Cấu trúc trên các nhóm tôpô tự do

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hà Q́c Vũ CẤU TRÚC TRÊN CÁC NHÓM TÔPÔ TỰ DO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phớ Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hà Q́c Vũ CẤU TRÚC TRÊN CÁC NHÓM TÔPÔ TỰ DO Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phớ Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: luận văn thạc sĩ tốn với đề tài “Cấu trúc nhóm tôpô tự do” cá nhân thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh, không chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu mọi trách nhiệm luận văn mình Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2016 Học viên thực Hà Quốc Vũ LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh Trong trình viết luận văn, Thầy hướng dẫn, góp ý kiến bổ sung kiến thức liên quan tới đề tài luận văn Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng đến Thầy, cám ơn Thầy vì tất làm cho tôi, để trưởng thành biết nghiên cứu tốn, mơn khoa học bản, khó khăn đầy thú vị hấp dẫn Tôi xin gởi lời cám ơn tới  TS Zhaowen Li, TS Fucai Lin TS Chuan Liu tác giả báo Networks on free topological groups, chia sẻ cho tài liệu quý liên quan tới nội dung luận văn Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng quí tác giả Kính chúc tác giả thật nhiều sức khỏe có nhiều cống hiến cho tốn học  Q Thầy Cô giảng viên giảng dạy năm học thạc sĩ toán trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh  Gia đình sát cánh bên động viên trình học  Các anh chị bạn lớp Hình học & Tơpơ khóa 25 hiểu chia sẻ kiến thức mình suốt trình làm đề tài Học viên thực Hà Quốc Vũ DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU F  X  : nhóm tơpơ X A  X  : nhóm tơpơ giao hốn X Fa  X  : nhóm tách F  X  Aa  X  : nhóm tách A  X  I  X  : tập điểm cô lập X N \ I  X  : tập điểm không điểm cô lập X Fn  X  : không gian F  X  gồm biểu thức có độ dài tối giản  n An  X  : không gian A  X  gồm biểu thức có độ dài tối giản  n G  X ,Y  : nhóm G  X  sinh Y : tập số tự nhiên supp(g) : giá biểu thức g supp( K ) : giá tập K nhóm tơpơ tự MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Mục lục MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nội dung phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học luận văn .1 Cấu trúc luận văn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian paracompact 1.2 Không gian Tychonoff 1.3 Độ chặt không gian tôpô 1.4 Khơng gian k * - mêtric hóa 1.5 Một số lớp không gian tôpô .5 1.6 Lưới không gian tôpô .7 1.7 Nhóm tơpơ tự 11 Chương TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC YẾU TRÊN CÁC NHÓM TÔPÔ TỰ DO .16 Chương NHÓM TÔPÔ TỰ DO TRÊN KHÔNG GIAN k * - MÊTRIC HÓA ĐƯỢC 31 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào năm 1941, nhóm tơpơ tự A.A Markov [14] giới thiệu tập tài liệu On free topological groups, Dokl Akad Nauk SSSR 31 với ý tưởng mở rộng cấu trúc nhóm tự từ lý thuyết nhóm thành nhóm tơpơ Hiện nay, nhóm tơpơ tự trở thành cơng cụ mạnh để nghiên cứu lý thuyết nhóm xử lý toán chứng minh định lý Năm 1989, Arkhangel'skiĭ [2] nghiên cứu tác động qua lại tính chất tơpơ X nhóm tơpơ tự F( X ) khơng gian Tychonoff khơng gian  - đóng - mêtric hóa Gần đây, Z Li, F Lin C Liu [8] trình bày số kết vấn đề qua báo Networks on free topological groups đăng báo khoa học Topology and its Applications xuất năm 2015 Các kết nghiên cứu luận văn chủ yếu dựa báo Với tính chất thời phát triển mạnh mẽ đề tài, lý chọn đề tài “CẤU TRÚC TRÊN CÁC NHÓM TÔPÔ TỰ DO” để nghiên cứu luận văn thạc sĩ mình Nội dung và phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu vấn đề cấu trúc nhóm tơpơ tự Phương pháp nghiên cứu chủ yếu luận văn luận văn sử dụng công cụ mạnh tôpô, tổng hợp hoàn thiện kết từ báo có tài liệu khoa học liên quan tới vấn đề cần nghiên cứu Ý nghĩa khoa học luận văn Arkhangel'skiĭ, Okunev, Pestov [1] Yamada [20] nghiên cứu k - không gian, tính chất Fréchet - Urysohn nhóm tơpơ khơng gian mêtric hóa Từ nảy sinh cách tự nhiên câu hỏi rằng ta tổng quát hóa kết họ lên nhóm tôpô tự số không gian mêtric suy rộng hay không Cụ thể luận văn đưa kết chứng minh F( X ) khơng gian  - đóng - mêtric hóa chỉ X khơng gian  - đóng - mêtric hóa Tiếp theo, luận văn nghiên cứu lưới định nhóm tơpơ tự tính chất k -khơng gian không gian tôpô tự k * - mêtric hóa được,  - khơng gian, tổng qt hóa định lý, khơng gian k * - mêtric hóa phổ biến hầu hết không gian mêtric suy rộng, khơng gian Lavnew (ảnh đóng của khơng gian mêtric),  ( 0 ) – không gian khơng gian k * - mêtric hóa qua đạt kết chứng minh: Cho X k * - mêtric hóa được,  - khơng gian F( X ) k - không gian chỉ X không gian rời rạc k - không gian với k lưới đếm bao gồm tập compact; A( X ) k - không gian chỉ X rời rạc k - không gian với lưới đếm hình bao gồm tập compact tập hợp điểm không cô lập tập hợp tách Cuối cùng, luận văn chỉ tính chất tơpơ Fn ( X ) tác động đến tính chất tơpơ F( X ) nào: Giả sử rằng X k * - mêtric hóa được,  - không gian, thì F4 ( X ) thỏa mãn yếu tiên đề đếm thứ chỉ X không gian rời rạc compact F( X ) k - không gian chỉ F10 ( X ) k - không gian Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày gồm phần sau: Mở Đầu: lý chọn đề tài, nội dung phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn cấu trúc luận văn Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị cho luận văn Chương 2: Các tiên đề đếm yếu nhóm tơpơ tự Chương 3: Nhóm tơpơ tự khơng gian k * - mêtric hóa CHƯƠNG MỘT SỚ KIẾN THỨC CH̉N BỊ 1.1 Khơng gian paracompact Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tôpô Họ A   Ai : i  I tập X gọi họ hữu hạn địa phương (họ rời rạc) chỉ với mỗi x  X tồn tập mở U , x  U cho i  I : U  Ai   hữu hạn (Nghĩa với mọi điểm x  X , tồn lân cận mở U x chỉ giao với số hữu hạn phần tử tập A ) Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tôpô U phủ mở X Phủ V gọi mịn U chỉ V V , U U cho V  U Định nghĩa 1.2.3 Không gian tôpô X gọi không gian paracompact quy mọi phủ mở có mịn mở hữu hạn địa phương 1.2 Khơng gian Tychonoff Định nghĩa 1.2.1 Không gian tôpô X gọi T1 – không gian hai điểm x , y khác X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x Định nghĩa 1.2.2 Không gian gọi không gian T2 hay không gian Hausdorff với hai điểm khác x , y  X thì tồn lân cận U x lân cận V y cho U  V   Định nghĩa 1.2.3 Không gian tôpô X gọi T - khơng gian (hay khơng gian hồn tồn quy) X T1 - không gian mọi x  X , mọi tập đóng F X không chứa x , tồn hàm liên tục f : X  0,1 cho f  x   f  y   với mọi y  F Không gian hồn tồn quy cịn gọi khơng gian Tychonoff 1.3 Độ chặt không gian tôpô [2] Định nghĩa 1.3.1 Độ chặt không gian tôpô X số nhỏ  có tính chất với mỡi x  X tập P  X x  P tồn tập Q  P với Q   x  Q Độ chặt không gian tôpô X ký hiệu t  X  Mệnh đề 1.3.2 Mọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ có độ chặt đếm Hơn nữa, mọi không gian Fréchet - Urysohn khơng gian dãy có độ chặt đếm 1.4 Không gian k * - mêtric hóa được [3] Định nghĩa 1.4.1 Một tập A không gian tơpơ X tiền compact có bao đóng tập compact X Định nghĩa 1.4.2 Một ánh xạ f : X  Y hai không gian tôpô ánh xạ riêng chỉ ảnh ngược f 1  K  mỗi tập tiền compact K  Y tập tiền compact X Định nghĩa 1.4.3 Một ánh xạ f : X  Y ánh xạ riêng tồn tập Z  X cho f  Z   Y mỗi tập tiền compact K  Y thì tập Z  f 1  K  tiền compact X Một ánh xạ (có thể khơng liên tục) s : Y  X gọi ánh xạ ngược ánh xạ f : X  Y f s  y   y với mỗi y  Y Ta nói rằng ánh xạ f : X  Y hai không gian tôpô bảo toàn tập tiền compact ảnh s  K  mỗi tập tiền compact K  Y tiền compact X 33 xây dựng bằng cách đồng tập  x :   1 thành điểm Khi Y chứa S1 Áp dụng hệ 2.2, tồn đồng cấu mở từ G  X  vào G  Y  Như vậy, G  Y  có độ chặt đếm Điều vì G  Y  chứa đồng phơi đóng S1  S1 theo hệ 2.5 định lý 2.4, mà S1  S1 khơng có độ chặt đếm theo bổ đề 2.35  Định lý 3.2 Cho X không gian k * - mêtric hóa Nếu I  X    , G  X  có độ chặt đếm chỉ X 0 - không gian Chứng minh Điều kiện đủ Là hiển nhiên bằng cách sử dụng định lý 2.36 Điều kiện cần Áp dụng bổ đề 3.1, X 1 - compact Do X không gian k * -mêtric hóa được, nên có  - compact - hữu hạn k - lưới Đặt = n n  - compact - hữu hạn k - lưới X Lấy n , thì n đếm được, vì  compact hữu hạn, ta giả sử x  P1   x  P2  P1  P2 Tập x  P  : P  có điểm tụ, nên tồn dãy hội tụ xi   x  P  : P  dãy qua bổ đề 2.39 Điều mâu thuẫn vì  xi : i  tập  xi : i  ) chứa hữu hạn phần tử n  X    x ( x n n n  không gian điểm giới hạn Do X 0 -khơng gian  Sử dụng định lý 2.37 3.2, ta có kết sau 34 Hệ quả 3.3 Cho X khơng gian mêtric hóa Nếu I  X    , thì mệnh đề sau tương đương: (1) G  X  có độ chặt đếm được; (2) G  X  csf – đếm được; (3) X 0 – không gian Mệnh đề sau đưa mô tả cho k - không gian đầy đủ X cho nhóm tơ pơ tự G  X  có độ chặt đếm Nhắc lại rằng khơng gian gọi khơng gian có thứ tự có lưới đếm Mệnh đề 3.4 Cho X không gian phân tầng Nếu X k - không gian, thì F  X  có độ chặt đếm chỉ X tách rời rạc Chứng minh Nếu X không gian tách được, thì X khơng gian Lindelưf X khơng gian paracompact, X khơng gian có thứ tự X Lindelưf  - khơng gian Theo hệ 2.7, thì F  X  khơng gian có thứ tự Do đó, F  X  có độ chặt đếm Chứng minh điều kiện cần Giả sử rằng X không không gian rời rạc, ta cần khẳng định rằng X không gian 1 - compact Giả sử ngược lại, cho x không điểm cô lập X , Do X không gian dãy, nên có dãy  xn : n  x Đặt S   x   x n : n   Nếu  X hội tụ đến X không không gian 1 - compact, thì tồn tập đóng, khơng đếm được, rời rạc D  d :   1  X Hơn nữa, ta giả sử D  S   Chú ý rằng X  D  S tập đóng X X khơng gian phân tầng được, Do F  X  nhóm tơpơ F  X  theo [19] Ta 35 F  X  có độ chặt đếm được, điều mâu thuẫn với bổ đề 2.19 Khi X 1 - compact  - không gian, mà X không gian có thứ tự, vì X khơng gian tách  Nhắc lại, tập A không gian Z gọi bị chặn (trong Z ) với mỗi hàm mang giá trị thực Z bị chặn A Nếu bao đóng mọi tập bị chặn Z compact thì Z gọi  - không gian Cuối cùng, ta sẽ chỉ mô tả cho k * - mêtric hóa  - khơng gian X trường hợp nhóm tơpơ tự G  X  k - không gian Hơn nữa, ta sẽ chỉ mô tả cho k * – mêtric hóa  - khơng gian X trường hợp F8  X  k - không gian kéo theo F  X  k - không gian Bổ đề 3.5 Cho khơng gian X k * - mêtric hóa  - không gian Nếu Gn  X  k - không gian thì Gn  X  không gian dãy Tương tự, G  X  k không gian thì G  X  không gian dãy Chứng minh Ta chứng minh rằng mỗi tập compact Gn  X  mêtric hóa Cho K  Gn  X  tập compact, Z  supp  K  tập compact X , Z khơng gian compact mêtric hóa X k - không   gian với  - compact - hữu hạn k - lưới Do K  in Z n ánh xạ in liên tục, với Z  Z  e  Z 1 , nên K khơng gian mêtric hóa  Mệnh đề 3.6 Cho X không gian tách được, compact địa phương mêtric hóa Khi F  X  khơng gian dãy 36 Chứng minh Áp dụng định lý 2.25 ta F  X  k - không gian Áp dụng Bổ đề 3.5, thì F  X  không gian dãy  Bổ đề 3.7 [13] Cho G nhóm tơpơ dãy Khi G khơng chứa S hay mỡi tập đóng thỏa mãn tiên đề đếm thứ G compact địa phương Định lý 3.8 Cho không gian X k * - mêtric hóa  - không gian Các mệnh đề sau tương đương: (1) A  X  0 – thỏa mãn tiền đề đếm thứ yếu; (2) A  X  không gian dãy; (3) A  X  k - không gian; (4) X không gian rời rạc k - không gian với k - lưới đếm hình bao gồm tập compact X tập NI  X  tách Chứng minh 1      3 hiển nhiên  3    theo bổ đề 3.5 Ta chứng minh         1      Áp dụng bổ đề 3.7, A  X  khơng chứa đóng S hay mỡi khơng gian đóng thỏa mãn tiên đề đếm thứ compact địa phương A  X  Đặt  - compact - hữu hạn k - lưới X Trường hợp 1: A  X  không chứa đóng S Nếu A  X  khơng chứa đóng S , khơng chứa đóng S2 [15] Do X khơng gian dãy với k - lưới  - compact - hữu hạn khơng 37 chứa đóng S S2 , nên X không gian mêtric hóa [9], A  X   - khơng gian mêtric hóa theo định lý 2.30 Do đó, theo định lý 1.6.9 thì A  X  không gian Fréchet – Urysohn mạnh Vậy X không gian rời rạc Trường hợp 2: Mỡi khơng gian đóng thỏa mãn tiên đề đếm thứ A  X  compact địa phương Đặt =  n : n   - compact - hữu hạn k - lưới X Do mỗi không gian đóng thỏa mãn tiên đề đếm thứ compact địa phương, nên  '= P   : P lµ compact k - lưới X [9] Hơn nữa, ' k - lưới đếm hình Áp dụng bổ đề 3.1, thì NI  X  1 - compact, P  : P  NI  X    k - lưới đếm NI  X  Đặt   ''= P : P  ',: P  NI  X      x : x  I  X  thì '' k - lưới đếm hình bao gồm tập compact X    1 Đặt compact, đặt X  k - lưới đếm hình bao gồm tập P  : P  NI  X    Khơng khó để kiểm tra X mở theo dãy (do tập mở), k - không gian Đặt X  X \ X thì X rời rạc, đóng mở X Áp dụng mệnh đề 2.9, A  X  đẳng cấu tơpơ với nhóm tích A  X   A  X  , với A  X  k - không gian định lý định lý 2.14 A  X  rời rạc Chú ý rằng mỗi tập compact A  X  mêtric hóa được, nên mỡi khơng gian k A  X  ảnh đếm không gian mêtric compact địa phương Điều dẫn đến mỗi không gian k 0 – thỏa mãn yếu 38 tiên đề đếm thứ , A  X  0 – thỏa mãn yếu tiên đề đếm thứ  Định lý 3.9 Cho không gian X k * – mêtric hóa Khi F4  X  thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu chỉ X không gian rời rạc compact Chứng minh Điều kiện đủ: Áp dụng định lý 2.29, F4  X  thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu Điều kiện cần: Trước hết, ta chứng mình rằng X khơng chứa đóng S2 Giả sử ngược lại, đặt Y  x  xn : n    xn  m  : m   đóng S2 , với x n  x n   xn  m   xn m   Với mỗi n, xn1 xn  m   e Z m   Zm : m   , Đặt  Zm  e  xn1 xn  m  : m   Z  F2  X  Khẳng định Z đóng S Lấy E tập Z cho E  Zm đóng Zm với mỡi m  1 Nếu E khơng tập đóng F4  X  , tồn dãy x ni x ni  mi  : i  hội tụ đến điểm y với  E y  E Do xni  x i   , ta có xni xni1 xni  mi   xy i   , điều dẫn đến xni  mi   xy i   , điều mâu thuẫn Do Z đóng S Do khẳng định trên, F4  X  không chứa đóng S , điều F4  X  thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu Vì thế, X không chứa đóng S2 39 Do X k - không gian với k - lưới  - compact - hữu hạn không chứa đóng S2 , Theo [9] ta X khơng gian Fréchet – Urysohn, X khơng gian Lavnev (ảnh đóng khơng gian mêtric) [11] Do X khơng chứa đóng S , ta biết rằng X không gian Fréchet – Urysohn mạnh [18], nên X thỏa mãn tiền đề đếm thứ [7] Ta biết rõ rằng không gian Lavnev thỏa mãn tiền đề đếm thứ khơng gian mêtric hóa được, nên X khơng gian mêtric hóa Nếu X khơng compact không rời rạc, theo chứng minh mệnh đề 2.27, không gian F4  X  chứa đóng S , điều mâu thuẫn F4  X  thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu  Định lý 3.10 Giả sử X không gian k * - mêtric hóa được, Nếu F2  X  thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu, thì NI  X  không gian compact Chứng minh Theo chứng minh định lý 3.9, ta thấy rằng X khơng gian mêtric hóa được, NI  X  khơng khơng gian compact, theo chứng minh mệnh đề 2.26 F2  X  chứa đóng S Điều S không thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu Vậy, NI  X  không gian compact  Định lý 3.11 Cho khơng gian X k * – mêtric hóa  – không gian Các mệnh đề sau tương đương (1) F  X  0 - thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu; (2) F  X  không gian dãy; (3) F  X  k - không gian; 40 (4) X không gian rời rạc k - không gian với k - lưới đếm bao gồm tập compact X Chứng minh 1      3 hiển nhiên  3    theo bổ đề 3.5 Ta chứng minh         1      Nếu NI  X    , thì X không gian rời rạc NI  X    , X không gian dãy nên tồn dãy C   xn : n   hội tụ đến điểm x0 thuộc NI  X  Giả sử X không không gian 1 - compact theo bổ đề 3.1, NI  X  khơng gian 1 - compact, X \ NI  X  có tập D đóng, rời rạc, không đếm Đặt Y  C  D Thì Y khơng gian đóng X F  Y  không k - không gian theo bổ đề 2.19 Khẳng định F  Y  đẳng cấu tôpô với F  Y , X  Thật vậy, với mỗi tập compact K  F  X  , tồn n cho K  Fn  X  theo hệ 2.15 Đặt Z  supp  K   Y Thì Z không gian compact Y theo định lý 2.21 Hiển nhiên F  Y , X   K  Z n Sử dụng mệnh đề 2.18, F  Y  đẳng cấu tôpô với F  Y , X  Do F  Y , X  đóng F  X  theo định lý 2.16 F  X  không gian dãy, F  Y , X  không gian dãy, điều mâu thuẫn theo bổ đề 2.19 Do X không gian 1 - compact Trong không gian 1 - compact, họ  - compact - hữu hạn đếm được, nên X có k - lưới đếm được, F  X  có k - lưới đếm theo định lý 2.36 41 Áp dụng bổ đề 3.7, F  X  không chứa đóng S hay mỡi tập đóng thỏa mãn tiên đề đếm thứ F  X  compact địa phương Trường hợp thứ nhất, F  X  thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu [12], thì khơng gian mêtric hóa được, điều dẫn đến X khơng gian rời rạc Trường hợp thứ hai, X có k - lưới đếm bao gồm tập compact theo định lý 1.6.13    1 Rõ ràng, X không gian rời rạc, thì F  X  0 - thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu Nếu X k - không gian với k - lưới đếm bao gồm tập compact, từ định lý 2.36 định lý 2.14 thì F  X  k 0 - không gian Mỗi tập compact F  X  mêtric hóa được, nên F  X  tập thương, đếm với ảnh không gian mêtric compact địa phương, F  X  0 - thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu  Theo định lý 1.6.8, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.12 Cho X không không gian compact đia phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khi S  X S2  X không không gian dãy Chứng minh Tương tự chứng minh mệnh đề 2.18 Bổ đề 3.13 Cố định n , lấy Y tập nhóm Fn  X  khơng gian Tychonoff X Giả sử F2n  X  k - khơng gian có dạng sở đại số tự nhóm Y  F  X  Nếu với mỗi tập compact K  F2n  X  , tồn tập compact P  Y cho Y  K  P , thì Y F2  Y  đẳng cấu tôpô với Y , Y 2 đóng F2n  X  ký hiệu tập gồm tất phần tử có độ dài tối giản lớn sở tự Y 42 Chứng minh Ký hiệu f đẳng cấu liên tục từ F2  Y  lên Y với ánh xạ thu hẹp lên Y ánh xạ đồng Lấy C tập compact Y , theo giả thiết thì tồn tập compact P Y cho C  P f 1  C   F2  P, Y  Do F2  P, Y  compact, tập f 1  C  đóng F2  Y  Do f 1  C  compact F2  Y  Khẳng định Y đóng F2n  X  Lấy C tập compact F2n  X  , ta xác định tập compact P  Y cho Y Y Y  C  P Do C P tập compact, nên  C  P  C compact đóng C Do F2n  X  k - khơng gian đóng F2n  X  Tiếp theo, ta chứng minh rằng f ánh xạ đóng Lấy A tập đóng F2  Y  B  f  A  Nếu C tập compact Y , thì f 1  C  tập compact F2  Y  , A  f 1  C  đóng f 1  C  tập compact   Vậy B  C  f A  f 1  C  tập compact đóng C B đóng Y F2n  X  k - không gian Y đóng F2n  X  Kết luận, f song ánh liên tục F2  Y  lên Y , nghĩa là, F2  Y  đẳng cấu tôpô với Y  Định lý 3.14 Cho không gian X k * – mêtric hóa  – không gian Các mệnh đề sau tương đương 43 (1) F  X  k - không gian; (2) F10  X  k - không gian; (3) X không gian rời rạc k - không gian với k - lưới đếm bao gồm tập compact X Chứng minh Theo định lý 3.11, ta chỉ cần chứng minh     3 Lấy X không gian không rời rạc Khẳng định Không gian X không gian 1 - compact Giả sử ngược lại, tồn tập đóng rời rạc D  d :   1 dãy hội tụ không tầm thường C   xn : n    X theo bổ đề 2.34 Đặt xn  x0 n     Với mỗi   1 , đặt C  x0d1 x01 xn d : x  C Y  C :   1 Hiển nhiên Y  F5  X  , C đồng cấu với C C  C      Khẳng định Không gian Y đóng F5  X  S1 Thật vậy, Y không đóng khơng S1 , có dãy hội tụ (với điểm giới hạn) S  Y cho S giao hữu hạn với C ' s Khi K  supp  S  tập compact X theo định lý 2.21, K  D hữu hạn   , với K  K  K Nên S  i5 K 1  e Tuy nhiên, điều vì   giao hữu hạn với hầu hết C ' s i5 K  Lấy H tập compact F10  X  , M  supp  H  tập    Y , với M  M  M compact X theo định lý 2.21 Đặt P  i5 M 1  e Thì 44 P tập compact Y dễ dàng kiểm tra H  Y  P Theo bổ đề 3.13, F2  Y  tập đóng F10  X  k - không gian, điều mâu thuẫn vì F2  Y  khơng chứa đóng Y Y không k - không gian theo bổ đề 2.35 Ta hoàn tất chứng minh cho khẳng định Vì vậy, X 0 - không gian theo chứng minh định lý 3.2 Trường hợp F5  X  không chứa đóng S Do F5  X  k - không gian 0 - không gian theo định lý 2.36, nên thỏa mãn yếu tiên đề đếm thứ [9] X compact theo định lý 3.9, nên X có k - lưới đếm bao gồm tập compact X Trường hợp F5  X  chứa đóng S Khi mỡi khơng gian đóng thỏa mãn tiên đề đếm thứ X compact đếm Mặt khác, X chứa không gian compact không đếm được, đóng thỏa mãn tiên đề đếm thứ Z cho Z  S   Do X không gian Lindelof, Z không không gian compact địa phương, nên F10  X  chứa đóng S  Z , điều mâu thuẫn vì F10  X  không gian dãy (chú ý: k - không gian 0 - khơng gian thì khơng gian dãy) S  Z không không gian dãy theo bổ đề 3.12 Như vậy, X có k - lưới đếm bao gồm tập compact theo định lý 1.6.13  Câu hỏi 3.15 Cho X khơng gian mêtric hóa được, F4  X  k - không gian thì F  X  có k - khơng gian hay khơng? 45 KẾT LUẬN Với mục đích đặt luận văn trình bày “cấu trúc nhóm tơpơ tự do” qua ba chương cụ thể sau: Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian tơpơ; cấu trúc khơng gian tơpơ nhóm tôpô tự Chương Trình bày tiên đề đếm yếu nhóm tơpơ tự nêu định lý quan trọng F( X ) khơng gian  - đóng - mêtric hóa chỉ X không gian  - đóng - mêtric hóa Chương Trình bày tính chất tơpơ Fn ( X ) tác động đến tính chất tơpơ F( X ) trường hợp X k * - mêtric hóa được,  - khơng gian mà kết đạt cụ thể qua định lý 3.14: F10 ( X ) k - không gian chỉ F( X ) k - không gian; định lý 3.9 : F4 ( X ) thỏa mãn yếu tiên đề đếm thứ chỉ X không gian rời rạc compact Ngồi cịn có hai kết quan trọng trình bày qua định lý 3.11 cho trường hợp nhóm tôpô tự F  X  định lý 3.8 cho trường hợp nhóm giao hốn tơpơ tự A  X  : Cho X k * - mêtric hóa được,  - khơng gian F( X ) k - không gian chỉ X không gian rời rạc k - không gian với k - lưới đếm bao gồm tập compact; A( X ) k - không gian chỉ X rời rạc k - không gian với lưới đếm hình bao gồm tập compact tập hợp điểm không cô lập tập hợp tách Mặc dù có nhiều cố gắng trình soạn thảo sai sót khơng thể tránh khỏi, tơi xin chân thành lắng nghe ý kiến đóng góp Quý Thầy bạn luận văn để tơi hồn thiện tốt Xin chân thành cảm ơn! 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Arkhangel'skiĭ A.V., Okunev O G., Pestov V.G (1989), Free topological groups over metrizable spaces, Topol, Appl 33, pp 63-76 Arkhangel'skiĭ A.V., Tkachenko M (2008), Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press and World Sci Banakh, Bogachev V.I., Kolesnikov A.V (2008), k * -Metrizble spaces and their applications J Math Sci 155 (4), pp 475-522 Engelking R (1989), General Topology, revised and completed edition, Heldermann Verlag, Berlin Gruenhage G (1980), k -Spaces and products of closed images of metrigc spaces, Proc Am Math Soc 80 (3), pp 478-482 Gruenhage G (1984), Generalized metric spaces, in : K Kunen, J.E Vaughan (Eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier Science Publisher B.V., Amsterdam, pp 423-501 Gruenhage G., Michael E., Tanaka Y (1984), Spaces determined by point-countable covers, Pac J Math 113, pp 303-332 Li Z., Lin F., Liu C (2015), Networks on free topological groups, Topol Appl 180, pp 186-198 Lin S (1997), A note on the Aren’ space and sequential fan, Topol Appl 81, pp 185196 10 Lin S (2015), A note on closed images of locally compact metric spaces, Acta Math Hung 109, pp 157-162 11 Liu C (1992), Spaces with a  -compact finite k-networks, Quest Answ Gen Topol 10, pp 81-87 47 12 Liu C., Lin S (2010), Generalized metric spaces with algebric structures, Topol Appl 157, pp 1966-1974 13 Liu C., Sakai M., Tanaka Y (2002), Topological groups with a certain pointcountable cover, Topol Appl 119, pp 209-217 14 Markov A.A (1941), On free topological groups, Dokl Akad Nauk SSSR 31 15 Nogura T., Shakhmatov D., Tanaka Y (1997),  -Property versus A-porperty in topological spaces and groups, Studia Sci Math Hung 33 (4), pp 351-362 16 Svetlichny S.A (1989), Intersection of topologies and metrizability in topological group, Vestnik Moskov Univ Math 44 (4), pp 79-81 17 Tanaka Y (1976), Product of senquential spaces, Proc Am Math Soc 54, pp 371375 18 Tanaka Y (1983), Metrizability of certain quotient spaces, Fundam Math 119, pp 157-168 19 Uspenskii V (1991), Free topological groups of metrizable spaces, Math USSR, Izv 37, pp 657-680 20 Yamada K (1998), Metrizable subspaces of free topological groups on metrizable spaces, Topol Proc 23 ... bày ? ?cấu trúc nhóm tôpô tự do? ?? qua ba chương cụ thể sau: Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian tôpô; cấu trúc không gian tôpô nhóm tơpơ tự Chương Trình bày tiên đề đếm yếu nhóm. .. gian tôpô .5 1.6 Lưới không gian tôpô .7 1.7 Nhóm tơpơ tự 11 Chương TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC YẾU TRÊN CÁC NHÓM TÔPÔ TỰ DO .16 Chương NHÓM TÔPÔ TỰ DO TRÊN... nhóm tơpơ nửa nhóm tơpơ, mỡi nửa nhóm tơpơ nửa nhóm nửa tơpơ, mỡi nửa nhóm nửa tơpơ nửa nhóm tơpơ trái phải Chú ý rằng mỡi nhóm (nửa nhóm) xây dựng thành nhóm (nửa nhóm) tơpơ bằng cách trang