Thác triển dấu hiệu hội tụ trong nhóm tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh Nội dung luận văn có tham khảo, trình bày lại phát triển khái niệm, định lý báo [10] Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp.167180 Những trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Học viên thực luận văn Dư Ngọc Minh Anh LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành luận văn em nhận nhiều giúp đỡ chuyên môn từ Giảng viên khoa Toán, giáo viên đồng nghiệp bạn lớp Hình học tơpơ khóa 26 anh chị khóa Đầu tiên em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh Người hướng dẫn khoa học, trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Thầy nhiệt tình hướng dẫn em nghiên cứu chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có luận văn tốt Em xin gửi lời cám ơn đến Thầy, Cô cơng tác phịng Đào tạo Sau Đại học quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn thủ tục để em hồn thành luận văn u cầu tiến độ Em xin chân thành cảm ơn Giảng viên cơng tác khoa Tốn giảng dạy em suốt trình học tập lớp cao học Em xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Thanh Đa giáo viên đồng nghiệp quan tâm động viên giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thành viên gia đình động viên, tạo điều kiện để em yên tâm nghiên cứu Em xin cảm ơn chị Phan Ngọc Yến chị Nguyễn Phương Anh (email phanngocyen.dhsp@gmail.com nguyenphuonganhintel@gmail.com) giúp đỡ em trình tìm tài liệu chia sẻ kinh nghiệm trình làm luận văn Cảm ơn bạn Hoàng Dũng, Hương anh Xuân Trung lớp cao học Hình học tơpơ khóa 26 học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn Dư Ngọc Minh Anh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số định nghĩa tính chất khơng gi 1.2.Các tiên đề tách 1.3.Dãy hội tụ tôpô 1.4 ∑ −không gian 1.5.Compact 1.6.Nhóm tơpơ 1.7.Không gian khả mêtric Chương TÍNH CHẤT BA KHƠNG GIAN ĐỐI VỚI CÁC TẬP COMPACT DÃY 2.1.Khơng gian dãy Khơng gian Fréchet 2.2.Tính chất thớ nghịch đảo Tính chất ba khơng compact dãy Chương NHÓM THƯƠNG ĐỐI VỚI NHÓM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI VÀ NHÓM C ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC 3.1.Lưới không gian tôpô   không gi 3.2.Sự thác triển tính chất nhóm th thứ hai 3.3.Nhóm thương nhóm khả mêtric c KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Giới thiệu đề tài Trong tôpô đại cương, khơng gian thương tính chất đối tượng thu hút nhiều nhà toán học quan tâm, tìm hiểu Bài tốn sau chủ đề nghiên cứu chuyên sâu tỉ mỉ nhà toán học thời gian dài Cho H nhóm đóng nhóm tơpơ G , G / H không gian thương Giả thiết H G / H thoả tính chất khơng gian tơpơ Khi kết luận G có tính chất đó? Nhóm G gọi thác triển nhóm H khơng gian thương G / H Năm 1949, Jean-Pierre Serre - nhà toán học Pháp - chứng minh H tập đóng nhóm tơpơ G , hai không gian H G / H compact địa phương, nhóm tơpơ G compact địa phương Kết dựa thác triển tính chất từ G / H lên G , từ mở hướng nghiên cứu cho câu hỏi nêu Chúng ta có khái niệm tính chất ba khơng gian: Cho H nhóm đóng nhóm tơpơ G G / H không gian thương tương ứng, giả thiết không gian H G / H thoả tính chất P (tôpô, đại số, hai), G thoả tính chất P , P gọi tính chất ba khơng gian J P Serre khẳng định tính compact địa phương tính chất ba khơng gian Thực tế có nhiều cơng trình chứng minh tính compact, tính đầy đủ, tính liên thơng, tính giả compact tính mêtric tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ Vào năm gần đây, kế thừa phát A.V Arhangel’skiˇı, M Bruguera, M G Tkachenko V V Uspenskij đưa nhiều kết dựa mở rộng nhóm tơpơ nhóm đóng chuẩn tắc, nhóm compact địa phương hay nhóm khả mêtric compact địa phương Điều cho thấy nghiên cứu tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ nhiều nhà tốn học nghiên cứu, phát triển Tuy nhiên, đề tài nhiều vấn đề mở liên quan đến ứng dụng tính chất tơpơ đại số q trình tạo nhóm thương Mặt khác, hội tụ dãy (tập hợp) đề tài quan tâm tôpô Vào năm 2008, A V Arhangel’skii trình bày [3] phát ban đầu thác triển tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đây vấn đề mở thu hút nhiều nghiên cứu nhà tốn học Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu nội dung liên quan đến số tính chất ba không gian dấu hiệu hội tụ tập compact dãy Các tính chất liên quan đến lưới nhóm tơpơ có thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm mêtric, compact địa phương phát biểu chứng minh Từ giải số vấn đề nghiên cứu thác triển số tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Phương pháp nghiên cứu Trình bày lý thuyết tính chất ba khơng gian, lý thuyết không gian thương, đưa kết qua lập luận chứng minh chi tiết Tổng hợp, bổ sung hoàn thiện từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần nghiên cứu Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày sau: Mở đầu gồm có giới thiệu đề tài, nội dung luận văn, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức tổng quan Trình bày kiến thức chuẩn bị cho luận văn gồm khái niệm, Định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ Chương 2: Trình bày tính chất ba không gian tập compact dãy Chương 3: Trình bày thác triển tính chất liên quan đến lưới không gian thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai tính chất khơng gian thương nhóm khả mêtric, compact địa phương Kết luận: Hệ thống kết đạt chương chương Tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng  họ tập X cho: i ,X ii U , V  U iii U i  V    , i  I Ui  iI  Khi ta gọi  tơpơ X X;  không gian tôpô 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X;  điểm gọi lân cận x 1.1.3 Định nghĩa Tập U x chứa A x Tập B  X gọi tập đóng X \ B tập mở 1.1.4 Định nghĩa Cho không gian tôpô X ,  A   A U :U mở X họ tập mở cảm sinh từ tơpơ  Khi X, gian tôpô X , 1.1.5 Định nghĩa Cho họ không gian tôpô đôi rời  Đặt: X iI i X   U  X :U  Xi Khi  tơpơ X X,  gọi tôpô tổng khơng gian tơpơ X  iI Kí hiệu:   i i I X i 41 Do x  nên xU  1 mở không , Và B gian  trù mật b , m  xU nên suy n1 Ta chứng minh:  1 P  b ,mU n 1  U Thật zP vậ   xU   xU b nê  ,m zxU n1 V U n 1 Hơn nữa, từ x b v U  ,m i n1 Như vậy, G Trường hợp 2: P Vì cho U n 1  H V H   U x ( x n2  Do dãy n P ) :j  i j xi j  xUn2 với  1  P   P  m Và B trù mật   , suy b   Trong trường hợp 1, có bao hàm 1 P  b ,mU n 1  U 42 Từ đó, G có wcs *  lưới hình đếm Giả sử G / H có k lưới hình đếm Ta có G có wcs *  lưới hình đếm trường hợp Từ bổ đề 3.1.10 ta có tập compact G / H thỏa tiên đề đếm thứ Do tính chất “mỗi tập compact thỏa tiên đề đếm thứ nhất” tình chất ba khơng gian, nên tập compact G thỏa tiên đề đếm thứ nhất, G có k  lưới hình đếm theo bổ đề 3.1.11 Câu hỏi đặt ra: Cho H nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ Nếu khơng gian thương G / H , có cs  lưới đếm (compact đếm được) G có cs  lưới đếm (compact đếm được) hay không? 3.2.5 Định lý Cho H nhóm đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai bất biến nhóm tơpơ G Nếu không gian thương dãy với cs  lưới ( k lưới, wcs *  lưới) đếm điểm G có cs  lưới ( k  lưới, wcs *  lưới) đếm điểm Chứng minh Do khơng gian G / H có tính dãy nên có đề 3.1.11 Từ bổ đề 3.1.12 ta có nhóm thương G / H tổng tơpơ không gian cosmic Nếu G / H mêtric nhóm G mêtric [3, bổ đề 1.5.21] Chúng ta giả sử G / H tổng tôpô khơng gian cosmic G / H có cs  lưới ( k lưới, wcs *  lưới) đếm cosmic với  Do  minh khơng gian G có cách tương tự chứng minh định lý 3.2.4 Định lý 3.2.5 trả lời phần câu hỏi nêu 43 3.3 Nhóm thương nhóm khả mêtric compact địa phương Trong phần tiếp tục nghiên cứu thác triển nhóm tơpơ với tác động nhóm compact mêtric địa phương Arhangel’skii phát số định lý mở rộng nhóm tơpơ ơng nghiên cứu nhóm thương mối liên quan với nhóm compact địa phương không gian compact mêtric địa phương Chúng ta có kết sau: 3.3.1 Định nghĩa Một khơng gian tôpô X gọi không gian Cech  đầy đủ có chứa dãy đầy đủ phủ mở 3.3.2 Tính chất Cho G nhóm tơpơ H nhóm G: a) Nếu H compact địa phương không gian thương G / H không gian Cech  đầy đủ  không gian,  không gian mạnh, p  không gian, k khơng gian, khơng gian paracompact ) nhóm G compact địa phương b) Nếu H compact mêtric địa phương không gian thương G / H không gian Fréchet (không gian Fréchet mạnh, có tính chất đếm ngặt) G compact mêtric địa phương Ta có bổ đề Arhangel’skii chứng minh: 3.3.3 Bổ đề [3] Cho H nhóm compact địa phương nhóm tơpơ G  : G  G / H phép chiếu G lên không gian thương G / H Khi đó, tồn   đóng lân cận mở U phần tử đơn vị e cho  U G/H   ánh xạ hoàn chỉnh,  ánh xạ hạn chế  U :U  U ánh xạ đầy đủ mở địa phương 3.3.4 Định lý Cho H nhóm khả mêtric compact địa phương nhóm tơpơ tính dãy G Khi đó, khơng gian thương G/H có tính dãy G có 44 Chứng minh Theo bổ đề 3.3.3, giả sử lân cận mở U phầ cho   :U  U U Khẳng định 1: Giả sử   hội tụ  U Nếu y điểm tụ dãy  x  n n x x n  hội tụ n  Do  U ánh xạ hoàn chỉnh nên dãy xn có điểm tụ n U Đặt:  1 ( x ) U F Ta có  mở   dãy xn k dãy dãy Điều chứng tỏ x điểm tụ dãy x n k Lấy lân cận mở V Khẳng định 2: Nếu x x   Cho yn n chứng minh y C  45  với   x C Lấy x x  n y với n  n N n có điểm tụ theo khẳng định nên tồn điểm x  y dãy  x  nk k dãy  x n n cho x nk  x Do x  y C  Điều chứng tỏ C  Khi dãy dãy  Do   C  C tập đóng theo dãy ánh xạ đóng  tập đóng theo dãy, nên  U  đóng G / H V   đóng G / H Vì nên  V dãy, Khẳng định 3: Giả sử tồn tập A đóng theo dãy khơng đóng V Lấy điểm x cl A  \ A Rõ ràng, Lấy f  tập đóng A thớ f nên ta có B đóng V Ta có V cho W    Khi B tập đóng A CWA tập đóng theo dãy Cf x \ Suy C C f Ta có f x  f C  \  C , mâu thuẫn với khằng định  , C C f khơng đóng  V  Theo khẳng định tính G suy G không gian dãy địa phương Như vậy, G không gian dãy Nhận xét: Tính dãy khơng phải tính chất ba khơng gian Thật vậy, tồn hai nhóm tơpơ Fréchet G H cho khơng gian tích G  H khơng đếm 46 ngặt Đặt H '  e H với e phần tử đơn vị G Khi H ' nhóm bất biến đóng G  H nhóm thương G  H / H ' đẳng cấu với G Suy ra, H ' G  H / H ' có tính dãy, G  H lại khơng có tính dãy 3.3.5 Hệ Cho H nhóm bất biến, compact địa phương, thỏa tiên đề đếm thứ hai nhóm tơpơ G Khi đó, nhóm thương G / H không gian dãy với G không gian dãy với cs  lưới (hay điểm 3.3.6 Định lý Cho H nhóm tơpơ G Khi đó, khơng gian thương G / H G khơng gian Fréchet ngặt Chứng minh Do Bổ đề 3.3.3, tồn lân cận mở U phần tử đơn vị e nhóm   ánh xạ hồn chỉnh  U tơpơ G cho  đóng G / H Đặt f nhiên, f  U U f  :  U U  U không gian Fréchet compact mêtric với  U  bH U Mặt khác ta có khơng gian khả mêtric là không gian thỏa tiên đề đếm thứ nên tập điểm U b G   tập Theo bổ đề 2.2.13, không gian Fréchet ngặt Suy G Fréchet ngặt địa phương, G Fréchet ngặt 47 3.3.7 Định lý Cho H nhóm bất biến liên thông, khả mêtric, compact địa phương nhóm tơpơ G Khi đó, nhóm thương G / H liên thơng dãy G liên thông dãy Chứng minh Ta biết nhóm tơpơ khác rỗng, rời nhau, mở theo dãy 1  y   A G / H D hay Tiếp theo, chứng minh C Điều dẫn đến mâu thuẫn Giả sử G/H cho , với e G/H Lấy U 3.3.4, với e yy 1 p U n Theo khẳng định chứng minh định lý 3.3.4, tồn   tụ xk k U cho k x  x ,  k k dãy yn n với nk 48 Do  1 C   A mở theo dãy G nên theo dãy y G, x   C 1  y1  mở với k  Vì  y 1 n vậy,  k theo dãy Chứng minh tương tự, ta có D mở theo dãy Cho nhóm tơpơ G dãy G Nếu không gian thương G / H liên thông dãy có kết luận G liên thơng dãy hay khơng? Câu trả lời “có” Kết sau có [11, Định lý 3.5]: Cho H nhóm đóng, liên thơng dãy, chứa nhóm tơpơ Hausdorff G Nếu khơng gian thương G liên thơng dãy G liên thơng dãy x k 49 KẾT LUẬN Với mục đích đặt luận văn tìm hiểu “Thác triển dấu hiệu hội tụ nhóm tơpơ”, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị, khái niệm kết liên quan đến số tính chất ba khơng gian dấu hiệu hội tụ tập compact dãy Các tính chất liên quan đến lưới nhóm tơpơ có thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm mêtric, compact địa phương Cụ thể sau:  Trình bày khái niệm số tính chất tập compact dãy, tập thỏa tiên đề đếm thứ hai tập mêtric thác triển nhóm tơpơ  Trình bày tính chất ba khơng gian tập compact dãy tính đóng, tính compact, tính thỏa tiên đề đếm thứ nhất, tính dãy, tính khả mêtric Các tính chất ba khơng gian tập compact, compact dãy compact đếm tính Fréchet, tính Fréchet ngặt, tính Fréchet mạnh  Tính dãy, tính Fréchet ngặt tính chất thác triển nhóm H khả mêtric, compact địa phương  Tính  cs  lưới triển liên quan đến lưới nhóm H đóng thỏa tiên đề đếm thứ hai  Sự thác triển tính liên thơng dãy với nhóm H nhóm chuẩn tắc, liên thơng, khả mêtric, compact địa phương Thông qua việc nghiên cứu tính chất ba khơng gian tập compact, compact đếm compact dãy, ta thấy vai trị quan trọng nhóm tơpơ thương việc thác triển tính chất tơpơ với nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm khả mêtric, compact địa phương Đó sở để tiếp cận vấn đề liên quan tương lai 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Tráng (2001), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Sư phạm Tp.HCM Đậu Thế Cấp (2005), Tôpô đại cương, Nxb Giáo dục Tiếng Anh A.V Arhangel’skiǐ, M.G Tkachenko (2008), “Topological Groups and Related Structures”, Atlanltis Press/ World Scientific, Paris/Hackensack, NJ A.V Arhangel’skiǐ, V V Uspenskij (2006), “Topological groups: local versus global”, Appl Gen Topol, (1), pp 67-72 M Bruguera, M Tkachenko (2004), “Extensions of topological groups not respect countable compactness”, Quest Answ Gen Topol, 22 (1), pp.3337 A Fedeli, A Le Donne (2002), “On good connected preimages”, Topol Appl, 125, pp 489496 S.P Franklin (1965), “Spaces in which sequences suffice”, Fundam Math, (57), pp 107115 G Gruenhage (1984), “Generalized metric spaces”, in: K Kunen, J.E Vanghan (Eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, pp 423501 J.A Guthrie (1971), “A characterization of o space”, Gen Topol Appl, (1), pp 105110 10 Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp.167-180 11 Shou Lin, M Tkachenko (2013), “Connected LCA groups are sequentially connected”, Comment Math Univ Carol, 54 (2), pp 263272 51 12 Chuan Liu, Shou Lin (2012), “Generalized metrics spaces with algebraic structures”, Topol Appl, (157), pp 19661974 13 K Morita (1962), “Paracompactness and product space”, Fund Math,(50), pp 223 - 236 14 M Tkachenko (2014), “Paratopological and semitopological groups vs topological groups”, in: K.P.Hart, J van Mill, P Simon (Eds), Recent Progress in General Topology III, Springer Atlantis Press, pp 803859 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... dãy Chương NHÓM THƯƠNG ĐỐI VỚI NHÓM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI VÀ NHÓM C ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC 3.1.Lưới không gian tôpô   không gi 3.2.Sự thác triển tính chất nhóm th thứ hai... hợp) đề tài quan tâm tôpô Vào năm 2008, A V Arhangel’skii trình bày [3] phát ban đầu thác triển tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đây vấn đề mở thu hút nhiều nghiên cứu nhà toán học Trong luận văn nghiên