Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng

1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 2 1. Lý do chọn đề tài 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3 4. Phương pháp nghiên cứu 3 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3 6. Bố cục của đề tài 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. Các khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số 5 1.2. Định nghĩa và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 8 1.3. Một số dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số dương 9 Chương 2. CHUỖI SỐ DƯƠNG VỚI CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY RỘNG 18 2.1. Dấu hiệu Kummer 18 2.2. Dấu hiệu Bertrand 21 2.3. Dấu hiệu Gauss 22 2.4. Dấu hiệu Cauchy suy rộng 24 2.5. Dấu hiệu Logarithm 26 Chương 3. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY RỘNG 29 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương trình toán học, nó đóng vai trò khá quan trọng trong việc học tập ngành toán. Giải tích toán học không chỉ quan trọng với việc học tập và nghiên cứu sâu thêm về những ngành toán liên quan mà còn là cơ sở để học các môn toán khác và cả những môn khoa học khác (Lí, Hoá, Kĩ thuật). Bởi vậy, việc nắm vững môn học này là yêu cầu nhất thiết đối với sinh viên khoa Toán. Giải tích toán học bao gồm cơ sở về lí thuyết giới hạn và chuỗi, về phép tính vi phân, tích phân và những ứng dụng của chúng. Trong đó, lí thuyết về chuỗi đóng vai trò rất quan trọng đối với môn học này, đặc biệt là việc xét sự hội tụ của chuỗi số. Trong quá trình nghiên cứu các giáo trình giải tích, quá trình làm các bài tập liên quan đến chuỗi số dương, sinh viên thường gặp nhiều khó khăn khi nghiên cứu và áp dụng các dấu hiệu để xét sự hội tụ của chuỗi số dương. Các giáo trình giải tích toán học đã có nhiều tiêu chuẩn, dấu hiệu được dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương như: so sánh, Cauchy, D’Alambert, Raabe, tích phân nhưng đôi khi gặp một số dạng chuỗi thì việc sử dụng các tiêu chuẩn và dấu hiệu trên rất dài và phức tạp. Để thuận tiện hơn, ta có thể sử dụng một số dấu hiệu khác gọi là các dấu hiệu hội tụ suy rộng. Các dấu hiệu hội tụ suy rộng này không những giúp sinh viên khắc phục được phần nào những khó khăn trong việc giải bài tập mà còn khắc sâu thêm những kiến thức lí thuyết và làm các bài tập khác. Đồng thời với lí thuyết là các bài tập áp dụng dấu hiệu hội tụ suy rộng, đó là những ví dụ hữu ích nhằm giúp cho người học có thể giải các bài tập liên quan đến chuỗi số dương một cách đơn giản hơn. Ngoài ra, để tạo điều kiện cho người học tiếp cận những kiến thức sâu hơn, chúng tôi có đưa vào một số bài tập khó hơn mà khi áp dụng các dấu hiệu khác rất phức tạp. Sử dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng giúp sinh viên bổ sung thêm những kiến thức mới góp phần vào việc tháo gỡ những khó khăn, vướng mắc trong quá trình học tập, nghiên cứu, giải các bài tập về xét sự hội tụ của chuỗi số dương, từ đó nâng cao chất lượng và hiệu quả học tập của sinh viên. Vì vậy, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng”. 3 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu: - Hệ thống một số lí thuyết chung về chuỗi. Nghiên cứu chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng và ứng dụng của chúng trong việc xét sự hội tụ của chuỗi số. - Sử dụng một số dấu hiệu mới để xét sự hội tụ của chuỗi số dương. • Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng và việc áp dụng chúng trong giải các bài tập về sự hội tụ của chuỗi số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Xét sự hội tụ của chuỗi số - Phạm vi nghiên cứu: Chuỗi số dương 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc các tài liệu, giáo trình có liên quan tới chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi số, các dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút ra được kinh nghiệm để xét sự hội tụ của chuỗi số bằng việc áp dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Đề tài có thể là tài liệu tham khảo dùng cho sinh viên ngành sư phạm Toán của trường đại học Hùng Vương khi quan tâm tới vấn đề này. 6. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo "Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng" bao gồm 3 chương sau: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về chuỗi số như: nêu ra các khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số, định nghĩa chuỗi số dương, các tiêu chuẩn xét sự hội của chuỗi số dương và một số dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số dương. • Chương 2: Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng 4 Trong chương này, đề tài trình bày một số dấu hiệu hội tụ suy rộng bao gồm: nội dung định lý, chứng minh các định lý, các ví dụ minh họa cho các định lý. • Chương 3: Một số bài tập áp dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng Chương này trình bày một số bài tập áp dụng, bài tập đề nghị tự giải của các dấu hiệu hội tụ. Từ đó chúng ta so sánh các phương pháp đó với nhau để tìm ra phương pháp giải hữu hiệu nhất. 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số 1.1.1. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1. Định nghĩa chuỗi số Cho dãy số: 1 2 3 , , , , , n u u u u T ổ ng vô h ạ n: 1 2 3 n u u u u + + + + + = 1 n n u ∞ = ∑ (1.1) đượ c g ọ i là chu ỗ i s ố (hay g ọ i t ắ t là chu ỗ i). S ố n u đượ c g ọ i là s ố h ạ ng th ứ n hay s ố h ạ ng t ổ ng quát c ủ a chu ỗ i (1.1). T ổ ng c ủ a n s ố h ạ ng đầ u tiên c ủ a chu ỗ i (1.1) là: 1 2 3 1 n n k n k u u u u u S = + + + + = = ∑ , n ∈ ℕ g ọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.1). N ếu có: lim n n S S →∞ = thì chu ỗ i (1.1) đượ c g ọ i là chu ỗ i h ộ i t ụ (hay còn g ọ i là h ộ i t ụ v ề S) và S đượ c g ọ i là t ổ ng c ủ a nó. Khi đ ó ta kí hi ệ u: 1 n n S u ∞ = = ∑ Còn n ế u n S không có gi ớ i h ạ n thì chu ỗ i (1.1) đượ c g ọ i là chu ỗ i phân k ỳ . 1.1.2. Ví dụ về chuỗi số • Ví d ụ 1.1. Xét chu ỗ i s ố 2 1 1 1 n n n u uq uq uq uq ∞ − − = + + + + + = ∑ (1.2) trong đ ó: q là m ộ t s ố th ự c b ấ t kì, u là m ộ t h ằ ng s ố khác không. V ớ i q ≠ 1, t ổ ng riêng th ứ n là: 1 1 n n q S u q − = − 6 N ế u q < 1 thì lim 1 n x u S q →∞ = − N ế u q ≥ 1 thì th ấ y r ằ ng n S không có gi ớ i h ạ n khi n → ∞ . V ậ y v ớ i q < 1 thì chu ỗ i (1.2) h ộ i t ụ và có t ổ ng là 1 u q − , v ớ i q ≥ 1 thì chu ỗ i (1.2) phân k ỳ . • Ví d ụ 1.2. Xét chu ỗ i s ố : n S = 1 1 ( 1) n n n ∞ = + ∑ Ta có 1 ( 1) + n n = 1 1 1 n n − + (n=1,2,3, ) nên n S = 1 1 ( 1) n n n ∞ = + ∑ = 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1) n n + + + + + hay n S = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 n n         − + − + − + + −         +         = 1 1 1 n   −   +   V ậ y: lim lim n n n S →∞ →∞ = 1 1 1 n   −   +   =1. Do đ ó chu ỗ i 1 1 ( 1) n n n ∞ = + ∑ h ộ i t ụ v ề 1. • Ví d ụ 1.3. Xét chu ỗ i 1 1 1 1 1 1 2 3 n n n ∞ = = + + + + + ∑ S ố h ạ ng t ổ ng quát c ủ a chu ỗ i là: n u = 1 0 n → (khi n → ∞ ). 7 Th ấ y r ằ ng các s ố h ạ ng c ủ a chu ỗ i gi ả m d ầ n nên: 1 1 1 1 2 3 n A n = + + + + > 1 . n n n = . Do đ ó n A → ∞ khi n → ∞ . V ậ y chu ỗ i đ ã cho phân k ỳ . Định nghĩa 1.2. N ế u chu ỗ i (1.1) h ộ i t ụ v ề S thì hi ệ u n S S − = n r đượ c g ọ i là s ố d ư c ủ a chu ỗ i s ố . Khi đ ó ( ) lim lim 0 n n n x r S S S S →∞ →∞ = − = − = . 1.1.3. Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số Cho chu ỗ i s ố (1.1), t ừ chu ỗ i đ ó ta thi ế t l ậ p đượ c dãy { } 1 2 , , , , n n S S S S = (1.3) ở đ ó 1 2 1 n n k n k S u u u u = = = + + + ∑ . Ng ượ c l ạ i, cho dãy { } n S . T ừ đ ó ta thi ế t l ậ p đượ c chu ỗ i s ố t ươ ng ứ ng: 1 2 3 n u u u u + + + + + = 1 n n u ∞ = ∑ , ở đ ó 1 1 u S = , 2 2 1 u S S = − , … 1 n n n u S S − = − , Theo đị nh ngh ĩ a v ề s ự h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i s ố (1.1) thì s ự h ộ i t ụ đ ó t ươ ng đươ ng v ớ i s ự h ộ i t ụ c ủ a dãy { n S }. Nh ư v ậ y, t ừ dãy s ố { n S }, ta có th ể thi ế t l ậ p đượ c chu ỗ i s ố t ươ ng ứ ng 1 n n u ∞ = ∑ . Ng ượ c l ạ i, t ừ chu ỗ i s ố 1 n n u ∞ = ∑ ta c ũ ng có th ể thi ế t l ậ p đượ c dãy s ố { n S } t ươ ng ứ ng. Nh ờ m ố i quan h ệ này mà khi xét s ự h ộ i t ụ và t ổ ng c ủ a chu ỗ i (1.1) ta hoàn toàn có th ể chuy ể n sang xét s ự t ồ n t ạ i và giá tr ị c ủ a gi ớ i h ạ n c ủ a dãy (1.3). 8 Định lý 1.1. Đ i ề u ki ệ n ắ t có và đủ để chu ỗ i (1.1) h ộ i t ụ là v ớ i s ố ε > 0 cho tr ướ c nh ỏ tùy ý, ta có: 1 2 n n n p u u u ε + + + + + + < v ớ i m ọ i n đủ l ớ n và p là s ố nguyên d ươ ng b ấ t kì. • H ệ qu ả 1.1. Tính ch ấ t h ộ i t ụ hay phân k ỳ c ủ a m ộ t chu ỗ i s ố không thay đổ i n ế u ta thay đổ i m ộ t s ố h ữ u h ạ n s ố h ạ ng c ủ a chu ỗ i đ ó. • H ệ qu ả 1.2. N ế u chu ỗ i 1 n n u ∞ = ∑ h ộ i t ụ thì lim n n u →∞ = 0 Chú ý : Đ i ề u ki ệ n trên ch ỉ là đ i ề u ki ệ n c ầ n; đ i ề u ng ượ c l ạ i ch ư a ch ắ c đ úng. 1.1.4. Một số tính chất đơn giản về chuỗi số Định lý 1.2. N ế u 1 2 3 n u u u u + + + + + = 1 n n u ∞ = ∑ = S, thì 1 2 1 n n n au au au au aS ∞ = + + + + = = ∑ trong đ ó a là m ộ t h ằ ng s ố tùy ý. Định lý 1.3. Cho hai chu ỗ i h ộ i t ụ 1 n n u S ∞ = = ∑ và 1 n n v S ∞ = = ∑ . Th ế thì chu ỗ i 1 ( ) n n n u v ∞ = + ∑ c ũ ng h ộ i t ụ và có t ổ ng là S S + 1.2. Định nghĩa và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 1.2.1. Định nghĩa chuỗi số dương Định nghĩa 1.3. N ế u các s ố h ạ ng c ủ a chu ỗ i s ố 1 2 n u u u + + + + (1.4) là không âm ( n u ≥ 0) thì chu ỗ i (1.4) đượ c g ọ i là m ộ t chu ỗ i s ố không âm, hay để cho g ọ n, ta g ọ i là chu ỗ i s ố d ươ ng. 9 1.2.2. Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương Đ i ề u ki ệ n ắ t có và đủ để chu ỗ i (1.4) h ộ i t ụ là dãy { n S } = { 1 2 n u u u + + + } b ị ch ặ n trên. 1.3. Một số dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số dương 1.3.1. Dấu hiệu so sánh Định lý 1.4. Cho hai chu ỗ i s ố d ươ ng 1 2 n u u u + + + + (u) và 1 2 n v v v + + + + (v) N ế u có m ộ t s ố d ươ ng c sao cho v ớ i m ọ i n mà ta có n n u cv ≤ thì t ừ tính h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i (v) suy ra tính h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i (u) và ng ượ c l ạ i t ừ tính phân k ỳ c ủ a chu ỗ i (u) suy ra tính phân k ỳ c ủ a chu ỗ i (v). Ch ứ ng minh: G ọ i S n và n σ l ầ n l ượ t là t ổ ng riêng th ứ n c ủ a các chu ỗ i (u) và (v), th ế thì do n n u cv ≤ nên S n ≤ c n σ M ặ t khác, vì chu ỗ i (v) h ộ i t ụ nên n σ b ị ch ặ n trên, suy ra S n c ũ ng b ị ch ặ n trên, đ i ề u đ ó ch ứ ng t ỏ r ằ ng chu ỗ i (u) h ộ i t ụ . Ng ượ c l ạ i, n ế u chu ỗ i (u) phân k ỳ thì rõ ràng chu ỗ i (v) c ũ ng phân k ỳ . Định lý 1.5. Gi ả s ử lim n n n u v →∞ = A ( 0 ≤ A ≤ + ∞ ) a) N ế u ( 0 ≤ A < + ∞ ) và chu ỗ i (v) h ộ i t ụ thì chu ỗ i (u) h ộ i t ụ . b) N ế u ( 0 < A ≤ + ∞ ) và chu ỗ i (v) phân k ỳ thì chu ỗ i (u) phân k ỳ . Ch ứ ng minh: a) Gi ả s ử chu ỗ i (v) h ộ i t ụ và 0 ≤ A < + ∞ lim n n n u v →∞ = A V ớ i 0 ε > 0 nh ỏ tùy ý đ ã cho ta s ẽ có: 10 n n u v < A + 0 ε v ớ i m ọ i n đủ l ớ n. T ừ đ ó n u < ( A + 0 ε ) n v Do chu ỗ i (v) h ộ i t ụ nên suy ra chu ỗ i (u) h ộ i t ụ . b) Gi ả s ử chu ỗ i (v) phân k ỳ và 0 < A ≤ + ∞ . Th ế thì lim n n n u v →∞ = B = 1 A v ớ i A ≠ + ∞ 0 v ớ i A = + ∞ . T ứ c là B < + ∞ . T ừ s ự phân k ỳ c ủ a chu ỗ i (v) ta suy ra s ự phân k ỳ c ủ a chu ỗ i (u) vì n ế u chu ỗ i (u) h ộ i t ụ thì theo ch ứ ng minh ở ph ầ n a) suy ra chu ỗ i (v) h ộ i t ụ . Đ i ề u này trái v ớ i gi ả thi ế t chu ỗ i (v) phân k ỳ . • Ví d ụ 1.4. Xét s ự h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i: 1 1 ! n n ∞ = ∑ Gi ả i: V ớ i m ọ i n ≥ 1, ta có: n! ≥ 1 2 n − . T ừ đ ó 1 1 1 ! 2 n n − ≤ Vì chu ỗ i 1 1 1 2 n n ∞ − = ∑ h ộ i t ụ , theo d ấ u hi ệ u so sánh ta suy ra chu ỗ i 1 1 ! n n ∞ = ∑ h ộ i t ụ . • Ví d ụ 1.5. Xét s ự h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i: 1 sin 3 n n π ∞ = ∑ Gi ả i : Vì sin 3 n π > 0 v ớ i m ọ i n và sin 3 n π 3 n π ∼ khi n → +∞ . Chu ỗ i 1 sin 3 n n π ∞ = ∑ h ộ i t ụ (vì đ ó là c ấ p s ố nhân lùi vô h ạ n v ớ i công b ộ i 1 3 ). Do đ ó theo d ấ u hi ệ u so sánh, chu ỗ i 1 sin 3 n n π ∞ = ∑ h ộ i t ụ . [...]... −1 Theo dấu hiệu tích phân thì chuỗi đã cho hội tụ 17 Chương 2 CHUỖI SỐ DƯƠNG VỚI CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY RỘNG 2.1 Dấu hiệu Kummer 2.1.1 Định lí Xét chuỗi ∞ ∑a n ,( an > 0 ) (2.1) n =1 Cho c1, c2, …, cn, …là dãy số dương tùy ý sao cho chuỗi ∞ n =1 Gọi K n = cn 1 ∑c phân kỳ n an − cn +1 an +1 a) +) Nếu n > N, K n ≥ δ với δ là một hằng số dương thì chuỗi (2.1) hội tụ +) Nếu n > N, Kn < 0 thì chuỗi (2.1)... có chuỗi n =1 n ∑ (q + ε ) i n (hội tụ với q < 1) hội tụ i = N +1 ∞ ∑ a hội tụ Theo dấu hiệu so sánh ⇒ chuỗi i i = N +1 Ta thấy chuỗi n ∑a i là tổng của n - N số hạng đầu tiên của chuỗi i = N +1 n mà chuỗi ∑ ai hội tụ ⇒ chuỗi ∑a n n =1 ∞ ∑a i = N +1 n hội tụ n =1 Mặt khác chuỗi ∞ ∑ ai là phần dư sau số hạng thứ N của chuỗi i = N +1 ⇒ chuỗi ∞ ∞ ∑a n ∞ ∑a n (N < n) n =1 hội tụ n =1 2) Giả sử q > 1 với. .. đạt được những kết quả sau: 1 Tìm hiểu một số lí thuyết chung về chuỗi số 2 Tìm hiểu và đưa ra ví dụ về các dấu hiệu hội tụ: so sánh, Cauchy, D’Alambert, Raabe, tích phân 3 Nêu định lí, chứng minh định lí và đưa ra một số ví dụ minh hoạ về các dấu hiệu hội tụ suy rộng 4 Đưa ra một số bài tập áp dụng các dấu hiệu tích phân suy rộng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thừa... vậy chuỗi đã cho không hội tụ cũng chẳng phân kỳ Điều đó có nghĩa là ln vấn đề hội tụ của chuỗi được chỉ ra không thể giải quyết bằng dấu hiệu Logarithm 28 Chương 3 MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY RỘNG Bài tập 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi α (α + 1) (α + n − 1) β ( β + 1) ( β + n − 1) n! γ ( γ + 1) ( γ + n − 1) n =1 ∞ ∑ ở đây α , β và γ là các hằng số dương Lời giải: Ta sẽ sử dụng dấu. .. Theo dấu hiệu Gauss, thì Nếu p > 2 thì chuỗi đã cho hội tụ = 1+ Nếu p < 2 thì chuỗi đã cho phân kỳ (Dấu hiệu Gauss là sự tổng hợp các dấu hiệu D’Alambert và Raabe) 2.4 Dấu hiệu Cauchy suy rộng Nhiều khi gặp giới hạn lim n an mà ta không tính được nhưng nếu lấy cận n→∞ trên của giới hạn tức là lim n an thì ta có thể tính được Đó là nội dung của dấu n→∞ hiệu Cauchy suy rộng 2.4.1 Định lí Xét chuỗi số dương. .. nên chuỗi đó hội tụ, suy ra chuỗi (1.5) hội tụ b) Với l > 1 Lúc đó thì với mọi n đủ lớn ta phải có n un >1 hay un >1 Suy ra chuỗi (1.5) phân kỳ • Ví dụ 1.7 Xét sự hội tụ của chuỗi 2 n 1 2  n  +   + +   + 3 5  2n + 1  Giải:  n  Số hạng tổng quát của chuỗi là: un =    2n + 1  n Ta có: n n 1  n  lim un = lim  = 0 2 Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu Kummer lim K n = n →∞ Bài tập 3: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau: a) ln n ∞ ∑ 3n n=2 ∞ 1 ∑3 b) n =2 ln n Lời giải: a) Ta có: 3n ln n = ln 3 = ln 3 − ln(ln n) < 1 khi n > n 0 ln n ln n Vậy chuỗi đã cho phân kỳ theo dấu hiệu Logarithm b) Ta có : ln 1 a n ln 3ln n = = ln 3 > 1 khi n → +∞ ln n ln n Vậy theo dấu hiệu Logarithm chuỗi đã cho hội tụ Bài... p > 3 , chuỗi đang xét hội tụ 2 Nếu p – 0,5 < 1, tức là p < 3 , chuỗi đang xét phân kỳ 2 Nếu p – 0,5 = 1, tức là p = 3 , nhờ dấu hiệu Gauss, chuỗi đang xét phân kỳ 2 Bài tâp 9 Xét sự hội tụ của chuỗi sau: ∞ 1 ∑ (n!ln n) n =2 ln n Lời giải: Ta có: 32 1 an ln( n!ln n)ln n = = ln(n!ln n) > 1,1 khi n → +∞ ln n ln n Vậy theo dấu hiệu logarithm chuỗi đã cho hội tụ Bài tập 10 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sau:... < un+1q < un q 2 … ⇒ un + k < un q k Mà vì chuỗi ∞ ∑u q n k tương ứng với một cấp số nhân với công bội q (0 < q < 1) k =1 nên chuỗi đó hội tụ, suy ra chuỗi ∞ ∑u n hội tụ n =1 b) Với l > 1 Lúc đó thì với mọi n đủ lớn ta phải có un+1 >1 un hay un+1 > un 11 Suy ra un không thể dần tới 0 khi n → ∞ Vậy chuỗi ∞ ∑u n phân k ỳ n =1 • Ví dụ 1.6 Xét sự hội tụ của chuỗi 1000 1000.1002 1000.1002.1004 1000.1002.1004 . đề tài 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3 4. Phương pháp nghiên cứu 3 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3 6. Bố cục của đề tài 3 Chương 1. KIẾN THỨC. ra được kinh nghiệm để xét sự hội tụ của chuỗi số bằng việc áp dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Đề tài có thể là tài liệu tham khảo dùng cho sinh viên ngành. vấn đề này. 6. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo "Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng" bao gồm 3 chương sau: • Chương 1: Kiến thức