Chương 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ THÁC TRIỂN GIẢI TÍCH
2.3. Định lý Hartogs về sự thác triển
Bổ đề 2.3.1
Giả sử L= ì ìL1 ... Lm với Là:ζà =ζà( )t là đường cong đo được trong ζà- mặt phẳng à =1,...,m; D là miền trong m. Nếu hàm g( , )ζ z liờn tục trờn L Dì , chỉnh hình theo z=( ,...,z1 zm)trong D với ζ =( ,...,ζ1 ζm)∈L tùy ý và có các đạo hàm riêng liên tục g
zν
∂
∂ trên L D× thì tích phân
1
( ) 1... ( , ) ( , )
m
m
L L L
G z =∫dζ ∫ g ζ z dζ =∫g ζ z dζ chỉnh hình theo z trong D và ( , ) ( =1,...,n)
L
G g z
zν zν d
ζ ζ ν
∂ = ∂
∂ ∫ ∂
Chứng minh: Đối với z∈D tùy ý ta chọn r > 0 sao cho đa đĩa P z r( , )⊂D; giả sử hν <r và h=(0,..,hν,..0)∈n là vector mà mọi tọa độ, trừ tọa độ thứ ν, đều bằng 0.
Ta có:
[ ] 1
0
1 1 ( , )
( ) ( ) [ ( , ) ( , )]
L L
g z h
G z h G z g z h g z d d d
hν hν zν
ζ θ
ζ ζ ζ ζ ∂ + θ
+ − = + − =
∫ ∫ ∫ ∂
và do đó
[ ] 1 1
0 0
1 ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
L
g z g z h g z
G z h G z d d d
hν zν zν zν
ζ ζ ζ ζ θ ζ θ
∂ ∂ + ∂
+ − −∫ ∂ =∫ ∫ ∂ − ∂ (2.3.1)
Vì rằng g( ,z h) zν
ζ θ
∂ +
∂ , với z cố định, liên tục đều trên tập compact L×[ ]0;1 nên
đối với ε >0 tùy ý, có thể chọn δ >0đủ nhỏ, sao cho với mọi ( , )ζ θ ∈ ×L [ ]0,1 với h <δ ta có g( ,z h) g( , )z
zν zν
ζ θ ζ ε
∂ + ∂
− <
∂ ∂
Vì thế, bằng cách đánh giá liên tiếp các tích phân trong vế phải của (2.3.1) ta có
[ ] 1 1
0
1 ( , )
( ) ( ) g z ... m
G z h G z d L L
hν zν
ζ ζ ε
+ − − ∂ ≤
∫ ∂ với h <δ . Như vậy, tại mọi điểm z∈D, mọi đạo hàm riêng G
zν
∂
∂ tồn tại.
Định lý 2.3.2
Cho các miền 'D⊂n−1 và Dn ⊂. Khi đó mọi hàm f chỉnh hình trong lân cận của tập M =('D× ∂Dn)∪( '{ }zo ×Dn) trong đó 'zo∈'D, đều có thác triển chỉnh hình vào miền D = 'D D× n
Chứng minh: Không giảm tính tổng quát, có thể xem rằng Dn bị giới hạn bởi hữu hạn đường cong trơn.
Hàm ( ) 1 (' , ) 2
n
n n
n n
D
f z f z d
i z
ζ ζ π ∂ ζ
= ∫ − chỉnh hình trong miền D = 'D D× n.
Thật vậy, khi ζ ∈∂n Dn và 'z∈'D; điểm (' ,z ζ ∈n) M và do đó f(' ,z zn) chỉnh hình theo z=( ,...,z1 zm) trong D. Theo bổ đề 2.3.1 hàm f chỉnh hình theo
( ,...,1 m)
z= z z trong D đối với 'z∈'D,zn∉∂Dn tùy ý. Mặt khác, với 'z∈'D tùy ý, hàm f (xem như tích phân loại Cauchy) chỉnh hình đối với zn∈Dn. Nhưng với z
thuộc lân cận nào đó của tập { }'zo ×Dn, hàm f chỉnh hình theo giả thiết và với những z đó theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến zn là:
(' , ) ( ) 1
2
n
n n
n n
D
f z f z d
i z
ζ ζ π ∂ ζ
= ∫ −
Như vậy đối với những z thuộc lân cận này f z( )= f z( ) và theo định lý duy nhất đối với hàm nhiều biến f ≡ f khắp nơi mà f chỉnh hình. Nhưng f ∈H D( ) và do đó nó là thác triển chỉnh hình cần tìm của f.
*Nhận xét : Từ chứng minh ta thấy điều kiện định lý Hartogs có thể giảm đi, chỉ đòi hỏi rằng
a) f chỉnh hình trong lân cận tập { }'zo ×Dn
b) f liên tục theo zn và chỉnh hình theo 'z trên tập 'D×∂Dn
Định nghĩa 2.3.3
Cho D là miền trong n. Tập hợp M⊂D được gọi là tập mỏng nếu với mọi z∈D tồn tại lân cận Uz ⊂D và một hàm chỉnh hình ϕ, ϕ≡0 và bằng 0 tại mọi điểm của M∩Uz
Nhận xét rằng tập mỏng không thể có điểm trong, nó không đâu trù mật trong D.
Phần bù của một tập mỏng trong D là tập liên thông.
Định lý 2.3.4
Giả sử M là tập mỏng trong miền D⊂nvà hàm f chỉnh hình trong D \ M.
Nếu f bị chặn địa phương thì nó được thác triển được một cách duy nhất thành hàm f chỉnh hình trong D.
Chứng minh: Vì D \ M liên thông nên sự thác triển là duy nhất. Ta chỉ cần chứng minh tính thác triển chỉnh hình của hàm f qua điểm bất kỳ a∈M mà không mất tính tổng quát, có thể xem a = 0. Do M là tập mỏng nên tồn tại lân cận U0 ⊂D và môt hàm chỉnh hình ϕ, ϕ≡0 và bằng 0 tại mọi điểm của M∩U0. Nếu cần, thực hiện một phép biến đổi tuyến tính, ta có ϕ thỏa mãn điều kiện ϕ(' , 0)z ≠0, trong đó
1 1
'z=( ,...,z zn− ). Với ρ >n 0 đủ nhỏ hàm ϕ('0,zn)≠0 trên đường tròn {zn =ρn}, vì thế các số ρν (ν =1,...,n−1) có thể lấy đủ nhỏ, sao cho ϕ(' ,z zn)≠0với mọi
{ }
'z∈'V = zν ≤ρ νν : =1,...,n−1 và mọi zn∈∂Dn, ở đây Dn ={w∈: w <ρn}. Từ đó suy ra rằng, các điểm (' ,z zn) trong đó 'z∈'V, còn zn∈∂Dn, không thuộc tập M, tức là f chỉnh hình trong lân cận 'V×∂Dn.
Mặt khác, với 'zo∈'V cố định tùy ý, hàm ϕ('z zo, n) có hữu hạn không điểm trong hình tròn Dn ={zn ≤ρn} tức là f('z zo, n) có trong Dn hữu hạn điểm kỳ dị. Vì theo giả thiết f bị chặn trong Dn nên các điểm kỳ dị là các điểm kỳ dị bỏ được, nghĩa là f('z zo, n) thác triển được thành hàm chỉnh hình trong Dn. Hàm thác triển
f chỉnh hình trong lân cận tập (V×∂Dn)∪('0×Dn) và theo định lý 2.3.2 chỉnh hình trong đa đĩa V ='V×Dn.
Định lý 2.3.5
Nếu hàm f liên tục trong miền D⊂n và chỉnh hình khắp nơi trong D, trừ ra một tập M nằm trên mặt trơn 2n -1 chiều S thì nó chỉnh hình trong miền D.
Chứng minh: Giả sử trong lân cận U của điểm 0∈M, mặt S biểu diễn bởi phương trình yn =ϕ(' ,z xn), trong đó ϕ là hàm thực trơn. Vì ϕ('0, 0)=0 nên theo tính liên tục, với β >0 nhỏ tùy ý, tìm được lân cận 'V của điểm ‘0 và số α >0 sao cho ϕ(' ,z xn) <β với mọi 'z∈'Vvà xn <α. Vì thế f chỉnh hình trong
{ }
'V× xn <α, yn <γ trong đó γ β> , γ đủ nhỏ. Mặt khác, với 'zo∈'V cố định, hàm
(' o, n)
f z z chỉnh hình theo zn trong hình chữ nhật Dn ={xn <α, yn <γ}khắp nơi, trừ đường cong trơn yn =ϕ('z xo, n)và liên tục trong Dn. Từ đó suy ra tính chỉnh hình của f('z zo, n) trong Dn. Theo định lý 2.3.2 ta kết luận f chỉnh hình trong 'V×Dn.