một số vấn đề về thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Triệu Phú Quý MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH CỦA HÀM NHIỀU BIẾN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Triệu Phú Quý MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH CỦA HÀM NHIỀU BIẾN PHỨC Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy Nguyễn Văn Đông Người thầy tận tâm nghiêm khắc công việc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ngưởi thầy kính yêu hướng dẫn tác giả nhiều kiến thức giải tích phức để dần nắm bắt toán nghiên cứu, bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường Cao Đẳng Nông Nghiệp Nam Bộ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học Cao học Sau xin chân thành cảm ơn bạn lớp trao đổi, góp ý động viên tác giả nhiều suốt trình thực luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Triệu Phú Quý MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian  n chuỗi lũy thừa 1.1.1 Không gian  n 1.1.2 Chuỗi lũy thừa 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.3 Hàm đa điều hòa 1.4 Một vài định lý khác .10 Chương : MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ THÁC TRIỂN GIẢI TÍCH 12 2.1 Lý thuyết tổng quát thác triển giải tích 12 2.2 Thác triển giải tích qua miền Reinhardt 14 2.3 Định lý Hartogs thác triển 18 Chương : MIỀN CHỈNH HÌNH 23 3.1 Khái niệm miền chỉnh hình 23 3.2 Tính lồi chỉnh hình 28 3.3 Tính giả lồi .42 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong mặt phẳng phức, miền (tập mở liên thông khác rỗng) miền tồn tự nhiên hàm chỉnh hình: miền D ⊂  , tồn hàm chỉnh hình D thác triển giải tích giới hạn miền Trong không gian  n (n > 1) điều không đúng, tồn miền  n mà hàm chỉnh hình luôn thác triển miền rộng Đó lý chọn đề tài Luận văn “ Một số vấn đề thác triển chỉnh hình hàm nhiều biến phức” Mục đích nghiên cứu Trình bày số kết thác triển chỉnh hình mô tả miền  n , ( n > ) miền tồn hàm chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các miền không gian phức n chiều (n >1), hàm chỉnh hình nhiều biến, hàm đa điều hòa Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tìm hiểu số kết thác triển chỉnh hình, sở đó, nghiên cứu miền  n , n > miền tồn hàm chỉnh hình Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể sau: •Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trình bày định nghĩa kết viết thành giáo khoa liên quan đến đề tài •Chương 2: Một số kết thác triển giải tích Trình bày số kết thác triển giải tích: thác triển giải tích qua miền Reinhardt, định lý thác triển Hartogs •Chương 3: Miền chỉnh hình Chương luận văn chủ yếu dành cho việc mô tả miền chỉnh hình  n (n > 1) , tức miền mà hàm chỉnh hình thác triển miền rộng Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian  n chuỗi lũy thừa 1.1.1 Không gian  n * Ta kí hiệu ( x1 , x2 , , xn ) phần tử  n * ( z1 , z2 , , zn ) ≈ ( x1 + iy1 , , xn + iyn , ) ≈ ( x1 , y1 , , xn , yn ) kí hiệu phần tử  n Giả sử  ký hiệu trường số phức,  n không gian Euclide phức thành lập = từ n số phức z ( z1 , z2 , , zn ) , z1 , z2 , , zn ∈  Trong  n ta xét khoảng cách Euclide z −= z' n ∑z j =1 j − z 'j •Hình cầu tâm a ∈  n bán kính r định nghĩa tập B ( a , r ) = { z ∈  n : z − a < r} •Biên ∂B =∂B(a, r ) hình cầu mặt cầu { z ∈  n : z − a = r} •Đa đĩa mở tâm a ∈  n bán kính vector r = ( r1 , , rn ) (với rj > 0, ∀j ∈ {1, , n} ) định nghĩa tập P ( a, r ) = •Đa đĩa đóng tâm {z ∈  n } : z j − a j < rj , ∀j = 1, n bán kính vector r = ( r1 , , rn ) (với a ∈ n rj > 0, ∀j ∈ {1, , n} ) định nghĩa tập P ( a, r ) = {z ∈  n } : z j − a j ≤ rj , ∀j = 1, n *Đặc biệt r = (r , , r ) ta gọi P(a, r ) đa tròn tâm a đa bán kính r •Biên ∂P định nghĩa n  Γν với v =1 Γν = {z ∈  n : zν − aν = rν , zµ − aµ ≤ rµ , µ ≠ ν } •Khung P định nghĩa Γ= {z ∈  n : zν − aν = rν ,ν= 1, n} Các đa đĩa mở tạo thành cở sở tập mở tôpô tích  n Chỉ xem xét  n không gian tôpô ( không gian vectơ thực)  n giống với không gian  2n (không gian Euclide thông thường 2n chiều) Khi ta áp đặt cách tự nhiên cấu trúc  2n , chẳng hạn độ đo Lebesgue lên  2n trở thành độ đo  n mà ta kí hiệu dV 1.1.2 Chuỗi lũy thừa Một họ ( ci )i∈I tập phần tử ci ∈  n cho tương ứng với phần tử i tập đánh số I Ký hiệu ℑ( I ) họ tập hữu hạn I Với họ ( ci )i∈I , tổng riêng hữu hạn σ J = ∑ ci với J ∈ ℑ( I ) tạo thành i∈J hệ định hướng với quan hệ bao hàm ⊃ lý thuyết tập hợp sử dụng cho quan hệ ≥ Một họ ( ci )i∈I gọi khả tổng có σ ∈  n với tính chất sau : ∀ε > 0, ∃I ε ∈ ℑ( I ) cho σ J − σ ≤ ε với J ∈ ℑ( I ) : J ⊃ I ε ♦Nhận xét: a) Nếu I hữu hạn σ trùng với tổng thông thường; Nếu I =  σ xem tổng họ đếm ( cn )n∈ b) Nếu ( ci )i∈I họ khả tổng với tổng σ với phép hoán vị s I ta có ∑c s (i ) =σ Một chuỗi ∞ ∑c n gọi hội tụ giao hoán với phép hoán vị s  , chuỗi ∞ ∑c s(n) hội tụ Đặt  n+ =  + × ×  +  + =  tập số nguyên không âm Mỗi phần tử  n = α (α1 , , α n ) ∈  n+ gọi đa số Với α (α1 , , α n ) ∈  n+ , đặt = α = α1 + + α n ; α ! = α1 ! α n ! ; zα = z1α znα n với z ∈ n Cho biểu thức cα zα ∑ α cα ∈ = , z ( z1 , , zn ) ∈  n Ta nói: cα zα ∑ α hội tụ điểm ξ ∈  n (cα ξ α )α ∈ khả tổng cα zα ∑ α hội tụ tuyệt đối điểm ξ ∈  n ( cα ξ α )α ∈ khả tổng n n Sự hội tụ tuyệt đối dẫn đến hội tụ Khi có hội tụ ξ tổng (cα ξ α )α ∈n ký hiệu ∑ cα ξ α α ∈ n Cho K tập compact  E = C ( K , ) khả tổng E gọi khả tổng K khả tổng tuyệt đối E thường gọi khả tổng chuẩn tắc K Bổ đề Abel: Giả sử có hội tụ a = (a1 , , an ) với a j ≠ ∀j (cα zα )α ∈ khả tổng chuẩn tắc tập compact K ⊂ P(0, a ) 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.2.1 Cho Ω tập mở  n Một hàm u ∈ C1 (Ω) gọi hàm chỉnh n hình Ω ∂u =0 , ∂u =∑ ∂u dz j Ký hiệu tập hàm chỉnh hình ∂zj Ω H (Ω) Định nghĩa 1.2.2 Hàm f gọi chỉnh hình điểm zo ∈ Ω tồn lân cận mở U zo nằm Ω cho hàm f U chỉnh hình U Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạ f : Ω →  m , Ω mở  n , gọi chỉnh hình Ω f j : Ω →  chỉnh hình Ω với j = 1, , m , f = ( f1 , , f m ) Định nghĩa 1.2.4 Cho Ω tập mở  n với n ≥ Một hàm f : Ω →  gọi chỉnh hình theo biến chỉnh hình với biến biến lại cố định Điều có nghĩa với z1ο , z2ο , , zοj −1 , zοj +1 , znο hàm g : V →  zj chỉnh hình, V = {z j  g( z j ) hàm ∈  : ( z1ο , z2ο , , zοj −1 , z j , zοj +1 , znο ) ∈ Ω} ; g ( z j ) = f ( z1ο , z2ο , , zοj −1 , z j , zοj +1 , znο ) Định lí 1.2.5 Hàm f liên tục đa đĩa đóng P(a, r ) chỉnh hình biến P(a, r ) biểu diễn tích phân bội Cauchy:   f ( z) =    2π i  n ∫ (ζ Γ f (ζ )d ζ 1d ζ d ζ n , ∀z ∈ P(a, r ) − z1 )( ζ − z ) ( ζ n − z n ) Suy f ∈ C ∞ ( P(a, r )) f chỉnh hình P(a, r ) Lưu ý: Ta viết gọn f ( z ) = với (2π i ) n ∫ Γ f (ζ )d ζ ζ −z 1 = ; d ζ = d ζ 1d ζ d ζ n (ζ − z1 )(ζ − z2 ) (ζ n − zn ) ζ − z Hệ 1.2.6 Nếu Ω tập mở  n u ∈ H (Ω) u ∈ C ∞ (Ω) đạo hàm u hàm chỉnh hình Ω Định lý 1.2.7 Cho Ω tập mở  n Với tập compact K Ω lân cận mở ω K có số Cα ứng với đa số α cho: sup ∂α u ≤ Cα u K L1 (ω ) u ∈ H (Ω ) 42 3.3 Tính giả lồi Trong mục ta làm quen với cách giải thích khác khái niệm lồi chỉnh hình Khái niệm phát biểu địa phương tự nhiên theo thuật ngữ hình học Định nghĩa 3.3.1 Ω gọi miền giả lồi (Hartogs) − log δ Ω ( z ) hàm đa điều hòa Ω ( δ Ω ( z ) định nghĩa 3.2.13) Định lý 3.3.2 Nếu Ω miền chỉnh hình − log δ Ω ( z ) hàm đa điều hòa liên tục Chứng minh: Với z0 ∈ Ω, w ∈  n Chọn r đủ nhỏ để D = {z + τ w ; τ ∈ , τ ≤ r} ⊂ Ω giả sử f (τ ) đa thức giải tích cho − log δ Ω ( z0 + τ w) ≤ Re f (τ ) , τ = r Nếu chọn đa thức giải tích F  n cho F ( z0 + τ w) = f (τ ) , ta có e − F (τ ) ≤ δ Ω ( z ), z ∈ ∂D Vì H (Ω) - bao ∂D chứa D theo nguyên lý modul cực đại, từ định lý 3.2.14 ta có e − F (τ ) ≤ δ Ω ( z ), z ∈ D nghĩa − log δ Ω ( z0 + τ w) ≤ Re f (τ ) , τ ≤ r Kết luận giống với w = Do − log δ Ω ( z + τ w) hàm điều hòa {τ ∈  : z + τ w ∈ D} với z cố định w ∈  n (định lý 1.3.3) Do δ Ω hàm liên tục, dương nên − log δ Ω ( z + τ w) hàm đa điều hòa liên tục *Nhận xét : Mọi miền chỉnh hình  n miền giả lồi Chiều ngược lại miền giả lồi  n miền chỉnh hình chứng minh phức tạp 43 Mệnh đề 3.3.3 (a) Mọi tập mở Ω ⊂  giả lồi (b) Nếu (Ωi )i∈I họ tập mở giả lồi  n thì= Ω int  Ωi giả i∈I lồi (c) Nếu (Ωi )i∞=1 dãy tập mở giả lồi  n thoả Ωi ⊂ Ωi+1 , ∀i ≥ Ω= ∞ Ω i giả lồi i =1 (d) Nếu Ωi tập giả lồi C n , i =1, ,N Ω = Ω1 × × Ω N giả lồi i Đặc biệt, cho tập mở Ω1 , , Ω n ⊂  , tập Ω = Ω1 × × Ω n giả lồi n Chứng minh: a) Do định lý 3.3.2 b) Theo giả thuyết, ta suy = δ Ω inf{δ Ω : i ∈ I } Theo mệnh đề 1.3.8, i − log δ Ω ∈ (Ω) c) Do − log δ Ω  − log δ Ω , theo mệnh đề 1.3.9, suy điều phải chứng minh i d) Ta có := δ Ω ( z1 , , zn ) min{ δ Ω ( zi ) : i 1, , N }, ( z1 , , zn ) ∈ Ω Từ đây, áp dụng mệnh = i đề 1.3.9, − log δ Ω ∈ (Ω) Định nghĩa 3.3.4 Nếu K tập compact Ω ⊂  n ta định nghĩa PSH (Ω) -bao K  PSH ( Ω= K {z ∈ Ω : u(z) ≤ sup u ∀u ∈ PSH(Ω)} ) K *Nhận xét : PSH (Ω) -bao K chứa H (Ω) - bao K Định lý 3.3.5 Nếu Ω tập mở  n , điều kiện sau tương đương: i) Ω miền giả lồi ii) Tồn hàm đa điều hòa liên tục u Ω cho Ωc= {z ∈ Ω: u(z) < c}  Ω với c ∈  44  PSH ( Ω )  Ω K  Ω iii) K Chứng minh: z ) z − log δ Ω ( z ) ii) thỏa mãn Nếu i) đúng, ta việc đặt u (= Từ ii) suy iii) rõ ràng Ta chứng minh iii) suy i) Với z0 ∈ Ω, ≠ w ∈  n Chọn r > cho = D {z o +τ w : τ ≤ r} ⊂ Ω Đặt f (τ ) đa thức giải tích cho − log δ Ω ( z0 + τ w) ≤ Re f (τ ) , τ = r Nghĩa e − f (τ ) ≤ δ Ω ( zo + τ w) , τ = r (3.3.1) Ta muốn chứng minh bất đẳng thức xảy τ ≤ r Để điều này, ta lấy vector a ∈  n mà δ Ω (a ) < với ≤ λ ≤ , xét ánh xạ: τ → zo + τ w + λ ae − f (τ ) , τ ≤ r Ta kí hiệu miền giá trị ánh xạ Dλ , rõ ràng Do = D Đặt = Λ {λ : ≤ λ ≤ 1, Dλ ⊂ Ω} Rõ ràng Λ tập mở [0;1] (do Ω mở) để chứng minh Λ với toàn đoạn ta phải chứng minh Λ đóng Lấy K tập compact thỏa K = {z o +τ w + λ ae − f (τ ) , τ = r , ≤ λ ≤ 1} Khi K chứa Ω (3.3.1) Nếu u ∈ PSH (Ω) λ ∈ Λ τ → u ( zo + τ w + λ ae − f (τ ) ) hàm điều hòa lân cận đĩa τ ≤ r Khi u ( zo + τ w + λ ae − f (τ ) ) ≤ sup u τ ≤ r K 45  PSH Ω với λ ∈ Λ điều suy Λ tập đóng K  PSH Ω Do Dλ ⊂ K tập compact tương đối Ω iii) Vì D1 ⊂ Ω nghĩa zo + τ w + ae − f (τ ) ∈ Ω δ Ω (a ) < τ ≤ r Do δ Ω ( zo + τ w) ≥ e − f (τ ) τ ≤ r − log δ Ω ( z0 + τ w) ≤ Re f (τ ) , τ ≤ r Vậy − log δ Ω ( z0 + τ w) đa điều hòa ta có i) Định lý sau thể tính giả lồi tính chất địa phương biên Định lý 3.3.6 Cho tập mở Ω ⊂  n Nếu điểm Ω có lân cận ω cho ω ∩ Ω giả lồi Ω giả lồi Chứng minh: Lấy zo ∈ ∂Ω theo giả thiết chọn lân cận ω zo Khi δ Ω ( z ) = δ Ω∩ω ( z ) cho tất z đủ gần zo Điều dẫn đến − log δ Ω ( z ) hàm đa điều hòa lân cận điểm biên ∂Ω Vì có tập đóng F ⊂ Ω cho − log δ Ω ( z ) hàm đa điều hòa Ω \ F Bây ta lấy hàm liên tục ϕ ∈ PSH ( n ) (chẳng hạn hàm lồi tăng theo z ) cho ϕ ( z ) > − log δ Ω ( z ) u ( z ) sup(ϕ ( z ), − log δ Ω ( z )) thuộc z ∈ F ϕ ( z ) → ∞ z → ∞ Khi = PSH (Ω) u = ϕ lân cận F sup hai hàm đa điều hòa hàm đa điều hòa Như u thỏa mãn điều kiện ii) định lý 3.3.5 Ω giả lồi Sau ta kiểm tra tập mở với biên thuộc lớp C tập giả lồi 46 Định lý 3.3.7 Cho Ω ⊂  n tập mở với biên thuộc lớp C , tức Ω ={z: ρ (z) < 0} với ρ hàm thuộc lớp C xác định lân cận Ω gradρ ≠ ∂Ω Khi Ω miền giả lồi nếu: ∂2ρ w j wk ≥ z ∈ ∂Ω ∑ ∂ ∂ z z j , k =1 j k n ∂ρ n ∑ ∂z wj =0 (3.3.2) j Chứng minh: Nếu ρ1 hàm khác thỏa mãn giả thiết định lý ρ1 = hρ với h > lân cận Ω Do n ∂ ρ1 ∂2ρ w j wk ∑ ∂z ∂ z w j wk = h j∑ = j ,k = , k ∂z j ∂ z k j k n n ∂ρ j ∑ ∂z wj =0 Điều nói điều kiện (3.3.2) độc lập với cách chọn hàm ρ Để chứng minh tồn hàm ρ thỏa mãn (3.3.2) Ω giả lồi, ta đặt : c n \ Ω ρ ( z ) = −δ Ω ( z ) Ω , ρ ( z ) = δ Ω ( z ) Ω= δ chọn, chẳng hạn khoảng cách Euclide Khi ρ ∈ C gần biên Ω (điều suy từ định lý hàm ẩn) Tại điểm nằm Ω đủ gần ∂Ω , tính đa điều − log δ Ω dẫn đến n ∑ (−δ −1 j , k =1 ∂ 2δ ∂δ ∂δ + δ −2 )w j w k ≥ ∂z j ∂ z k ∂z j ∂ z k Do ∂2ρ w j wk ≥ ∑ j , k =1 ∂z j ∂ z k n n ∂ρ j ∑ ∂z wj =0 Chuyển qua giới hạn điều ∂Ω Trong chứng minh ngược lại ta dùng phần đầu chứng minh để giả sử (3.3.2) với ρ xác định Giả sử phản chứng − log δ Ω không hàm điều hòa Khi có w ∈  n cho 47 = c ∂2 log δ Ω ( z + τ w) > ∂τ∂τ τ =0 với z gần ∂Ω để δ Ω ∈ C z Dùng công thức khai triển Taylor τ = ta có  ∂φ  ∂ 2φ ∂ 2φ (0)τ + (0)τ  + (0)ττ + o( τ ) ∂τ  ∂τ  ∂τ∂τ φ (τ ) = log δ Ω ( z + τ w) = φ (0) + Re  = log δ Ω ( z ) + Re( Aτ + Bτ ) + c τ + o( τ ) 2 A, B số Bây chọn a ∈  n thỏa δ Ω (a ) = δ Ω ( z ) để z + a ∈ ∂Ω đặt z (τ ) =z + τ w + a exp( Aτ + Bτ ) Khi ta có δ Ω ( z (τ )) ≥ δ Ω ( z + τ w) − δ Ω (a) exp( Aτ + Bτ ) ≥ δ Ω (a)(ecτ /2 − 1) e Aτ + Bτ ≥ (3.3.3) τ đủ nhỏ Ngoài δ Ω ( z (0)) = Các đánh giá ảnh ánh xạ z chứa Ω tiếp xúc với ∂Ω điểm đơn z + a Khi ta thu (∂ / ∂τ )δ Ω ( z (τ )) =0 ý (∂ / ∂τ∂τ )δ Ω ( z (τ )) τ =0 >0 (do (3.3.3)  ∂ 2d  khai triển Taylor δ Ω  z , số hạng Re  2Ω z (0)τ  không số hạng có  ∂τ  dấu không đổi) Với kí hiệu ρ dùng trên, z (τ ) hàm giải tích theo biến τ nên ∂ρ ∑1 ∂z z' j (0) = , j n ∂2ρ z ' j (0) z 'k (0) ≤ ∑ ∂ ∂ z z j , k =1 j k n Điều mâu thuẫn với điều kiện (3.3.2) z(0) Vậy ta có điều phải chứng minh Điều kiện (3.3.2) gọi điều kiện Levi; ∂Ω gọi giả lồi (Levi) (3.3.2) Ω gọi giả lồi Levi điểm biên giả lồi (Levi) Nếu điều kiện (3.3.2) thay 48 ∂2ρ w j wk > z ∈ ∂Ω ∑ j , k =1 ∂z j ∂ z k n n ∂ρ j ∑ ∂z wj =0 Ω gọi giả lồi (Levi) mạnh Định lý 3.3.8 Cho Ω tập mở giả lồi  n , K tập compact Ω ω  PSH ( Ω ) Khi tồn hàm u ∈ C ∞ (Ω) cho: lân cận mở K a) u hàm đa điều hòa ngặt b) u < K u > Ω ∩ ( n \ ω ) c) { x ∈ Ω | u ( x) < c}  Ω với c ∈  Hàm u định lý gọi hàm vét kiệt đa điều hòa ngặt Chứng minh: Trước tiên ta xây dựng hàm liên tục v ∈ PSH (Ω) thỏa mãn b) c) Để làm điều ta chọn hàm uo với tính chất ii) định lý 3.3.5 Cộng thêm vào số cho uo cần thiết, ta giả sử uo < K Đặt K =' {z ∈ Ω: u o (z) ≤ 2} , L= {z ∈ Ω ∩ (  n \ ω ) : u o (z) ≤ 0} Những tập tập compact Với z ∈ L ta chọn hàm w ∈ PSH (Ω) cho w( z ) > w < K Bằng cách quy hóa định lý 1.3.10 ta thu hàm liên tục đa điều hòa w1 lân cận K’, mà w1 < K w1 > lân cận z Bởi L tập compact, ta dùng bổ đề Borel-Lebesgue mệnh đề 1.3.8 (sup số hữu hạn hàm đa điều hòa hàm đa điều hòa dưới) để xây dựng hàm liên tục đa điều hòa w lân cận K’ cho w > lân cận L w < K Lấy C cực đại w K’ với z ∈ Ω đặt : v( z ) = sup(w ( z ), Cuo ( z )) uo ( z ) < , v( z ) = Cuo ( z ) uo ( z ) > 49 Hai định nghĩa phù hợp < uo ( z ) < v hàm liên tục đa điều hòa Ω rõ ràng thỏa b) c) Đặt Ωc= {z ∈ Ω: v( z ) < c} Nếu dùng kí hiệu định lý 1.3.10 ta đặt v j ( z) = ∫ Ω j +1 v(ζ )ϕ ( z −ζ )ε −2 n d λ (ζ ) + ε ζ , j = 0,1, ε ε chọn đủ nhỏ (phụ thuộc vào j), ta thu hàm v j ∈ Co∞ ( n ) mà v j > v (xem định lý 1.3.10) hàm đa điều hòa ngặt lân cận Ω j (mệnh đề 1.3.5) Bằng cách chọn ε cho phù hợp ta thu vo < v1 < K v j < v + Ω j với j = 1, 2, Bây lấy hàm lồi χ ∈ Co∞ () cho χ (t ) = t ≤ χ '(t ) > 0, χ ''(t ) > t > Khi χ (v j + − j ) hàm đa điều hòa ngặt lân cận Ω j \ Ω j −1 Bây ta xây dựng hàm u theo yêu cầu quy nạp Trước tiên v0 > v Ωo Nếu a1 lớn dương u1 = vo + a j χ (v1 ) > v Ω1 Với a1 , a2 , , al −1 chọn, ta lấy al > cho l ul = vo + ∑ a j χ (v j + − j ) > v Ωl Như ta chọn dãy số dương thích j =1 hợp a1 , a2 , để l ul = vo + ∑ a j χ (v j + − j ) j =1 lớn v hàm đa điều hòa ngặt lân cận Ω m Vì χ (vl + k + − l − k ) =0 Ωl k > nên ta có ul +l = ul + k ' Ωl với k , k ' > Vì u = lim ul tồn hàm đa điều hòa thuộc lớp C ∞ Ω Bởi u= vo < K u > v Ω , từ ta có điều phải chứng minh 50 Định nghĩa 3.3.9 Một đĩa giải tích  n ánh xạ chỉnh hình khác φ : E →  n với E đĩa mở đơn vị Đôi ta gọi φ ( E ) đĩa giải tích Nếu φ có thác triển liên tục đến E ta gọi φ ( E ) đĩa giải tích đóng φ (∂E ) biên đĩa giải tích Khi ta nói φ tham số hóa φ ( E ) Định lý 3.3.10 Cho Ω ⊂  n miền Các tính chất sau tương đương (với lưu ý tính chất có nghĩa biên thuộc lớp C ) : − log δ Ω hàm đa điều hòa Ω với khoảng cách δ Ω miền giả lồi (Hartogs) Có hàm đa điều hòa liên tục u Ω cho { x ∈ Ω | u ( x) < c}  Ω với c ∈  Tính chất với hàm vét kiệt đa điều hòa ngặt u Ω tập lồi họ PSH (Ω) hàm đa điều hòa Ω Cho {dα }α ∈A họ đĩa giải tích đóng Ω Nếu  ∂dα  Ω α ∈A  dα  Ω α ∈A Nếu δ khoảng cách tùy ý d ⊂ Ω đĩa giải tích đóng δ Ω (∂d ) = δ Ω (d ) Tính chất với hàm khoảng cách đặc biệt Ω miền giả lồi Levi 10 Ω= Ω j , với Ω j miền giả lồi (Hartogs) Ω j  Ω j+1 11 Tính chất 10 ngoại trừ Ω j miền giả lồi Levi mạnh bị chặn với biên thuộc lớp C ∞ 51 Chứng minh: Ta có sơ đồ chứng minh sau 10 11 Chú ý giả thiết biên Ω thuộc lớp C sử dụng chứng minh (1) ⇒ (9) ⇒ (3)  (1) ⇒ (2) định nghĩa 3.3.1  (2) ⇒ (3) Ω bị chặn, xét u ( z ) = − log δ Ω ( z ) , ngược lại xét u( z) = − log δ Ω ( z ) + z  (9) ⇒ (3) định lý 3.3.7  (3) ⇒ (4) định lý 3.3.8  (4) ⇒ (5) suy từ định nghĩa tính lồi họ hàm (định nghĩa 3.3.1)  (5) ⇒ (6) giả sử d đĩa giải tích đóng Ω u ∈ PSH (Ω) Giả sử φ : E → d tham số hóa d Khi u  φ hàm điều hòa dưới, suy với z ∈ E ta có u  φ ( z ) ≤ sup u (ς ) ς ∈∂E Dẫn đến với p ∈ d ta có u ( p) ≤ sup u (ς ) ς ∈∂d ( ) Do d ⊂ ∂d PSH ( Ω ) dα ⊂  ( ∂ dα )  α α ∈A ∈A Do {dα }α ∈A họ đĩa giải tích đóng Ω PSH ( Ω ) Do ta có (6) 52  (6) ⇒ (7) Ta chứng minh phản chứng Giả sử có đĩa giải tích đóng o φ : E → d ⊃ Ω khoảng cách δ cho δ Ω (d ) < δ Ω (∂d ) Nhận xét ảnh liên tục tập compact tập compact nên d đóng bị chặn o Lấy po ∈ d điểm δ − gần với ∂Ω Ta giả sử φ (0) = po Chọn zo ∈ ∂Ω j cho δ ( po − zo ) = δ Ω ( po ) Dẫn đến đĩa d j ≡ d + (1 − )( zo − po ) thỏa  ∂d j  Ω , d j    ⊃ 1 −  zo + po  → zo ∈ ∂Ω , mâu thuẩn với (6) j j    (7) ⇒ (1) cần kiểm tra tính đa điều hòa điểm cố định zo ∈ Ω khoảng cách tùy ý δ Cố định vector a ∈  n : ta phải kiểm tra tính điều hòa ψ : ζ  − log δ Ω ( z0 + aζ ) với ζ ∈  đủ nhỏ Nếu a đủ nhỏ, ta lấy ζ ≤ Khi ta ψ (0) ≤ Bây ψ ∂E 2π ∫ 2π ψ ( eiθ )dθ hàm liên tục Lấy ε > Theo định lý Stone – Weierstrass có đa thức giải tích p  cho h = Re p sup ψ (ζ ) − h(ζ ) < ε Chúng ta giả sử h > ψ ∂ E Lấy b ∈  n thỏa δ (b) ≤ Định nghĩa đĩa giải tích φ : ζ  z0 + ζ a + be − p (ζ ) ζ ≤1 Đồng φ với ảnh d nó, ta cần chứng minh d ⊂ Ω Nếu chứng minh điều ta có (1) Thật vậy, b tùy ý, cách cho ζ = ta kết luận z0 + be− p (0) ∈ Ω với cách chọn b vector có δ − độ dài nhỏ Dẫn đến cầu tâm z0 , δ − bán kính e − p (0) chứa Ω Như δ Ω ( z0 ) ≥ e − p (0) = e − h (0) 53 Tương đương với 2π ψ (0) = − log δ Ω ( z0 ) ≤ h(0) =∫ h(eiθ )dθ < 2π 2π ∫ 2π ψ (eiθ )dθ + ε Cho ε → 0+ ta có kết Bây ta việc kiểm tra d ⊂ Ω Định nghĩa họ đĩa d λ : ζ  z0 + ζ a + λ be − p (ζ ) S Đặt= ≤ λ ≤1 S = [ 0,1] Từ dẫn đến kết {λ : ≤ λ ≤ dλ ⊆ Ω} Ta chứng minh luận d1 = d Đầu tiên nhận xét rằng, với cách chọn a, ta có ∈ S Do S khác rỗng Tiếp theo P ∈ d λ cho ζ ∈ E cho d λ (ζ ) = P Nếu λ j → λ d λ j (ζ ) ≡ Pj → P Như đĩa d λ giới hạn đĩa d λ j Hơn U ∂d λ  Ω ≤ λ ≤1 − p (ζ ) δ ( ( z0 + ζ a) − ( z0 + ζ a + λbe = ) ) δ ( λ be − p (ζ ) ) ) ≤ e − h (ζ ) ≤ e −ψ (ζ ) = δ Ω ( z0 + ζ a ) Vậy S đóng Vì Ω mở nên S mở Như S = [ 0,1]  (4) ⇒ (11) Lấy u (4) Tập hợp { z ∈ Ω | u ( z ) < c} có biên không trơn; điểm biên có ∇u triệt tiêu điểm bất thường Tuy nhiên theo định lý Sard tập hợp c có độ đo  Như ta đặt Ω= j { z ∈ Ω | u ( z ) < λ } , λ j j → +∞ cho ∂Ω j tập trơn Vì u đa điều hòa ngặt nên Ω j giả lồi mạnh  (11) ⇒ (10) Ta cần chứng minh miền giả lồi (Levi) mạnh với biên trơn miền giả lồi (Hartogs) Nhưng điều suy từ ( ) ⇒ ( 3) ⇒ ( ) ⇒ ( 5) ⇒ ( ) ⇒ ( ) ⇒ (1) ⇒ ( )  (10) ⇒ (2) Cho δ khoảng ( ) ⇒ ( 3) ⇒ ( ) ⇒ ( 5) ⇒ ( ) ⇒ ( ) ⇒ (1) ta có cách Euclide − log δ Ω j hàm điều hòa với j Do − log δ Ω đa điều hòa Ω miền giả lồi (Hartogs)  (7) ⇒ (8) rõ ràng Do 54  (8) ⇒ (6) Cho δ khoảng cách cho (8) Nếu (6) không có dãy {d j } đĩa đóng giải tích nằm Ω với δ Ω (∂d j ) ≥ ε > o δ Ω (d j ) → , mâu thuẩn  (1) ⇒ (9) áp dụng định lý 3.3.7 55 KẾT LUẬN Thông qua luận văn này, tìm hiểu số vấn đề thác triển chỉnh hình hàm nhiều biến phức, cụ thể luận văn đạt kết sau:  Hệ thống kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu  Trình bày số kết thác triển giải tích: thác triển giải tích qua miền Reinhardt, định lý thác triển Hartogs  Trình bày số kết miền chỉnh hình không gian  n : Nêu đặc trưng miền chỉnh hình số tính chất nó; mối liên hệ miền giả lồi miền chỉnh hình; đặc trưng miền giả lồi Bài toán nghiên cứu thác triển giải tích hàm nhiều biến phức toán mở người nghiên cứu Một số vấn đề mà luận văn chưa trình bày tiếp tục nghiên cứu: Chứng minh miền giả lồi  n miền chỉnh hình, thác triển giải tích hàm nhiều biến phức đa trị 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [2] B.V.Sabat , Hà Huy Khoái Nguyễn Thủy Thanh (dịch) (1979) , Nhập môn giải tích phức, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Tiếng Anh [1] L Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North- Holland Publishing Company 1973 [2] Steven G.Krantz, Function Theory of Several Complex Variables Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software Pacific Grove, California, 1992 [3] M.Klimek, Pluripotential theory, London Mathematical society monographs, Oxford Univ press 6, 1991 [...]... khung Γ của P(a, r ) của nó thì hệ số của khai triển Taylor của f tại a thỏa: cα ≤ trong đó r α = r1α r2α rnα 1 2 M rα n Một hàm chỉnh hình trên Ω thì chỉnh hình theo từng biến Khẳng định ngược lại cũng đúng: một hàm chỉnh hình theo từng biến cũng chỉnh hình trên Ω Đó là nội dung của định lý Hartogs Định lí 1.2.11 (Định lý Hartogs) Giả sử f : Ω →  với Ω mở trong  n , chỉnh hình theo từng biến phân... các điểm biên của nó và một số ví dụ về miền chỉnh hình Mục 3.2 dành cho việc mở rộng khái niệm bao lồi hình học đến khái niệm bao F- lồi với F là họ các hàm phức (hoặc thực) xác định trên một miền Đặc biệt khi nghiên cứu trường hợp F là họ các hàm chỉnh hình, ta chứng minh được các miền lồi chỉnh hình chính là các miền chỉnh hình Nội dung chính của mục này là nêu đặc trưng của miền chỉnh hình (định lý...  n và hàm f chỉnh hình trong D \ M Nếu f bị chặn địa phương thì nó được thác triển được một cách duy nhất thành hàm f chỉnh hình trong D 21 Chứng minh: Vì D \ M liên thông nên sự thác triển là duy nhất Ta chỉ cần chứng minh tính thác triển chỉnh hình của hàm f qua điểm bất kỳ a ∈ M mà không mất tính tổng quát, có thể xem a = 0 Do M là tập mỏng nên tồn tại lân cận U 0 ⊂ D và môt hàm chỉnh hình ϕ... mở rộng chỉnh hình của miền D, nếu mọi f ∈ H ( D) thác triển được thành hàm chỉnh hình trong G 24 Mệnh đề 3.1.2 Nếu G là mở rộng chỉnh hình của miền D thì thác triển của hàm f ∈ H ( D) tùy ý có thể nhận trong G \ D chỉ các giá trị mà f nhận trong D Chứng minh: Giả sử ngược lại, hàm f ∈ H(D) nhận giá trị wo nào đó trong G \ D nhưng không nhận giá trị wo trong D Khi đó hàm g ( z ) = 1 chỉnh hình f... 3.2.15) và một số tính chất của nó (các hệ quả 3.2.16, 3.2.17, định lý 3.2.19) Mục 3.3 trình bày về tính giả lồi, một cách giải thích khác khái niệm lồi chỉnh hình Mục này chỉ ra mọi miền chỉnh hình đều là miền giả lồi (định lý 3.3.2) và nêu đặc trưng của miền giả lồi (định lý 3.3.10) 3.1 Khái niệm miền chỉnh hình Định nghĩa 3.1.1 Miền D ⊂  n được gọi là miền chỉnh hình của hàm f nếu f chỉnh hình trong... f nếu f chỉnh hình trong D và không thác triển chỉnh hình được tới một miền lớn hơn, nói cách khác, đối với điểm tùy ý z o ∈ D , hàm f chỉnh hình trong đa đĩa lớn nhất P( z o , r ) ⊂ D , r = (r, ,r) và không thác triển chỉnh hình được vào bất kỳ đa đĩa nào P( z o , r ') , r ' > r , r’ = (r’, ,r’) Một miền được gọi là miền chỉnh hình nếu nó là miền chỉnh hình của hàm nào đó Miền G, chứa thực sự miền... kết luận f chỉnh hình trong 'V × Dn 23 Chương 3 : MIỀN CHỈNH HÌNH Ở chương 2, qua các định lý 2.2.7 , 2.3.2 chúng ta đưa ra các ví dụ về các tập )  sao cho mọi u ∈ H (Ω) đều có thể thác triển đến một hàm thuộc H (Ω mở Ω ⊂ Ω ≠ Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn vấn đề này qua việc nghiên cứu các miền chỉnh hình Mục 3.1 trình bày khái niệm miền chỉnh hình, sự liên hệ của miền chỉnh hình với các... trong  n 12 Chương 2 : MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ THÁC TRIỂN GIẢI TÍCH Chương này trình bày các phương pháp cổ điển của sự thác triển giải tích, các kỹ thuật thác triển giải tích dựa trên chuỗi lũy thừa, tích phân Cauchy đối với đa đĩa 2.1 Lý thuyết tổng quát về thác triển giải tích Xét bộ ba (a,U,f) trong đó a ∈  n ,U là một lân cận mở của a, f là một hàm trên U lấy giá trị trong một tập cố định X Hai bộ... Riemann, hàm giải tích đầy đủ F được cho một cách địa phương bởi một hàm chỉnh hình thông thường g trên miền V trong  n “bên dưới” R Đặt po = (a,U , f ) và đồng nhất A( po ,U , f ) với U chúng ta có F = f trên U Bằng cách này, miền Riemann R cung cấp một sự thác triển cực đại hay nói khác đi, miền tồn tại của hàm f ∈ H (U ) : Mọi mầm của các thác triển giải tích được biểu diễn bởi một điểm của R Với một. .. nào đó của tập {' z o } × Dn , hàm f chỉnh hình theo giả thiết và với những z đó theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến zn là: f ( z) = f (' z , ζ n ) 1 dζ n ∫ 2π i ∂Dn ζ n − zn Như vậy đối với những z thuộc lân cận này f ( z ) = f ( z ) và theo định lý duy nhất đối với hàm nhiều biến f ≡ f khắp nơi mà f chỉnh hình Nhưng f ∈ H ( D) và do đó nó là thác triển chỉnh hình cần tìm của f ... n mà hàm chỉnh hình luôn thác triển miền rộng Đó lý chọn đề tài Luận văn “ Một số vấn đề thác triển chỉnh hình hàm nhiều biến phức Mục đích nghiên cứu Trình bày số kết thác triển chỉnh hình. .. HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Triệu Phú Quý MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH CỦA HÀM NHIỀU BIẾN PHỨC Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... tồn hàm chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các miền không gian phức n chiều (n >1), hàm chỉnh hình nhiều biến, hàm đa điều hòa Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tìm hiểu số kết thác triển chỉnh