Hàm chỉnh hình p adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Hà HÀM CHỈNH HÌNH P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Hà HÀM CHỈNH HÌNH P-ADIC Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn hồn tồn tơi thực khơng chép hình thức nào, hướng dẫn giảng viên PGS.TS Mỵ Vinh Quang – Khoa Toán-Tin – Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nội dung khoa học luận văn Bình Dương, ngày 28 tháng 09 năm 2015 Người thực Bùi Thị Hà LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn chân thành cảm kích sâu sắc đến đội ngũ giảng viên chương trình giảng dạy thạc sĩ ngành Đại số lí thuyết số, hướng dẫn tận tình tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Mỵ Vinh Quang hướng dẫn cho tơi suốt q trình nghiên cứu thực luận văn Ngồi ra, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình tạo điều kiện thời gian lời động viên, khích lệ giúp tơi vượt qua khó khăn suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ Chức Hành Chính, phịng Sau đại học phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt LỜI MỞ ĐẦU Chương XÂY DỰNG CÁC TRƯỜNG SỐ P – ADIC  P VÀ  p 1.1 Chuẩn trường 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Chuẩn tương đương 1.1.3 Chuẩn phi Archimedean 1.1.4 Chuẩn  11 1.2 Trường số P – Adic  P 14 1.2.1 Xây dựng trường  P 14 1.2.2 Mô tả trường số p – adic  p 15 1.3 Trường  P 17 1.3.1 Xây dựng trường  p 17 1.3.2 Căn đơn vị  p 18 1.3.3 Một số tính chất trường  p 19 1.3.4 Mơ tả nhóm giá trị (  , ) 20 p p Chương HÀM CHỈNH HÌNH P-ADIC 21 2.1 Hàm chỉnh hình p-adic 21 2.1.1 Dãy chuỗi lũy thừa p-adic 21 2.1.2 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 23 2.2 Hạng tử tối đại số tối đại chuỗi lũy thừa p-adic 25 2.2.1 Hạng tử tối đại số tối đại chuỗi lũy thừa p-adic 25 2.2.2 Một số khái niệm 28 2.3 Định lý Weierstrass 32 2.3.1 Bổ đề 32 2.3.2 Bổ đề 34 2.3.3 Định lý Weierstrass 35 2.3.4 Mệnh đề 40 2.4 Khơng gian hàm chỉnh hình  p tập khơng điểm 41 2.4.1 Khơng gian hàm chỉnh hình  p 41 2.4.2 Sự phân bố khơng điểm hàm chỉnh hình 42 KẾT LUẬN 47 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT CM F [ x] TH  p [ x] cmt pcm  p [ x ]  p [ x ] ; đpcm  p ( 0; ρ ) !  p [ 0; r ] ; ;; p  ;  *;*;*;  *   + + ; + ;  ; +  p, p, p    ; ;  p  p :  p  *p *p *p ; ; (  ,.) ; (  ,.)  +p +p  +p ; ; (F, d )  ; p ; ; * p m ; µ (r , f ) d ( x; y ) ; B ( a, r ) S ( a, r ) ( F, ) ; ( , ) p ( p p , +,.) ( , ) p p ord p ( x) ~ τ r ( p )  ( p ) {xn } ; {an } B ( a, r ) K * p ν (r , f ) deg( f ) a ≡ b ( mod p n ) *p V ; F; K I ; A; M GF (F, ) LỜI MỞ ĐẦU Ký hiệu p trường số phức p-adic Hàm có dạng ∞ = f ( x) ∑ an x n , an ∈  p n =0 , hội tụ với ∀x ∈  p gọi hàm chỉnh hình p-adic Trong giải tích phức hàm chỉnh hình đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu hàm biến phức Đã có nhiều kết tiếng hàm chỉnh hình Bởi vậy, cách tự nhiên cần phải nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic Khảo sát tính chất chúng so sánh nghiên cứu giống khác hàm chỉnh hình giải tích phức hàm chỉnh hình giải tích p-adic Chính vậy, định chọn đề tài nghiên cứu “ Hàm chỉnh hình padic” để tìm tịi nghiên cứu tính chất hàm chỉnh hình p-adic Nghiên cứu hàm chỉnh hình  p tính chất chúng Đặc biệt nghiên cứu không gian hàm chỉnh hình, hạng tử tối đại hàm chỉnh hình, phân bố 0-điểm hàm chỉnh hình mơ tả cách xây dựng hàm chỉnh hình biết tập 0-điểm với nội dung: Chương 1: Xây dựng trường số p-adic  p, p Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị: Chuẩn phi Archimedean trường Xây dựng trường số p-adic  p ,  p Một số tính chất trường số p-adic Chương 2: Hàm chỉnh hình p-adic Trong chương chúng tơi nghiên cứu: Các hàm chỉnh hình  p tính chất chúng Khơng gian hàm chỉnh hình, hạng tử tối đại hàm chỉnh hình Đặc biệt chứng minh định lý Weierstrass ứng dụng nó, phân bố 0điểm hàm chỉnh hình mơ tả cách xây dựng hàm chỉnh hình biết tập 0-điểm Chương XÂY DỰNG CÁC TRƯỜNG SỐ P – ADIC  P VÀ  p Chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị: Chuẩn phi Archimedean trường Xây dựng trường số p-adic  p ,  p Một số tính chất trường số p-adic 1.1 Chuẩn trường 1.1.1 Khái niệm 1.1.1.1 Định nghĩa Cho F trường Ánh xạ  :F → gọi chuẩn F thỏa điều kiện sau: i ) x ≥ 0, ∀x ∈ F x = ⇔ x = 0; ii ) xy= x y , ∀x, y ∈ F ; iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ F Ví dụ F =  ∨ F =  , giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn F F =  , môđun số phức chuẩn F F trường Xét ánh xạ:  :F→ 1 nÕu x ≠ x x = 0 nÕu x = Dễ thấy  chuẩn F, gọi chuẩn tầm thường 1.1.1.2 Các tính chất Cho  chuẩn trường F có đơn vị ∀x ∈ F ta có: i ) =−1 =1 ∈  ii ) x = − x , ∀x ∈ F iii ) x n= x , ∀n ∈  n ,x ≠ x iv) = x −1 1.1.1.3 Nhận xét Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường 1.1.2 Chuẩn tương đương  Cho chuẩn trường F Ta định nghĩa hàm d : F × F →  sau: d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ F  Do sinh  chuẩn F nên ta dẽ dàng kiểm tra d mêtríc cảm F (F, d ) khơng gian mêtríc, tơpơ sở lân cận cầu mở { } B ( a, r ) = x ∈ F | x − a < r 1.1.2.1 Định nghĩa 1,  Cho hai chuẩn trường F, ta nói hai chuẩn tương đương 1,  tôpô cảm sinh Chú ý rằng, {xn } xm − xn  → m, n → +∞ Hay dãy Cauchy theo chuẩn  nghĩa là: ∀ε > 0, ∃no ∈  cho : ∀n, m > no th× xm − xn < ε 1.1.2.2 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F trường; 1,  hai chuẩn trường F Các điều sau tương đương: 1) ∀x ∈ F , x < ⇔ x < 2) ∀x ∈ F , x ≤ ⇔ x ≤ 3) ∃c ∈ * cho : ∀x ∈ F , x =x c 4) {xn } dãy Cauchy theo chuẩn 1  ⇔ {xn } dãy Cauchy theo chuẩn 34 mmmmmm (r , f ) ≥ max { ( r , gQ); ( r , R)} = max { ( r , g ) ( r , Q); ( r , R)} kết hợp với mệnh đề 2.2.1.3., suy (đpcm) Xét trường hợp 3: r∉ p Lấy Vì p {r i ≥ 1} ⊂ { + trù mật  nên tồn dãy i p cho: ri → r i → ∞ Suy ra, lim mm (ri , h) = (r , h) i →∞ với h đa thức f , g , Q, R Ở trường hợp 2, chứng minh : = mmmmmm (ri , f ) max = { (ri , gQ); (ri , R)} max { (ri , g ) (ri , Q); (ri , R)} Cho ri → r i → ∞ ta suy được: mmmmmm (r , f ) ≥ max { ( r , gQ); ( r , R)} = max { ( r , g ) ( r , Q); ( r , R)} kết hợp với mệnh đề 2.2.1.3., suy (đpcm).∎ 2.3.2 Bổ đề Cho f ∈ r ( p ) µ (r , g ) = bk r k (với r > ) đa thức = g ( x) k ∑ b x ∈  [ x] i i =0 i p cho: Khi đó: ∃Q ∈ r ( p ); R ( x) ∈  p [ x ] g ( x)Q( x) + R( x);deg R( x) < k cho: f ( x) = = mmmmmm = (r , f ) max { (r , gQ); (r , R)} max { (r , g ) (r , Q); (r , R)} Và Chứng minh Do  p [ x] trù mật r ( p ) nên có tồn dãy { f n } dãy hội tụ tới f n ( x) = g ( x)Qn ( x) + Rn ( x);deg Rn ( x) < k Áp dụng bổ đề 2.3.1., ta được: = mmmmmm (r , f n ) max = { (r , gQn ); (r , Rn )} max { (r , g ) (r , Qn ); (r , Rn )} f n ( x) g ( x)(Qn +1 ( x) − Qn +1 ( x)) + Rn +1 ( x) − Rn ( x) Và từ công thức f n +1 ( x) − = Ta thu được: f 35 (= mmm r , f n +1 − f n ) max { (r , g (Qn +1 − Qn )); (r , Rn +1 − Rn +1 )} (r , g ) (r , Qn +1 − Qn ); (r , Rn+1 − Rn+1 )} = max {mmm Vì r ( p ) đầy đủ , { fn} dãy hội tụ tới f ⇔ ⇔ {Qn } ;{Rn } { f n } day Cauchy dãy Cauchy nên hội tụ = Q( x) lim = Qn ( x); R( x) lim Rn ( x) n →∞ n →∞ Đặt g ( x)Q( x) + R( x);deg R( x) < k Áp dụng bổ đề 2.3.1., ta có: f ( x) = = mmmmmm (r , f ) max = { (r , gQ); (r , R)} max { (r , g ) (r , Q); (r , R)} ∎ Và Bây ta chứng minh định lý Weierstrass 2.3.3 Định lý Weierstrass f ∈ r ({ p ) \ {0} Cho (với r > ) Khi tồn đa thức: g ( x) =b0 + b1 x + + bv x v ∈  p [ x ] , bậc v = v(r , f ) chuỗi lũy thừa ∞ h( x ) = + ∑ ci xi ∈  p [ x ] i =1 với hệ số lấy i f = gh ii µ (r , f ) = bv r v iii h ∈ r ( p ) iv µ (r , h − 1) < v µ (r , f − g ) < µ (r , f ) p thỏa mãn tính chất sau:  0; r Đặc biệt, h khơng có khơng điểm p [ ] f có v nghiệm  p [ 0; r ] Chứng minh Vì f ( x) ∈ r ( p ) v nên f ( x) =a0 + a1 x + + av x + ; v =v(r , f ) v Ký hiệu : g1 ( x) =a0 + a1 x + + av x Khi đó: µ= (r , g1 ) µ= (r , f ) av r v v = v(r , f ) nên suy : 36 ≤ µ (r , f − g1 ) < µ (r , f ) đó, + Chọn δ ∈  thỏa mãn: 0≤ 0≤ µ (r , f − g1 ) f hàm chỉnh hình Chứng minh = Fn Ký hiệu: n ∏f k =1 k ∈ r ( p ) * Khi µ (r , f n − 1) → với n → ∞ , suy ra: ∃n0 ∈  ; ∀n > n0 cho : µ (r , f n − 1) < , đó, µ (r , f n ) = Ngồi ra, n > n0 ta có: µ ( r ,= Fn − Fn−1 ) µ (r , Fn−1 )= µ (r , f n − 1) µ (r , Fn ) µ (r , f n − 1) → n → ∞ Suy rằng, ∞ Do đó, ∏ n =1 fn {Fn } dãy Cauchy nên hội tụ = = f lim Fn n →∞ hội tụ ∞ ∏f n =1 n r ( p ) ∈ r ( p )  Nếu giả thiết cho ∀r > f hàm chỉnh hình p 42 2.4.1.2 Hệ { xn }n≥1 Cho dãy = f ( x) ∞  n =1  *p thỏa mãn: xn →∞ n → ∞ , tích vơ hạn x  n  hàm chỉnh hình  p ∏ 1 − x Chứng minh Với số thực r > , Đặt  µ (r , f n − 1)= µ  r ;  Ta có: x = xn  f k ( x) =− r= xn r →0 xn ∞ Theo bổ đề 2.4.1.1., ta suy f= ( x) Vậy ∞ x ∏ (1 − x n =1 n ∏ n =1 x ∈ r ( p ) = Fn xk fn n ∏f k =1 k ∈ r ( p ) n → ∞ = = f lim Fn n →∞ hội tụ ) hàm chỉnh hình p ∞ ∏f n =1 n ∈ r ( p ) 2.4.2 Sự phân bố không điểm hàm chỉnh hình 2.4.2.1 Mệnh đề  Cho f ( x) hàm chỉnh hình p f ( x) khơng đa thức, f ( x) có vơ hạn đếm khơng điểm, ký hiệu { x1 , x2 , , xn , } Nếu ta đánh số x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ f ( x) viết dạng tích vơ hạn sau: ∞  x = f ( x) ax m ∏ 1 −  a ∈  p ; m ∈ + xn  n =1  với Chứng minh Trước tiên ta chứng minh f ( x) có vơ hạn không điểm Bằng phản chứng, giả sử ngược lại f ( x) có hữu hạn khơng điểm x1 , x2 , , xk Ta có v(r, f ) số không điểm f ( x)  p [0; r ] k v(r, f ) = k , µ (r, f ) = ak r ; 43 Khi đó, ∀r ≥ max { x1 , , xk } , an ≠ ta được: tồn n > k để lim ak r k an r n =0 k n n r → ∞ , nên suy với r đủ lớn ak r < an r , suy µ (r, f ) < an r hay v(r, f ) ≥ n (!) Vậy f ( x) có vơ hạn không điểm Tiếp theo chứng minh f ( x) có vơ hạn đếm khơng điểm Thật { } {{ x [0; n] =∈ p x ≤ n Đặt rn = n ; U n tập không điểm f ( x) p , theo chứng minh suy U n hữu hạn Với U tập không điểm thỏa U = ∪ Un n ≥1 , U n hữu hạn suy U khơng q đếm được, U đếm = f ( x) ax Cuối ta chứng minh m ∞  n =1  x  + n  với a ∈  p ; m ∈  ∏ 1 − x Khơng tính tổng quát giả sử rằng: f (0) = Cho { xi }i≥1 không điểm lý Weierstrass với xi →∞ f cho: x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ Theo định i → ∞ = {ai i 1, 2,3, } ⊂ { p thỏa mãn: Lấy i < a1 < a2 < a3 < ii r= an →∞ n n → ∞ Đặt f n ( x) = f (an x) Áp dụng định lý Weierstrass  p [ 0;1] , ta có: f n= ( x) g n ( x)hn= ( x) g n ( x) (1 + c1 x + c2 x + ) c < 1; ∀ i =1, 2,3, đó, Với g n đa thức i 44   x  x  x  x f ( x) = f n   = g n   1 + c1   + c2   +    an   an    an   an    x g n =  an   Ta có :  x ∏ 1 − x  xi ≤ rn  i  ( xi ≤1 an ) Cố định số nguyên n0 , n > n0 ,  = m (rn0 , hn − 1) max  ci i  i  rn0   rn0    < →  rn   rn , n → ∞  0; r  Suy ra: n → ∞ hn →1 p  n0  ∞  x  x g n   → ∏ 1 −  ∀x ∈  p 0; rn0  a xi   n  i =1  n → ∞ Theo bổ đề 2.4.1.1., ta có f ( x) = Suy : ∞  i =1  x ∏ 1 − x  i     p 0; rn0  Vậy f biểu diễn dược dạng tích vơ hạn sau: = f ( x) ax m ∞  n =1  x  n ∎ ∏ 1 − x 2.4.2.2 Hệ  Nếu f hàm chỉnh hình p khơng đa thức f có vơ hạn khơng điểm Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phủ định: “Giả sử f có k khơng điểm f đa thức” Thật vậy: Giả sử f có k khơng điểm phải chứng minh f đa thức bậc k Ta giả sử ngược lại, tồn số tự nhiên n > k cho: an ≠ Khi đó: 45 i ∈ {0,1, 2,3, , k} Với số thực r > ; ta có: r i = an r n i − n r →0 an n → ∞ * Do đó, ∃n0 ∈  ; ∀n > n0 cho: r i k , điều mâu thuẫn với f có k khơng điểm k Vậy an = 0; ∀n > k , ta thu được: f ( x) =a0 + a1 x + + ak x ∎ 2.4.2.3 Hệ  Nếu f hàm chỉnh hình p khơng có khơng điểm f hàm Chứng minh ∞ f ( x ) = ∑ x i a = 0; ∀i > i=0 , phải chứng minh: i Bằng phản chứng giả sử Lấy a ≠0 ngược lại ∃i > để i * a r i ≤ a0 r = a0 (*) Vì v(r, f ) = nên với số thực r > ; ∀i ∈  ta có i Mặt khác giả thiết phản chứng, ri → ∞ ≠ i ∃ i > Nếu để r → ∞ điều mâu thuẫn với (*) ∞ f ( x ) = ∑ x i a = 0; ∀i > i=0 với i Do đó, Suy f hàm ∎ 2.4.2.4 Hệ Tồn ước chung lớn cho tập hữu hạn  ( p ) Chứng minh  Cho f1 , f , , f n hữu hạn hàm chỉnh hình p 46 i ∈ {1, 2, , n} Nếu fi ≡ với hệ tầm thường trường hợp ( ƯCLN=0) Giả thiết số fi ≠ fi ≠ viết dạng tích: x  fi ( x) αi x mi ∏ 1 −  = α α ∈Si  Ở Đặt ∈  p* ; mi ∈  + m = {mi } ; S =  Si fi ≠ fi ≠ Si tập nghiệm khác fi tính bội x  g( x) x m ∏ 1 −  = α  α ∈S  , định nghĩa: +) Nếu S hữu hạn g(x) đa thức +) Nếu S vô hạn theo hệ 2.4.1.2 mệnh đề 2.4.2.1., g hàm chỉnh hình  ( p ) Do đó, g ước chung lớn f1 , f , , f n ∎ 47 KẾT LUẬN Trong luận văn nghiên cứu đưa số tính chất hàm chỉnh hình p-adic Hàm chỉnh hình cầu đóng hàm chỉnh hình tồn mặt phẳng Khơng gian hàm chỉnh hình p-adic, hạng tử tối đại số tối đại hàm chỉnh hình p-adic Đặc biệt chúng tơi chứng minh định lý Weierstrass ứng dụng Qua luận văn nghiên cứu đưa điều kiện cần đủ hàm hàm chỉnh hình p-adic Sự phân bố khơng điểm hàm chỉnh hình p-adic mơ tả cách xây dựng hàm chỉnh hình p-adic biết tập khơng điểm Với kết đạt chúng tơi hy vọng luận văn tài liệu hữu ích giúp nghiên cứu phát triển nhiều lĩnh vực khác giải tích p-adic 48 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Bosch.S.,Guntzer,U., & Remmert.R., (1984), Non-Archimedeaan analysis Springer- Verlag Boutabaa, A.,(1990), Theori de Nevanlinna p-adic Manscripta Math, 67, 251-269 Cherry, W & Ye, Z.,.(1997), Non_Archimedean Nevanlinna theory in several variables and the Non- Archimedean Nevanlinna inverse problem Trans Amer,Math.soc., 349 Gouvêa, F.Q.,.(1997), p-adic numbers Springer Hà, Khoái Huy.(1983), On p-adic ,erorphic functions, Duke Math.J., 50, 695-711 Hà,Huy Khoái & Mỵ, Vinh Quang (1988),On p-adic nevanlinna theory,Lecture Notes in Math Springer- Verlag, 13-51,146-158, Hayman.W, K.,.(1964), Meromorphic function, Oxford:Clarendon Press Hu,P.C.& Yang,C.C.,.(1997), Value distribution theory of p-adic meromorphic function Izvestiya Natsionalnoi Academii Nauk Armenii( National Academy of Sciences of Amenia), 32(3), 46-67 Koblitz.N.(1980), p-adic analysis: a short course on crecent work, Cambridge Univ, Press 10 Pei-Chu Hu & Chung-Chun Yang,.(2000), meromorphic Function over NonArchimedean Fields, Kluewr Academic Publishers ... Hay ? ?p vành t? ?p iđêan  p ⊃ p? ?? p ⊃ p 2 p ⊃  p n  p ⊃  ⊃ ? ?p b ∈ pn Ta có a pn p pn p n p ⊂ I = Như vậy: Ta có ap p? ??n = = hay c −1 ∈  p −n n p p = cp Vậy Nếu b ∈ I th× b p =p − m , m ∈... nguyên p? ? ?adic T? ?p h? ?p tất phần tử khả nghịch vành { }    *p =  x ∈  p : ∈  p  =x ∈  p : x p = x   Các phần tử  *p gọi đơn vị p? ? ?adic ? ?p : 16 Tính chất thể: ? ?p vành t? ?p iđêan  p ⊃ p? ?? p ⊃ p. .. p p p {xn } ∈  p Định nghĩa vành lim xn = x x →∞ 1.2.2 Mơ tả trường số p – adic 1.2.2.1 ? ?p p p p ? ?p ? ?p { } ? ?p = x∈? ?p : x p ≤1 với ph? ?p Cho p số nguyên tố cố định T? ?p h? ?p cộng nhân ? ?p l? ?p thành