Sự thác triển của một số tiêu chuẩn hội tụ trong các nhóm tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Nắng SỰ THÁC TRIỂN CỦA MỘT SỐ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ TRONG CÁC NHĨM TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Nắng SỰ THÁC TRIỂN CỦA MỘT SỐ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ TRONG CÁC NHĨM TƠPƠ Chun ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Trọng Hịa Tơi chân thành cảm ơn Thầy tận tình hướng dẫn, trang bị cho nhiều kiến thức, tài liệu, giúp tơi hồn thành tốt đề tài Qua tơi xin chúc Thầy có thật nhiều sức khỏe gặt hái thêm nhiều thành công nghiệp trồng người Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến TS Nguyễn Hà Thanh Thầy nhiệt tình dạy động viên làm tốt luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy xin chúc Thầy đạt thêm nhiều thành công nghiệp giáo dục đạt thêm nhiều kết cơng trình nghiên cứu Tôi xin cảm ơn thầy tổ Hình học, khoa Tốn-Tin Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn suốt q trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Sau đại học, phịng Kế hoạch-Tài Trường đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn động viên gia đình, bạn bè giúp đỡ, góp ý chân thành bạn lớp Hình học tơpơ K24 Xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm đại số 1.2 Không gian tôpô 1.3 Tính compact 16 1.4 Không gian mêtric 20 1.5 Tính liên thơng 21 1.6 Nhóm tơpơ 22 Chương TÍNH CHẤT BA KHƠNG GIAN CỦA CÁC TẬP COMPACT DÃY 26 2.1 Một số khái niệm liên quan đến hội tụ 26 2.2 Tính chất thớ nghịch đảo 28 2.3 Một số tính chất ba khơng gian tập compact dãy 31 Chương KHƠNG GIAN THƯƠNG ĐỐI VỚI NHĨM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI 37 3.1 Một số khái niệm liên quan đến lưới khơng gian tơpơ 37 3.2 Một số tính chất thác triển nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai 39 Chương KHÔNG GIAN THƯƠNG ĐỐI VỚI NHÓM CON KHẢ MÊTRIC, COMPACT ĐỊA PHƯƠNG 45 4.1 Tính dãy 45 4.2 Tính Fréchet ngặt 48 4.3 Tính liên thơng dãy 48 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một phép toán quan trọng nhóm tơpơ phép tốn lấy thương Nhiều ví dụ phản ví dụ xây dựng dựa nhóm thương nhóm tơpơ Với lý đó, nhóm thương đề tài thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Năm 1949, J P Serre chứng minh H nhóm đóng nhóm tơpơ G hai không gian H G / H compact địa phương nhóm tơpơ G compact địa phương Kết cổ điển dựa thác triển tính chất từ G / H lên G đem lại hướng nghiên cứu cho vấn đề Như biết, H nhóm đóng nhóm tơpơ G G / H khơng gian thương tương ứng tính chất  (tôpô, đại số, hai) gọi tính chất ba khơng gian với nhóm tơpơ G nhóm đóng H G, với giả thiết hai không gian H G / H thỏa  G thỏa  Theo Serre, tính compact địa phương tính chất ba khơng gian Thực tế, tính compact, tính đầy đủ, tính giả compact, tính liên thơng tính khả mêtric tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ, ngoại trừ tính compact đếm Năm 2005, A V Arhangel’skii [1] tổng quát hóa thành câu hỏi sau đây: Cho H nhóm đóng nhóm tơpơ G G / H khơng gian thương Giả sử H G / H thỏa mãn tính chất đặc biệt khơng gian tơpơ Khi G có tính chất đó? Khi đó, nhóm G gọi thác triển nhóm H qua khơng gian thương G / H [26] Gần đây, vào năm 2004, 2006, 2008 2014, A V Arhangel’skii, M Bruguera, M G Tkachenko V V Uspenskij [2-5, 25] có số kết dựa thác triển nhóm tơpơ nhóm bất biến (chuẩn tắc), đóng; hay nhóm compact địa phương; nhóm khả mêtric compact địa phương Những kết chứng tỏ việc nghiên cứu tính chất ba khơng gian tốn cần quan tâm Tuy nhiên, số vấn đề theo hướng cịn tốn mở Chẳng hạn vấn đề sau đây: Vấn đề Hãy mơ tả tính chất đặc trưng khơng gian compact mà biểu diễn khơng gian thương nhóm tơpơ nhóm đóng, khả mêtric Vấn đề Giả sử H nhóm bất biến, đóng nhóm tơpơ G tất tập compact nhóm H G / H compact dãy Vậy G có tính chất hay không? Vấn đề Cho tất tập compact nhóm H G / H khơng gian Fréchet Urysohn Vậy điều cịn cho nhóm compact G hay khơng? Tính hội tụ đối tượng nghiên cứu tôpô đại cương Khá tự nhiên hợp lý cho tính hội tụ biết không gian tôpô trở nên mạnh nhóm tơpơ Ví dụ điển hình cho tượng tính đếm thứ tương đương với tính khả mêtric nhóm tơpơ Năm 2008, số tính chất hội tụ A V Arhangel’skii trình bày [2] Xuất phát từ yêu cầu giải ba vấn đề nêu nghiên cứu thêm số tính hội tụ nhóm tơpơ, chúng tơi chọn vấn đề Sự thác triển số tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ làm đề tài luận văn Nội dung luận văn dựa báo The extensions of some convergence phenomena in topological groups tác giả Shou Lin, Fucai Lin Li-Hong Xie công bố năm 2014 Qua việc nghiên cứu vấn đề ba không gian cho tập compact dãy, tác giả trả lời phần Vấn đề Vấn đề Hơn nữa, tác giả cịn trình bày thêm thác triển số tính chất qua khơng gian thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm compact địa phương Cụ thể là: • Nếu H nhóm đóng, thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G, G / H  - khơng gian G tổng tơpơ  - khơng gian • Nếu H nhóm khả mêtric, compact địa phương G không gian thương G / H không gian dãy G khơng gian dãy Mục đích đề tài Nghiên cứu thác triển số tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tính chất ba khơng gian tập compact dãy Các tính chất liên quan đến lưới cho trước nhóm tơpơ có thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai Sự thác triển số tính chất từ nhóm khả mêtric, compact địa phương Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp hoàn thiện kết từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề nghiên cứu Trình bày kết chứng minh chi tiết Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, bốn chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Phần mở đầu: Nêu số vấn đề lịch sử phạm vi nghiên cứu Chương 1: Trình bày khái niệm khơng gian tơpơ nhóm tơpơ Phần trình bày kiến thức cần thiết liên quan đến nội dung luận văn Chương 2: Trình bày cụ thể tính chất ba khơng gian cho tập compact dãy thác triển tính Fréchet với nhóm compact, compact dãy compact đếm Chương 3: Trình bày thác triển tính chất liên quan đến lưới khơng gian thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai Chương 4: Trình bày thác triển số tính chất khơng gian thương nhóm khả mêtric, compact địa phương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm đại số 1.1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi phép tốn hai ngơi tập hợp X ánh xạ f từ X × X vào X Giá trị f ( x, y ) f ( x, y ) gọi hợp thành x y Trong lí luận tổng quát, ta viết hợp thành xy Định nghĩa 1.1.2 Một phận A X gọi ổn định (đối với phép tốn hai ngơi X ) xy Ỵ A với x, y Ỵ A xy với Phép tốn hai ngơi ∗ xác định phận ổn định A quan hệ x ∗ y = x, y Ỵ A gọi thu hẹp vào A phép toán hai ngơi X Khi ∗ phép tốn cảm sinh A phép toán ⋅ X Định nghĩa 1.1.3 Một phép tốn hai ngơi tập hợp X gọi kết hợp ta có ( xy ) z = x ( yz ) với x, y, z Ỵ X Định nghĩa 1.1.4 Một phép tốn hai ngơi tập hợp X gọi giao hoán ta có xy = yx với x, y Ỵ X Định nghĩa 1.1.5 Giả sử cho phép tốn hai ngơi tập hợp X Một phần tử e X gọi đơn vị trái phép tốn hai ngơi ex = x với x Ỵ X Tương tự, phần tử e X gọi đơn vị phải phép tốn hai ngơi xe = x với x Î X Nếu phần tử e X vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải e gọi đơn vị phần tử trung lập phép tốn hai ngơi Tính chất 1.1.6 Một phép tốn hai ngơi có nhiều phần tử trung lập Định nghĩa 1.1.7 Một tập hợp X với phép toán hai kết hợp cho X nửa nhóm Định nghĩa 1.1.8 Nhóm nửa nhóm X có tính chất sau: Có phần tử trung lập e ’ x xx =’ e (phần tử x’ gọi Với x Ỵ X có phần tử x’ Ỵ X cho x= phần tử đối xứng hay nghịch đảo x) 1.1.2 Nhóm Định nghĩa 1.1.9 Một phận ổn định A nhóm X nhóm X A với phép toán cảm sinh nhóm Định lí 1.1.10 Một phận A nhóm X nhóm X điều kiện sau thỏa mãn: Với x, y Ỵ A, xy Ỵ A e Î A với e phần tử đơn vị X Với x Ỵ A, x −1 Î A 1.1.3 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương Định nghĩa 1.1.11 Giả sử A nhóm nhóm X Ta định nghĩa quan hệ ~ tập X sau: với x, y Î A, x ~ y x −1 y Ỵ A Quan hệ ~ quan hệ tương đương X Với phần tử x Ỵ X , ta kí hiệu lớp tương đương chứa x x kí hiệu phận X gồm phần tử có dạng xa với a chạy khắp A xA, tức xA = { xa ê a Ỵ A} Bổ đề 1.1.12 x = xA Định nghĩa 1.1.13 Các phận xA gọi lớp trái nhóm A X Tương tự, lớp phải Ax A X phận mà phần tử có dạng ax với a Ỵ A Định nghĩa 1.1.14 Nếu A nhóm nhóm X cho x −1 Ax = A với x Ỵ X , A gọi nhóm chuẩn tắc hay nhóm bất biến X Định lí 1.1.15 Giả sử A nhóm nhóm X Các điều kiện sau tương đương: A chuẩn tắc xA = Ax với x Ỵ X Định nghĩa 1.1.16 Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm X thì: • Quy tắc cho tương ứng ( xA, yA) với lớp trái xyA ánh xạ từ X / A × X / A đến X / A • X / A với phép tốn hai ngơi ( xA, yA ) → xyA nhóm, gọi nhóm thương X A, với eA phần tử trung lập x −1 A phần tử nghịch đảo xA 1.1.4 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.17 Một đồng cấu nhóm ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y cho f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) , với a, b Ỵ X Định nghĩa 1.1.18 Nếu X = Y đồng cấu f gọi tự đồng cấu X Một đồng cấu mà đơn ánh gọi đơn cấu, đồng cấu toàn ánh gọi toàn cấu, đồng cấu song ánh gọi đẳng cấu 1.2 Không gian tôpô 1.2.1 Không gian tôpô, tập mở tập đóng, bao đóng phần trong, lân cận, hội tụ theo dãy không gian tôpô Định nghĩa 1.2.1 Cho X tập hợp khác rỗng  họ tập X cho: ∅, X Ỵ  V ,U Ỵ  U ầ V ẻ 40 Ta cú th chọn lân cận mở V e G cho xV Ì U Do {U n Ç H : n Ỵ }} sở địa phương e H , nên tồn n ẻ cho Un ầ H èV ầ H Vì B trù mật X xU n +1 Ç X khác tập mở khác rỗng X nên bm Ỵ xU n +1 với m Ỵ  Ta có π : G → G / H ánh xạ mở (do [Định lý 1.6.15]), nên π ( xU n +1 Ç xV ) lân cận mở π ( x ) không gian Y dãy {π ( xi )}i hội tụ π ( x ) Y Do {π ( x )} È {π ( xi ) : i ≥ i0 } Ì Pk Ì π ( xU n +1 ầ xV ) vi i0 , k ẻ  Chúng ta có π −1 ( Pk ) Ç bmU n +1 Ì U Thật vậy, lấy bất kỡ z ẻ ( Pk ) ầ bmU n +1 Khi π ( z ) Ỵ Pk Ì π ( xU n +1 Ç xV ) , vỡ vy, z ẻ ( xU n +1 ầ xV ) H = x (U n +1 Ç V ) H Do z Ỵ bmU n +1 bm Î xU n +1 , nên z Î xU n2+1 Vỡ vy, x z ẻ (U n +1 ầ V ) H  Ç U n2+1 Tồn a Î U n +1 Ç V , h Î H u Ỵ U n +1 cho x −1= z ah = u Khi h = a u Ỵ U n +1 Ì U n Do x −1 z Ỵ (U n +1 Ç V )(U n Ç H ) Suy ra, z ẻ x (U n +1 ầ V )(U n Ç H ) Ì xV Ì U Hơn nữa, bm Ỵ xU n +1 nên x Ỵ bmU n +1 , tồn i1 ≥ i0 cho xi Ỵ bmU n +1 với i ≥ i1 , { x} È { xi : i ≥ i1} Ì π −1 ( Pk ) Ç bmU n+1 Vì vậy,  cs-lưới đếm X Vậy X À0 − khơng gian Do tính nhóm tơpơ G Khẳng định nên ta có G À0 - không gian địa phương Khi G khơng gian paracompact địa phương, G khơng gian paracompact Mệnh đề 1.6.12 Lấy  phủ mở À0 − không gian G , À0 - không gian có tính di truyền Do G khơng gian paracompact nên giả sử  hữu hạn địa phương G Do họ hữu hạn địa phương tập mở không gian khả ly đếm được, nên họ  họ hình đếm 41 Từ Mệnh đề 3.1.11 ta có � =  {α : α Î L}, với họ α đếm (  ) Ç (  ) = ∅ α β với α ≠ β Đặt X α =  α với α Ỵ L Khi G = ⊕α ỴL X α Khẳng định X α À0 − không gian với α Ỵ L Đặt α = {α ,n : n Ỵ }} , với α ,n À0 − không gian G Đặt α =  nỴ α ,n , với α ,n cs− lưới đếm À0 − không gian α ,n với n Ỵ  Khơng khó để thấy α cs− lưới đếm cho X α Vì vậy, X α À0 − khơng gian Do Khẳng định ta có G tổng tôpô À0 − không gian □ Hệ 3.2.2 Cho H nhóm đóng, thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tôpô G Nếu không gian thương G / H À0 − khơng gian (hay khơng gian cosmic), G À0 − không gian (hay không gian cosmic [2, Bài toán 4.6.C]) Điều kiện “ H thỏa tiên đề đếm thứ hai” cần thiết Định lý 3.2.1 Hệ 3.2.2 Ta thay điều kiện điều kiện “ H có lưới đếm được”, tồn nhóm tôpô Abel, không không gian cosmic G0 với nhóm đóng cosmic H mà nhóm thương G0 / H không gian mêtric, khả ly [26] Tiếp theo, xem xét không gian với cs− lưới hình đếm lưới tương tự Định lí 3.2.3 Cho H nhóm đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G Nếu khơng gian thương G / H có cs− lưới (hay wcs* − lưới, k − lưới) hình đếm được, G có cs− lưới (hay wcs* − lưới, k − lưới) hình đếm Chứng minh Do khơng gian H nhóm tơpơ G thỏa tiên đề đếm thứ phần tử đơn vị e G, nên tồn họ đếm {U n : n Ỵ }} lân cận mở 42 đối xứng e G cho U n3+1 Ì U n với n Ỵ  họ {U n Ç H : n Ỵ }} sở địa phương e H Giả sử G / H có cs− lưới (hay wcs* − lưới) hình đếm Cho  = { Pα : α Ỵ L} cs− lưới (hay wcs* − lưới) hình đếm khơng gian G / H Với α Ỵ L, họ { P ầ P : ẻ L} l mt wcs* − lưới đếm Pα , Pα khơng gian cosmic Pα khả ly Do Mệnh đề 1.6.20, tập π −1 ( Pα ) khả ly Lấy Bα = {bα ,m : m Ỵ }} tập đếm trù mật π −1 ( Pα ) Đặt  = {π −1 ( Pα ) Ç bα ,mα Î L, m, n Î }} Khi đó,  họ hình đếm G Chúng ta chứng minh  cs− lưới (hay wcs* − lưới) G Cho { xi }i dãy hội tụ điểm x G U lân cận x G Lấy lân cận mở V e G cho xV Ì U Trường hợp  cs− lưới Do {U n Ç H : n Ỵ }} sở địa phương e H , nên tồn n ẻ cho U n ầ H è V Ç H Vì π : G → G / H ánh xạ mở, nên {π ( x )} È {π ( x ) : i ≥ i } Ì Pα Ì π ( xU i n +1 ầ xV ) vi i0 ẻ v α Ỵ L Do x Ỵ π ( Pα ) , nên xU n +1 Ç π −1 ( Pα ) mở khác rỗng không gian π −1 ( Pα ) Mà Bα trù mật π −1 ( Pα ) , nên bα ,m Ỵ xU n +1 với m Ỵ  Khẳng định π −1 ( Pα ) Ç bα ,mU n +1 Ì U Thật vậy, lấy z Î π −1 ( Pα ) Ç bα ,mU n +1 Khi π ( z ) Ỵ Pα Ì π ( xU n +1 Ç xV ) , vy z ẻ x (U n +1 ầ V ) H Do z Ỵ bα ,mU n +1 bα ,m Ỵ xU n +1 , nên z Ỵ xU n2+1 43 Tương tự Khẳng định chứng minh cho Định lý 3.2.1, ta có z ẻ x (U n +1 ầ V )(U n Ç H ) Ì xV Ì U Hơn nữa, bα ,m Ỵ xU n +1 nên x Î bα ,mU n +1 , tồn i1 > i0 cho xi Ỵ bα ,mU n +1 với i ≥ i1 , { x} È { xi : i ≥ i1} Ì π −1 ( Pα ) Ç bα ,mU n +1 Vì vậy, G có cs− lưới hình đếm Trường hợp  wcs* − lưới Do {U n ầ H : n ẻ }} l mt sở địa phương e H , nên tồn n Ỵ  cho U n +1 Ç H Ì V Ç H Vì  wcs* − lưới G / H , nên tồn dãy {π ( x )} ij j {( ) } dãy {π ( xi )}i cho π xi j : j Ỵ } Ì Pα Ì π ( xU n +1 Ç xV ) với α Ỵ A Chúng ta giả sử xi j Ỵ xU n + với j Ỵ  dãy { xi }i hội tụ x Vì −1 xi1 Ỵ π −1 ( Pα ) nên xi1U n + Ỵ π −1 ( Pα ) khác rỗng mở không gian π ( Pα ) Hơn Bα trù mật π −1 ( Pα ) nên ta có bα ,m Ỵ xi U n + Ì xU n2+ với m Ỵ  Tương tự Trường hợp 1, có π −1 ( Pα ) Ç bα ,mU n +1 Ì U (xem Khẳng định) Vì vậy, G có wcs* − lưới hình đếm Giả sử G / H có k − lưới hình đếm Do Trường hợp 2, G có wcs* − lưới hình đếm Từ Mệnh đề 3.1.13 ta có tập compact G / H thỏa tiên đề đếm thứ Do tính chất “mỗi tập compact thỏa tiên đề đếm thứ nhất” tính chất ba khơng gian [2, Bổ đề 3.3.23 Định lý 3.3.24] nên tập compact G thỏa tiên đề đếm thứ nhất, G có k − lưới hình đếm (do Mệnh đề 3.1.13).□ Bài toán 3.2.4 Cho H nhóm đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G Nếu khơng gian thương G / H có cs− lưới đếm điểm (hay đếm compact), G có cs− lưới đếm điểm (hay đếm compact) hay không? 44 Một phần đáp án Câu hỏi 3.2.4 đưa Định lý 3.2.6 Bổ đề 3.2.5 ([20, Định lý 3.6]) Cho G nhóm tơpơ dãy với k − lưới điểm-đếm Khi đó, G khơng gian khả mêtric hay tổng tơpơ khơng gian cosmic Định lí 3.2.6 Giả sử H nhóm bất biến đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tôpô G Nếu không gian thương G / H không gian dãy với cs− lưới (hay k − lưới, wcs* − lưới) đếm điểm, G có cs− lưới (hay k − lưới, wcs* − lưới) đếm điểm Chứng minh Vì khơng gian G / H khơng gian dãy nên có k − lưới đếm điểm (do Mệnh đề 3.1.13) Từ Bổ đề 3.2.6 ta có khơng gian thương G / H không gian khả mêtric hay tổng tôpô không gian cosmic Nếu G / H khơng gian khả mêtric, nhóm G khả mêtric (do Mệnh đề 1.6.13 Mệnh đề 1.6.19) Chúng ta giả sử G / H tổng tơpơ khơng gian cosmic Khi G / H có cs− lưới (hay k − lưới, wcs* − lưới) đếm điểm  = { Pα : α Ỵ L} cho Pα tập cosmic với α Ỵ L Do π −1 ( Pα ) khả ly Mệnh đề 1.6.20, nên ta chứng minh khơng gian G có cs− lưới (hay k − lưới, wcs* − lưới) đếm điểm phương pháp sử dụng chứng minh Định lý 3.2.3 □ 45 Chương KHƠNG GIAN THƯƠNG ĐỐI VỚI NHĨM CON KHẢ MÊTRIC COMPACT ĐỊA PHƯƠNG Arhangel’skiǐ [1] xây dựng số định lý mở rộng cho nhóm tơpơ mà ơng xem xét khơng gian thương nhóm compact địa phương hay nhóm khả mêtric, compact địa phương Từ [1,3], có kết sau: Cho G nhóm tơpơ H nhóm G Giả sử H compact địa phương Nếu không gian thương G / H không gian Čech-đầy đủ ( S − không gian, S − không gian mạnh, p− không gian, k − khơng gian, khơng gian paracompact) nhóm G Giả sử H compact địa phương khả mêtric Nếu không gian thương G / H không gian Fréchet (không gian Fréchet mạnh, có tính đếm ngặt), nhóm G Do đó, tiếp tục xem xét thác triển nhóm tơpơ nhóm khả mêtric, compact địa phương Bổ đề sau khơng gian thương nhóm compact địa phương Arhangel’skiǐ chứng minh [1] 4.1 Tính dãy Bổ đề 4.1.1 ([2, Định lý 3.2.2]) Giả sử G nhóm tơpơ, H nhóm compact địa phương G π : G → G / H phép chiếu tự nhiên G lên không gian thương G / H Khi tồn lân cận mở U phần tử đơn vị e ( ) đóng cho π U ( ) G / H ánh xạ hạn chế π |U : U → π U ánh xạ hồn chỉnh, π ánh xạ hoàn chỉnh địa phương, mở Định lý 4.1.2 Cho H nhóm khả mêtric, compact địa phương nhóm tơpơ G Nếu khơng gian thương G / H có tính dãy, G có tính dãy Chứng minh Do Bổ đề 4.1, tồn lân cận mở U phần tử đơn vị e G ( ) ( ) cho π |U : U → π U ánh xạ đầy đủ π U đóng G / H 46 Khẳng định Giả sử { xn }n dãy U cho {π ( xn )}n dãy ( ) hội tụ π U Nếu y điểm tụ dãy {π ( xn )}n tồn dãy { xn }n hội tụ x, với π ( x ) = y Do {π ( xn )}n dãy hội tụ π |U ánh xạ hồn chỉnh, nên dãy dãy { xn }n có điểm tụ U Đặt F = π −1 (π ( x ) ) Ç U Do G khơng gian quy nên tồn dãy {U k }k tập mở G cho U k +1 Ì U k với k Ỵ  { x} = F ầ k ẻ} U k Lấy dãy { xnk } k { xn }n cho xnk Ỵ U k với k Ỵ  Cho p điểm tụ dãy dãy {x } nk k Khi pp ( p ) = ( x ) p Ỵ  kỴ U k Do π −1 (π ( x ) ) = xH khả mêtric nên π −1 (π ( x ) ) T2 − khơng gian Do p = x Suy x điểm tụ dãy { xnk } , nên xnk → x k Chọn lân cận mở V e G cho V Ì U ( ) Khẳng định Nếu C đóng dãy V , π ( C ) đóng π V ( ) Lấy { yn }n dãy π ( C ) cho yn → y π V Ta chứng minh y Ỵ π ( C ) Lấy xn Ỵ C cho π ( xn ) = yn với n Î  Do dãy dãy { xn }n có điểm tụ (do Khẳng định 1) nên tồn điểm x Ỵ π −1 ( y ) dãy { xnk } { xn }n cho xnk → x k Do C đóng dãy, nên x Ỵ C , y Ỵ π ( C ) Điều chứng tỏ π ( C ) đóng dãy ( ) ( ) ( ) có tính dãy, nên π (V ) có tính dãy, π ( C ) ( ) π V Do ánh xạ π |U : U → π U đóng π U đóng G / H , π V đóng G / H Vì G / H ( ) đóng π V 47 Khẳng định V không gian dãy G Giả sử tồn tập đóng dãy, khơng đóng A V Lấy điềm x Ỵ clV ( A ) \ A Hiển nhiên, clV ( A ) = A ( ) Lấy = f π |V : V → π V Tập B = A Ç f −1 ( f ( x ) ) đóng dãy tập đóng A thớ f −1 ( f ( x ) ) = (π −1π ( x ) ) Ç V có tính dãy Do đó, B đóng V Do G khơng gian quy x Ï B nên tồn lân cận mở W x V cho W ầ B = ặ Khi ú C = W Ç A đóng dãy tập đóng A x Ỵ C \ C Suy C Ç f −1 ( f= Ç B Æ ( x ) ) W= ( ) Do f ( x ) Ỵ f ( C ) \ f ( C ) , f ( C ) = π ( C ) khơng đóng π V Điều mâu thuẫn với Khẳng định Do V khơng gian dãy Do Khẳng định tính G nên G không gian dãy địa phương Do Bổ đề 2.1.17, ta có G khơng gian dãy □ Tính dãy khơng phải tính chất ba khơng gian Thật vậy, tồn hai nhóm tơpơ Fréchet G H cho khơng gian tích G × H khơng đếm ngt (xem [22, nh lý 6.6]) t H=Â {e} ì H , với e phần tử đơn vị G Khi H ¢ nhóm bất biến đóng G × H nhóm thương ( G × H ) / H ¢ đẳng cấu với G Vỡ vy, H Â v (G ì H ) / H Â cú tớnh dóy, nhng G ì H li khơng có tính dãy Từ Định lí 3.2.6 Định lí 4.1.2, ta suy hệ sau Hệ 4.1.3 Giả sử H nhóm bất biến, compact địa phương, thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G Nếu nhóm thương G / H không gian dãy với cs­ lưới (hay k ­ lưới, wcs* ­ lưới) đếm điểm, G khơng gian dãy với cs­ lưới (hay k ­ lưới, wcs* ­ lưới) đếm điểm 48 4.2 Tính Fréchet ngặt Định lý 4.2 Giả sử H nhóm khả mêtric, compact địa phương nhóm tơpơ G Nếu khơng gian thương G / H Fréchet ngặt, G Fréchet ngặt Chứng minh Do Bổ đề 4.1.1, tồn lân cận mở U phần tử đơn vị e ( ) ( ) nhóm tơpơ G cho π |U : U → π U ánh xạ hồn chỉnh π U đóng G / H ( ) f (U ) = π (U ) Fréchet ngặt f ( f (b )) = Đặt = f π |U : U → π U Hiển nhiên, −1 −1 π= (π ( b ) ) Ç U bH Ç U compact khả mêtric với b Ỵ U Mà khơng gian khả mêtric là không gian thỏa tiên đề đếm thứ nên tập điểm {b} Gδ − tập Do Bổ đề 2.3.4, U Fréchet ngặt Vì vậy, G Fréchet ngặt địa phương, G Fréchet ngặt (do Bổ đề 2.1.17) □ 4.3 Tính liên thơng dãy Định lý 4.3.1 Giả sử H nhóm bất biến, khả mêtric, liên thơng, compact địa phương nhóm tơpơ G Nếu nhóm thương G / H liên thơng dãy, G liên thông dãy Chứng minh Như biết [2, Bài tập 1.5.e], tính liên thơng tính chất ba khơng gian Nếu nhóm tơpơ G khơng liên thơng dãy có hai tập khác rỗng, rời nhau, mở dãy A B G cho G = A È B Nếu y Ỵ G / H , π ( x ) = y với x Ỵ G , nên π −1 ( y ) = xH liên thơng dãy Vì π −1 ( y ) Ì A hay π −1 ( y ) Ì B Suy tồn hai tập khác rỗng, rời C D G / H cho G / H = C È D, π −1 ( C ) = A π −1 ( D ) = B 49 Tiếp theo, chứng minh C , D mở dãy G / H Điều dẫn đến mâu thuẫn G / H liên thông dãy Nếu C không mở dãy G / H tồn dãy { y n }n G / H cho yn → y Ỵ C với yn Ï C với n Ỵ  Khi yn y −1 → e’ Ỵ Cy −1 G / H , với e’ phần tử đơn vị G / H Lấy U lân cận mở e G chứng minh Định lý 4.2, với e phần tử đơn vị G Do π (U ) mở nên ta giả sử yn y −1 Ỵ π (U ) với n Ỵ  Do Khẳng định chứng minh Định lý 4.1.2, tồn dãy hội tụ { xk }k U cho xk → x với x G π ( xk ) = yn y −1 với k Ỵ , k { ynk } dãy { yn }n với nk → ∞ k Khi π ( x ) = e’ Ỵ Cy −1 , x Ỵ π −1 ( Cy −1 ) = π −1 ( C ) π −1 ( y −1 ) Do π −1 ( C ) = A mở dãy G nên π −1 ( C ) π −1 ( y −1 ) mở dãy G , xk Ỵ π −1 ( C ) π −1 ( y −1 ) với k Ỵ  Vì vậy, yn y −1 = π ( xk ) Ỵ Cy −1 ynk Ỵ C , mâu k thuẫn với giả thiết Do đó, C mở dãy Tương tự, ta có D mở dãy □ Ta giả sử H nhóm compact địa phương liên thơng dãy nhóm tơpơ G Vậy G có liên thơng dãy hay khơng khơng gian thương G / H liên thông dãy? Câu trả lời “có” Kết sau có [19, Định lý 3.5]: Cho H nhóm đóng, liên thơng dãy, chứa nhóm tơpơ Hausdorff G Nếu không gian thương G / H liên thông dãy G liên thơng dãy 50 KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến nội dung sau: Tính đóng, tính compact, tính dãy, tính thỏa tiên đề đếm thứ nhất, tính khả mêtric tính chất ba khơng gian tập compact dãy Tính Fréchet, tính Fréchet ngặt, tính Fréchet mạnh tính chất ba khơng gian tập compact, compact dãy compact đếm Sự thác triển số tính chất liên quan đến lưới với nhóm H đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai, cụ thể tính chất: À0 − khơng gian, khơng gian cosmic, cs− lưới (wcs* − lưới, k − lưới) hình đếm được, cs− lưới (wcs* − lưới, k − lưới) đếm điểm Sự thác triển số tính chất với nhóm H khả mêtric, compact địa phương như: tính dãy, tính Fréchet ngặt Sự thác triển tính liên thơng dãy với nhóm H nhóm chuẩn tắc, liên thơng, khả mêtric, compact địa phương Với nội dung trình bày, luận văn đã: Giải Vấn đề nêu đầu luận văn Tìm số tính chất ba khơng gian tập compact dãy Đây kết nhiều tài liệu trước chủ yếu nghiên cứu tính chất ba khơng gian cho tập compact, compact đếm giả compact Bổ sung thêm số tính chất thác triển với nhóm H khả mêtric, compact địa phương Nhiều tính chất khác Arhangel’skiǐ trình bày [1] Tuy nhiên, nhiều hạn chế khách quan chủ quan, luận văn dừng lại khuôn khổ định Qua luận văn này, tơi tìm hiểu mảng quan trọng nhóm tơpơ, cụ thể nhóm tơpơ thương Việc nghiên cứu tính chất ba khơng gian cho thấy vai trị quan trọng nhóm tơpơ thương việc thác triển tính chất tơpơ với nhóm thỏa số tính chất cho trước, cụ thể khuôn khổ luận văn nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm khả mêtric, compact địa 51 phương Hơn nữa, việc nghiên cứu tính chất ba khơng gian tập compact, compact đếm compact dãy, giúp tơi bổ sung thêm kiến thức tính compact, tính chất quan trọng tơpơ đại cương, tơi dễ dàng tiếp cận vấn đề liên quan tương lai Cuối cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo liên tục chỉnh sửa luận văn cách khoa học, thời gian trình độ nghiên cứu có hạn nên sai sót khơng thể tránh khỏi Kính mong Q Thầy Cơ phản biện độc giả quan tâm đến đề tài xem xét, thiếu sót, góp ý nội dung cách chứng minh khác tốt để luận văn hoàn chỉnh 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh A.V Arhangel’skiǐ (2005), “Quotients with respect to locally compact subgroups”, Houst J Math, 31, pp.215-226 A.V Arhangel’skiǐ, M.G Tkachenko (2008), Topological Groups and Related Structures, Atlanltis Press/ World Scientific, Paris/Hackensack, NJ A.V Arhangel’skiǐ, V.V Uspenskij (2006), “Topological groups: local versus global”, Appl Gen Topol, (1), pp.67-72 M Bruguera, M Tkachenko (2004), “Extensions of topological groups not respect countable compactness”, Quest Answ Gen Topol, 22 (1), pp.33-37 M Bruguera, M Tkachenko (2006), “The three space problem in topological groups”, Topol Appl, (153), pp.2278-2302 D.K Burke (1984), “Covering properties”, in: K Kunen, J.E Vanghan (Eds), Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier Science Publishers B.V Amsterdam, pp 347-422 R Engelking (1980), General Topology, revised and completed edition, Heldermann Verlag, Berlin A Fedeli, A Le Donne (2002), “On good connected preimages”, Topol Appl, 125, pp 489-496 S.P Franklin (1965), “Spaces in which sequences suffice”, Fundam Math, (57), pp 107-115 10 J Gerlits, Zs Nagy (1982), “Some properties of C ( X ) ”, Topol Appl, I (14), pp.151-161 11 R.F Gittings (1977), “Open mapping theory”, in: G.M Reed (Ed.), SetTheoretic Topology, Papers, Inst Medicine and Math, Ohio Univ., Athens, Academic Press, New York, pp 141-191 53 12 G Gruenhage (1984), “Generalized metric spaces”, in: K Kunen, J.E Vanghan (Eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, pp 423-501 13 G Gruenhage, E.A Micheal, Y Tanaka (1984), “Spaces determined by pointcountable covers”, Pac J Math, (113), pp 303-332 14 J.A Guthrie (1971), “A characterization of À0 - space”, Gen Topol Appl, (1), pp 105-110 15 Shoulin (2002), Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Chinese Science Press, Beijing 16 Shoulin (2007), Generalized Metric spaces and Mappings, 2nd edition, Chinese Science Press, Beijing 17 Shoulin, Fucai Lin, Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, (180), pp 167-180 18 Shou Lin, Y Tanaka (1994), “Point-Countable k - networks, closed maps, and related results”, Topol Appl, (59), pp 79-86 19 Shou Lin, M Tkachenko (2013), “Connected LCA groups are sequentially connected”, Comment Math Univ Carol, 54 (2), pp 263-272 20 Chuan Liu, Shou Lin (2012), “Generalized metrics spaces with algebraic structures”, Topol Appl, (157), pp 1966-1974 21 E.A Micheal (1972), A quintuple quotient quest, Gen Topol Appl, (2), pp 91138 22 D Shakhmatov (2002), “Convergence in the presence of algebraic structure”, in: M Hušek, J van Mill (Eds), Recent Progress in General Topology II, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, pp 463-484 23 P Simon (1980), “A compact Fréchet spaces whose square is not Fréchet”, Comment Math Univ Carol, (21), pp 749-753 24 F Siwiec (1971), “Sequence-covering and countably bi-quotient mappings”, Gen Topol Appl, (1), pp 143-154 54 25 M Tkachenko (2014), “Paratopological and semitopological groups vs topological groups”, in: K.P Hart, J van Mill, P Simon (Eds), Recent Progress in General Topology III, Springer Atlantis Press, pp 803-859 26 V.V Uspenskij (1984), “Extensions of topological groups with a countable network”, Mosc Univ Math Bull, 39 (5), 84-85 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Nắng SỰ THÁC TRIỂN CỦA MỘT SỐ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ TRONG CÁC NHĨM TƠPƠ Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... nhóm tơpơ Năm 2008, số tính chất hội tụ A V Arhangel’skii trình bày [2] Xuất phát từ yêu cầu giải ba vấn đề nêu nghiên cứu thêm số tính hội tụ nhóm tơpơ, chúng tơi chọn vấn đề Sự thác triển số. .. khơng gian • Nếu H nhóm khả mêtric, compact địa phương G không gian thương G / H khơng gian dãy G khơng gian dãy Mục đích đề tài Nghiên cứu thác triển số tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đối tượng