Một số vấn đề xung quanh giả thuyết ABC

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THU OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH GIẢ THUYẾT ABC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THU OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH GIẢ THUYẾT ABC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN – 2014 3 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1. ĐỊNH LÝ MASON VÀ ỨNG DỤNG 4 1.1. Định lý Mason 4 1.2. Giả thuyết Hall 8 1.3. Các tương tự của Định lý Fermat trên đa thức 11 1.4. Các bài toán tương tự với số nguyên trên đa thức 17 CHƯƠNG 2. GIẢ THUYẾT ABC VÀ ỨNG DỤNG 22 2.1. Giả thuyết ABC 24 2.2. Định lý Fermat tiệm cận 26 2.3. Phương trình Brocard 27 2.4. Giả thuyết ABC suy rộng 29 2.5. Một số trường hợp minh họa cho Giả thuyết ABC 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Định lý cuối cùng của Fermat (1601 – 1665), hay còn gọi là Định lý lớn Fermat, là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học, được phát biểu như sau: 4 Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không , ,x y z thỏa mãn phương trình , n n n x y z + = trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2. Sự phát triển của Số học gần đây chịu sự ảnh hưởng rất lớn của sự tương tự giữa số nguyên và đa thức. Để nghiên cứu một tính chất nào đó trên vành số nguyên, trước hết người ta kiểm tra tính chất đó trên vành đa thức. Áp dụng phương pháp nghiên cứu nói trên, Định lý Mason đã được phát minh như là một công cụ cho nhiều hy vọng trên con đường chinh phục Định lý lớn Fermat, vào những năm 80 của thế kỷ XX. Định lý Mason và sự tương tự của số nguyên và đa thức gợi ý nên giả thuyết sau đây: Giả thuyết ABC ([11]). Giả sử , ,a b c là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau và thoả mãn hệ thức a b c+ = . Khi đó, với mỗi số 0 ε > tuỳ ý, tồn tại một hằng số ( ) ε C chỉ phụ thuộc ε sao cho ( ) ( ) ε ε + ≤ 1 , , , n n n max a b c C N trong đó N là căn của abc . Giả thuyết ABC được đề xuất độc lập bởi David Masser và Joseph Oesterle vào năm 1985 liên quan đến "square-free number" là số không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Ví dụ, tích của tất cả các ước nguyên tố (không kể bội) của số nguyên n - kí hiệu sqp(n) – là một square - free number. Andrew Granville thuộc Đại học Montreal nhận xét "Giả thuyết ABC thoạt nhìn thì đơn giản so với những câu hỏi sâu sắc trong Lý thuyết số. Tuy nhiên, phỏng đoán kỳ lạ này tương đương với tất cả những vấn đề chính. Đó là ở trung tâm của những bài toán đang được nghiên cứu". Giả thuyết ABC cũng đã được mô tả như là một lý thuyết thống nhất của hệ thống số, trong đó nhiều định lý quan trọng khác ngay lập tức trở thành hệ quả. Chẳng hạn, Định lý Fermat tiệm cận là một hệ quả trực tiếp của Giả thuyết ABC; cũng từ Giả thuyết ABC người ta cũng có thể chứng minh được phương trình Brocard chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên dương,… 5 Trong một bài báo trên The Sciences năm 1996, Dorian Goldfeld – giáo sư của Đại học Columbia cho biết "Giả thuyết ABC đối với các nhà toán học nó thực sự đẹp, hơn nữa tiện dụng. Nhờ Giả thuyết ABC rất nhiều vấn đề Diophantine bất ngờ được liên kết lại trong một phương trình duy nhất từ đó cho cảm giác rằng tất cả các nhánh toán học đều thuộc một thể thống nhất. Không có gì đáng ngạc nhiên khi các nhà toán học đang hết sức nỗ lực để chứng minh điều đó". Goldfeld so sánh "Giả thuyết ABC giống như những nhà thám hiểm trước một vách đá thẳng đứng cố gắng kiếm tìm những mạch nhỏ trên mặt đá với hy vọng rằng một trong số đó sẽ cho họ con đường dẫn đến đỉnh núi". Cũng theo Goldfeld, "Nếu chứng minh Giả thuyết ABC được khẳng định thì các nhà toán học sẽ thấy được công cụ rất mạnh để giải quyết các vấn đề trong lý thuyết số". Vì vậy, việc nghiên cứu sự mở rộng của Giả thuyết ABC trong vành số nguyên và trong vành đa thức cũng như vành các hàm nguyên chỉnh hình đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm. Trước hết, người ta cố gắng nghiên cứu sự thể hiện của Giả thuyết ABC trên trường hàm. Vào năm 2001, Hu và Yang đã chứng minh Giả thuyết ABC cho các hàm chỉnh hình p-adic. Gần đây, ở Việt Nam, các tác giả Hà Huy Khoái, Vũ Hoài An, Đoàn Quang Mạnh, Nguyễn Thành Quang, Phan Đức Tuấn đã phát biểu và chứng minh Giả thuyết ABC đối với các hàm chỉnh hình phức hoặc p-adic nhiều biến. Với những lý do như đã nói ở trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn "Một số vấn đề xung quanh Giả thuyết ABC" nhằm tìm hiểu sâu hơn những kết quả số học có liên quan đến Giả thuyết này. Mục đích của luận văn là trình bày Giả thuyết ABC và một số ứng dụng xung quanh Giả thuyết này. Từ đó tìm hiểu sự mở rộng và tìm tòi một số ví dụ có liên quan đến Giả thuyết ABC trong vành số nguyên ¢ và trong vành đa thức [ ] t£ . 6 Luận văn gồm hai chương, cùng với các phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 giới thiệu Định lý Mason và trình bày một số ứng dụng. Chương 2 giới thiệu Giả thuyết ABC và việc áp dụng Giả thuyết này để chứng minh Định lý Fermat tiệm cận, phương trình Brocard chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên dương. Nội dung tiếp theo của chương 2 là trình bày lại một số mở rộng trong vành số nguyên ¢ và trong vành đa thức [ ] K t , đưa ra một số ví dụ có liên quan đến Giả thuyết ABC. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời gian và công sức giúp tôi hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn chúng tôi học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Đồng Tháp đã tạo mọi điều kiện cho chúng tôi trong học tập để hoàn thành khóa học. Tuy đã có nhiều cố gắng trong học tập và viết luận văn, song chắc chắn luận văn này vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô giáo và các đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn cơ quan công tác, gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập sau đại học vừa qua. TÁC GIẢ 7 CHƯƠNG 1 ĐỊNH LÝ MASON VÀ ỨNG DỤNG 1.1. Định lý Mason 1.1.1. Mở đầu. Trên tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức có rất nhiều tính chất giống nhau. Ta chú ý đến sự tương tự giữa phân tích ra thừa số nguyên tố và phân tích bất khả quy. Mỗi đa thức ( ) f t có bậc nguyên dương trên trường số phức £ (trường đóng đại số với đặc số 0) đều có thể phân tích dưới dạng tích các nhân tử tuyến tính như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 m k k k m f t t t t α α α = − − − , trong đó mỗi α ∈£ i là nghiệm với bội 1 i k ≥ của ( ) f t . Như vậy, ta có thể thấy rằng, trong sự tương tự giữa phân tích thành nhân tử và phân tích ra thừa số nguyên tố, các nghiệm phức của đa thức tương ứng với các ước nguyên tố của số nguyên. Do đó, số các nghiệm phức phân biệt của một đa thức có vai trò như số các ước nguyên tố của một số nguyên. Từ nhận xét đó, người ta đi đến hai khái niệm tương tự sau đây: 1.1.2. Căn của một số nguyên. Cho a là một số nguyên, ta định nghĩa căn của a, ký hiệu bởi ( ) rad a , là tích các ước nguyên tố phân biệt của a. ( ) |p a rad a p = ∏ . Ví dụ. ( ) ( ) 4 2 720 2 .3 .5 2.3.5 30.rad rad= = = Nhận xét. 1) Với mọi số nguyên a, b ta luôn có ( ) ( ) ( ) .rad ab rad a rad b ≤ 2) Nếu các số nguyên a, b nguyên tố cùng nhau thì ( ) ( ) ( ) .rad ab rad a rad b = 8 1.1.3. Căn của một đa thức. Giả sử ( ) [ ] ∈f t t£ là một đa thức trên trường số phức £ với bậc 1n ≥ và có sự phân tích thành các nhân tử tuyến tính trên £ như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α ∗ = − − − ∈ ∈ ∈L ¥ £ £ 1 2 1 2 , , , . m k k k m i i f t a t t t k a Khi đó, ta định nghĩa căn của ( ) f t , ký hiệu bởi ( ) rad f , như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) α α α = − − −L 1 2 . m rad f a t t t 1.1.4. Số nghiệm phân biệt của một đa thức. Giả sử ( ) [ ] ∈£f t t là một đa thức trên trường số phức £ với bậc 1n ≥ và ( ) f t có sự phân tích thành các nhân tử tuyến tính trên £ như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α ∗ = − − − ∈ ∈ ∈L ¥ £ £ 1 2 1 2 , , , . m k k k m i i f t a t t t k a Ký hiệu ( ) 0 n f là số nghiệm phân biệt của đa thức ( ) f t . Ta có bất đẳng thức: ( ) ( ) = = = ≤ = = ∑ 0 1 deg deg . m i i m n f r ad f f k n Sự tương tự giữa số nguyên và đa thức cùng với các tính chất của đa thức gợi ý phát hiện ra định lý sau đây. 1.1.5. Định lý Mason ([10]). Giả sử a, b, c là các đa thức của biến t, với hệ số phức, không đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau sao cho a + b = c. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau đây: ( ) ( ) 0 , , 1.max dega degb degc n abc≤ − Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử , ,a b c là các đa thức khác hằng số. Đặt , a b f g c c = = từ phương trình a b c + = , ta có 1f g + = . Lấy đạo hàm hình thức hai vế phương trình này, có ' ' 0f g+ = hay ' ' 0 f g f g f g + = . Do đó 9 ' ' : f g g b f g f a − − = = . Mặt khác, giả sử ( ) R t là một hàm hữu tỉ có phân tích sau đây: ( ) ( ) 1 , ( ). i p q i i i R t t a q = = − ∈ ∏ ¢ Tính toán cho ta: ( ) ( ) 1 ' . p i i i R t q R t t a = = − ∑ Bây giờ, giả sử các đa thức , ,a b c tương ứng có các tập nghiệm phân biệt là { } { } { } 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , m n k α α α β β β γ γ γ . Ta có các sự phân tích sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , . i i i i m k m k i i i i n k n k i i i i a f t t t c b g t t t c α γ β γ − = = − = = = = − − = = − − ∏ ∏ ∏ ∏ với , , . i i i m n k ∈ ¢ Như vậy, theo quy luật trên ta có: ' 1 1 ' 1 1 ; . m k i i i i i i n k i i i i i i f m k f t t g n k g t t α γ β γ = = = = = − − − = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ Các phân thức này cùng có mẫu số chung của tử và mẫu là ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . m n k i i i i i i N t t t t α β γ = = = = − − − ∏ ∏ ∏ Chú ý rằng, do , ,a b c nguyên tố cùng nhau và a b c+ = nên chúng sẽ nguyên tố cùng nhau từng đôi một, do đó chúng sẽ không có nghiệm chung. Từ đó suy ra ( ) N t là một đa thức có bậc là ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 .m n k n a n b n c n abc + + = + + = Vì vậy, ' ' . , . f g N N f g là những đa thức có bậc không vượt quá ( ) 0 1n abc − . Mặt khác, ta có: 10 ' ' . ' ' . f f N b f f g g a N g g = − = − hay ' 'f g aN bN f g = − . Vì a, b nguyên tố cùng nhau nên từ đẳng thức này ta suy ra ' . g N g là bội của a và do đó: ( ) 0 ' 1 g dega degN n abc g ≤ ≤ − . Điều tương tự cũng đúng với b do vai trò bình đẳng của ,a b trong phương trình xuất phát. Cuối cùng, ta có: ( ) ( ) ( ) 0 , 1.degc deg a b max dega degb n abc = + ≤ ≤ − Định lý Mason được chứng minh. □ Chú ý. 1) Định lý 1.1.5 nói trên đã được phát biểu và chứng minh độc lập bởi hai nhà toán học là Mason (1983) và Stothers (1981) nhưng Stothers lại công bố sau nên Định lý này vẫn được gọi là Định lý Mason – Stothers. 2) Định lý Mason không còn đúng trong trường với đặc số nguyên tố p. Chẳng hạn, với ba đa thức ( ) = − = =1 , , 1 p p a x b x c ta có đẳng thức ( ) ( ) 1 (1 ) 1 p p p x x x x− + = − + = , trong khi đó: { } ( ) ax = > = − = − 0 , , 1 2 1 1m dega degb degc p n abc . Nghĩa là Định lý ABC không đúng trong trường hợp này. 3) Hiện có nhiều cách chứng minh Định lý Mason. Ngoài cách chứng minh như đã trình bày ở trên, còn có các cách chứng minh khác của Adrew Granivin và Thomas J. Tucker (1999) bằng kỹ thuật wronskian, một công cụ của Đại số tuyến tính hoặc cách chứng minh nữa của Noir Schneider (2000). 4) Định lý Mason là công cụ rất hiệu quả cho phép ta giải quyết những bài toán liên quan đến các phương trình đa thức hệ số phức. [...]... CHƯƠNG 2 GIẢ THUYẾT ABC VÀ ỨNG DỤNG Định lý Mason cho đa thức được phát biểu tương tự cho số nguyên đó là Giả thuyết ABC Từ Giả thuyết ABC, ta suy ra được phương trình Brocard có hữu hạn nghiệm nguyên dương và nhiều kết quả cũng như các giả thuyết về số học Giả thuyết ABC đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu về Số học Tuy nhiên, việc chứng minh Giả thuyết này là một công việc không 26 đơn giản... trước một vách đá thẳng đứng cố gắng kiếm tìm những mạch nhỏ trên mặt đá với hy vọng rằng một trong số đó sẽ cho họ con đường dẫn đến đỉnh núi" Cũng theo Goldfeld, "Nếu chứng minh Giả thuyết ABC được khẳng định thì các nhà toán học sẽ thấy được công cụ rất mạnh để giải quyết các vấn đề trong lý thuyết số" Trong chương này chúng tôi cũng trình bày một số vấn đề về Giả thuyết ABC cho vành ¢ , K [ t ] và một. .. cho Giả thuyết là điều dường như không thể Bởi vì, giả thiết về số mũ 1 + ε là giả thiết rất mạnh Mặt khác, Giả thuyết ABC chứng tỏ rằng nếu trong khai triển của các số a, b, c có các thừa số nguyên tố với số mũ lớn thì các thừa số này được bù lại bằng một số lượng lớn các số nguyên tố nhỏ, có mặt trong khai triển với số mũ 1 Các thừa số trong khai triển với số mũ lớn thì chúng được bù lại bởi các số. .. c | ) log r ( abc ) (2.2) 28 là một đại lượng bị chặn? Câu hỏi này đã được xem xét bởi D W Masser trong một giả thuyết của ông, thường gọi là Giả thuyết ABC 2.1.2 Giả thuyết ABC Giả sử a, b, c là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn hệ thức a + b = c Khi đó, với mỗi số ε > 0 tuỳ ý, tồn tại một hằng số C ( ε ) > 0 chỉ phụ thuộc ε sao cho max ( a , b , c ) < C ( ε ) rad ( abc ) 1+ ε (2.3)... trong Lý thuyết số Tuy nhiên, phỏng đoán kỳ lạ này tương đương với tất cả những vấn đề chính Đó là ở trung tâm của những bài toán đang được nghiên cứu" Giả thuyết ABC cũng đã được mô tả như là một lý thuyết thống nhất của hệ thống số, trong đó nhiều định lý quan trọng khác ngay lập tức trở thành hệ quả Chẳng hạn, Định lý Fermat tiệm cận là một hệ quả trực tiếp của Giả thuyết ABC; cũng từ Giả thuyết ABC. .. Giả thuyết ABC cho vành ¢ , K [ t ] và một số mở rộng của Giả thuyết này Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một số hệ quả, một số ví dụ liên quan đến Giả thuyết ABC 2.1 Giả thuyết ABC 2.1.1 Giới thiệu Cho a, b, c ∈ ¢ * thỏa mãn các điều kiện sau: a + b + c = 0 và gcd ( a, b, c ) = 1 (2.1) Ký hiệu r ( abc ) là tích của tất cả các ước nguyên tố phân biệt của số abc J.Oesterlé đã đặt câu hỏi: L = L ( a...11 1.2 Giả thuyết Hall Giả thuyết số học sau đây, do M Hall đưa ra vào năm 1971, khi ông 3 2 nghiên cứu về phương trình Diophantine x − y = k , với k là số nguyên cho trước 1.2.1 Giả thuyết Hall ([9]) Giả sử x, y là các số nguyên dương sao cho x 3 ≠ y 2 Khi đó, với mỗi số ε > 0 tuỳ ý, tồn tại một hằng số C ( ε ) chỉ phụ thuộc ε sao cho x − y > C(ε ) x 3 2 1 −ε 2 Nói cách khác, nếu x, y là các số nguyên... học người Nhật Bản tuyên bố đã hoàn tất chứng minh Giả thuyết ABC – Giả thuyết về mối liên hệ giữa các số nguyên tố và được coi là vấn đề mở quan trọng nhất trong Lý thuyết số Nếu chứng minh dài hơn 500 trang của Mochizuki là đúng thì "đó sẽ là một trong những thành tựu đáng kinh ngạc nhất của toán học của thế kỷ XXI" - dẫn lời Dorian Goldfeld Lời giải của bài toán sẽ có những tác động không những... hạn nghiệm nguyên dương,… Trong một bài báo trên The Sciences năm 1996, Dorian Goldfeld – giáo sư của Đại học Columbia cho biết "Giả thuyết ABC đối với các nhà toán học nó thực sự đẹp, hơn nữa tiện dụng Nhờ Giả thuyết ABC rất nhiều vấn đề Diophantine bất ngờ được liên kết lại trong một phương trình duy nhất từ đó cho cảm giác rằng tất cả các nhánh toán học đều thuộc một thể thống nhất Không có gì đáng... dữ liệu Giả thuyết ABC được đề xuất độc lập bởi David Masser và Joseph Oesterle vào năm 1985 liên quan đến "square-free number" là số không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào Ví dụ, tích của tất cả các ước nguyên tố (không kể bội) của số nguyên n - kí hiệu sqp(n) – là một square - free number Andrew Granville thuộc đại học Montreal nhận xét "Giả thuyết ABC thoạt nhìn thì đơn giản so . OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH GIẢ THUYẾT ABC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THU OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH GIẢ THUYẾT ABC CHUYÊN. kết quả số học có liên quan đến Giả thuyết này. Mục đích của luận văn là trình bày Giả thuyết ABC và một số ứng dụng xung quanh Giả thuyết này. Từ đó tìm hiểu sự mở rộng và tìm tòi một số ví. Giả thuyết ABC đối với các hàm chỉnh hình phức hoặc p-adic nhiều biến. Với những lý do như đã nói ở trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn " ;Một số vấn đề xung quanh Giả thuyết ABC& quot;