Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng

Trong quá trình nghiên cứu các giáo trình giải tích, quá trình làm các bài tập liên quan đến chuỗi số dương, sinh viên thường gặp nhiều khó khăn khi nghiên cứu và áp dụng các dấu hiệu để

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3

6 Bố cục của đề tài 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Các khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số 5

1.2 Định nghĩa và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 8

1.3 Một số dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số dương 9

Chương 2 CHUỖI SỐ DƯƠNG VỚI CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY RỘNG 18

2.1 Dấu hiệu Kummer 18

2.2 Dấu hiệu Bertrand 21

2.3 Dấu hiệu Gauss 22

2.4 Dấu hiệu Cauchy suy rộng 24

2.5 Dấu hiệu Logarithm 26

Chương 3 MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY RỘNG 29

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương trình toán học, nó đóng vai trò khá quan trọng trong việc học tập ngành toán Giải tích toán học không chỉ quan trọng với việc học tập và nghiên cứu sâu thêm về những ngành toán liên quan mà còn là cơ sở để học các môn toán khác và cả những môn khoa học khác (Lí, Hoá, Kĩ thuật) Bởi vậy, việc nắm vững môn học này là yêu cầu nhất thiết đối với sinh viên khoa Toán

Giải tích toán học bao gồm cơ sở về lí thuyết giới hạn và chuỗi, về phép tính vi phân, tích phân và những ứng dụng của chúng Trong đó, lí thuyết về chuỗi đóng vai trò rất quan trọng đối với môn học này, đặc biệt là việc xét sự hội

tụ của chuỗi số

Trong quá trình nghiên cứu các giáo trình giải tích, quá trình làm các bài tập liên quan đến chuỗi số dương, sinh viên thường gặp nhiều khó khăn khi nghiên cứu và áp dụng các dấu hiệu để xét sự hội tụ của chuỗi số dương

Các giáo trình giải tích toán học đã có nhiều tiêu chuẩn, dấu hiệu được dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương như: so sánh, Cauchy, D’Alambert, Raabe, tích phân nhưng đôi khi gặp một số dạng chuỗi thì việc sử dụng các tiêu chuẩn và dấu hiệu trên rất dài và phức tạp Để thuận tiện hơn, ta có thể sử dụng một số dấu hiệu khác gọi là các dấu hiệu hội tụ suy rộng Các dấu hiệu hội tụ suy rộng này không những giúp sinh viên khắc phục được phần nào những khó khăn trong việc giải bài tập mà còn khắc sâu thêm những kiến thức lí thuyết và làm các bài tập khác Đồng thời với lí thuyết là các bài tập áp dụng dấu hiệu hội

tụ suy rộng, đó là những ví dụ hữu ích nhằm giúp cho người học có thể giải các bài tập liên quan đến chuỗi số dương một cách đơn giản hơn Ngoài ra, để tạo điều kiện cho người học tiếp cận những kiến thức sâu hơn, chúng tôi có đưa vào một số bài tập khó hơn mà khi áp dụng các dấu hiệu khác rất phức tạp

Sử dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng giúp sinh viên bổ sung thêm những kiến thức mới góp phần vào việc tháo gỡ những khó khăn, vướng mắc trong quá trình học tập, nghiên cứu, giải các bài tập về xét sự hội tụ của chuỗi số dương, từ

đó nâng cao chất lượng và hiệu quả học tập của sinh viên

Vì vậy, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Chuỗi số dương với các dấu

hiệu hội tụ suy rộng”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

• Mục đích nghiên cứu:

- Hệ thống một số lí thuyết chung về chuỗi Nghiên cứu chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng và ứng dụng của chúng trong việc xét sự hội tụ của chuỗi số

- Sử dụng một số dấu hiệu mới để xét sự hội tụ của chuỗi số dương

• Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng và việc áp dụng chúng trong giải các bài tập về sự hội tụ của chuỗi số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Xét sự hội tụ của chuỗi số

- Phạm vi nghiên cứu: Chuỗi số dương

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc các tài liệu, giáo trình có liên quan tới chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi số, các dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút

ra được kinh nghiệm để xét sự hội tụ của chuỗi số bằng việc áp dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có thể là tài liệu tham khảo dùng cho sinh viên ngành sư phạm

Toán của trường đại học Hùng Vương khi quan tâm tới vấn đề này

6 Bố cục của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo "Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng" bao gồm 3 chương sau:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về chuỗi số như: nêu ra các khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số, định nghĩa chuỗi số dương, các tiêu chuẩn xét sự hội của chuỗi số dương và một số dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số dương

• Chương 2: Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng

Trong chương này, đề tài trình bày một số dấu hiệu hội tụ suy rộng bao gồm: nội dung định lý, chứng minh các định lý, các ví dụ minh họa cho các định lý

• Chương 3: Một số bài tập áp dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng

Chương này trình bày một số bài tập áp dụng, bài tập đề nghị tự giải của các dấu hiệu hội tụ Từ đó chúng ta so sánh các phương pháp đó với nhau để tìm

ra phương pháp giải hữu hiệu nhất

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Định nghĩa chuỗi số

u

∞

=

∑ (1.1) được gọi là chuỗi số (hay gọi tắt là chuỗi) Số u nđược gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của chuỗi (1.1) Tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi (1.1) là:

thì chuỗi (1.1) được gọi là chuỗi hội tụ (hay còn gọi là hội tụ về S) và S được gọi

là tổng của nó Khi đó ta kí hiệu:

1

n n

∞

=

=∑Còn nếu S không có giới hạn thì chuỗi (1.1) được gọi là chuỗi phân kỳ n

n n

Nếu q < 1 thì

lim

1

n x

u S

q

−

Nếu q ≥ 1 thì thấy rằng S n không có giới hạn khi n → ∞

Vậy với q < 1 thì chuỗi (1.2) hội tụ và có tổng là

1

u q

1

n−n

+ (n=1,2,3, ) nên

n

S =

1

1( 1)

Thấy rằng các số hạng của chuỗi giảm dần nên:

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Định nghĩa 1.2 Nếu chuỗi (1.1) hội tụ về S thì hiệu

1.1.3 Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số

Cho chuỗi số (1.1), từ chuỗi đó ta thiết lập được dãy

Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi số (1.1) thì sự hội tụ đó tương đương với sự hội tụ của dãy {S } n

Như vậy, từ dãy số {S n}, ta có thể thiết lập được chuỗi số tương ứng

1

n n

Định lý 1.1 Điều kiện ắt có và đủ để chuỗi (1.1) hội tụ là với số ε> 0 cho trước nhỏ tùy ý, ta có:

n n n p

u + +u + + +u + < ε

với mọi n đủ lớn và p là số nguyên dương bất kì

• Hệ quả 1.1 Tính chất hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi nếu

ta thay đổi một số hữu hạn số hạng của chuỗi đó

• Hệ quả 1.2 Nếu chuỗi

1

n n

Chú ý: Điều kiện trên chỉ là điều kiện cần; điều ngược lại chưa chắc đúng

1.1.4 Một số tính chất đơn giản về chuỗi số

u

∞

=

∑ = S, thì

1.2 Định nghĩa và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương

1.2.1 Định nghĩa chuỗi số dương

Định nghĩa 1.3 Nếu các số hạng của chuỗi số

là không âm (u n≥ 0) thì chuỗi (1.4) được gọi là một chuỗi số không âm, hay để cho gọn, ta gọi là chuỗi số dương

1.2.2 Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương

Điều kiện ắt có và đủ để chuỗi (1.4) hội tụ là dãy

u v

→∞ = A ( 0 ≤ A ≤ + ∞ ) a) Nếu ( 0 ≤ A < +∞ ) và chuỗi (v) hội tụ thì chuỗi (u) hội tụ

b) Nếu ( 0 < A ≤ + ∞ ) và chuỗi (v) phân kỳ thì chuỗi (u) phân kỳ

Chứng minh:

a) Giả sử chuỗi (v) hội tụ và 0 ≤ A < +∞

lim n n n

u v

→∞ = A Với ε0> 0 nhỏ tùy ý đã cho ta sẽ có:

n n

Do chuỗi (v) hội tụ nên suy ra chuỗi (u) hội tụ

b) Giả sử chuỗi (v) phân kỳ và 0 < A ≤ +∞

Thế thì

lim n n n

u v

→∞ = B = 1

A với A ≠ +∞

0 với A = + ∞ Tức là B < +∞

Từ sự phân kỳ của chuỗi (v) ta suy ra sự phân kỳ của chuỗi (u) vì nếu chuỗi (u) hội tụ thì theo chứng minh ở phần a) suy ra chuỗi (v) hội tụ Điều này trái với giả thiết chuỗi (v) phân kỳ

• Ví dụ 1.4 Xét sự hội tụ của chuỗi:

π

∞

=

(vì đó là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội 1

3) Do đó theo dấu hiệu so sánh, chuỗi

1

sin

3n n

π

∞

=

1.3.2 Dấu hiệu D’Alambert

Định lý 1.6 Cho chuỗi số dương

u +u + +u + ( u n > 0 với mọi n) Nếu

1

lim n n n

u u

u u

+

→∞ = l Nên với n đủ lớn ta phải có:

u q

∞

=

∑ tương ứng với một cấp số nhân với công bội q (0 < q < 1)

nên chuỗi đó hội tụ, suy ra chuỗi

1

n n

u u

+ > 1 hay

1

n

u + > u n

Suy ra u n không thể dần tới 0 khi n → ∞ Vậy chuỗi

1

n n

= lim1000 2 2

n

n n

→∞

+

=+ < 1

Vậy chuỗi đã cho hội tụ

1.3.3 Dấu hiệu Cauchy

Định lý 1.7 Cho chuỗi số dương

u +u + +u + (1.5) Nếu

limn

n

n u

→∞ = l thì với l < 1 chuỗi đó hội tụ

limn

n

n u

→∞ = l Nên với n đủ lớn thì

n

u < l+ε = q

n n

u >1 hay

n

u >1 Suy ra chuỗi (1.5) phân kỳ

• Ví dụ 1.7 Xét sự hội tụ của chuỗi

n u

Vậy chuỗi đã cho hội tụ

• Ví dụ 1.8 Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

( 1)

1

11

n n

n

n n

n

n n

a = lim

n→+∞

1

21

Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu Cauchy

1.3.4 Dấu hiệu Raabe

Định lý 1.8 Cho chuỗi số dương

u n

1

n n

hay

11

n u với n đủ lớn là một dãy đơn điệu giảm

Vì vậy, nó bị chặn khi n → ∞ Nói cách khác, tồn tại c > 0 sao cho:

s n

n u < c (n=1,2,…) hoặc :

n s

c u n

u n

+

≤hay

2 (2 1)(2 1)

n n

Vậy chuỗi đã cho hội tụ

• Ví dụ 1.10 Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

!( 1)( 2) ( )

a n

n n

n n

∞

∑ phân kỳ

1.3.5 Dấu hiệu tích phân

Định lý 1.9 Giả sử ta có một chuỗi số dương dạng:

1

n n

trong đó ( )f n là giá trị tại x = n của một hàm ( )f x xác định với x≥ , liên tục 1

và đơn điệu giảm

x p

−

− Vì 1 – p < 0 nên:

p

x p

+) Nếu n > N, K n ≥ với δ δ là một hằng số dương thì chuỗi (2.1) hội tụ

+) Nếu n > N, Kn < 0 thì chuỗi (2.1) phân kỳ

b) (Dấu hiệu Kummer dạng giới hạn)

Giả sử tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn):

Nhân hai vế của (2.2) với a n+1> Ta có: 0 c a n n−c a n+1 n+1≥δa n+1> (2.3) 0

⇒ c a n n−c a n+1 n+1> hay 0 c a n n >c a n+1 n+1> Suy ra dãy 0 {c a n n} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn

có giới hạn hữu hạn nên chuỗi 1 1

+) Giả sử K > 0 khi đó chọn ε > 0 đủ bé để cho K - ε = q > 0

Ta có Kn > q > 0 với n N∀ > khi đó theo cách chứng minh ở phần a) chuỗi

+) Tương tự nếu K < 0 ta chọn ε > 0 đủ bé để cho K + < ε 0

Ta có Kn <K + < với nε 0 ∀ >N khi đó theo cách chứng minh ở phần a) chuỗi

a + − = D − với D = n 1

n

a a

Khi D > 1 ⇒ K < 0 theo Kummer chuỗi (2.1) phân kỳ

Khi D < 1 ⇒ K > 0 theo Kummer chuỗi (2.1) hội tụ

Như vậy ta nhận được dấu hiệu D’Alambert

2) Đặt cn = n (n = 1,2,…) khi đó ta thấy chuỗi

Nếu lim

n→∞Rn = R thì lim

n→∞Kn = K = R - 1 Khi R > 1 ⇒ K < 0 theo Kummer chuỗi (2.1) phân kỳ

Khi R < 1 ⇒ K > 0 theo Kummer chuỗi (2.1) hội tụ

Như vậy ta nhận được dấu hiệu Raabe

a

a + - (n+1)ln(n+1) = n.ln(n)

1

n n

- 1) - 1] - ln 1 1

(1+ )n+

2.2 Dấu hiệu Bertrand

2.2.1 Định lí

Xét chuỗi

1

n n

a

a + - 1) -1] = ln(n).(Rn - 1) Giả sử tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn):

lim

n→∞Bn = B Khi đó nếu B > 1 thì chuỗi (2.4) hội tụ

- Nếu K > 0 tức là B – 1 > 0 hay B > 1 theo Kummer chuỗi (2.4) hội tụ

- Nếu K < 0 tức là B - 1 < 0 hay B < 1 theo Kummer chuỗi (2.4) phân kỳ

Khi đó nếu λ > 1 hoặc λ = 1 và µ> 1 thì chuỗi đã cho hội tụ

a a

a a

Từ đó theo dấu hiệu Raabe thì:

- Nếu µ > 1 thì chuỗi phân kỳ

- Nếu µ < 1 thì chuỗi hội tụ

- Nếu µ = 1 Áp dụng dấu hiệu Bertrand ta có:

số chuỗi nhất định nhưng ta thấy dấu hiệu Gauss mạnh hơn cả Với dấu hiệu này

ta thấy xét chuỗi số hội tụ nhanh hơn

a

.(2 )!! (2 1)!!

Theo dấu hiệu Gauss, thì

Nếu p > 2 thì chuỗi đã cho hội tụ

Nếu p < 2 thì chuỗi đã cho phân kỳ

(Dấu hiệu Gauss là sự tổng hợp các dấu hiệu D’Alambert và Raabe)

2.4 Dấu hiệu Cauchy suy rộng

Nhiều khi gặp giới hạn lim

n→∞

n n

a mà ta không tính được nhưng nếu lấy cận

trên của giới hạn tức là lim

n→∞

n n

a thì ta có thể tính được Đó là nội dung của dấu hiệu Cauchy suy rộng

2.4.1 Định lí

Xét chuỗi số dương

1

n n

a = q thì

2) Nếu q > 1 chuỗi đã cho hội tụ

2.4.2 Chứng minh

1) Giả sử q < 1 với ε > 0 cố định thỏa mãn: ε < 1 - q

Theo giả thiết lim

n→∞

n n

a = q suy ra ∃N sao cho bắt đầu từ N ta có bất đẳng thức sau thỏa mãn:

a > q−ε >

n n n

3

n n n

n n

3

n n

n

→∞

+ = 2 13

+ < 1

⇒ Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi đã cho hội tụ

2.5 Dấu hiệu Logarithm

2.5.1 Định lí

Cho chuỗi số

1

n n

1ln

1ln

α +

1ln

Khi n>exp(exp(exp1,1)) theo dấu hiệu Logarithm chuỗi hội tụ

Chú ý: Dấu hiệu Logarithm không cho phép ta xác định được sự hội tụ của chuỗi

2

1ln

1ln

γ nên không tồn tại

số α (α> 0) sao cho với mọi n > n0 thỏa mãn bất đẳng thức:

ln(ln )

ln

n n

γ > α > 0

và do đó bất đẳng thức:

1lnln

Chương 3 MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY RỘNG Bài tập 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu Kummer

Bài tập 3: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau:

Vậy theo dấu hiệu Logarithm chuỗi đã cho hội tụ

Bài tập 4: Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi sau:

Theo dấu hiệu Gauss thì:

Nếu p > 2, chuỗi đã cho hội tụ

Nếu p < 2, chuỗi đã cho phân kỳ

Bài tập 5: Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi sau:

1 coslim

2 cos

n n n

n n

lim

n n n

⇒ Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi đã cho hội tụ

Bài tập 6: Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi với số hạng tổng quát a nsau:

ln(ln )

1ln( )

ln

n

n n

Dựa vào dấu hiệu Logarithm ta khẳng định chuỗi đã cho phân

Bài tập 7 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số sau:

2

1

1.3.5 (2 1)2.4.6 2

n

n n

8( 1)

n

n n

Theo dấu hiệu Gauss thì chuỗi này hội tụ nếu và chỉ nếu α > 2

Bài tập 8 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi sau có số hạng tổng quát sau:

! n

n n p

n e a

1( 1)!

2, nhờ dấu hiệu Gauss, chuỗi đang xét phân kỳ

Bài tâp 9 Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

ln 2

1( !ln ) n

1ln

ln( !ln )

ln( !ln )

n n

Vậy theo dấu hiệu logarithm chuỗi đã cho hội tụ

Bài tập 10 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sau:

Bài tập đề nghị: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau:

n n

n n

n

n n

n n

n

n n

n n n

KẾT LUẬN

Đề tài đã đạt được những kết quả sau:

1 Tìm hiểu một số lí thuyết chung về chuỗi số

2 Tìm hiểu và đưa ra ví dụ về các dấu hiệu hội tụ: so sánh, Cauchy, D’Alambert, Raabe, tích phân

3 Nêu định lí, chứng minh định lí và đưa ra một số ví dụ minh hoạ về các dấu hiệu hội tụ suy rộng

4 Đưa ra một số bài tập áp dụng các dấu hiệu tích phân suy rộng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích III, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2004)

[2] Nguyễn Văn Khuê, Bài tập Phép tính vi phân và tích phân tập I, NXB Đại

học sư phạm, (2004)

[3] Nguyễn Văn Khuê, Bài tập Phép tính vi phân và tích phân tập II, NXB Đại

học sư phạm, (2004)

[4] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích II, NXB Giáo dục, (2003)

[5] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình Giải

tích tập 3, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2009)

[6] Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập Giải tích Toán học, (2004)

[7] Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn, Giải tích Toán học tập 2, NXB

Giáo dục, (1981)

[8] Jean - Marie Monier, Giải tích III, NXB Giáo dục, (2004)

[9] Y.Y.LISAKÔ, A.C BÔIATRUC, IA.G.GAI, G.P.GÔLÔVAC, Giải tích Toán

học - Phần I (tập 2), NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, (1979)