Thác triển chỉnh hình kiểu hartogs

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đào Quốc Tuấn THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Thác triển chỉnh hình toán trung tâm giải tích phức hữu hạn chiều vô hạn chiều Trên giới có nhiều nhà toán học quan tâm giải vấn đề Ivashkovitch, Shiffman, Nguyễn Thanh Vân, Zeriahi, … Ở Việt Nam hình thành nhóm mạnh nghiên cứu toán này, tập trung nhà toán học Hà Huy Khoái, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái, … Cho đến thời điểm gần đây, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng ý Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay người ta gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong trường hợp đặc biệt (nhưng quan trọng) với điều kiện không gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H  r   X thác triển chỉnh hình tới  ,  r  H2 r   Với  z , z    2   : z1    z1, z2    : z1  1, z2   r     z   : z  1 Dạng 2: Thác triển chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kì dị cô lập, qua siêu mặt qua tập đa cực đóng Thác triển kiểu người ta gọi thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Trong đa số trường hợp thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ khó nhiều so với thác triển kiểu Hartogs, nhiên nghiên cứu toán thác triển kiểu Hartogs hi vọng cho phương pháp nhầm tiếp cận toán thác triển kiểu Riemann Trong năm gần đây, với phát triển lý thuyết vị, chẳng hạn toán thác triển biên dựa vào hàm đa điều hòa dưới, việc nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình có bước tiến mạnh mẽ Nhiều công trình nhà toán học Shiffman, Suzuki, Đỗ Đức Thái, … làm xuất đối tượng cho toán thác triển chỉnh hình Đó khảo sát việc thác triển qua tập đa cực tập có dung lượng Vào năm 80 kỉ trước, D Vogt đưa nhiều kết nghiên cứu bất biến tôpô Các bất biến mở nhiều ứng dụng cho giải tích phức Một ứng dụng nghiên cứu tính chỉnh hình ánh xạ chỉnh hình theo biến, toán đặt nhà toán học Hartogs vào năm 1906 Từ năm 1972, Nguyễn Thanh Vân lần sở Schauder vài không gian hàm chỉnh hình dùng để giải toán thác triển chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến Từ phát đó, năm 1976, Zaharjuta nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến tập có dạng đặc biệt  m n Các kết sau tổng quát hóa thực Nguyễn Thanh Vân Zeriahi từ năm 1983 Gần đồng thời, năm 1981, Siciak phương pháp tiếp cận khác sử dụng công thức nội suy Lagrange để nhận kết tương tự Phương pháp sau Siffmann vận dụng cách phát triển lý thuyết vị phức xây dựng Siciak để mở rộng kết nói vào năm 1989, ông cải thiện điều kiện L-chính quy Như vậy, phương hướng để nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình nghiên cứu toán thác triển kiểu Hartogs Công trình Hartogs công bố đầu kỉ 20 toán ánh xạ cần thác triển hàm số mà miền xác định tập mở  Tiếp nhà toán học Andreotti, Stoll, … phát triển mở rộng kết cách thay miền xác miền giá trị đa tạp phức khác Năm 1971, Siffmann đưa khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" dạng yếu gọi "điều kiện lồi – đĩa yếu", sau dùng điều kiện lồi – đĩa yếu ông chứng minh giả thuyết S.S.Chern đưa vào năm 1970 miền xác định lân cận siêu cầu đơn vị miền giá trị đa tạp phức trang bị metric Hermit đầy đủ có độ cong thiết diện không dương Cùng năm đó, độc lập với Siffmann, Griffiths chứng minh giả thuyết Chern Như vậy, kết Siffmann Griffiths giải giả thuyết Chern trường hợp hữu hạn chiều Mối chốt để giải toán điều kiện lồi – đĩa yếu Từ xuất toán tìm lớp không gian vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện thác triển chỉnh hình Hartogs Vào năm 80, công trình Siffmann, Ivashkovitch, … đặc trưng hình học cho phép nhận biết không gian kiểu thế, chẳng hạn vào năm 1987 Ivashkovitch [7] đa tạp Kahler lồi chỉnh hình không chứa đường cong hữu tỉ Kết sau mở rộng Đỗ Đức Thái sang trường hợp không gian phức Sau đó, năm 1994, Đỗ Đức Thái Nguyễn Thị Lê Hương chứng minh X đa tạp Banach giả lồi có 1 phân hoạch đơn vị X không chứa đường thẳng phức X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Kết lại phát triển Đỗ Đức Thái Nguyễn Thái Sơn [30] cho đa tạp rộng hơn, lớp đa tạp hợp tăng miền giả lồi Dựa vào lịch sử vấn đề nêu trên, nhận thấy vai trò mấu chốt việc cần nghiên cứu cách cẩn thận toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs điểm khởi đầu cho việc nghiên cứu rộng cho lớp toán thác triển khác Do đó, toán đặt cho luận văn nghiên cứu chứng minh chi tiết công trình gần tác giả liên quan đến toán thác triển để tìm cách giải cho toán thác triển khác Và lý mà luận văn mang tên "Thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs" Mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Đối tượng phạm vi nghiên cứu : Tôpô hình học giải tích phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tìm hiểu toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs, từ sở tìm hiểu cách toàn diện toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Cấu trúc đề tài : Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Trình bày định nghĩa kết toán thác triển Hartogs Trong nội dung định lý mở rộng lớp đa tạp hợp tăng miền giả lồi mối quan hệ toán thác triển Hartogs toán thác triển siêu mặt Chương chương 3: Trình bày kết qua sâu sắc toán thác triển Hartogs, bao gồm kết liên quan đến điều kiện lồi – đĩa lồi – đĩa yếu cho toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs tập đa cực không gian Hyperbolic Vấn đề cuối đề cập định lý thác triển hội tụ dạng Noguchi cho  n, d  - tập Phần kết luận: đưa nhận xét vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn, người thầy tận tâm nghiêm khắc công việc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính yêu bước hướng dẫn tác giả làm quen với kiến thức giải tích phức, hình học Hyperbolic, … để dần nắm bắt toán nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thầy tổ hình học, Khoa toán – tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phòng Khoa học công nghệ sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Chương THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN SIÊU MẶT VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI THÁC TRIỂN HARTOGS VÔ HẠN CHIỀU Như phần mở đầu nói, hướng tiếp cận cho việc nghiên cứu toán thác triển ánh xạ chỉnh hình thác triển lên bao chỉnh hình hay người ta gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Phần mở đầu chương chủ yếu nhắc lại số khái niệm liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, khái niệm điều kiện lồi - đĩa điều kiện lồi – đĩa yếu Shiffman sử dụng để chứng minh Giả thuyết Shiing – Shen Chern Phần sau trình bày số kết khác liên quan đến thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt hợp tăng miền giả lồi mà chứng minh chúng có sử dụng điều kiện lồi – đĩa yếu 1.1 Các định nghĩa kết biết Đầu tiên nhắc lại định nghĩa không gian phức (hữu hạn chiều) có tính chất thác triển Hartogs (viết tắt HEP), đưa Ivashkovich [7] 1.1.1 Định nghĩa Một không gian phức X gọi có tính chất thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình f từ  vào X với  miền Riemann  n thác triển   chỉnh hình đến bao chỉnh hình  Gọi H  r    z1 , z2    ; z1  r  z2   r    r  1 kí hiệu cho miền Hartogs chiều Theo biết [10] X có tính chất HEP ánh xạ chỉnh hình  f n   H  , X  thác triển chỉnh hình đến  Lớp không gian phức có tính chất HEP rộng Nó chứa không gian phức hằng, nhóm Lie phức, đa tạp phức Hermitian đầy đủ với đường cong chỉnh hình chiều không dương Đặc biệt, Ivashkovich [10] đa tạp Kahler lồi chỉnh hình có tính chất HEP chứa đường cong hữu tỉ Tính chất Đỗ Đức Thái tổng quát hóa cho trường hợp không gian Kahler lồi chỉnh hình Định nghĩa mở rộng cách tự nhiên cho trường hợp không gian Banach giải tích việc thay  n không gian Banach B Tuy nhiên, lý mang tính kĩ thuật nên ta cần thêm điều kiện miền giả lồi Riemann không gian Banach B tồn Ví dụ cho trường hợp không gian Banach có sở Schauder ( xem Mujica [18, Định lý 54.12, Trang 390]) Do đó, trường hợp vô hạn chiều ta có định nghĩa sau 1.1.2 Định nghĩa Một không gian Banach giải tích X gọi có tính chất thác triển Hartogs với ánh xạ chỉnh hình từ miền Riemann  không gian Banach B với   sở Schauder vào X thác triển chỉnh hình đến bao chỉnh hình  Về lịch sử, ví dụ Hartogs đưa đầu kỷ 20 ánh xạ chỉnh hình thác triển hàm số mà miền xác định tập mở  Cho đến nay, kết phát triển mở rộng cho nhiều ánh xạ chỉnh hình khác với miền xác định miền giá trị đa tạp phức có cấu trúc phức tạp 1.1.3 Giả thuyết Shiing – Chen Chern Trong hội nghị Nice năm 1970, Shiing – Chen Chern đưa giả thuyết sau: Cho X đa tạp phức với mêtric Hermit đầy đủ có độ cong thiết diện chỉnh hình  2  không dương Gọi B  z   k : z1  zk  , k  U   k lân cận B Khi ánh xạ chỉnh hình f : U  X thác triển chỉnh hình lên B Giả thuyết nhiều nhà toán học giới quan tâm Năm 1971, Shiffman lần đưa khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" sau 1.1.4 Định nghĩa Với  r  1, s  kí hiệu  s   z   : z  s  , 1  ,  r1   z   : r  z  1 Một không gian Banach giải tích X gọi lồi – đĩa yếu  f n   Hol  , X  hội tụ Hol  , X  dãy  f  hội tụ Hol   n  r1 dãy r1 , X  với r  Ở Hol  X , Y  kí hiệu không gian ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y với tôpô compact mở Theo định lý Montel, không gian phức (hữu hạn chiều) lồi – đĩa hyperbolic Ngược lại không trường hợp tổng quát Một dạng yếu điều kiện lồi – đĩa mà ta gọi điều kiện lồi – đĩa yếu 1.1.5 Định nghĩa Một không gian phức X gọi lồi – đĩa yếu dãy  f n   Hol  , X  hội tụ Hol  , X  dãy  f   H  , X  n * * hội tụ  Hol * , X  Ở   *   \ 0 kí hiệu đĩa đơn vị đĩa đơn vị thủng  Dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, Shiffman chứng minh định lý sau 1.1.6 Định lý Cho X đa tạp phức sau cho đa tạp phủ phổ dụng có mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương Gọi D tập mở đa tạp Stein M cho M bao chỉnh hình D Khi ánh xạ chỉnh hình f : D  X có thác triển chỉnh hình lên M Áp dụng định lý cách đặt D  U  B M  B , Shiffman chứng minh Giả thuyết Shiing – Chen Chern Ngoài ra, năm đó, Griffiths chứng minh cách độc lập Giả thuyết Shiing – Chen Chern Đó nội dung định lý sau 1.1.7 Định lý Cho M đa tạp phức có mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương Khi tượng Hartogs với M , nghĩa ánh xạ chỉnh hình f : N \ U  X có thác triển chỉnh hình lên N , N đa tạp phức liên thông U lân cận mở đủ nhỏ đa tạp S N Như vậy, xuất phát từ Giả thuyết Chern, Shiffman Griffiths đồng thời giải toán trường hợp hữu hạn chiều Trong để chứng minh Định lý 1.1.6 trên, Shiffman dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, từ điều kiện ông chứng minh kết tổng quát sau Cho X đa tạp thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu D tập đa tạp Stein M cho M bao chỉnh hình D Khi ánh xạ chỉnh hình f : D  X có thác triển chỉnh hình lên M 1.2 Tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs hợp tăng miền giả lồi 1.2.1 Định lý Cho X không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu Khi X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Chứng minh Gọi f :   X ánh xạ chỉnh hình,  miền Riemann không gian Banach B có sở Schauder Xét sơ đồ giao hoán sau: f  X e  p p B f f  f miền tồn f Trước hết ta chứng minh bổ đề sau 1.2.2 Bổ đề Ánh xạ f :  f  X giả lồi địa phương, tức với x  X tồn lân cận giả lồi V x X cho f 1 V  giả lồi Chứng minh Cho x  X Chọn lân cận V x X cho V đẳng cấu với tập giải tích cầu mở không gian Banach Xét ánh xạ hạn chế f g : ^ f 1 V   V thác triển chình f f 1V  f 1V  Gọi đến bao chỉnh hình ^ f 1 V  f 1 V  Vì  f miền tồn f nên dẫn tới ^ f 1 V    f Mặt khác, từ  ^   f 1 V   g ^  f 1 V   V ta có f 1 V   ^ f 1 V  Suy f :  f  X giả lồi địa phương Bây ta tiếp tục chứng minh định lý Vì B có sở Schauder nên để  f  ^  cần chứng minh p 1  E  giả lồi với không gian hữu hạn chiều B Muốn ta phải kiểm chứng p 1  E  thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu Thật vậy, gọi   k   Hol  , p 1  E    cho dãy Hol * , p 1  E  Vì X lồi – đĩa yếu nên dãy Hol  , X  Lưu ý  *   k * hội tụ   f   k   Hol  , X  hội tụ   f   Chọn lân cận giả lồi V    X cho V đẳng cấu với tập giải tích cầu mở không gian Banach f 1 V  giả lồi Vì f 1 V  miền Riemann giả lồi không gian Banach B với sở Schauder nên f 1 V  miền chỉnh hình Dể dàng thấy tồn số k0   cho f   k     V với k  k0      V ,     z   : z    Suy  k     f 1 V  với k  k0 Điều dẫn tới  k  Hol  , f 1 V        (xem [6, Định lý Bổ đề 6]) Do dãy  k  hội tụ Hol  , f 1  E  Đến định lý chứng minh hoàn toàn Vào năm 80 kỷ trước, công trình Shiffmann, Ivashkovitch, đặc trưng hình học cho phép nhận biết không gian có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Chẳng hạn vào năm 1987, Ivashkovitch chứng minh đặc trưng hình học quan trọng cho tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs đa tạp Kahler lồi chỉnh hình là: Một đa tạp Kahler lồi chỉnh hình X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs X không chứa đường cong hữu tỉ Năm 1994, Đỗ Đức Thái Nguyễn Thị Lê Hương chứng minh X đa tạp Banach lồi có 1 - phân hoạch đơn vị X không chứa đường thẳng phức X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Năm 1998, Đỗ Đức Thái Nguyễn Thái Sơn [30] tiếp tục mở rộng kết cho lớp đa tạp rộng hơn, lớp đa tạp hợp tăng miền giả lồi 1.2.3 Định lý Cho X không gian Banach giải tích hợp tăng dần miền giả lồi Giả sử X không chứa đường thẳng phức Khi X có thác triển Hartogs Chứng minh: (i) Đầu tiên ta giả sử X giả lồi Gọi f :   X ánh xạ chỉnh hình Xét sơ đồ giao hoán sau: f  X e   f f  B  f miền tồn f với thác triển tắc f :  f  X e,  ,  ánh xạ tắc song chỉnh hình địa phương Chứng minh tương tự Bổ đề 1.2.2, ta có 1.2.4 Bổ đề Ánh xạ f :  f  X giả lồi địa phương Để  f  ^  cần kiểm tra  f thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu  Thật vậy, gọi  k   Hol ,  f  cho dãy   hội tụ  Hol   ,  f  k * * Và X giả lồi tập mở compact tương đối X không chứa đường thẳng phức nên X thỏa mãn điều kiện giả lồi – đĩa yếu (xem [29, Mệnh đề 2.3]) Do dãy  f   k   Hol  , X  hội tụ f   Hol  , X  Chọn lân cận giả lồi V f     đẳng cấu với tập giải tích cầu mở không gian Banach f 1 V  giả lồi Vì f 1 V  miền Riemann giả lồi không gian Banach B với sở Schauder, f 1 V  miền chỉnh hình Dể dàng thấy tồn số   k0 cho f   k     V với k  k0 f       V ,    z   : z    Suy  k     f 1 V  với k  k0 Điều dẫn tới dãy     k     Hol  , f 1 V  ( xem [6, Định lý Bổ đề 6]) Do dãy  k  hội tụ  Hol ,  f  (ii) Giả sử X   X n , X n miền giả lồi X  X  n1 Đặt  n  f 1  X n  với n  Theo (i), với n  ánh xạ f n  f ^ n thác triển tới ánh xạ chỉnh hình f n : ^   X n Dể dàng thấy với n  tồn ánh xạ chỉnh hình địa phương en : ^  n  ^  n1 cho sơ đồ sau giao hoán : ^ n n Và ^ en ^  n1  n 1 B miền Riemann f n1en  ^ f n với n  ,  n : ^   B xác định ^  n   B công thức   lim ind ^   X  :  B Do ta định nghĩa ánh xạ f :  n : f ^ n  fˆn với n   ^ n   n với n  Vì  n đồng phôi địa phương với n  nên  đồng phôi địa phương Hơn nữa, ta có d n  z   d n1  en  z   với z  ^ n n  , d n kí hiệu khoảng cách biên tương ứng  n : ^ n  B với n  Vì ^  n giả lồi nên  log d n đa điều hòa với n  Do hàm  , đa điều hòa Điều có nghĩa   đa điều  log d  lim   log d n  z   , với z   n  miền chỉnh hình Do    ^ Định lý chứng minh hoàn toàn hòa suy   1.2.5 Chú ý Tồn đa tạp phức X không giả lồi, chẳng hạn X   X n với X n đa tạp n1 Stein Thật vậy, với n đặt: n    X n   z ,  ,    :   pn  z  , pn  z     z    k  k 1   Hiển nhiên, X n đa tạp đóng 3 X n đa tạp Stein Với n xét ánh xạ  n : X n  X n1 định nghĩa sau:      z,  ,    z ,  , ,  z     n      2 Rỏ ràng  n song chỉnh hình từ X n vào X n1 \      Do ta xác  n    định X  lim  X n ,  n  Ta chứng minh X không giả lồi Giả sử X giả lồi, suy X thỏa n mãn điều kiện lồi – đĩa yếu Gọi  f n   Hol  , X  dãy ánh xạ định nghĩa sau:   , pn     fn       ,   n 1   Khi f n     X n1 Ta chứng minh  fn    k , xét f nk  Hol   , X  định nghĩa:   ,1  k 1     pn     , ,   fn       ,    ,1  n   k 1  n 1   Với  ,1 k 1    z   :  z  1 k 1     Chú ý rằng: f nk  Hol   , X k    ,1  k 1    hội tụ Hol * , X , với Với n  k , f  k n   hội tụ Hol   , X  đến ánh xạ f k cho   ,1  k 1  p     f k     , , k  Mặt khác,     n   n1    k  f nk  f n Với n, k  nên ta có  q    p f p  f q với p, q số tự nhiên p  q Do ta định nghĩa ánh xạ f : *  X f  z   f k  z  với z   Vì ,1 k 1  nên dãy  f n  hội tụ f Hol  * , X  Theo giả thiết k 1  f n  hội tụ f Hol  , X  Xét tập    z   : z    ,    0,1 , dãy  fn  hội tụ  nên   f n    n 1  compact Vì X   X k , X k  X k 1 X k mở X với k  nên tồn k0 cho k 1   f n     X k n 1 Do đó: pk      f k0       ,  ,      với   * Suy f k0    thác triển chỉnh hình đến  Điều pk    Do X không giả lồi 1.3 Thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt Chúng ta xét toán ánh xạ thác triển chỉnh hình siêu mặt toán thác triển đến bao chỉnh hình, tức toán thác triển chỉnh hình Hartogs Cả hai toán có mối tương quan với Trong [13], Kwack f ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị bị đâm thủng * vào đa tạp hyperbolic X cho với dãy thích hợp điểm zk  * hội tụ gốc tọa độ, f  zk  hội tụ điểm p0  X f mở rộng đến ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị  vào X Cũng từ kết đó, Kwack đưa quy tắc tổng quát hiệu thúc đẩ việc nghiên cứu toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Từ có nhiều hướng mở rộng Trong toán thác triển chỉnh hình siêu mặt nghiên cứu Do việc mở rộng kết kwack trường hợp vô hạn chiều thực cần thiết tạo sở để nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình trường hợp vô hạn chiều Trong phần xét toán ánh xạ chỉnh hình thác triển siêu mặt đa tạp Banach phức Vì đa tạp Banach phức tính chất compact địa phương nên kỹ thuật chứng minh định lý Kwack trường hợp vô hạn chiều đòi hỏi có thay đổi Trong định lý đây, Đỗ Đức Thái Nguyễn Thái Sơn [30] dùng kỹ thuật khác giải tích phức, quy tắc cực đại cho hàm đa điều hòa 1.3.1 Định lý Cho X không gian Banach giải tích hyperbolic f : Z \ H  X ánh xạ chỉnh hình, H siêu mặt đa tạp Banach phức Z Giả sử với z  H tồn  zn   Z \ H hội tụ z cho dãy  f  z  hội tụ xz  X Khi k f thác triển chỉnh hình tới Z Chứng minh (i) Đầu tiên xét trường hợp Z   H  0 Chọn lân cận tọa độ giả lồi W x0 X đẳng cấu với tập giải tích cầu mở không gian Banach B Đặt V W / Bài toán rằng, với số dương thích hợp  , đĩa  z   :  z    ánh xạ vào W f Giả sử có dãy  zn  cho  z  đơn điệu giảm Xét tập số nguyên n n cho ảnh hình khuyên zn1  z  zn f không chứa hoàn toàn V Nếu tập số nguyên hữu hạn f chuyển đĩa  z   vào V Giả sử tập số nguyên vô hạn, ta suy điều ngược lại Do ta giả sử với n ảnh hình khuyên zn1  z  zn f không chứa hoàn toàn V Với n , đặt:    rn  inf r  zn : f r  z  zn  V     sn  sup r  zn : f r  z  zn  V   n   z   : z  rn    n  z   : z  zn   n   z   : z  sn  Vì d *  n   d    n   d    n   * * theo quy tắc giảm dần khoảng cách, suy ra: d X f  n   d X f   n   d X f   n   0, n    Đặt K   f   n   n 1  n 1 Theo quy tắc cực đại Kˆ PSH W    f  n  n1  Do  f  n  n1  n2 compact tương đối V Vì tính compact tương đối n2  f  n  n1  từ giới hạn d X f  n   0, d X f   n   , không tính tổng quát ta giả sử  f  n   x1 n2  f  n   x2 Theo định nghĩa rn sn suy x1 , x2  V hiển nhiên x1 , x2  x0 Chọn hàm tuyến tính liên tục u B cho u  x1  , u  x2   u  x0   Vì  f r s n n  V W nên tồn rn  rn  sn  sn cho  f  r s n n  W với  r s   z   : rn  z  sn   r s   z   : rn  z  sn  n n n n Xét hàm chỉnh n  u  f hình   r n sn  n  n   u  x2  nên ta có:    0, N , n  N, :  n snei  u  x2    Áp dụng quy tắc cực đại cho hàm z   n  z   u  x2  hình khuyên  z   : rn  z   sn , cụ thể đường tròn: z   : z  z    n  rn sn   z   : rn  z  sn   Suy  n zn ei  u  x2    với  Do u  x0   u  x2  Điều mâu thuẩn suy f thác triển chỉnh hình đến  (ii) Giả sử H không chứa điểm kì dị Không tính tồng quát ta giả sử đa tạp  có dạng U   với U tập mở không gian Banach H  U  0 Với phần tử z U , xét ánh xạ f z : *  X xác định: f z     f  z ,   với   *  z,0   H Vì  f  zn , n   x0 nên tồn  zn , n   U  *, zn , n    z,0  cho Áp dụng quy tắc giảm dần khoảng cách cho ánh xạ chỉnh hình f : U  *  X , ta có:   d X f  z , n  , f  zn , n   d  U *  z, n  ,  zn , n   dU  z, zn    Suy f  z , n   x0 Theo (i), f z thác triển tới ánh xạ chỉnh hình fˆ z :   X Ta định nghĩa ánh xạ fˆ : U    X sau: fˆ  z,    fˆ z    với  z ,   U   Vì X hyperbolic nên fˆ liên tục Thật vậy, gọi ˆ    n *  z,0   H  z ,    U   n n cho  z ,     z,0 n n Chọn   cho ˆn  Ta có:     d X  fˆ  zn , n  , fˆ  z, n    d X  fˆ  z , n  , fˆ  z ,0    n  , fˆ z  n    d X  f  zn , n  , f  z, n    d X  fˆ z  n  , fˆ z     d   n , n   dU  zn , z   d   n ,0   n      d X fˆ  zn , n  , fˆ  z ,0   d X fˆ  zn , n  , fˆ zn , n  z  d X fˆ n n Do fˆ thác triển chỉnh hình f (iii) Gọi   H điểm H Khi tồn lân cận U đẳng cấu với lân cận V  e  B đa thức Weierstrass P  x,     P  aP 1  x   P 1   a0  x  cho Zero  P   H  U với B phân tích B  E  Ce     P   P   Ta có H  U  Zero  P    Zero    Zero  P     Zero  P  \ Zero               P  Theo (ii) f thác triển tới ánh xạ f1 : U \ Zero    X Ta chứng minh với     P   p  z0  Zero   tồn  zn   U \ Zero   hội tụ z0 cho f1  zn  hội tụ xz0  X         Thật vậy, theo giả thiết tồn  zn   U \ H hội tụ z0 cho  f  zn  hội tụ xz  X Chọn  zn  U \  Zero  P   H   cho dU \ H  zn , zn   Khi dãy  z  n thỏa mãn yêu cầu  2P  Tương tự f thác triển đến tập U \ Zero   , , cuối    PP  U \ Zero  P   U   Định lý chứng minh hoàn toàn 1.3.2 Định lý Cho X không gian Banach giải tích hyperbolic đầy đủ theo nghĩa cauchy f : Z \ H  X ánh xạ chỉnh hình, H siêu mặt đa tạp   Banach phức Z Giả sử với H H tồn z  Re g  H  dãy zn  n 1  Z \ H hội    hội tụ P  X Khi f thác triển chình hình tới Z tụ z cho dãy f zk  Chứng minh (i) Đầu tiên ta chứng minh X thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu , tức dãy n  Hol  , X  hội tụ Hol  , X  dãy n   hội tụ Hol   , X  , * * Hol  X , Y  kí hiệu không gian ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y với tôpô compact mở Thực vậy, cho n   Hol  , X  cho n    * , X  Vì: d X   n   ,  m     d X  n   ,  n  z    d X   n  z  ,  m  z    d X   m  z  ,  m     2d   0, z   d X m  z  , m  z   n   Hol  * , X  , điều dẫn tới  n   hội tụ x0  X n   Định nghĩa ánh xạ  :   X sau:  *       x0 Vì X hyperbolic nên  liên tục suy   Hol  , X  n   Hol  , X  (ii) Theo (i) X có tính chất thác triển Hartogs (xem [26], [29]) Do đó, chứng minh f thác triển chỉnh hình tập  Z \ H   W với W tập mở Z cho W  H khác rỗng với H (iii) Giả sử H nhánh H z  Re g  H  giả thuyết định lý 1.3.2 ta chứng minh f thác triển chỉnh hình lân cận mở W z Z Vì toán mang tính chất địa phương nên ta giả sử Z  B   với H  B  0 , B cầu đơn vị không gian Banach E , gọi zn  z   x,0  Gọi F không gian hữu hạn chiều E chứa X Ta viết zn  zn   xn , n   B  * Đặt P : E  F phép chiếu tuyến tính liên tục E lên F Ta giả sử Pxn  B  F với n  Vì B hyperbolic Pxn  Px  x nên ta có:     d X  f  xn  , f  Pxn    d B  xn , Pxn     d X f xn , n , f Pxn , n f n  n  n   với n  xn   f  x, n  Suy f  Pxn , n   p n   Chọn lân cận tọa độ giả lồi W p X đẳng cấu với cầu mở không gian Banach B Đặt V  W / Xét f F  f  B  F * Đặt BF  B  F Theo cách đưa dãy  zn  ta giả sử dãy  z  Tương tự với cách chứng minh định lý 1.3.1 (phần (i)),giả sử với n ảnh tập hợp  n BF  n1  z  n n       f F không chứa hoàn toàn V Đặt :    B  rn  inf r  0, n : f F  F     V ,   , cho r    n   n       B  sn  sup r  0, n : f F  F     V ,   , cho n    r   n      Cho  n     :   rn  ,  n     :    n ,  n     :   sn  , đó:  B  d X f  F n   dX  n   B  f  F  n   dX  n   B  f  F   n   n    n  Xét tập compact K W cho bởi:  K  Cl   f  n1    BF   B    n    F   n1       n     n Theo quy tắc cực đại ta có:   B   B  Kˆ PSH W    f   F   n    F   n   n   n   n   BF   B    n    F   n   compact tương đối V   n   n  f  n2 Không tính tổng quát ta giả sử rằng:  B   B  f  F   n   1 f  F   n   2  n   n  Theo định nghĩa rn sn , suy 1 , 2  V 1 , 2  p Chọn hàm tuyến tính liên tục u cho u 1  , u 2   u  p    B   B  Vì f  F   r s   V  W nên tồn rn  rn  sn  sn cho f  F   r s   W n n n n  n   n  x  Xét điểm x0 BF hàm chỉnh hình  n     u  f  ,    r s dễ dàng thấy n n n      u  p        u   n  n n n Tương tự Định lý 1.3.1, ta có điều ngược lại Do f F thác triển chỉnh hình đến BF   Theo (iii) họ  f F  xác định ánh xạ chỉnh hình Gateaux fˆ : Z \ S  H   X với S  H  quỹ tích kì dị H Từ [3]: d B  u , v   inf d B F   u , v  : u , v  F , dim F     ta có d X fˆ  u  , fˆ  v   inf d B F   u , v  : u, v  F , dim F    d B  u , v  Do fˆ liên tục, điều suy tính chất chỉnh hình fˆ Định lý chứng minh hoàn toàn 1.3.3 Chú ý Định lý 1.3.2 chứng minh Fujimoto [4] Z không gian phức hữu hạn chiều X không gian phức Tuy nhiên, tính không định nghĩa trường họp vô hạn chiều, giả thiết tính chỉnh hình đầy đủ X thay cách tự nhiên Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH TRÊN TẬP ĐA CỰC NHIỀU CHIỀU Trong chương này, trình bày toán thác triển chỉnh hình tập đa cực nhiều chiều Cho S tập đa cực đa tạp phức Z X không gian phức Nếu f : Z \ S  X ánh xạ chỉnh hình, câu hỏi đặt tìm thác triển chỉnh hình f : Z  X ánh xạ f Bài toán nhà toán học nghiên cứu (xem [8], [24], [25], [34],…) 2.1 Các định nghĩa kết 2.1.1 Định nghĩa Cho X không gian phức Ta nói X có tính chất n - thác triển chỉnh hình tập đa cực với đa tạp phức Z n - chiều, ánh xạ hạn chế R : H  Z , X   H  Z \ S , X  toàn ánh với tập đa cực đóng S Z Ở H  Z , X  kí hiệu không gian ánh xạ chỉnh hình từ Z vào X trang bị tôpô compact- mở Nếu ánh xạ hạn chế R đồng phôi ta nói X có tính chất n - thác triển chỉnh hình chặt Khi đồng phôi R kí hiệu là: R : H Z, X   H Z \ S, X  Nếu X miền Siegel dạng  n ánh xạ f có thác chỉnh hình Z ( xem Sibony [24] X miền phức n thác triển chỉnh hình siêu mặt ánh xạ f tồn X hyperbolic (xem P.K Ban [1]) Trong trường họp X mặt Riemann Z \ S đĩa chấm thủng  z   , toán nghiên cứu Royden [22] Gần Jarvi [8] tổng quát hóa kết Royden cho trường họp tập compact có lực lượng miền Z   Bài toán thác triển đề cập trường hợp nhiều chiều, tức Z đa tạp phức Bài toán thác triển nghiên cứu Suzuki [25] Tuy nhiên chứng minh Suzuki [25] trường họp nhiều chiều không xác Sau đó, Đỗ Đức Thái phát triển kết cải tiến lại chứng minh Suzuki trường họp nhiều chiều Điều thể qua định lý 2.1.2 Định lý: Cho X không gian phức có tính chất 1- thác triển chỉnh hình chặt tập cực Khi X có tính chất n- thác triển chỉnh hình chặt tập đa cực với n  Chứng minh [...]...      với mọi   * Suy ra f k0    có thể thác triển chỉnh hình được đến  Điều này là không thể vì pk  0   0 Do đó X không giả lồi 0 1.3 Thác triển của ánh xạ chỉnh hình trên siêu mặt Chúng ta xét bài toán ánh xạ thác triển chỉnh hình trên các siêu mặt và bài toán thác triển đến bao chỉnh hình, tức là bài toán thác triển chỉnh hình Hartogs Cả hai bài toán đều có mối tương quan với nhau... hướng được mở rộng hơn Trong đó bài toán thác triển chỉnh hình trên siêu mặt cũng đã được nghiên cứu Do đó việc mở rộng kết quả của kwack trong trường hợp vô hạn chiều là thực sự cần thiết và tạo cơ sở để nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình trong trường hợp vô hạn chiều Trong phần này chúng ta sẽ xét bài toán khi nào thì một ánh xạ chỉnh hình có thể được thác triển trên siêu mặt trong đa tạp Banach... Hol  , X  (ii) Theo (i) thì X có tính chất thác triển Hartogs (xem [26], [29]) Do đó, chúng ta chứng minh được rằng f thác triển chỉnh hình trên tập  Z \ H   W với W là tập mở của Z sao cho W  H khác rỗng với mọi H (iii) Giả sử H là một nhánh của H và z  Re g  H  như là giả thuyết của định lý 1.3.2 ta sẽ chứng minh f thác triển chỉnh hình được trên lân cận mở W của z trong Z Vì... CHỈNH HÌNH TRÊN TẬP ĐA CỰC NHIỀU CHIỀU Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày bài toán thác triển chỉnh hình trên tập đa cực nhiều chiều Cho S là một tập đa cực trong một đa tạp phức Z và X là không gian phức Nếu f : Z \ S  X là ánh xạ chỉnh hình, câu hỏi đặt ra là khi nào có thể tìm ra được thác triển chỉnh hình f : Z  X của ánh xạ f Bài toán này đã được nhà toán học nghiên cứu (xem [8], [24],... có tính chất n - thác triển chỉnh hình trên các tập đa cực nếu với mọi đa tạp phức Z n - chiều, ánh xạ hạn chế R : H  Z , X   H  Z \ S , X  là toàn ánh với mọi tập đa cực đóng S trong Z Ở đây H  Z , X  là kí hiệu của không gian các ánh xạ chỉnh hình từ Z vào X được trang bị tôpô compact- mở Nếu ánh xạ hạn chế R là một đồng phôi thì ta nói X có tính chất n - thác triển chỉnh hình chặt Khi đó... suy ra tính chất chỉnh hình của fˆ Định lý đã được chứng minh hoàn toàn 1.3.3 Chú ý Định lý 1.3.2 đã được chứng minh bởi Fujimoto [4] khi Z là không gian phức hữu hạn chiều và X là không gian phức hằng Tuy nhiên, vì tính hằng không được định nghĩa trong trường họp vô hạn chiều, giả thiết về tính chỉnh hình đầy đủ của X là sự thay thế một cách tự nhiên Chương 2 THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH TRÊN TẬP ĐA CỰC... rằng nếu f là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị bị đâm thủng * vào một đa tạp hyperbolic X sao cho với một dãy thích hợp các điểm zk  * hội tụ về gốc tọa độ, f  zk  hội tụ về điểm p0  X thì f mở rộng đến ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị  vào X Cũng từ kết quả đó, Kwack đã đưa ra một quy tắc tổng quát và hiệu quả thúc đẩ việc nghiên cứu bài toán thác triển các ánh xạ chỉnh hình Từ đó có nhiều hướng... r s   W n n n n  n   n  x  Xét tại điểm x0 BF và hàm chỉnh hình  n     u  f  0 ,   trên  r s dễ dàng thấy rằng n n n      u  p   0 và      u   n  n n n 2 Tương tự Định lý 1.3.1, ta có điều ngược lại Do đó f F thác triển chỉnh hình đến BF   Theo (iii) thì họ  f F  xác định ánh xạ chỉnh hình Gateaux fˆ : Z \ S  H   X với S  H  là quỹ tích kì dị của... tiến lại chứng minh của Suzuki trong trường họp nhiều chiều Điều này thể hiện qua 2 định lý dưới đây 2.1.2 Định lý: Cho X là một không gian phức có tính chất 1- thác triển chỉnh hình chặt trên tập cực Khi đó X sẽ có tính chất n- thác triển chỉnh hình chặt trên các tập đa cực với n  2 Chứng minh ... triển chỉnh hình chặt Khi đó đồng phôi R được kí hiệu là: R : H Z, X   H Z \ S, X  Nếu X là một miền Siegel dạng 2 trong  n thì mọi ánh xạ f đều có thác chỉnh hình trên Z ( xem Sibony [24] hoặc nếu X là miền phức trong n thì thác triển chỉnh hình trên các siêu mặt của mọi ánh xạ f tồn tại khi và chỉ khi X là hyperbolic (xem P.K Ban [1]) Trong trường họp X là mặt Riemann và Z \ S là đĩa chấm thủng