Thác triển chỉnh hình kiểu riemann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thúy Hồng THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN Chun ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học thầy Nguyễn Thái Sơn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy – người ñã bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài kinh nghiệm thực ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền ñạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Chân thành cảm ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Tốn – Tin trường ðại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cảm ơn q thầy phịng khoa học cơng nghệ sau đại học tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Bình ðơng – Tiền Giang ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cảm ơn bạn lớp trao đổi, góp ý ñộng viên tác giả nhiều suốt q trình thực luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hồng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ðẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức ℂn 1.2 ðịnh nghĩa hàm chỉnh hình 1.3 ðịnh nghĩa miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 1.4 Hàm ñiều hòa dưới, hàm ña ñiều hòa 10 1.5 Bao đa điều hịa 12 1.6 Nguyên lý mơđun cực đại 15 1.7 Không gian Banch hyperbolic 17 1.8 Tập cực tập ña cực 18 1.9 ðiều kiện lồi – ñĩa yếu tính chất 18 1.10 ðịnh lý Shiffmann 19 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT 20 2.1 ðịnh lý Kwack 20 2.2 Mở rộng định lý Kwack sang vơ hạn chiều 21 2.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs 25 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP CỰC 29 3.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực 29 3.1.1 ðịnh nghĩa tập cực tính chất 29 3.1.2 Ký hiệu 30 3.1.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập đa cực đóng 31 3.2 Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 38 3.2.1 ðịnh lý Noguchi 38 3.2.2 ðịnh nghĩa tập cực loại hữu hạn 39 3.2.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn đóng với tập giá trị khơng gian giả lồi 39 3.2.4 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn ñóng với tập giá trị mặt Riemann compact hyperbolic 42 3.3 Miền Hartogs thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 43 3.3.1.ðịnh nghĩa 43 3.3.2 Tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn (SPEP) 43 3.3.3 ðịnh lý quan hệ tính chất (SPEP) khơng gian giải tích Banach miền Hartogs 48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ðẦU Lý chọn đề tài: Thác triển chỉnh hình tốn trung tâm Giải tích phức hữu hạn vô hạn chiều Trên giới có nhiều nhà tốn học quan tâm tới vấn ñề khoảng thập kỷ qua ñã có nhiều kết nghiên cứu quan trọng Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed Zeriahi, … Ở Việt Nam hình thành nhóm mạnh nghiên cứu tốn này, bật nhà khoa học Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, ðỗ ðức Thái Lê Mậu Hải Cho ñến việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay cịn gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong trường hợp đặc biệt quan trọng với điều kiện khơng gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H ( r ) → X thác triển chỉnh hình tới ∆ , ñây < r < H (r ) = {( z1 , z2 ) ∈ ∆ :| z1 | < r} ∪ {( z1 , z2 ) ∈ ∆ :| z2 | > − r} với ∆ = { z ∈C: |z| b) Nếu G mở rộng chỉnh hình Ω f ( Ω ) = f ( G ) với hàm f chỉnh hình G Thật khơng tồn hàm f chỉnh hình G ω0 ∈ f ( G ) \ f ( Ω ) Khi hàm g (z) = , z ∈Ω f ( z ) − ω0 chỉnh hình Ω khơng thể mở rộng chỉnh hình tới G 39 Trong Luận văn này, chúng tơi dừng lại tìm hiểu trường hợp Z tập mở không gian Banach S tập cực loại hữu hạn ñóng Z 3.2.2 ðịnh nghĩa Cho X tập khơng gian Banach B Ta nói X tập cực loại hữu hạn với không gian hữu hạn chiều E B tồn không gian hữu hạn chiều F B bao hàm E cho X ∩ F tập cực F 3.2.3 ðịnh lý Cho X không gian giả lồi cho H ( ∆ ,X ) = H ( ∆ \ S ,X ) với tập cực đóng S ⊂ ∆ Khi H ( Z ,X ) ≅ H ( Z \ S ,X ) với tập mở Z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn đóng S Z Chứng minh (i) Theo giả thiết H ( ∆,X ) = H ( ∆* , X ) X khơng chứa đường thẳng phức Khi ñó, tập compact X có lân cận hyperbolic X (ii) Cho {f n } ⊂ H ( ∆ \ S,X ) với f n → f H ( ∆ \ S,X ) , ñây S tập cực ∆ Chúng ta chứng minh f n → f H ( ∆,X ) 40 Cho z ∈ S Vì S tập cực nên ta tìm lân cận U z0 cho ∂U ∩ S = ∅ Khi đó, K = ∪ f n ( ∂U ) ∪ f ( ∂U ) n ≥1 tập compact tương ñối X Theo tính giả lồi X, bao đa điều hịa K PSH( X ) K tập compact X Từ (i) ta suy tập hợp K PSH( X ) có lân cận hyperbolic W Theo ngun lý mơđun cực đại hàm đa điều hịa ta có ∪f ( U) ∪ f ( U) ⊂ W n ≥1 n Cho {z n } ⊂ U dãy tùy ý hội tụ tới z0 Dễ dàng thấy d W ( f n ( z n ) ,f ( z ) ) ≤ d W ( f n ( z n ) ,f ( z n ) ) + d W ( f ( z n ) ,f ( z ) ) ≤ d W ( f ( z n ) ,f ( z n ) ) + d U ( z n ,z ) ñây dW dU khoảng cách Kobayashi W U tương ứng Do đó, f n ( z n ) → f ( z ) ðiều suy f n → f H ( ∆,X ) (iii) Theo (ii) áp dụng ñịnh lý 3.1.3 ta có H ( Z,X ) ≅ H ( Z \ S,X ) với tập mở Z ℂ n tập cực S ⊂ Z (iv) Bây ta giả sử Z tập mở không gian Banach B S tập cực Z Trước hết chứng tỏ H ( Z,X ) = H ( Z \ S,X ) 41 Cho f ∈ H ( Z \ S,X ) z ∈ S Khơng làm tính tổng qt ta giả sử z0 = Chọn không gian hữu hạn chiều E B cho S ∩ E tập cực Như tìm hàm điều hịa ζ lân cận U E e ∈ U cho ζ ( e ) ≠ −∞ ζ U∩S = −∞ Khi tồn ε > cho ∂∆ ε e ∩ S = ∅ Ta viết B = ℂe ⊕ F với E = ℂe ⊕ E1 , E1 ⊂ F Do tính compact ∂∆ ε e × ta tìm lân cận D ∈ F cho ( ∂∆ ε e × D ) ∩ S = ∅ fˆ ( ∂∆ ε e × D ) compact tương ñối X Giả sử φ hàm đa điều hịa vét cạn X, ngun lý mơđun cực đại ta có: sup φfˆ = sup φfˆ < ∞ ∆ε e×D ∂∆ε e× D Do φ hàm vét cạn nên fˆ ( ∆ ε e × D ) compact tương đối X Theo (i), tập fˆ ( ∆ ε e × D ) có lân cận hyperbolic W Từ ñẳng thức { d ∆ e×D ( z,z / ) = inf d ( ε ( z, z ) : dim E < ∞, z, z ∈ E} , / ∆εe×D )∩ E / ta suy d w fˆ ( z ) ,fˆ ( z / ) ≤ d ∆ e×D ( z, z / ) ( ) ε Vậy fˆ liên tục f chỉnh hình ∆ ε e × D (v) Cuối cùng, cách lặp lại lặp luận (ii), {f } ⊂ H ( Z \ S,X ) = H ( Z,X ) k hội tụ tới f H ( Z \ S,X ) f k ( z k ) → f ( z ) với {z k } ⊂ Z \ S, z k → z ðiều suy f k → f H ( Z,X ) 42 ðịnh lý ñã ñược chứng minh xong Trên ñây ta tìm hiểu tốn thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn trường hợp X khơng gian giả lồi ðể có nhìn tồn diện nội dung này, sau ta xem xét trường hợp X mặt Riemann compact hyperbolic ðó nội dung định lý sau ñây: 3.2.4 ðịnh lý Cho X mặt Riemann compact hyperbolic Khi đó, H ( Z ,X ) ≅ H ( Z \ S ,X ) với tập mở Z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn đóng S ⊂ Z Chứng minh ɺɺ , ánh xạ thu hẹp R : H ( ∆,X ) → H ( ∆ \ S,X ) song ánh với Theo Jarvi tập đóng cực loại hữu hạn S Z Theo tính đầy ñủ hyperbolic X, ta suy H (∆,X) ≅ H (∆ \ S,X) Do ñịnh lý 3.2.3 ta suy H ( Z,X ) ≅ H ( Z \ S,X ) với tập mở Z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn đóng S Z Trong khn khổ đề tài xem xét toán thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn, chúng tơi muốn tìm hiểu thêm quan hệ khơng gian giải tích banach miền Hartogs mối tương quan với việc thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 43 3.3 Miền Hartogs thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn Trước hết ta định nghĩa tính thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 3.3.1 ðịnh nghĩa • ðịnh nghĩa Miền Hartogs D với mặt phẳng ñối xứng z n = a n miền với z o = ( z1o , , z on ) ∈ D ñiểm ( ) z = z1o , , zon −1 , a n + ( zon − a n ) eiθn ∈ D ∀θ n ( ≤ θ n ≤ 2π ) • ðịnh nghĩa Một khơng gian giải tích Banach X gọi có tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn ( gọi tắt có tính chất (SPEP)) H ( Z,X ) ≅ H ( Z \ S,X ) , ñây Z miền không gian Banach B S tập cực loại hữu hạn đóng Z Bây ta xét X không gian phức φ hàm điều hịa X Xét miền Hartogs Ωφ ( X ) cho Ωφ ( X ) = {( x, λ ) ∈ X × ℂ : λ < e − φ( x ) } Trước tiên ta có định lý sau đây: 3.3.2 ðịnh lý Giả sử X không gian phức φ hàm đa điều hịa X Giả sử ρ metric Hermit X 44 Nếu X có tính chất (SPEP) lim sup  ε log ρ ( x,a ) − φ ( x )  < với x →a ε > moi a ∈ X Ωφ ( X ) có tính chất (SPEP) ɺ Chứng minh Q trình chứng minh mệnh đề chia làm bước: Bước 1: Ta chứng minh H ( Z, Ωφ ( X ) ) ≅ H ( Z \ S, Ωφ ( X ) ) với tập cực đóng S tập mở Z ℂ (i) Giả sử f := ( f1 ,f ) : Z \ S → Ωφ ( X ) ánh xạ chỉnh hình Nếu fj thác triển chỉnh hình tới fˆj Z, hàm ψ ( z ) = log fˆ2 ( z ) + φ fˆ1 ( z ) < Z\S Do ψ điều hịa ( ) nên theo ngun lý mơđun cực đại ψ(z) < với z ∈ Z fˆ = fˆ1 ,fˆ2 ∈ H ( Z, Ωφ ( X ) ) ( ) Do giả thiết, f1 thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình fˆ1 : Z → X Cho s ∈ S Chọn lân cận Stein U fˆ1 ( s ) X cho U đẳng cấu với tập giải tích hình cầu mở ℂ m Khi tồn lân cận W s Z cho fˆ1 ( z ) ∈ U, ∀z ∈ W 45 Do φ hàm đa điều hịa nên theo Fornaess Narashimhan [2], π −1 ( U ) khơng gian Stein, π phép chiếu tắc Ωφ ( U ) = {( x,λ ) ∈ U × ℂ : λ < e− φ( x ) } lên U xác ñịnh π ( x,λ ) = x Do ta cần chứng minh f2 có thác triển chỉnh hình tới fˆ2 Cố ñịnh s / ∈ S ∩ W tùy ý Viết h ( z ) := fˆ1 ( z ) − fˆ1 ( s / ) = ( h1 ( z ) , h ( z ) , ,h m ( z ) ) , z ∈ W p h1 ( z ) = ( z − s / ) g ( z ) , g ( s / ) ≠ Ta chon ε > saocho εp ( p + ) < ɺ Do giả thiết ñối với φ , tồn δ > cho ε log x − fˆ1 ( s / ) − φ ( x ) < ∀x ∈ U : x − fˆ1 ( s / ) < δ hay tương ñương e − φ( x ) ≤ với x ∈ U cho x − fˆ1 ( s / ) < δ ε / x − fˆ ( s ) Ta chọn lân cận W1 s/ W cho fˆ1 ( z ) − fˆ1 ( s / ) < δ ∀z ∈ W1 r = inf g ( z ) > z∈W1 Khi ñó f2 ( z ) < e − φ fˆ1 ( z ) ( ) ≤ với z ∈ W1 \ S ≤ fˆ1 ( z ) − fˆ1 ( s / ) C z pε g (z) pε ≤ ε < C ( C pε r pε z { max h1 ( z ) , , h m ( z ) }) ε 46 Ở ñây C số không phụ thuộc vào z ∈ W1 \ S Bất ñẳng thức suy f2 khả tích bậc p + W1 Bởi Λ 2−p ( S) = với p / = / p+2 số liên hợp p + với p ≥ , p +1 nên f2 ñược thác triển chỉnh hình ñến fˆ2 W1 Vậy f thác triển chỉnh hình tới fˆ := fˆ1 ,fˆ2 : Z → Ωφ ( X ) ( ) Giả sử {f k = ( f1k ,f 2k )} dãy ánh xạ chỉnh hình từ Z \ S vào (ii) Ωφ ( X ) cho dãy hội tụ tới f = ( f1, f2) với tập cực đóng S tập mở Z ℂ Theo (i), f ik fi ( i = 1, 2) ñược thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình fˆik fˆi giả thiết, fˆ1k hội tụ fˆ1 H(Z, X) { } Mặt khác, theo ngun lý mơđun cực đại fˆ2k hội tụ fˆ2 H(Z) { } Do đó, fˆ k hội tụ fˆ H ( Z, Ωφ ( X ) ) { } Bước 2: Do ñịnh lý 3.1.3, Ωφ ( X ) có tính chất H ( Z, Ωφ ( X ) ) ≅ H ( Z \ S, Ωφ ( X ) ) với tập cực ñóng S tập mở Z ℂ n 47 Bước 3: Giả sử f := ( f1 ,f ) : Z \ S → Ωφ ( X ) ánh xạ chỉnh hình Ở ñây, S tập cực loại hữu hạn ñóng tập mở Z không gian Banach B Do giả thiết, f1 thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình fˆ1 : Z → X Theo bước 2, f2 ñược mở rộng tới hàm chỉnh hình Gateaux fˆ2 Z Do theo ñịnh lý Zorn, fˆ2 chỉnh hình W Do s tùy ý nên fˆ2 chỉnh hình Z Vậy f ñược thác triển chỉnh hình tới fˆ : Z → Ωφ ( X ) Bước 4: Giả sử {f k = ( f1k ,f 2k )} dãy ánh xạ chỉnh hình từ Z \ S vào Ωφ ( X ) cho dãy hội tụ tới f = ( f1 ,f ) , ñây S Z bước Theo giả thiết, fˆ1k hội tụ tới fˆ1 H(Z, X) Ta cần kiểm tra lại { } {fˆ } hội tụ tới fˆ k 2 H(Z) Khi đó, fˆ k hội tụ tới fˆ H ( Z, Ωφ ( X ) ) { } Thật vậy, cho s ∈ S Khơng làm tính tổng qt ta giả sử s = Vì S tập cực loại hữu hạn nên theo ñịnh nghĩa, tồn không gian hữu hạn chiều E B hàm điều hịa φ lân cận U E cho φ ≠ −∞ φ U∩S = −∞ Chọn e ∈ U ñể φ ( e ) ≠ −∞ viết B = ℂe ⊕ F , ñây F không gian B với E = ℂe ⊕ E1 với E1 ⊂ F 48 Do ℂe ∩ S tập cực nên tồn ε > cho ∂∆ ε e ∩ S = ∅ Vậy tồn lân cận D ∈ F cho ( ∂∆ ε e × D ) ∩ S = ∅ Ta có fˆ2k hội tụ fˆ2 ñều tập compact ∂∆ ε e × D Theo ngun lý mơđun cực ñại, fˆ2k hội tụ fˆ2 ñều tập compact ∆ ε e × D lân cận s = Z ðịnh lý ñã ñược chứng minh xong ðến ñây vấn ñề ñược ñặt cách tự nhiên liệu ñiều ngược lại có hay khơng ðể trả lời câu hỏi này, có định lý sau đây: 3.3.3 ðịnh lý Giả sử X không gian phức φ hàm đa điều hịa X Giả sử ρ metric Hermit X Nếu Ωφ ( X ) có tính chất (SPEP) X có tính chất (SPEP) liminf  ε log ρ ( x,a ) − φ ( x )  < với ε > a ∈ X x →a Chứng minh Vì X đóng Ωφ ( X ) nên X có tính chất (SPEP) Bây ta chứng minh liminf ε logρ x,a − φ ( x )  < x →a với ε > moi a ∈ X ɺ 49 Thật vậy, giả sử tồn a ∈ X ε cho liminf ε log x − a − φ ( x )  ≥ x →a Do ε  liminf  log x − a − φ ( x )  = limsup ε log x − a − φ ( x )  x →a x →a 2   ε  + liminf − − log x a   = +∞ x →a Ta tìm ε < r0 < cho log x − a − φ ( x ) > ∀x : x − a < r0 hay tương ñương x −a ε/2 < e − φ( x ) ∀x : x − a < r0 Chọn số nguyên dương k, l cho k ε < l ðặt a = ( a1 ,a , ,a n ) Xác định ánh xạ chỉnh hình f : ∆* ( a ,r0 ) → Ωφ ( X ) bởi:  l f ( z ) =  a1 + ( z − a1 ) ,a2 , ,an , k  ( z − a1 )     Ở ñây ta ký hiệu ∆ ( a , r0 ) ∆* ( a , r0 ) đĩa đĩa thủng có tâm a1 bán kính r0 Vì theo giả thiết, f thác triển chỉnh hình tới ∆ ( a1 , r0 ) ðiều vơ lý Vậy định lý ñã ñược chứng minh xong Nhận xét 50 Ta có nhận xét điều kiện định lý 3.3.2 ln thỏa với φ hàm liên tục ∆ Tuy nhiên ðỗ ðức Thái ñã xây dựng hàm φ gián ñoạn 0∈ ∆ , ñiều hòa ∆ thỏa mãn ñiều kiện limin f φ ( z ) = −∞,φ ∆ ∈ ℂ ∞ limsup ε log z − φ ( z )  < Hơn Ωφ ( ∆ ) z →0 * z →0 không hyperbolic Áp dụng ñịnh lý 3.3.2 ta suy Ωφ ( ∆ ) có tính chất (SPEP) Thơng qua định lý trình bày, phần ta tìm hiểu chứng minh ñược ba kết quan trọng Kết thứ nói tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực đóng kết thứ hai đề cập đến khía cạnh việc thác triển chỉnh hình qua tập cực vơ hạn chiều Cuối chúng tơi tìm hiểu tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn mà gọi có tính chất (SPEP) Chúng tơi tìm hiểu có hai lớp khơng gian có tính chất ñó Lớp thứ miền Riemann compact hyperbolic lớp thứ hai miền Hartogs Ωφ ( X ) trường hợp có thêm vài tính chất mà chúng tơi trình bày ðến đây, cịn vấn đề đặt phải có khơng gian phức có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực ∆ có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực ñóng ña tạp phức? Câu trả lời cho câu hỏi theo chúng tơi có lẽ khơng đơn giản mà thời gian trình độ cịn hạn chế, chúng tơi chưa thể trả lời ðó nội dung mà thời gian cho phép tiếp xúc với tài liệu có liên quan, chúng tơi tiếp tục tìm hiểu thêm 51 KẾT LUẬN Thông qua Luận văn này, tìm hiểu tốn thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tương đối tồn diện Trước hết xuất phát từ ðịnh lý Kwack, chúng tơi tìm hiểu tính chất ∆* − thác triển (xem mở rộng ðịnh lý Kwack lên vơ hạn chiều) Trong lộ trình này, chúng tơi tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua siêu mặt Sau đó, chúng tơi tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua tập cực tập cực loại hữu hạn ðồng thời tìm hiểu tính thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn miền Hartogs Ωϕ ( X ) Các kiến thức có liên quan đến Luận văn chủ yếu tài liệu mà giảng viên hướng dẫn cung cấp Do cố gắng tìm hiểu, thời gian có hạn nên Luận văn chưa trình bày cách mạch lạc Về việc chúng tơi khắc phục Ngồi ra, việc nghiên cứu thêm việc thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs (tức thác triển lên bao chỉnh hình) hướng tích cực mà chúng tơi muốn tìm hiểu thời gian cho phép 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb ðại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Văn Khuê – Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, Nxb GiáoDục B.V Sabat, Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khoái dịch ( 1979), Nhập mơn giải tích phức, Nxb ðại học Trung Học Chuyên Nghiệp Nguyễn Thái Sơn (1998), Thác triển Riemann – Hartogs ánh xạ chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến, Luận án tiến sĩ khoa học toán lý, Trường ðHSP Tp HCM, TpHồ Chí Minh Tiếng Anh S Dineen, R Timoney and J P Vigue ( 1985), Psuedodistances invariants sur les domains d’ un espace localement convexe, Ann Nor Sup Pisa 12, 515 – 529 J E Fornaess and Narashimhan ( 1980), The levi Problem on complex spaces with singularities, Math Ann 248, 47 – 72 R Harvey and J Polking ( 1975), Extending analytic objects, Comm Pure and Appl Math 28, 701 – 727 L L Helms ( 1975), Introduction to potential theory, NewYork ɺɺ ( 1991), Generalizations of Picard’s theorem for Reimann surfaces, P Jarvi Trans Amer Math Soc 2, 749 – 763 Maciej Klimek ( 1991), Pluripotential Theory, Departement of 53 Mathematics, University College Dublin, Oxford New York Tokyo Clarendon Press B Shiffman ( 1990), Hartogs theorem for separately holomorphic mapping into complex spaces, C R Acad Sci Paris Ser I310, 89 – 94 Nguyen Thai Son ( 1998), Separately holomorphic functions on compact sets, Acta Math, Vietnamica, Volume 23, Number 2, 207 – 216 Do Duc Thai, Nguyen Thi Tuyet Mai and Nguyen Thai Son ( 1991), Noguchi – type convergence – extension theorems for ( n,d ) - sets, Mathematics Subject Classification 10 Do Duc Thai and Nguyen Thai Son ( 1998), Extensions of holomorphic maps through hypersurfaces and relations to the Hartogs extensions in infinite dimension, Proceedings of the American Mathemmatical Society 11 M Zorn ( 1945), Charaterization of analytic functions in Banach spaces, Ann of Math (2) 46, 185 – 193 ... đóng Thác triển kiểu gọi thác triển chỉnh hình kiểu Riemann 5 Trong ña số trường hợp thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ khó nhiều so với thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Như việc thác triển. .. tìm hiểu tốn thác triển chỉnh hình kiểu Riemann sở cho việc tìm hiểu cách tồn diện tốn thác triển chỉnh hình ðó lý chúng tơi chọn đề tài Luận văn ? ?Thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Riemann? ?? Mục... xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay cịn gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong trường hợp đặc biệt quan trọng với điều kiện khơng gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H ( r ) → X thác triển