Thác triển chỉnh hình kiểu riemann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thúy Hồng THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thúy Hồng THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn ñược hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy Nguyễn Thái Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến thầy – người ñã bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài kinh nghiệm thực ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền ñạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Chân thành cảm ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường ðại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh ñã giúp tác giả nâng cao trình ñộ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng khoa học công nghệ sau ñại học ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu ñồng nghiệp trường THPT Bình ðông – Tiền Giang ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cảm ơn bạn lớp ñã trao ñổi, góp ý ñộng viên tác giả nhiều suốt trình thực luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hồng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ðẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức ℂn 1.2 ðịnh nghĩa hàm chỉnh hình 1.3 ðịnh nghĩa miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 1.4 Hàm ñiều hòa dưới, hàm ña ñiều hòa 10 1.5 Bao ña ñiều hòa 12 1.6 Nguyên lý môñun cực ñại 15 1.7 Không gian Banch hyperbolic 17 1.8 Tập cực tập ña cực 18 1.9 ðiều kiện lồi – ñĩa yếu tính chất 18 1.10 ðịnh lý Shiffmann 19 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT 20 2.1 ðịnh lý Kwack 20 2.2 Mở rộng ñịnh lý Kwack sang vô hạn chiều 21 2.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs 25 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP CỰC 29 3.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực 29 3.1.1 ðịnh nghĩa tập cực tính chất 29 3.1.2 Ký hiệu 30 3.1.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập ña cực ñóng 31 3.2 Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 38 3.2.1 ðịnh lý Noguchi 38 3.2.2 ðịnh nghĩa tập cực loại hữu hạn 39 3.2.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn ñóng với tập giá trị không gian giả lồi 39 3.2.4 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn ñóng với tập giá trị mặt Riemann compact hyperbolic 42 3.3 Miền Hartogs thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 43 3.3.1.ðịnh nghĩa 43 3.3.2 Tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn (SPEP) 43 3.3.3 ðịnh lý quan hệ tính chất (SPEP) không gian giải tích Banach miền Hartogs 48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ðẦU Lý chọn ñề tài: Thác triển chỉnh hình toán trung tâm Giải tích phức hữu hạn vô hạn chiều Trên giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn ñề khoảng thập kỷ qua ñã có nhiều kết nghiên cứu quan trọng Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed Zeriahi, … Ở Việt Nam hình thành nhóm mạnh nghiên cứu toán này, ñó bật nhà khoa học Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, ðỗ ðức Thái Lê Mậu Hải Cho ñến việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng ñáng ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong ñó trường hợp ñặc biệt quan trọng với ñiều kiện không gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H ( r ) → X thác triển chỉnh hình tới ∆ , ñây < r < H (r ) = {( z1 , z2 ) ∈ ∆ :| z1 | < r} ∪ {( z1 , z2 ) ∈ ∆ :| z2 | > − r} với ∆ = { z ∈C: |z| b) Nếu G mở rộng chỉnh hình Ω f ( Ω ) = f ( G ) với hàm f chỉnh hình G Thật không tồn hàm f chỉnh hình G ω0 ∈ f ( G ) \ f ( Ω ) Khi ñó hàm g (z) = , z ∈Ω f ( z ) − ω0 chỉnh hình Ω mở rộng chỉnh hình tới G 10 c) Nếu Ω bị chặn G mở rộng chỉnh hình Ω , G bị chặn Thật theo b) z j ( G ) = z j ( Ω ) ∀j = 1,n G bị chặn Ω bị chặn • ðịnh nghĩa Miền Ω ⊂ ℂ n gọi miền chỉnh hình hay miền tồn hàm f chỉnh hình Ω mở rộng chỉnh hình f tới miền lớn Ω Nói cách xác khai triển f thành chuỗi lũy thừa z ∈ Ω hội tụ ña ñĩa P (z ,r ) với r > ρ (z , ∂Ω ) • ðịnh nghĩa a) Giả sử Ω miền ℂn Với tập compact K ⊂ Ω ñặt K Ω = {z ∈ Ω : f (z) ≤ f k , ∀f ∈ H (Ω)} Tập K Ω gọi bao lồi chỉnh hình K Ω b) Miền Ω gọi lồi chỉnh hình K Ω compact với tập compact K Ω 1.4 Hàm ñiều hòa dưới, hàm ña ñiều hòa • ðịnh nghĩa hàm ñiều hòa ðịnh nghĩa Hàm hai biến thực u ( x, y) miền D ⊂ ℝ gọi ñiều hòa có ñạo hàm riêng cấp hai liên tục thỏa mãn ñiều kiện: ∂ u ∂ 2u ∆u = + = ∂x ∂ y ∆u ñược gọi toán tử Laplace ðịnh nghĩa Hàm u : D → [ −∞, + ∞ ) ñược gọi nửa liên tục 11 lim sup u ( z ) ≤ u ( z o ) với z o ∈ D z→zo Một cách tương ñương u −1 ([ −∞, a ) ) mở với −∞ < a < + ∞ ðịnh nghĩa Hàm u : D → [ −∞, + ∞ ) ñược gọi hàm ñiều hòa a) u nửa liên tục b) ðối với hình tròn U với U ⊂ D hàm ñiều hòa h U liên tục U từ h ≥ u ∂U suy h ≥ u U • ðịnh nghĩa hàm ña ñiều hòa ðịnh nghĩa Hàm nửa liên tục ϕ : Ω → [ −∞, + ∞ ) với Ω mở ℂ n gọi ña ñiều hòa với z ∈ Ω ω ∈ ℂ n , ω ≠ hàm τ → ϕ ( z + τω ) ñiều hòa lân cận 0∈ℂ Ký hiệu P ( Ω ) tập hàm ña ñiều hòa Ω Ví dụ: Nếu f ∈ H ( Ω ) f log f hàm ña ñiều hòa ðịnh lý Giả sử ϕ hàm lớp ℂ mở Ω ∈ℂ n Khi ñó ϕ ña ñiều hòa ∂ 2ϕ Lϕ ( z,ω ) = ∑ ( z )ω j ω i ≥ ∀z ∈ Ω ω ∈ℂ n i , j =1 ∂z j ∂ z i n Chứng minh ðịnh lý nhận ñược từ ñẳng thức sau n ∂ 2u ∂ 2ϕ ω jωi ∀z ∈Ω ω ∈ ℂ n (z) = ∑ ∂τ∂τ i, j=1 ∂z j∂ z i ñây 12 u (τ ) = ϕ ( z + τω ) 1.5 Bao ña ñiều hòa • ðịnh nghĩa Giả sử Ω miền ℂn K compact Ω { P } Tập K Ω = z ∈ Ω : φ( z) ≤ sup φ ∀φ ∈ P (Ω) K gọi bao ña ñiều hòa K Ω Bây giả sử δ hàm liên tục tùy ý ℂ n cho δ > trừ δ ( tz) = t δ (z) ( lấy δ chuẩn tùy ý ℂ n ) ðặt δ (z, ∂Ω ) = inf {δ (z − ω) : ω ∈ ∂Ω} = inf {δ (z − ω) : ω ∉ Ω} Rõ ràng δ (z, ∂Ω) liên tục Ω • ðịnh lý Nếu Ω miền ℂ n , ñiều kiện sau tương ñương (i) −log δ ( z, ∂Ω ) ña ñiều hòa (ii) Tồn hàm ña ñiều hòa liên tục φ vét cạn Ω , có nghĩa Ωc = {φ( z ) < c} compact tương ñối Ω với c ∈ ℝ P (iii) K Ω compact K compact Ω Chứng minh 13 (i) ⇒ (ii) Hiển nhiên hàm φ(z) = z − log δ (z, ∂Ω) ña ñiều hòa vét cạn Ω (ii) ⇒ (iii) hiển nhiên − log δ (z, ∂Ω) → +∞ z → ∂Ω (iii) ⇒ (ii) Cho z o ∈ Ω ω ∈ ℂn Ta cần chứng minh hàm z → − log δ (z o + τω, ∂Ω ) ñiều hòa hình tròn D = {z o + τω : τ ≤ r } ⊂ Ω Giả sử u hàm liên tục D ñiều hòa D cho − log δ ( zo + τω , ∂Ω ) ≤ Ref (τ ) , τ = r (1) hay δ ( z o + τω , ∂Ω ) ≥ ef (τ ) , τ = r Chọn hàm f liên tục D chỉnh hình D cho u = Ref Hàm tồn D ñơn liên Viết (1) dạng − log δ ( z o + τω , ∂Ω ) ≤ Ref (τ ) ∀ τ = r (2) Chúng ta muốn chứng minh (2) thực τ ≤ r ðối với a ∈ ℂ n với δ ( a ) < xét với ≤ λ ≤ ánh xạ τ → z o + τω + λae− f (τ ) , τ ≤ r Ký hiệu Dλ ảnh Rõ ràng Do = D ðặt ∧ = {0 ≤ λ ≤ 1: Dλ ⊂ Ω} Hiển nhiên ∧ tập ñoạn [0, 1] Ta kiểm tra lại ∧ ñóng [0, 1] ∧ = [0, 1] ðặt { K = z o + τω + λ ae − f (τ ) } : τ = r, ≤ λ ≤ Bởi (1) K compact Ω Nếu ϕ ∈ P ( Ω ) 14 ( τ → ϕ z o + τω + λ ae− f (τ ) ) ñiều hòa lân cận τ ≤ r Vậy ( ) ϕ z o + τω + λ ae− f (τ ) ≤ sup ϕ τ ≤ r P K P Có nghĩa Dλ ⊂ K Ω ∀λ ∈ ∧ Do K Ω compact Ω suy ∧ ñóng Như D1 ⊂ Ω ðó z o + τω + λ ae − f (τ ) ∈ Ω δ ( a ) < τ ≤ r Vậy δ ( z o + τω , ∂Ω ) ≥ e− f (τ ) , τ ≤ r hay − log δ ( z o + τω , ∂Ω ) ≤ Ref (τ ) , τ ≤ r Và (i) ñã ñược chứng minh xong • ðịnh nghĩa Miền Ω ⊂ ℂn gọi giả lồi thỏa mãn ba ñiều kiện tương ñương ñịnh lý 1.4.2 Bởi f ∈ P ( Ω ) ∀f ∈ H ( Ω ) ta có P KΩ ⊆ KΩ Vậy ta có hệ sau • Hệ ðối với miền Ω ⊂ ℂn ba khẳng ñịnh sau tương ñương (i) Ω miền chỉnh hình (ii) Ω miền lồi chỉnh hình (iii) Ω miền giả lồi 15 1.6 Nguyên lý mô ñun cực ñại • ðịnh lý ( Hàm biến phức) Giả sử f hàm chỉnh hình miền bị chặn D liên tục D Khi ñó f = const f ( z ) ñạt cực ñại biên ∂D D Chứng minh Vì f liên tục tập compact D nên tồn z o ∈ D cho max f ( z ) = f ( z o ) z∈D Giả sử z o ∈ D , ta chứng minh f (z) = const Lấy r > cho D ( z o , r ) ⊂ D Theo ñịnh lý giá trị trung bình ta có f ( zo ) = 2π 2π ∫ f ( z o ) dϕ = 2π 2π ∫0 f ( zo + re ) dϕ ≤ 2π 2π iϕ Vì 2π 2π ∫  f ( z o + reiϕ ) − f ( z o )  dϕ ≥  Trên ñường tròn ∂D ( z o , r ) tất nhiên có f ( z o + reiϕ ) ≤ f ( z o ) = M ñó 2π 2π ∫  f ( z o + reiϕ ) − f ( z o )  dϕ =  Bởi tính liên tục: f ( z o + reiϕ ) = f ( z o ) = M với ≤ ϕ ≤ 2π ∫ f (z o + reiϕ ) dϕ 16 Tương tự có ñẳng thức với r / ≤ r , ñó f ( z ) = M với z ∈ D ( zo , r ) Lấy ñiểm z* tùy ý D Gọi L ñường cong nối zo với z* Do L compact tồn ñiểm zo, z1, …, zn = z* L r > cho n L ⊂ ∪ D ( z j , r ) z j+1 ∈ D ( z j , r ) ⊂ D, j = 0, 1, , n − j=0 Bởi f ( z ) = M D ( zo , r ) nên f ( z1 ) = M Vì theo lập luận f ( z ) = M với z ∈ D ( z1 , r ) , , f ( z ) = M với z ∈ D ( z n −1 , r ) ðặc biệt f ( z* ) = M Như ta ñã chứng minh f ( z ) = M với z ∈ D Viết f (z) = f (z) e i arg f ( z ) = Me iϕ ( x,y ) = M cos ϕ ( x, y ) + iMsin ϕ ( x, y ) Theo ñiều kiện Cauchy – Riemann −M sin ϕ ∂ϕ ∂ϕ = M cos ϕ ∂x ∂y (*) −M cos ϕ ∂ϕ ∂ϕ = − Msin ϕ ∂x ∂y Nhân ñẳng thức ñầu (*) với sin ϕ nhân ñẳng thức thứ hai với cos ϕ so sánh ta có Msin ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = −M cos ϕ hay M = ∂x ∂x ∂x 17 Khi M = hiển nhiên f = const Còn M ≠ ñiều kiện vào hai vế (*) ta có ∂ϕ = Thay ∂x ∂ϕ = Từ ñó ∂y ϕ = const miền D f = const • ðịnh lý ( Hàm nhiều biến phức) Nếu f chỉnh hình miền Ω ⊂ ℂ n cho f ñạt cực ñại a ∈ Ω , f = const Ω Chứng minh Chọn ρ > ñủ bé ñể B ( a, ρ ) ⊂ Ω Khi ñó hàm biến ζ ∈ ℂ : ζ < ρ , f = const {a + ωζ : ζ < ρ với ω ∈ ℂ n : ω = 1} Vậy f = const B ( a, ρ ) Suy f = const Ω 1.7 Không gian Banach hyperbolic Giả sử X không gian giải tích phức Ta gọi giả khoảng cách Kobayashi d X X giả khỏang cách lớn số giả khoảng cách δ X X cho ánh xạ chỉnh hình từ X vào ñĩa ñơn vị D khoảng cách giảm Nếu d X trở thành khoảng cách ta nói X không gian giải tích hyperbolic Một không gian Banach hyperbolic không gian hyperbolic ñầy ñủ theo nghĩa Cauchy 18 Một mặt Riemann ñược gọi mặt Riemann Hyperbolic theo nghĩa này, phủ phổ dụng song chỉnh hình tới ñĩa ñơn vị Một ña tạp phức compact hyperbolic ánh xạ chỉnh hình từ C vào X ñều hàm 1.8 Tập cực tập ña cực • Cho tập X ℝ n ( n ≥ ) Ta nói X tập cực tồn tập mở Z bao hàm X hàm ñiều hòa φ Z cho φ X = −∞ φ ≡ −∞ • Một tập hợp E ⊂ ℂ n ñược gọi ña cực với a ∈ E tồn lân cận V a hàm u ña ñiều hòa V cho E ∩ V tập {z ∈ V : u (z) = −∞} 1.9 ðiều kiện lồi – ñĩa yếu tính chất • Một không gian giải tích Banach X ñược gọi thỏa mãn ñiều kiện lồi – ñĩa yếu dãy {f n } ⊂ H (∆,X) hội tụ H (∆,X) dãy {f } ⊂ H (∆ ,X) hội tụ H(∆ ,X) * * n ∆* Ở ñây, ∆ ∆* ñĩa ñơn vị ñĩa ñơn vị thủng ℂ • Tính chất: Nếu X không gian giải tích Banach thỏa mãn ñiều kiện lồi ñĩa yếu có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs [...]... 0 ∈ ℂ n , ñược gọi là hàm chỉnh hình tại ñiểm z 0 Hàm chỉnh hình tại mỗi ñiểm của tập mở nào ñó Ω ⊂ ℂ n ( ñặc biệt là các miền) ñược gọi là chỉnh hình trên tập Ω , kí hiệu là H ( Ω ) 1.3 ðịnh nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình • ðịnh nghĩa 1 Miền G chứa miền Ω trong ℂn gọi là mở rộng chỉnh hình của Ω nếu mọi hàm chỉnh hình trên Ω có thể mở rộng tới một hàm chỉnh hình trên G a) Giả sử Ω là... liên thông, thì Ω là miền mở rộng chỉnh hình của Ω \ K nếu n > 1 b) Nếu G là mở rộng chỉnh hình của Ω thì f ( Ω ) = f ( G ) với mọi hàm f chỉnh hình trên G Thật vậy nếu không tồn tại hàm f chỉnh hình trên G và ω0 ∈ f ( G ) \ f ( Ω ) Khi ñó hàm g (z) = 1 , z ∈Ω f ( z ) − ω0 chỉnh hình trên Ω không thể mở rộng chỉnh hình tới G 10 c) Nếu Ω là bị chặn còn G là mở rộng chỉnh hình của Ω , thì G bị chặn Thật... bị chặn Thật vậy theo b) z j ( G ) = z j ( Ω ) ∀j = 1,n và vậy thì G bị chặn nếu Ω bị chặn • ðịnh nghĩa 2 Miền Ω ⊂ ℂ n gọi là miền chỉnh hình hay miền tồn tại của hàm f chỉnh hình trên Ω nếu không thể mở rộng chỉnh hình f tới một miền lớn hơn Ω Nói một cách chính xác khai triển của f thành chuỗi lũy thừa tại mọi z 0 ∈ Ω không thể hội tụ trong một ña ñĩa P (z 0 ,r ) với r > ρ (z 0 , ∂Ω ) • ðịnh nghĩa... ∀f ∈ H ( Ω ) ta có P KΩ ⊆ KΩ Vậy ta có hệ quả sau • Hệ quả ðối với miền Ω ⊂ ℂn ba khẳng ñịnh sau là tương ñương (i) Ω là miền chỉnh hình (ii) Ω là miền lồi chỉnh hình (iii) Ω là miền giả lồi 15 1.6 Nguyên lý mô ñun cực ñại • ðịnh lý ( Hàm một biến phức) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn D và liên tục trên D Khi ñó hoặc f = const hoặc f ( z ) chỉ ñạt cực ñại trên biên ∂D của D Chứng minh... cách δ X trên X sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình từ X vào ñĩa ñơn vị D là khoảng cách giảm Nếu d X trở thành khoảng cách thì ta nói X là một không gian giải tích hyperbolic Một không gian Banach hyperbolic là không gian hyperbolic ñầy ñủ theo nghĩa Cauchy 18 Một mặt Riemann ñược gọi là mặt Riemann Hyperbolic theo nghĩa này, nếu mọi phủ phổ dụng của nó là song chỉnh hình tới ñĩa ñơn vị Một ña tạp phức... (z 0 ,r ) với r > ρ (z 0 , ∂Ω ) • ðịnh nghĩa 3 a) Giả sử Ω là một miền trong ℂn Với mọi tập compact K ⊂ Ω ñặt K Ω = {z ∈ Ω : f (z) ≤ f k , ∀f ∈ H (Ω)} Tập K Ω gọi là bao lồi chỉnh hình của K trong Ω b) Miền Ω gọi là lồi chỉnh hình nếu K Ω là compact với mọi tập compact K trong Ω 1.4 Hàm ñiều hòa dưới, hàm ña ñiều hòa dưới • ðịnh nghĩa hàm ñiều hòa dưới ðịnh nghĩa 1 Hàm hai biến thực u ( x, y) trên... trong H(∆ ,X) * * n ∆* Ở ñây, ∆ và ∆* lần lượt là ñĩa ñơn vị và ñĩa ñơn vị thủng trong ℂ • Tính chất: Nếu X là không gian giải tích Banach thỏa mãn ñiều kiện lồi ñĩa yếu thì nó có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs ... Ω và ω ∈ ℂn Ta cần chứng minh hàm z → − log δ (z o + τω, ∂Ω ) là ñiều hòa dưới trong mọi hình tròn D = {z o + τω : τ ≤ r } ⊂ Ω Giả sử u là hàm liên tục trên D ñiều hòa trong D sao cho − log δ ( zo + τω , ∂Ω ) ≤ Ref (τ ) , τ = r (1) hay δ ( z o + τω , ∂Ω ) ≥ ef (τ ) , τ = r Chọn hàm f liên tục trên D và chỉnh hình trong D sao cho u = Ref Hàm như vậy tồn tại do D ñơn liên Viết (1) trong dạng − log δ... nghĩa Cauchy 18 Một mặt Riemann ñược gọi là mặt Riemann Hyperbolic theo nghĩa này, nếu mọi phủ phổ dụng của nó là song chỉnh hình tới ñĩa ñơn vị Một ña tạp phức compact là hyperbolic nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ C vào X ñều là hàm hằng 1.8 Tập cực và tập ña cực • Cho tập con X của ℝ n ( n ≥ 2 ) Ta nói X là tập cực nếu tồn tại tập mở Z bao hàm X và hàm ñiều hòa dưới φ trên Z sao cho φ X = −∞ và φ ≡... f = const Còn khi M ≠ 0 thì ñiều kiện này vào một trong hai vế của (*) ta cũng có ∂ϕ = 0 Thay ∂x ∂ϕ = 0 Từ ñó ∂y ϕ = const trong miền D và vậy thì f = const • ðịnh lý ( Hàm nhiều biến phức) Nếu f chỉnh hình trên miền Ω ⊂ ℂ n sao cho f ñạt cực ñại tại a ∈ Ω , thì f = const trên Ω Chứng minh Chọn ρ > 0 ñủ bé ñể B ( a, ρ ) ⊂ Ω Khi ñó như hàm của một biến ζ ∈ ℂ : ζ < ρ , f = const trên {a + ωζ : ζ