Tính lồi chỉnh hình

Bao lồi thông thường (hình học) của tập M ⊂n có thể được mô tả như tập

 { o n: ( o) supz M ( ) }

M z λ z λ z λ

∈

= ∈ ≤ ∀

với λ là hàm tuyến tính phức 2

1

( ) ( )

n

z o ν νx ν

ν

λ α α α

=

= +∑ ∈

Ta mở rộng khái niệm này bằng cách mở rộng nó lên họ tùy ý các hàm (thực hoặc phức) xác định trên miền D⊂n.

Định nghĩa 3.2.1

Cho D là miền trong n, M là tập con của D và F là họ các hàm phức (hoặc thực) xác định trên D. Bao F - lồicủa tập M trong D là tập hợp

F { o : ( o) supz M ( ) }

M z D f z f z f F

∈

= ∈ ≤ ∀ ∈

(3.2.1)

Miền D được gọi là F – lồi, nếu đối với tập K tùy ý compact trong D, bao F – lồi của K cũng là tập compact trong D.

*Nhận xét : Định nghĩa dạng (3.2.1) cho phép thiết lập tính F – lồi của một miền mà không ra ngoài giới hạn của miền đó. Điều này rất quan trọng khi F chỉ bao gồm các hàm chỉ xác định trong miền D.

Khi F là họ hàm tuyến tính thì tính F – lồi trùng với tính lồi thông thường (hình học).

Khi F là họ hàm chỉnh hình trên D thì tính F – lồi là tính lồi chỉnh hình.

Khi F là họ hàm đa thức trên D thì tính F – lồi là tính lồi đa thức.

Ký hiệu bao lồi đa thức, bao lồi chỉnh hình lần lượt là MP,MH .

Nhận xét rằng lớp F càng rộng thì bất đẳng thức (3.2.1) đòi hỏi đúng với số hàm càng lớn, vì thế bao F – lồi càng nhỏ và do đó lớp miền F – lồi càng rộng. Đặc biệt, ta luôn có: M ⊂M  H ⊂Mp ⊂M và mọi miền lồi là lồi đa thức, mọi miền lồi đa thức là lồi chỉnh hình.

Ta minh họa bao hàm thức trên trong trường hợp phẳng ( n = 1). Miền D⊂ là miền lồi chỉnh hình, miền lồi đa thức là các miền với phần bù là tập liên thông trong ∞. (∞= ∪ ∞{ } là mặt phẳng phức mở rộng ). Một cách hình ảnh, việc chuyển đến bao lồi đa thức của một miền phẳng dẫn đến việc dán kín các “lỗ thủng”, còn khi chuyển đến bao lồi hình học ta dán các “chỗ hõm” gần biên.

Trong phần tiếp theo ta xét F⊂H( )Ω với Ω là tập mở trong n. Nếu K là tập con compact của Ω thì ta ký hiệu Ω-bao chỉnh hình ( hayH( )Ω -bao) của K là:

 { : ( ) supK f ( )}

KΩ = ∈Ωz f z ≤ f ∀ ∈H Ω

Bổ đề 3.2.2

KΩ là tập bị chặn (ngay cả khi Ω không bị chặn)

Chứng minh: Tập K bị chặn ⇔các hàm chỉnh hình f z1( )≡z1,..., f zn( )≡zn bị chặn trên K⇔ f1,..., fn bị chặn trên KΩ ⇔ KΩ bị chặn.

Bổ đề 3.2.3

  KΩ ⊂K

Chứng minh: Giả sử K ⊂{z: Re z−z0,ς ≤0}=Hzo,ς với , j j j

z ς =∑z ς . Trong các hàm chỉnh hình, ta xét các hàm nguyên f z( )=ez z− 0,ς , khi đó theo định nghĩa Ω-bao chỉnh hình ta có



0, Re 0,

sup z z sup z z 1

K K

e ς e ς

Ω

− −

≤ ≤

Suy ra 

o,

KΩ ⊂ Hz ς . Vì K là giao của các nửa không gian Hzo,ς nên KΩ ⊂K.

Định lý 3.2.4

Cho Ω ⊂n là một tập mở , F⊂H( )Ω là họ các hàm chỉnh hình xác định trên Ω. Khi đó nếu Ω là F- lồi thì tồn tại một hàm h∈F không thể thác triển chỉnh hình qua mọi điểm thuộc ∂Ω.

Chứng minh: Chọn một dãy trù mật { }wj ∞j=1 ⊂ Ω sao cho mọi điểm của nó được gặp trong dãy vô hạn lần. Với mỗi j, lấy Dj là đa đĩa lớn nhất P w r( j, ) nằm trong

Ω.

Dựng một dãy vét cạn compact của miền D, tức là xây dựng các dãy tăng các tập K1K2K3...sao cho

1 j j

K

∞

= =Ω

Với mỗi j, theo giả thiết ( )Kj F Ω. Do đó tồn tại zj∈Dj \ ( )Kj F. Điều này có nghĩa là có thể chọn hj∈F sao cho h zj( )j =1 nhưng 1

j Kj

h < . Bằng cách thay

hj bới hjMj đủ lớn ta có thể giả sử h zj( )j =1 và 1 2

j

j K j

h < . Ta có thể chọn hj

không đồng nhất bằng 1 trên mọi thành phần liên thông của Ω. Viết

1

(1 j)j

j

h h

∞

=

=∏ − Do j 2j

∑ j hội tụ nên tích trên hội tụ đều trên mỗi Kj và do đó hội tụ chuẩn tắc trên Ω, và hàm giới hạn h∈H( )Ω không đồng nhất bằng 0 trong mỗi thành phần liên thông của Ω. Do sự lựa chọn các điểm wj mỗi Djchứa vô hạn phần tử zl

và do đó chứa các phần tử mà mọi đạo hàm của h với cấp tùy ý triệt tiêu tại zj. Một thác triển chỉnh hình của h đến một lân cận w∈∂Ω là một thác triển đến một lân cận của Dj nào đó và do đó h có không điểm cấp vô hạn. Điều này dẫn đến h≡0 trên Dj, mâu thuẩn.

Vậy định lý được chứng minh.

Định nghĩa 3.2.5

Cho Ω ⊂n là một tập mở. Ta nói rằng điểm τ∈∂Ω là điểm chính quy nếu tồn tại một hàm h∈H( )Ω mà không thể thác triển chỉnh hình qua τ, nghĩa là không thể xảy ra việc : tìm được Ω Ω1, 2 với Ω2 là lân cận liên thông của τ , Ω1 là tập mở khác rỗng thỏa Ω ⊂ Ω ∩ Ω1 2 và hàm h2∈H(Ω2) sao cho h=h2 trên Ω1.

Hệ quả 3.2.6

Nếu Ω là F- lồi thì mỗi điểm τ∈∂Ω là điểm chính quy.

Hệ quả 3.2.7

Nếu D là miền lồi chỉnh hình thì D là miền chỉnh hình.

Để nhận được các điều kiện cần đối với các miền chỉnh hình, cần đặt cho F những điều kiện phụ.

Định nghĩa 3.2.8

Ta nói rằng họ hàm F ổn định đối với hệ thức vi phân, ngắn gọn hơn F là d - ổn định, nếu F chứa hàm f tùy ý cùng với các đạo hàm kkf

z

∂

∂ tùy ý của nó .

*Ví dụ : Lớp các hàm chỉnh hình là lớp d – ổn định.

Định lý 3.2.9

Giả sử D là miền trong n và K là tập compact trong D. zo thuộc bao lồi của K đối với lớp d – ổn định F. Khi đó nếu hàm f ∈F thì f thác triển chỉnh hình được vào đa đĩa P z r( 0, ) với r=d K( ,∂D).

Chứng minh: Vì zo∈D nên trong lân cận zo, hàm f ∈F được biểu diễn bởi chuỗi Taylor:

0

( ) k( o k)

k

f z c z z

∞

=

=∑ − trong đó 1

! o

k

k k

z

c f

k z

= ∂

∂ . Nhưng vì zo∈KF và F là d - ổn định nên:

zo

k k

k k

K

f f

z z

∂ ≤ ∂

∂ ∂

tức là để đánh giá đạo hàm tại zo ta cần đánh giá đạo hàm trên K.

Chọn số r1<r. Ký hiệu K( )r1 = ( , )1

z K

P z r

∈ và gọi nó là r - mở rộng1 của K. Vì

( )r1

K ⊂D nên f bị chặn trên K( )r1 , ta ký hiệu:

( )1

1( )1 r

M r = f K

Nếu z∈K thì P z r( , )1 ⊂K( )r1 , sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1 1 1

( ) 1

!

k

k k k

K

M r c f

k z r

= ∂ ≤

∂

Bây giờ ta lấy số r2 <r1 tùy ý, đối với z tùy ý thuộc P z r( , )0 2 có

2 1 1

1

( ) ( )

k o k

k

c z z M r r r

− ≤   

  Suy ra chuỗi

0

( o k)

k k

c z z

∞

=

∑ − hội tụ trong đa đĩa P z r( o, )2 . Vì các số r r1, 2 có thể chọn gần r tùy ý nên chuỗi hội tụ khắp nơi trong P z r( o, ). Chuỗi này cho thác triển chỉnh hình cần tìm của f.

Định lý 3.2.10

Nếu D⊂n là miền chỉnh hình của hàm f nào đó thuộc lớp d – ổn định F thì D là miền F- lồi.

Chứng minh: Ta lấy tập K compact tùy ý trong D, ký hiệu r=d K( ,∂D). Theo định lý 3.2.9 , hàm f thác triển được vào KF( )r , mà theo giả thiết f không thể thác triển được ra ngoài D nên KF( )r ⊂ D, nghĩa là KF compact trong D.

Do họ hàm chỉnh hình trên D thuộc lớp d - ổn định nên miền chỉnh hình tùy ý là miền lồi chỉnh hình. Kết hợp nhận xét này với hệ quả 3.2.7, ta có:

Định lý 3.2.11

D ⊂n là miền lồi chỉnh hình khi và chỉ khi D là miền chỉnh hình.

♦Cho D là đa đĩa mở tâm tại 0, đặt ∆ΩD( )z =sup{r:{ }z +rD⊂ Ω}, ta có bổ đề sau:

Bổ đề 3.2.12

Cho f ∈H( )Ω , giả sử rằng ( )f z ≤∆ΩD( )z z∈K và ς∈KΩ. Nếu ( )

u∈H Ω thì khai triển chuỗi lũy thừa của u tại ς ( )( )

!

u z

α α

α

ς ς

α

∂ −

∑ (3.2.2)

hội tụ khi z thuộc đa đĩa { }ς + f( )ς D

Chứng minh: Giả sử D={z z: j <r jj, =1,...,n}. Nếu 0< <t 1 thì tập hợp

{ : ( ) , 1,..., ,

w j j j

S = z z −w ≤tr f w j = n với w nào đó thuộc }K

là tập con compact của Ω, do đó tồn tại M > 0 để ( )u z ≤M trên Sw. Từ bất đẳng thức Cauchy ta có:

( ) ( ) M ! u w f w

t r

α α

α α

∂ ≤ α w∈K

Vì ∂αu w f w( ) ( )α cũng là hàm chỉnh hình trong Ω nên khi w∈KΩ ta có đánh giá giống như trên. Khi w=ς thì chuỗi (3.2.2) hội tụ trong { }ς + f( )ς tD.

Vì 0< <t 1 là tùy ý nên có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 3.2.13

Ta gọi hàm khoảng cáchxác định trên n là hàm liên tục không âm

: n [0, )

δ  → ∞ sao cho:

i) δ( )z =0 khi và chỉ khi z=0 ii) δ λ( z)= λ δ( )z với mọi z∈n

Đặt \

( ) inf ( )

w n

z z w

δΩ δ

∈ Ω

= −

 ta có kết quả sau:

Định lý 3.2.14

Cho Ω là miền chỉnh hình. Nếu f ∈H( )Ω và f z( ) ≤δΩ( ), z z∈K, với K là tập con compact của Ω thì

( ) ( ), 

f z ≤δΩ z z∈KΩ

Đặc biệt, khi f là hàm hằng ta có 

, \ , \

inf ( ) inf ( )

n n

z K w z K w

z w z w

δ δ

∈ ∈ Ω − = ∈ Ω ∈ Ω −

 

Chứng minh: Nếu {z: ( ) 1δ z < } là đa đĩa D, từ bổ đề 3.2.12, khai triển lũy thừa của mọi u∈H( )Ω tại điểm ς ∈KΩ hội tụ trong một đa đĩa cố định. Do định nghĩa miền chỉnh hình, đĩa này không thể không chứa trong Ω. Do đó ta có kết quả của định lý.

Bây giờ ta viết :

( )z sup{r ;z aw

δΩ = ∈ + ∈Ω nếu w∈n,δ( ) 1w ≤ và a∈, a <r}= ,

( ) 1

inf w( )

w z

δ δΩ

≤

với δΩ,w( )z =sup{r∈;z+aw∈Ω nếu a <r}

Ta chỉ cần chứng minh khẳng định của định lý đúng với δΩ,w( )z thay vì δΩ( )z . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử w=(1, 0,..., 0).

Nếu 1 2

1 1

: 1, ,...,

k n

D z z z z

k k

 

= < < < 

  thì ∆DΩk( )z δΩ,w( )z khi k→ ∞, trong đó

{ { } }

( ) sup :

DK

z r z rDK

∆Ω = + ⊂ Ω .

Với ε >0. Ta định nghĩa

{ : ( ) (1 ) Dk( )}

Ak = z f z ≤ + ∆ε Ω z khi đó { }Ak là một dãy tăng các tập mở. Mặt khác k

k

K ⊂A , do đó có k0 đủ lớn chứa K. Nói cách khác

( ) (1 ) Dk0( )

f z ≤ + ∆ε Ω z , z∈K Do đó theo lập luận như bắt đầu chứng minh

0

( ) (1 ) Dk ( ) (1 ) ,w( )

f ς ≤ + ∆ε Ω ς ≤ +ε δΩ ς , ς∈KΩ

Cho ε →0+ ta có f( )ς ≤δΩ,w( )ς , ς∈KΩ.

Định lý 3.2.15

Cho Ω là một miền trong n, F =F( )Ω là họ hàm chỉnh hình trong Ω. Các mệnh đề sau tương đương :

1) Ω là miền chỉnh hình 2) Ω lồi đối với họ F

3) Có một hàm h∈F không thể thác triển chỉnh hình qua điểm bất kỳ P∈∂Ω 4) Mỗi điểm P∈∂Ω là điểm chính quy.

5) Với mọi f ∈F, mọi KΩ và mọi khoảng cách δ , bất đẳng thức ( ) ( ),

f z ≤δΩ z z∈K, dẫn đến

( ) ( ), 

f z ≤δΩ z z∈KΩ

6) Với mọi f ∈F, mọi KΩ và mọi khoảng cách δ



( ) ( )

sup sup

( ) ( )

z K z K

f z f z

z z

δ Ωδ

∈ Ω ∈ Ω

=

7) Nếu KΩ và mọi khoảng cách δ thì ( )K (KF) δΩ =δΩ

8) (7) đúng chỉ với một khoảng cách δ nào đó

Chứng minh:

1 2 3 4

8 7 6 5

(1)⇔(2) Áp dụng định lý 3.2.11 (2)⇒(3) Áp dụng định lý 3.2.4

(3)⇒(4) Rõ ràng (định nghĩa 3.2.5, hệ quả 3.2.6) (4)⇒(5),(5)⇒(6) Áp dụng định lý 3.2.14

(6)⇒(7) Áp dụng (6) với f ≡1 (7)⇒(8) Rõ ràng

(8)⇒(1) Áp dụng bổ đề 3.2.2

*Nhận xét : Các miền lồi chỉnh hình là các miền mà trong đó việc chuyển từ các tập compact sang bao lồi chỉnh hình của nó không làm giảm khoảng cách đến biên (phép chuyển như vậy có nghĩa là dán các “ lổ thủng” và “eo” các tập con).

Hệ quả 3.2.16

Nếu Ωα là miền chỉnh hình với mọi α thuộc tập các chỉ số A thì phần trong Ω của

A α α∈

Ω cũng là miền chỉnh hình.

Chứng minh: Vì KΩ ⊂KΩα nếu KΩ nên (K ) (K α)

δΩ Ω ≥δΩα Ω . Do Ωα là miền chỉnh hình cho nên δΩα(KΩα)=δΩα( )K với mọi α∈A (theo định lý 3.2.15). Suy ra

(K ) α( )K ( )K δΩ Ω ≥δΩ ≥δΩ

Mặt khác doK⊂KΩ nên δΩ(KΩ)≤δΩ( )K , từ đây suy ra δΩ(KΩ)=δΩ( )K . Theo định lý 3.2.15 ta có Ω là miền chỉnh hình.

Hệ quả 3.2.17

Cho Ω là miền Reinhardt liên thông chứa 0. Khi đó các điều kiện sau tương đương :

(i) Ω là miền hội tụ của một chuỗi lũy thừa.

(ii) Ω là miền chỉnh hình.

(iii) Ω =* {ς ς: ∈n,(eς1,eς2,...,eςn)∈Ω} là tập hợp lồi mở trong n và nếu ς∈Ω* dẫn đến η∈Ω* nếu ηj ≤ςj với mọi j. Hơn nữa, ta có z∈Ω nếu và chỉ nếu

, 1,...,

j

zj ≤eς j= n, với ς∈Ω* nào đó.

Chứng minh:

(i)⇒ (iii) được suy ra từ định lý 2.2.3.

(ii)⇒ (i) dựa theo định lý 2.2.5.

(iii)⇒(ii) cho K là tập compact trong Ω. Ta có thể tìm một tập hợp hữu hạn k⊂ Ω sao cho

{ : j j , 1,..., }

k

K z z j n

ς

ς

∈

= ≤ =

và không có ςj nào bằng 0 khi ς∈k. Giả sử rằng z∈KΩ và z1,...,zj ≠0 trong khi

1,...,

j n

z + z đều triệt tiêu (chúng ta có thể đưa về trường hợp này bằng cách đổi ký hiệu các tọa độ). Khi đó với mọi α

1 1

1 jj sup 1 jj

k

zα zα α α

ς ς ς

≤ ∈

 

Nghĩa là, nếu

1 i i

n

λ α

α α

= + + thì

1 1

log sup log

j j

i i i i

i k i

z ς

λ λ ς

= ∈ =

∑ ≤ ∑

Vì ở đây λi là các số hữu tỷ không âm với tổng bằng 1, đánh giá cũng đúng với các số thực không âm tùy ý λi. Điều này có nghĩa là các điểm (log z1 ,..., log zj )∈j

thuộc bao lồi của tập hợp mọi (η1,...,ηj) sao cho ηi ≤logςi , i=1,...,j với ς∈k nào đó suy ra z∈Ω

Điều này chứng tỏ rằng với η∈Ω* nào đó, ta có zi ≤eηi, i 1,...,= j và do đó cũng đúng với mọi j. Như vậy KΩ⊂ Ω.

Như vậy ta đã chứng minh được rằng mọi hàm chỉnh hình trong một miền liên thông Reinhardt chứa 0 có thể được thác triển vào một miền chỉnh hình cũng là miền Reinhardt.

Các kết quả tiếp theo cũng tương tự nhưng tổng quát hơn.

Định nghĩa 3.2.18

Một tập mở Ω ⊂nđược gọi là một hình trụ nếu có một tập mở ω ⊂n, được gọi là đáy hình trụ, sao cho Ω ={z: Rez∈ω}.

Bao lồi chΩ là một hình trụ với đáy là chω.

Định lý 3.2.19

Nếu Ω là một hình trụ liên thông thì mọi u∈H( )Ω có thể được thác triển thành một hàm thuộc H chΩ( ).

Ta có thể suy ra kết quả của định lý trên dựa vào bổ đề 3.2.12 và bổ đề sau

Bổ đề 3.2.20

Cho Ω là một hình trụ có đáy chứa trong bao lồi của

( )

{ 1, 0,..., 0 | 0 1 1} { (0, 2, 0,..., 0 | 0) 2 1}

k = x ≤x ≤ ∪ x ≤x ≤

Với 0 1

ε 2

< < ta đặt

( )

{ 1, 2, 0,..., 0 |; 0 1, 0 2, 1 2 1, 1 2 ( 12 22) 1 }

Kε = x x ≤x ≤x x +x ≤ x +x −ε x +x ≤ −ε và kε ={x iy x+ : ∈k y, 12+y22 ≤ −1 ε,y3 =yn =0}

Khi đó ( )H Ω −bao của kε +iη chứa Kε +iη với mọi η∈n

Chứng minh: Chúng ta có thể lấy η =0 trong chứng minh. Bây giờ xét

( )

{ 1, 2, 0,..., 0 | 0 Re ; 01 Re 2, Re(z1 2) 1, z1 2 ( 12 22) 1 }

Mε = z z ≤ z ≤ z +z ≤ + −z ε z +z = −ε

với zj = xj +iyj, ta có trong Mε

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

x +x −ε(x +x )+ε(y +y )= −1 ε, x ≥0,x ≥0, x +x ≤1, Do đó x12+x22 ≤1 và y12 y22 1

+ ≤ε , suy ra Mε là tập compact.

Vì 1 2 12 22 1

1

(z z (z z )) 1 2 z 0

z ε ε

∂ + − + = − ≠

∂ trên Mε

nên định lý hàm ẩn chỉ ra rằng về địa phương thì z2 là hàm chỉnh hình theo z1 trên Mε. Tương tự z1 là hàm chỉnh hình theo z2 trên Mε. Do x1+x2 <1 và trên Mε ngoại trừ các điểm (1,0,..,0) và (0,1,0,…), biên của mặt Mε thuộc kεvà cực đại của một hàm thuộc ( )H Ω trên Mε được giả sử đạt trên kε nên H( )Ω −bao của kε chứa

( )

{ x x1, 2, 0,..., 0 |; 0≤x1, 0≤x2, x1+x2 ≤1, x1+x2−ε(x12+x22)= −1 ε}

Mặt khác λkε ⊂kε khi 0≤ ≤λ 1 nên bổ đề được chứng minh.

Chứng minh định lý 3.2.19

a) Trước hết ta giả sử rằng đáy ω của Ω là tập hình sao với tâm là gốc tọa độ, nghĩa là, nếu x∈ω, 0≤ ≤t 1 thì ta có tx∈ω. Nhận xét rằng mọi hình trụ với đáy là tập hình sao thì liên thông và giao của hai hình trụ như thế cũng có đáy hình sao và liên thông. Như vậy có một hình trụ Ω với đáy hình sao ω sao cho mọi

( )

u∈H Ω có thể thác triển chỉnh hình đến Ω và Ω chứa mọi hình trụ đáy hình sao với tính chất này. Thực ra, ta chỉ cần lấy hợp tất cả các hình trụ như thế. Ta cần chứng minh ω là tập lồi. Lấy ς ς1, 2 là hai phần tử độc lập tuyến tính trong ω. Ta có thể chọn các tọa độ để ς1 và ς2 là các vector đơn vị dọc theo các trục x x1, 2. Cho kđược định nghĩa như trong bổ đề 3.2.20 và chọn δ >0 sao cho ∆ΩD( )z >δ , z∈k (ký hiệu ∆DΩ( )z như trong bổ đề 3.2.12).

Đặt

{ : 0 1

E = a ≤ ≤a sao cho 0≤x1, 0≤x2, x1+x2 ≤a dẫn đến (x x1, 2, 0,..., 0)∈ω}

Khi đó E là tập mở trong [ ]0,1 và 0∈E. Nếu a∈E và 0 1

ε 2

< < thì từ bổ đề 3.2.20 ta có H( )Ω − bao của k+iK , với K ⊂n là tập compact nào đó, chứa

( ) ( )

{ }

, 1, 2, 0,..., 0 |; 0 1, 0 2, 1 2 1 Laε = x x ≤x ≤x x +x ≤ −ε a

Do đó khai triển chuỗi lũy thừa của mọi hàm f ∈H( )Ω tại điểm ς với Reς∈La,ε

hội tụ trong { }ς +δD. Từ điều này suy ra E là tập đóng và do đó E=[ ]0,1 , dẫn đến

tính lồi của ω.

b) Bây giờ giả sử ω là tập mở liên thông tùy ý trong n. Lấy 0∈ω và ký hiệu Ω là hình trụ lớn nhất với đáy hình sao tâm là gốc tọa độ sao cho mọi

( )

f ∈H Ω có thể tìm được  f ∈Ω để f = f trong lân cận của 0. Theo a) Ω là tập lồi. Bây giờ giả sử Ω không chứa mọi phần tử thuộc Ω. Khi đó ta có thể tìm được một điểm x0∈ω mà x0∉ω và vì ω liên thông nên ta có thể nối x0 với 0 bởi một đa giác trong ω. Gọi x1 là giao điểm cuối cùng với ∂ω. Khi đó x1 được nối với 0 bởi một đa giác thuộc vào ω ω∩ tách ra khỏi x1. Nếu ω1 là một lân cận lồi của x1 chứa trong ω, hàm f '=f trong ω+in, f '= f trong ω1+in được xác định duy nhất và chỉnh hình trong hình trụ đáy ω ω∪ 1 là hình sao tâm x1. Theo a) hàm f ' khi đó có thể thác triển đến hình trụ với đáy ch(ω ω∪ 1) là hình sao tâm 0. Điều này mâu thuẩn với với định nghĩa của Ω. Do đó Ω ⊂ Ω và ta có f = f trên toàn bộ Ω do tính duy nhất của thác triển chỉnh hình.

Hệ quả 3.2.21

Một hình trụ là miền chỉnh hình nếu và chỉ nếu mọi thành phần liên thông của nó là tập lồi.

Chúng ta đưa ra đây một vài cấu trúc đơn giản dẫn đến các miền chỉnh hình.

Định lý 3.2.22

Cho Ω là miền chỉnh hình và f1,..., fN∈H( )Ω . Khi đó

{ : , ( ) 1, 1,.., }

f z z f zj j N

Ω = ∈Ω < = là miền chỉnh hình.

Chứng minh: Cho K là tập compact trong Ωf. Chọn r<1 sao cho f zj( ) ≤r trong K khi j=1,...,N . Khi đó bất đẳng thức này cũng đúng trong KΩ. Suy ra

 f

KΩ ⊂ Ω . Vì Ω là miền chỉnh hình nên KΩ compact và do   KΩf ⊂KΩ nên



KΩf compact.

Một dạng tổng quát hơn được phát biểu như sau

Định lý 3.2.23

Cho Ω và Ω' lần lượt là các miền chỉnh hình trong n và m, u là ánh xạ chỉnh hình từ Ω vào m. Khi đó:

{ : , u(z) '}

u z z

Ω = ∈Ω ∈Ω

là miền chỉnh hình.

Chứng minh: Cho K là tập compact trong Ωu. Vì  

KΩu ⊂KΩ ⊂ Ω nên ta chỉ cần chứng minh KΩu đóng trong Ω. Vì u liên tục nên u K( ) là tập con compact của Ω' do đó H(Ω −') bao K' của u K( ) cũng là một tập con compact của Ω'. Nếu

( ')

f ∈H Ω và  K u

ς∈ Ω , ta có

( )

( ( )) sup ( ( )) sup ( )

z K w u K

f u ς f u z f w

∈ ∈

≤ = nghĩa là u( )ς ∈K'.

Khi đó, mọi điểm thuộc bao đóng của KΩu trong Ω được ánh xạ vào K' bởi u và do đó cũng thuộc Ωu.

*Chú ý: Chứng minh không sử dụng hết giả thiết Ω là một miền chỉnh hình; chúng ta chỉ cần KΩu Ω với mọi KΩ. Nếu Ωu Ω thì giả thiết Ω là một miền chỉnh hình có thể bỏ.