tam giác) ||αx|| = |α|.||x||, ∀x ∈ X, α ∈ R Khơng gian định chuẩn đầy đủ gọi khơng gian Banach Ví dụ 1.1.1 Khơng gian Lp [a, b] với ≤ p < ∞ khơng gian Banach với chuẩn b p |ϕ (x)| dx ϕ = p , ϕ ∈ Lp [a, b] a 1.1.2 Sự hội tụ khơng gian Banach Dãy phần tử xn khơng gian Banach X gọi hội tụ đến phần tử xo ∈ X n → ∞, ||xn − x0 || → n → ∞, kí hiệu xn → x0 Sự hội tụ theo chuẩn gọi hội tụ mạnh Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ yếu đến x0 ∈ X, kí hiệu xn x0 , với ∀f ∈ X ∗ -khơng gian liên hợp X, ta có f (xn ) → f (x0 ) n → ∞ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Tính chất 1.1.1 Từ định nghĩa ta có tính chất sau Từ hội tụ mạnh dãy xn suy hội tụ yếu dãy Giới hạn yếu có dãy Nếu xn x sup xn < ∞ x ≤ lim xn 1≤n khơng gian phản xạ Mọi khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều phản xạ Định lý 1.1.1 (xem[2]) Nếu X khơng gian Banach khẳng định sau tương đương: X phản xạ Mọi dãy giới nội Compact yếu, tức ∀ {xn } ⊂ X : xn ≤ K ⇒ ∃ {xnk } , xnk x∈X Hình cầu đơn vị đóng X compact yếu Mỗi tập bị chặn đóng yếu X compact yếu Mỗi tập lồi đóng bị chặn X compact yếu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.4 Đạo hàm Fréchet Giả sử f : X → Y tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y Tốn tử f gọi khả vi Fréchet x ∈ X tồn A ∈ L(X, Y ) cho lim h→0 f (x + h) − f (x) − A (x) h h X Y = Tốn tử A gọi đạo hàm Fréchet f x ký hiệu A = f (x), f gọi khả vi Fréchet khả vi Fréchet điểm x ∈ X 1.1.5 Khơng gian Hilbert Cho X khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng X ánh xạ , : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau: x, x > 0, ∀x = 0; x, x = ⇔ x = 0; x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X Khơng gian tun tính X với tích vơ hướng , gọi khơng gian tiền Hilbert Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1.3 Các khơng gian Rn , L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định tương ứng n ξi ηi , x = (ξ1 , ξ1 , , ξn ) , y = (η1 , η1 , , ηn ) ∈ Rn x, y = i=1 b ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] ϕ, ψ = a Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.6 Khơng gian lồi chặt Khơng gian Banach X gọi khơng gian lồi chặt mặt cầu đơn vị S = S(x) = {x ∈ X : x = 1} X lồi chặt tức từ x, y ∈ S kéo theo x + y < Do mặt cầu khác lồi chặt Ví dụ 1.1.4 Khơng gian Lp [a, b] khơng gian lồi chặt 1.1.7 Khơng gian E-S(Ephimov Stechkin) Khơng gian Banach X gọi Khơng gian Ephimov Stechkin (hay khơng gian có tính chất E-S) X phản xạ X hội tụ yếu phần tử (xn x) hội tụ chuẩn ( xn → x ) ln kéo theo hội tụ mạnh ( xn − x → 0) Ví dụ 1.1.5 Khơng gian Hilbert có tính chất E − S 1.1.8 Ánh xạ J-đơn điệu Cho E khơng gian Banach thực E ∗ khơng gian đối ngẫu Để cho đơn giản, chuẩn E E ∗ ký hiệu ||.|| Ký hiệu x, x∗ giá trị x∗ ∈ E ∗ với x ∈ E Ánh xạ J : E −→ E ∗ đươc gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E thỏa mãn điều kiện sau: x, J(x) = ||x||2 , ||J(x)|| = ||x||, ∀x ∈ E ∗ Tốn tử A : E −→ 2E gọi m-J-đơn điệu A tốn tử đơn điệu (A + λI) = E với λ > ∗ Cho A ánh xạ đơn trị m-J-đơn điệu E Khi ánh xạ A : E −→ E có tính chất: (i) A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ E j(x − y) ∈ J(x − y) (ii) (A + λI) = E với λ > (A) miền ảnh A I tốn tử đơn vị E Nếu tồn số α > cho: A(x) − A(y), j(x − y) ≥ α||x − y||2 ∀x, y ∈ E A gọi J-đơn điệu mạnh với số α Khi α = A gọi J-đơn điệu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 nửa liên tục X lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X; y→x nửa liên tục yếu X với dãy {xn } : xn lim inf F (xn ) ≥ F (x), ∀x ∈ X x n→∞ Sự tồn nghiệm phương trình (1.1) cho định lý sau Định lý 1.2.2 Cho A tốn tử h-liên tục, đơn điệu từ khơng gian Banach phản xạ X vào X ∗ Khi phương trình A(x) = f có nghiệm với f ∈ X ∗ Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu Cho X khơng gian Banach phản xạ thực, X ∗ khơng gian liên hợp X Với f ∈ X ∗ cho trước, phương trình (1.1) phương trình tốn tử Nếu A : X → X ∗ tốn tử đơn điệu phương trình tốn tử (1.1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh Ví dụ 1.2.3 Xét phương trình tốn tử (1.1) với A ma trận vng cấp M = xác định   1 1  1.0001  1    A= 1 1.0001 1     1 1.0001 1 1 1.0001 vế phải f = (5; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)T ∈ R5 phương trình có nghiệm x = (1; 1; 1; 1; 1)T ∈ R5 Nếu  A = Ah1   =   1 1 1.0001 1 1 1.0001 1 1 1.0001 1 1 Số hóa trung tâm học liệu 1 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn/       13 f = (5; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5)T ∈ R5 phương nghiệm Nếu  1 1  1.0001 1  A = Ah2 =  1.0001 1   1 1.0001 1 1 1 trình có vơ số       f = (5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)T ∈ R5 phương trình vơ nghiệm Ta thấy thay đổi nhỏ hệ số phương trình ban đầu kéo theo thay đổi đáng kể nghiệm Phương pháp hiệu chỉnh Giả sử A−1 khơng liên tục thay cho f ta cho fδ thỏa mãn fδ − f ≤ δ Bài tốn đặt dựa vào thơng tin (A, fδ ) δ sai số, tìm phần tử xấp xỉ nghiệm x0 Rõ ràng khơng thể xây dựng phần tử xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ A−1 khơng xác định A−1 tồn khơng liên tục nên A−1 fδ khơng xấp xỉ nghiệm x0 Tham số δ cho ta mức độ sai số vế phải phương trình (1.1) Vì điều nảy sinh liệu xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào tham số tham số chọn tương thích với δ cho δ → phần tử xấp xỉ hội tụ đến nghiệm x0 Ta thấy từ f0 ∈ Y ta có phần tử xấp xỉ tương ứng thuộc X Tức tồn tốn tử tác động từ khơng gian Y vào khơng gian X Định nghĩa 1.2.7 Cho A : X → Y tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y Tốn tử T (f, α) phụ thuộc vào tham số α tác động từ Y vào X gọi tốn tử hiệu chỉnh cho Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 phương trình (1.1), nếu: - Tồn hai số dương δ1 α1 cho tốn tử T (fδ , α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với fδ ∈ Y thoả mãn fδ − f ≤ δ - Tồn hàm α = α(δ, fδ ) phụ thuộc vào δ cho với ε > ln tìm δ(ε) ≤ δ1 để với fδ ∈ Y thoả mãn fδ − f ≤ δ ≤ δε xδα − x0 ≤ ε x0 nghiệm có x∗ chuẩn nhỏ tốn (1.1) xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) Tốn tử hiệu chỉnh T (f, α) định nghĩa nói chung đa trị Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) gọi nghiệm hiệu chỉnh phương trình (1.1), α = α (δ, fδ ) gọi tham số hiệu chỉnh Tham số hiệu chỉnh α = α (δ, fδ ) phải chọn cho lim α (δ, fδ ) = δ→0 Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với liệu ban đầu Như việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào kiện phương trình (1.1) gồm bước: 1) Xây dựng tốn tử hiệu chỉnh T (f, α); 2) Chọn giá trị tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin tốn phần tử fδ mức sai số δ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15 Chương Tốc độ hội tụ hiệu chỉnh phương trình với tốn tử J-đơn điệu khơng gian Banach Trong chương trình bày số vấn đề tốc độ hội tụ hiệu chỉnh phương trình với tốn tử J-đơn điệu khơng gian Banach Các khái niệm tham khảo tài liệu [4] 2.1 Giới thiệu sơ Chúng tơi quan tâm giải phương trình tốn tử sau: A(x) = f, f ∈ E (2.1) với A J-đơn điệu đơn trị E Trong tồn luận văn chúng tơi kí hiệu tập nghiệm (2.1) S (ta giả thiết S = ∅) Nếu A khơng có tính chất J-đơn điệu mạnh đơn điệu đều, phương trình (2.1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh Để giải (2.1) ta phải dùng số phương pháp ổn định, phương pháp hiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Dạng tốn tử phương pháp cho phương trình (xem [1]) A(x) + α(x − x+ ) = fδ , ||fδ − f || ≤ δ → (2.2) Ở α > gọi tham số hiệu chỉnh, x+ ∈ E thành phần cho trước Vì A m-J-đơn điệu, phương trình (2.2) cho nghiệm xδα với giá trị cố định α > δ > Hơn nưa, từ (2.1), (2.2) tính J-đơn điệu A dễ dàng thu kết sau : ||xδα − y|| ≤ ||y − x+ || + δ/α Số hóa trung tâm học liệu ∀y ∈ S http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2.3) 16 Trong [1], người ta chứng minh hàm số ρ(α) = α||xδα − x+ || liên tục, đơn điệu khơng giảm Nếu A liên tục x+ thì: lim ρ(α) = 0, lim ρ(α) = ||A(x+ ) − fδ || α→∞ α→∞ Hơn nữa, lập luận tương tự dễ dàng kiểm tra ||A(x+ ) − fδ || > Kδ p K > 2; < p ≤ tồn giá trị bé α = α(δ) cho: ||A(xδα(δ) ) − f (δ)|| = Kδ p (K − 1)δ p /α(δ) ≤ 2||y0 − x+ || Do < p < ta có δ/α(δ) ≤ 2||y − x+ ||δ 1−p /(K − 1) → δ → Nên J liên tục yếu xδα(δ) → y∗ ∈ S ( xem [1], [2]) Rất tiếc lớp khơng gian Banach thực, vơ hạn chiều có J với tính chất nhỏ ( lp ) Một câu hỏi tự nhiên đặt thuật tốn (2.2) áp dụng cho khơng gian Banach khác khơng ? Trong [1-3] biết hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh xδα tới nghiệm (2.1) khơng gian Banach, khơng có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu J Khi A liên tục yếu: ||A(x) − A(y∗ ) − QA (y∗ )∗ J(x − y∗ )|| ≤ τ ||A(x) − A(y∗ )|| ∀y ∈ E (2.4) Ở τ số dương, A (x) kí hiệu đạo hàm Fréchet A x ∈ E Q ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E ∗ tồn phần tử v ∈ E cho x+ − y∗ = A (y∗ )v (2.5) Trong luận văn khơng u cầu tính liên tục yếu J, chúng tơi chứng minh hội tụ mạnh thuật tốn (2.2) khơng gian Banach lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đưa đánh giá tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh, tham số hiệu chỉnh lựa chọn cho trước Một số kiến thức cần chuẩn bị cho việc chứng minh kết Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn thực Cho S1 (0) := {x ∈ E : x = 1} Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 17 Khơng gian E gọi có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc trơn) giới hạn ||x + ty|| − ||x|| t→0 t lim tồn với x, y ∈ S1 (0) Khơng gian E gọi chuẩn khả vi Gâteaux giới hạn với x ∈ S1 (0) Khơng gian E gọi lồi chặt x, y ∈ S1 (0) với x = y ta có: ||(1 − λ)x + λy|| < ∀λ ∈ (0, 1) Chúng ta biết (xem [1-3]) E trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Nếu chuẩn E khả vi Gâteaux ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu tập hợp giới nội khơng gian E Trong phần tài liệu kí hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng qt đơn trị j Cho µ phiếm hàm tuyến tính liên tục l∞ cho (a1 , a2 , ) ∈ l∞ Ta viết µk (ak ) thay cho µ((a1 , a2 , )) Gọi µ giới hạn Banach µ thỏa mãn ||µ|| = µk (1) = µk (ak+1 ) = µk (ak ) với (a1 , a2 , ) ∈ l∞ Đối với giới hạn Banach µ ta có: lim inf ak ≤ µk (ak ) ≤ lim sup ak k→∞ k→∞ với (a1 , a2 , ) ∈ l∞ Nếu a = (a1 , a2 , ) ∈ l∞ , b = (b1 , b2 , ) ∈ l∞ ak → c (tương ứng ak − bk → 0), k → ∞, ta có µk (ak ) = µ(a) = c (tương ứng µk (ak ) = µk (bk )) Bổ đề 2.1.1 Cho C tập lồi khơng gian Banach E, có chuẩn khả vi Gâteaux Cho {xk } giới nội E, cho z phần tử C µ giới hạn Banach Khi µk ||xk − z||2 = µk ||xk − u||2 u∈C µk u − z, j(xk − z) ≤ với u ∈ C Với ánh xạ m-J-đơn điệu A E phần tử cố định f ∈ E, ta xây dựng ánh xạ u = Tf (x) Af (u) + u = x, Af (.) = A(.) − f Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2.6) 18 với x ∈ E Vì Af J-đơn điệu, việc tồn Tf hiển nhiên Khơng khó để kiểm tra Tf có tính chất sau: D(Tf ) = E Tf khơng giãn, có nghĩa ||Tf x − Tf y|| ≤ ||x − y|| F ix(Tf ) = S F ix(Tf ) kí hiệu tập điểm bất động Tf có nghĩa F ix(Tf ) = {x ∈ E : x = Tf (x)} Nhắc lại ánh xạ T E gọi giả co T x − T y, j(x − y) ≤ x − y với x, y ∈ D(T ), miền xác định T Dễ dàng thấy ánh xạ khơng giãn giả co A J-đơn điệu T = I − A giả co Bổ đề 2.1.2 Với F ánh xạ đơn điệu, tuyến tính giới nội khơng gian Banach phản xạ, ta có ||F (F + αI)−1 || ≤ với α > 2.2 Kết Định lý 2.2.1 Cho E khơng gian Banach phản xạ thực lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux A ánh xạ m-J-đơn điệu E Khi α > cố định f ∈ E phương trình A(x) + α(x − x+ ) = f (2.7) có nghiệm xα thêm tập nghiệm (2.1) S = ∅, dãy xα hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ E, nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: y∗ ∈ S : y∗ − x+ , j(x − y) ≤ ∀y ∈ S Mặt khác ta có: ||xδα − xα || ≤ δ/α xδα nghiệm (2.2) với α > fδ ∈ E Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2.8) 19 Chứng minh Vì A m-J-đơn điệu, phương trình (2.7) có nghiệm kí hiệu xα với α > Nghiệm nhất, ánh xạ A + α(I − x+ ) J-đơn điệu mạnh với số α Tiếp theo từ (2.7) ta có: A (xα ) − A (y) , j (xα − y) + α xα − x+ , j (xα − y) = với y ∈ S Vì xα − y ≤ x+ − y, j (xα − y) ∀y ∈ S (2.9) Do ||xα − y|| ≤ ||x+ − y|| Có nghĩa xα giới nội Một lần từ (2.7) suy ||A(xα ) − f || = α||xα − x+ || ≤ 2α||x+ − y|| lim ||A(xα ) − f || = α→0 (2.10) Tiếp theo xét ánh xạ T f := I − Af Rõ ràng p ∈ S p ∈ F ix(T f ) Ngồi ra, ta ý ánh xạ 2I − T f có ánh xạ nghịch đảo khơng giãn, kí hiệu ξ Thực vậy, 2I − T f = I + I − T f = I + Af Từ (2.6) ta có: ξ = Tf = (I + Af )−1 , ánh xạ khơng giãn đơn trị Vì ta có F ix(ξ) = F ix(Tf ) = S Theo từ xδα − T f xδα = (2I − T f )xδα − xδα = A(xδα ) − f ξ(2I − T f )xδα = (I + Af )−1 (I + Af )(xδα ) = xδα Ta có ||xδα −ξxδα || = ||ξ(2I −T f )xδα −ξxδα || ≤ ||(2I −T f )xδα −xδα || = ||A(xδα )−f || Bất đẳng thức với (2.10) kéo theo ||xα − ξxα || → α → Cho xk dãy xα với αk → k → ∞ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 20 Ta xét phiếm hàm ϕ(x) = µk ||xk − x||2 ∀x ∈ E Ta thấy ϕ(x) → ∞ ∼ ||x|| → ∞ ϕ liên tục lồi, E phản xạ nên tồn y ∈ E ∼ cho ϕ(y ) = minx∈E ϕ(x) Do tập C ∗ := u ∈ E : ϕ (u) = ϕ(x) = x∈E Dễ dàng nhận thấy C ∗ giới nội, đóng, tập lồi E Mặt khác ||xk − ξxk || → ta có: ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ϕ(ξ y ) = µk ||xk − ξ y ||2 = µk ||ξxk − ξ y ||2 ≤ µk ||xk − y ||2 = ϕ(y ) Từ ξC ∗ ⊂ C ∗ , C ∗ bất biến với ánh xạ ξ Bây ta C ∗ điểm bất động ξ Vì E khơng gian Banach phản xạ lồi chặt nên tập đóng lồi E tập Chebyshev(xem [2]) ∼ Khi y ∈ F ix(ξ) tồn y ∈ C ∗ cho ∼ ||y − y || = inf∗ ||y − x|| x∈C ∼ Với y = ξy ξ y ∈ C ∗ ta có: ∼ ∼ ∼ ||y − ξ y || = ||ξy − ξ y || ≤ ||y − y ||, ∼ ∼ ∼ ξ y = y Có nghĩa tồn điểm y ∈ F ix(ξ) ∩ C ∗ = S ∩ C ∗ ∼ Từ bổ đề 2.1.1, ta thấy y cực tiểu ϕ(x) E µk x − y, j (xk − y) ≤ ∀x ∈ E ∼ (2.11) ∼ Từ (2.9) với y = y lấy x = x+ (2.11), ta có µk ||xk − y || = ∼ Do tồn dãy xki xk hội tụ mạnh tới y i → ∞ Một lần từ (2.9) tính chất ánh xạ đối ngẫu liên tục mạnh-yếu j tập hợp bị chặn E ta có: y − x+ , j (y − y) ≤ ∀y ∈ S ∼ (2.12) Từ y y F ix(ξ), tập đóng lồi, thay y (2.12) sy + ∼ ∼ ∼ (1 − s) y với s ∈ (0; 1), sử dụng tính chất biết j(s(y −y)) = sj(y −y) với s > , chia cho s lấy s → ta có: y − x+ , j (y − y) ≤ ∀y ∈ S Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 21 ∼ Tính y∗ (2.8) đảm bảo y = y∗ Vì xα hội tụ mạnh đến y∗ α → Sử dụng (2.3) (2.7) ta có: A xδα − A (xα ) , j xδα − xα + α xδα − xα = fδ − f, j xδα − xα , kéo theo ||xδα − xα || ≤ δ/α (Điều phải chứng minh) Định lý 2.2.2 Cho E, A f định lí 2.2.1 cho S = ∅ Giả sử (2.5) đạo hàm Frechet A (.) liên tục Lípchits địa phương hình cầu Br (y∗ ) = x ∈ E : x − y∗ ≤ x+ − y∗ Khi tồn số Lípchits L > cho ||A (x) − A (z)|| ≤ L||x − z|| ∀x, z ∈ Br (y∗ )cố định Với α > ta có: ||xα − y∗ || ≤ 2(L||v||2 + ||v||)α Chứng minh Vì A đơn điệu, A (y∗ ) đơn điệu Kéo theo A (y∗ ) J-đơn điệu Đặt F = A (y∗ ), Rα = α(F + αI)−1 B = F Rα αF −αB = αF −αF Rα = αF (I−Rα ) = αF [(F +αI)−αI](F +αI)−1 = F B Tiếp theo, đặt zα = xα − y∗ ta có: A(xα ) − A(x∗ + Bv) + α(zα − Bv) = A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv) − αxα − x+ = A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + α(xα − y∗ − Bv) − αBv = A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + αF (v) − αBv = A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + F Bv kéo theo α xα − Bv ≤ A (y∗ ) − A (y∗ + Bv) + F Bv, j (xα − (y∗ − Bv)) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 22 Vì ||A (x) − A (z)|| ≤ L||x − z|| xα ∈ Br (y∗ ), ||A(x) − A(z) − A (z)|| ≤ L||x − z|| ≤ kéo theo ||zα − Bv|| ≤ L ||x − z||2 L ||F α(F + αI)−1 ||2 ≤ 2L||v||2 2α Mặt khác ||zα || = ||xα − y∗ || ≤ ||zα − Bv|| + ||Bv|| ≤ 2(L||v||2 + ||v||)α (Điều phải chứng minh) Định lý 2.2.3 Cho E, A f định lý 2.2.2 Giả sử điều kiện (2.5) điều kiện khác định lý 2.2.2 tồn số k0 > cho k0 ||x+ − y∗ || < A (x)−A (y∗ ) = A (y∗ )k(x, y∗ , w), ||k(x, y∗ , w)|| ≤ k0 ||w||.||x−y∗ ||∀x, w ∈ B∼r (y∗ ) √ ∼ với r > r + δ/α Nếu α lựa chọn cho α = O( δ) √ ||xδα − y∗ || ≤ O( δ) Chứng minh Hiển nhiên điều kiện định lý 2.2.1 thỏa mãn, từ định lý 2.2.1 2.2.2 (2.3) ta có: δ ||xδα − y∗ || ≤ + 2(L||v||2 + ||v||)α α √ √ Vì ||xδα − y∗ || ≤ O( δ), α lựa chọn cho α = O( δ) Bây ta đặt xt = y∗ + t(xα − y∗ ) với t ∈ (0; 1) Rõ ràng ||xt − y∗ || = t||xα − y∗ || ≤ ||x+ − y∗ || Theo cách xt ∈ B∼r Mặt khác từ (2.7) A(xα ) − A(y∗ ) = A (y∗ )(xα − y∗ ) + (A (xt ) − A (y∗ ))(xα − y∗ )dt Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 23 = A (y∗ )(xα − y∗ ) + A (y∗ )k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt Kéo theo + −α(xα − x ) = A (y∗ )(xα − y∗ ) + A (y∗ )k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt Do ta có −1 (F + αI)−1 F k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt xα − y∗ = α(F + αI) F v − với ||(F + αI)−1 F v|| ≤ 2||v||, 1 ||(F + αI)−1 F k(xt , y∗ , xα − y∗ )||dt ≤ k0 ||xt − y∗ ||||xα − y∗ ||dt ≤ k0 ||xα − y∗ ||2 ≤ k0 ||x+ − y∗ ||.||xα − y∗ || Do (1 − k0 ||x+ − y∗ ||)||xα − y∗ || ≤ 2α||v|| Vì trường hợp có: √ ||xδα − y∗ || ≤ O( δ) (Điều phải chứng minh) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 24 Kết luận Luận văn trình bày nội dung sau Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề khơng gian Banach lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu Trong chương chúng tơi trình bày tốc độ hội tụ hiệu chỉnh phương trình với tốn tử J-đơn điệu khơng gian Banach thơng qua việc trình bày hai vấn đề: chứng minh hội tụ mạnh thuật tốn phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov khơng gian Banach lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đưa đánh giá tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh, tham số hiệu chỉnh lựa chọn cho trước Luận văn dựa kết GS.TS Nguyễn Bường nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Hồng Phương tháng năm 2012 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 25 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường(2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hồng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Y Alber and I Ryazantseva, (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer [4] Nguyen Buong and Nguyen Thi Hong Phuong, (2012), Convergence rates in regularization for nonlinear ill-Posed equations involving m-accretive Mappings in Banach Spaces, Applied Mathematical Sciences, Vol 6, 2012, no 63, 3109 - 3117 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 26 Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp trường Đại học khoa học - Đại học Thái Ngun ngày 12-10-2013 Học viên Trần Xn Thiện Số hóa trung tâm học liệu Người hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... 1 Trong đó chương 1 chúng tơi trình bày một số vấn đề cơ bản của khơng gian Banach và lý thuyết của bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J- đơn điệu 2 Trong chương 2 chúng tơi trình bày tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với tốn tử J- đơn điệu trong khơng gian Banach thơng qua việc trình bày hai vấn đề: chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật tốn của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong khơng gian. .. của phương trình (1.1) gồm các bước: 1) Xây dựng tốn tử hiệu chỉnh T (f, α); 2) Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin của bài tốn về phần tử fδ và mức sai số δ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15 Chương 2 Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với tốn tử J- đơn điệu trong khơng gian Banach Trong chương này trình bày một số vấn đề về tốc độ hội tụ trong hiệu. .. hiệu chỉnh phương trình với tốn tử J- đơn điệu trong khơng gian Banach Các khái niệm này được tham khảo trong các tài liệu [4] 2.1 Giới thiệu sơ bộ Chúng tơi quan tâm giải phương trình tốn tử sau: A(x) = f, f ∈ E (2.1) với A là J- đơn điệu đơn trị trên E Trong tồn bộ luận văn này chúng tơi kí hiệu tập nghiệm của (2.1) là S (ta giả thiết S = ∅) Nếu A khơng có tính chất J- đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều, phương. .. nghiệm của phương trình (1.1) được cho bởi định lý sau Định lý 1.2.2 Cho A là một tốn tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ khơng gian Banach phản xạ X vào X ∗ Khi đó phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X ∗ 2 Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J- đơn điệu Cho X là khơng gian Banach phản xạ thực, X ∗ là khơng gian liên hợp của X Với f ∈ X ∗ cho trước, phương trình (1.1) là phương trình tốn tử Nếu A... một trong những ví dụ về tốn tử đơn điệu, nó tồn tại trong mọi khơng gian Banach Định lý 1.2.1 Nếu X ∗ là khơng gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X ∗ là tốn tử đơn điệu, bức và d-liên tục Hơn nữa, nếu X là khơng gian Banach lồi chặt thì U là tốn tử đơn điệu chặt Sau đây là một kết quả của lý thuyết tốn tử đơn điệu được sử dụng trong phần sau Bổ đề 1.2.1 Cho X là một khơng gian. .. xδ nói chung khơng hội tụ đến x Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 1.2.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J- đơn điệu 1 Tốn tử đơn điệu Cho X là khơng gian Banach thực, A : D(A) → X ∗ là một tốn tử với miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X ∗ Định nghĩa 1.2.2 Tốn tử A được gọi là 1 Đơn điệu nếu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); 2 Đơn điệu chặt nếu dấu bằng... phương trình (2.1) nói chung là bài tốn đặt khơng chỉnh Để giải (2.1) ta phải dùng một số phương pháp ổn định, một trong các phương pháp hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Dạng tốn tử của phương pháp này cho phương trình (xem [1]) A(x) + α(x − x+ ) = fδ , ||fδ − f || ≤ δ → 0 (2.2) Ở đây α > 0 gọi là tham số hiệu chỉnh, và x+ ∈ E là thành phần cho trước Vì A là m -J- đơn điệu, phương trình (2.2)... nếu A là J- đơn điệu thì T = I − A cũng là giả co Bổ đề 2.1.2 Với F là ánh xạ đơn điệu, tuyến tính và giới nội trong một khơng gian Banach phản xạ, ta có ||F (F + αI)−1 || ≤ 2 với mỗi α > 0 2.2 Kết quả chính Định lý 2.2.1 Cho E là khơng gian Banach phản xạ thực và lồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và A là một ánh xạ m -J- đơn điệu trên E Khi đó mỗi α > 0 và một cố định f ∈ E thì phương trình A(x)... )) Tốn tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (1.1), còn α = α (δ, fδ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh Tham số hiệu chỉnh α = α (δ, fδ ) phải được chọn sao cho lim α (δ, fδ ) = 0 δ→0 Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào... 0 khi δ → 0 Nên J liên tục yếu thì xδα(δ) → y∗ ∈ S ( xem [1], [2]) Rất tiếc lớp khơng gian Banach thực, vơ hạn chiều có J với các tính chất trên là rất nhỏ ( duy nhất lp ) Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là thuật tốn (2.2) có thể áp dụng cho khơng gian Banach khác được khơng ? Trong [1-3] chúng ta biết sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh xδα tới nghiệm của (2.1) trong khơng gian Banach, khơng có