ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ HOA VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI H[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ HOA VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ HOA VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị giải tích lồi 1.1 Tập lồi 1.1.1 Các định nghĩa tập lồi 1.1.2 Toán tử chiếu tập lồi 1.2 Hàm lồi 3 12 17 Điều kiện tối ưu toán quy họach lồi 2.1 Bài toán quy hoạch lồi 2.2 Điều kiện cần đủ tối ưu 2.2.1 Điều kiện tối ưu theo nguyên lý Fermat tốn tối ưu khơng ràng buộc hàm biến khả vi 2.2.2 Điều kiện với ràng buộc hình học 2.2.3 Điều kiện có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức 23 23 24 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 24 33 37 ii Lời cảm ơn Trước trình bày nội dụng luận văn, em xin bày tỏ lời lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, quý thầy cô giáo khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun, gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em mặt suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Để hồn thành khóa luận thân em cố gắng nhiều Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận văn DƯƠNG THỊ HOA Bảng ký hiệu R Rn B B(0, 1) Rm + ∂f (x) δC (.) L(x, µ, ν) f (x), f 00 (x), ∇f ∇2 f h., i ∂f trường số thực không gian Euclide n-chiều hình cầu đơn vị mở Rn hình cầu đơn vị, đóng tâm orthant khơng âm Rm vi phân hàm lồi f x hàm tập C hàm Lagrange đạo hàm (bậc bậc 2) hàm số f (x) Gradient hàm f ma trận Hessian f tích vơ hướng Rn vi phân hàm f Mở đầu Bài toán quy hoạch lồi phần quang trọng lý thuyết tối ưu Trong lý thuyết tối ưu, điều kiện tối ưu quan trọng, nghiên cứu tính chất nghiệm, đề suất phương pháp giải Lý thuyết toán quy hoạch lồi quan tâm nghiên cứu nhiều từ lâu đạt nhiều kết quan trọng dựa kết Giải tích lồi tối ưu hóa Về phương diện tính tốn có nhiều phương pháp hữu hiệu cho lớp tốn Trong q trình học tìm hiểu điều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi ta thấy phát triển toán phong phú nhiều vấn đề nối tiếp khoa học hay Mục đích luận văn tổng kết lại giai đoạn phát triển điều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi xét đến ứng dụng chúng việc xây dựng phương pháp giải Trên sở khảo sát đến số ứng dụng việc giải toán quy hoạch lồi Tổng hợp lại lý thuyết tối ưu điều kiện tối ưu quan trọng chúng cho phép nghiên cứu tính chất nghiệm, xây dựng phương pháp giải Điều kiện tối ưu dựa nguyên lý Fermat toán cực trị khơng có nghiệm ràng buộc hàm biến khả vi học chương trình PTTH Theo người ta phát triển ngun lí quy hoạch có ràng buộc hàm nhiều biến khơng thiết khả vi Bản luận văn, ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo cịn có hai chương cụ thể là: Chương trình bày kiến thức Giải tích lồi Chương giới thiệu toán tối ưu đặc biệt sâu vào phát triển điều kiện tối ưu cho lớp toán tối ưu lồi 3 Chương Các kiến thức chuẩn bị giải tích lồi Chương chủ yếu nhắc lại số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết liên quan đến tập lồi hàm lồi Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] 1.1 1.1.1 Tập lồi Các định nghĩa tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ 0, ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc - tơ) x1 , , xk x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k, j=1 k X λj = j=1 Tương tư, x tổ hợp a-phin điểm (véc - tơ) x1 , , xk x= k X j=1 j λj x , k X λj = j=1 Tập hợp tổ hợp a-phin x1 , , xk thường gọi bao a-phin điểm 4 Định lý 1.1.2 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k X k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ k X j=1 λj xj ∈ C j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử định lý với k − điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k, j=1 k X λj = j=1 Đặt k−1 X ξ= λj j=1 Khi < ξ < x= k−1 X j k λj x + λk x = ξ j=1 Do j=1 k−1 X λj j=1 k−1 X λj ξ ξ x j + λk x k (1.1) =1 λj > với j = 1, , k − 1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm ξ y := k−1 X λj j=1 ξ xj ∈ C Ta có x = ξy + λk xk Do ξ > 0, λk > ξ + λk = k X λj = 1, nên x tổ hợp lồi j=1 k hai điểm y x thuộc C Vậy x ∈ C Lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Descartes Cụ thể, ta có định lý sau: Định lý 1.1.3 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi: A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}, λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, λ, β ∈ R}, A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} Chứng minh Dễ dàng suy trực tiếp từ định nghĩa Định nghĩa 1.1.4 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy tập a-phin trường hợp riêng tập lồi Như nêu, ví dụ điển hình tập a-phin khơng gian Một ví dụ khác tập a-phin siêu phẳng định nghĩa Định nghĩa 1.1.5 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có dạng {x ∈ Rn |aT x = α}, a ∈ Rn véc - tơ khác α ∈ R Véc - tơ a thường gọi véc - tơ pháp tuyến siêu phẳng Một siêu phẳng chia không gian hai nửa không gian Nửa không gian định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.6 Nửa không gian tập hợp có dạng {x|aT x ≥ α}, a 6= α ∈ R Đây nửa khơng gian đóng Tập {x|aT x ≥ α} nửa không gian mở Như siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian, nửa khơng gian phía siêu phẳng Nếu hai nửa khơng gian đóng phần chung chúng siêu phẳng Mệnh đề cho thấy tập a-phin ảnh tịnh tiến không gian Định lý 1.1.7 M 6= ∅ tập a-phin có dạng M = L + a với L không gian a ∈ M Không gian L xác định Không gian L định lý gọi không gian song song với M , nói ngắn gọn không gian M Thứ nguyên (hay chiều) tập a-phin M định nghĩa thứ nguyên không gian song song với M ký hiệu dim M Định nghĩa 1.1.8 Một tập gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Như vậy, theo định nghĩa, tập lồi đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau: D := {x ∈ Rn |haj , xi ≤ bj , j = 1, , m} Hoặc ta ký hiệu A ma trận có m hàng véc - tơ aj (j = 1, , m) véc - tơ bT = (b1 , , bm ), hệ viết là: D = {x ∈ Rn |Ax ≤ b} Chú ý phương trình ha, xi = b viết cách tương đương dạng hai bất phương trình ha, xi ≤ b, h−a, xi ≤ b, nên tập nghiệm hệ hữu hạn phương trình bất phương trình tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1.9 Một tập C gọi nón ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C Theo định nghĩa, ta thấy gốc tọa độ thuộc nón khơng thuộc nón Dĩ nhiên nón khơng thiết tập lồi Ví dụ C := {x ∈ R|x 6= 0} nón, khơng lồi Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Một nón lồi gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng Khi ta nói đỉnh nón Nếu nón lồi lại tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Một ví dụ điển hình nón lồi đa diện, thường sử dụng, tập hợp nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính có dạng {x|Ax ≥ 0}, với A ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng số cột hữu hạn) Định lý 1.1.10 Một tập C nón lồi có tính chất sau: (i) λC ⊆ C ∀λ > 0, (ii) C + C ⊆ C Chứng minh Giả sử C nón lồi Do C nón, nên ta có (i) Do C tập lồi, nên với x, y ∈ C, (x + y) ∈ C Vậy theo (i) ta có x + y ∈ C Ngược lại, giả sử có (i) (ii) Từ (i) suy C nón Giả sử x, y ∈ C λ ∈ [0, 1] Từ (i) suy λx ∈ C, (1 − λ)y ∈ C Theo (ii) có λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy C nón lồi Một số nón điển hình Dưới ta xét số nón lồi điển hình thường sử dụng giải tích lồi Tập lồi có đặc trưng là: tia xuất phát từ điểm thuộc nó, nằm hẳn tập khỏi tập khơng "trở lại" 8 Định nghĩa 1.1.11 Cho C tập lồi Rn Một véc - tơ y 6= gọi hướng lùi xa C, tia xuất phát từ điểm C theo hướng y nằm trọn C, tức là: y hướng lùi xa x + λy ∈ C ∀x ∈ C, ∀λ ≥ Một hướng lùi xa cịn gọi hướng vơ hạn Ta ký hiệu tập hợp tất hướng lùi xa C với điểm gốc reC Tập hợp gọi nón lùi xa C Hiển nhiên C tập bị chặn, reC gồm điểm gốc Chú ý rằng, C tập lồi đóng, định nghĩa trên, thay địi hỏi với x ∈ C, cần đòi hỏi cho điểm x ∈ C Cụ thể ta có định lý sau: Định lý 1.1.12 Giả sử C tập lồi đóng Khi y hướng lùi xa C x + λy ∈ C ∀λ ≥ 0, với điểm x thuộc C Chứng minh Giả sử x + λy ∈ C ∀λ > 0, với x ∈ C Thế với u ∈ C µ > 0, C lồi, ta có xλ := µ µ (x + λy) + (1 − )u ∈ C λ+µ λ+µ Cho λ → ∞, C đóng, ta thấy u + µy ∈ C, với u ∈ C µ > Chú ý Trong trường hợp C khơng đóng, định lý khơng Ví dụ, R2 lấy C := {x = (x1 , x2 )|x1 > 0, x2 > 0} ∪ {0} Hiển nhiên véc - tơ y = (0, 1) có tính chất tia xuất phát từ điểm 6= x ∈ C theo hướng nằm trọn C, xuất phát từ x = điều không Cho C ⊆ Rn tập lồi x ∈ C Ký hiệu NC (x) := {w|hw, y − xi ≤ ∀y ∈ C} 9 Hiển nhiên ∈ NC (x) Dùng định nghĩa, dễ kiểm tra NC (x) nón lồi đóng Nón gọi nón pháp tuyến C x Tập −NC (x) gọi nón pháp tuyến C x Hiển nhiên −NC (x) := {w|hw, y − xi ≥ ∀y ∈ C} Một nón quan trọng khác nón đối cực định nghĩa sau: C ∗ := {w|hw, xi ≤ ∀x ∈ C} Dễ thấy nón lồi đóng chứa gốc Cho C tập lồi khác rỗng x ∈ C Ta nói d ∈ Rn hướng chấp nhận C tồn t0 > cho x + td ∈ C với ≤ t ≤ t0 Tập tất hướng chấp nhận nón lồi (dễ kiểm tra) chứa gốc Ta ký hiệu nón FC (x) gọi nón hướng chấp nhận nói ngắn gọn nón chấp nhận Nón khơng đóng, nhiên lấy bao đóng, ta dược nón khác gọi nón tiếp xúc C x Ký hiệu nón TC (x), FC (x) = TC (x) Từ suy TC (x) = {d ∈ Rn |∃dk → d, ∃tk & : x + tk dk ∈ C ∀k} Định nghĩa 1.1.13 Bao lồi tập E giao tất tập lồi chứa E Tương tự, ta định nghĩa bao a-phin E giao tất tập a-phin chứa E, bao nón lồi tập E (cịn gọi nón lồi sinh E) giao tất nón lồi chứa E Bao lồi tập E ký hiệu coE; bao a-phin tập E ký hiệu af f E, cịn bao nón lồi E ký hiệu coneE Do tính chất nón, nên điểm x ∈ coneE, λx ∈ coneE với λ > Do để tiện làm việc, người ta thường cho điểm gốc vào bao nón lồi tập Chú ý giao tập lồi (tập a-phin, nón lồi) tập lồi (tập a-phin, nón lồi), nên bao lồi, bao a-phin bao lồi xác định cách Như bao lồi tập E tập lồi nhỏ chứa E Tương tự bao a-phin E tập a-phin nhỏ chứa E 10 Bao nón lồi E tập hợp gồm gốc tọa độ nón lồi nhỏ chứa E Như khác với bao lồi bao a-phin, bao nón lồi tập nói chung khác chút với nón lồi nhỏ chứa tập Dĩ nhiên E 6= ∅, bao lồi, bao a-phin bao nón lồi ln tồn khác rỗng tập chứa E thân tồn khơng gian đồng thời vừa tập lồi, tâp a-phin nón lồi chứa E Chú ý có số tác giả định nghĩa nón sau: tập C gọi nón với x ∈ C λx ∈ C với λ ≥ Theo định nghĩa này, nón ln chứa gốc Khi bao nón lồi tập E giao nón lồi chứa E Nhắc lại rằng, thứ nguyên (còn gọi chiều) tập E định nghĩa thứ nguyên bao a-phin Tức dim E := dim(af f E) Định lý 1.1.14 Cho E tập lồi Khi coneE = {λx|x ∈ E, λ ≥ 0} Chứng minh Gọi M := {λx|x ∈ E, λ > 0} Hiển nhiên nón chứa E, phải chứa M Ta thân M nón lồi Giả sử y , y ∈ M Vậy y = λ1 x1 , y = λ2 x2 với λ1 , λ2 > x1 , x2 ∈ E Khi đó, ta có ! λ1 λ2 x1 + x2 y + y = (λ1 + λ2 ) λ1 + λ2 λ1 + λ2 Do E lồi, nên λ1 λ2 x1 + x2 ∈ E λ1 + λ2 λ1 + λ2 Vậy y + y ∈ M Suy M nón lồi nhỏ chứa E bao nón lồi E tập hợp gồm M gốc tọa độ Tức coneE = {λx|x ∈ E, λ ≥ 0} Định lý 1.1.15 (Carathéodory) Cho E tập bị chứa tập a-phin có thứ nguyên k Khi x ∈ coE biểu diễn tổ hợp lồi nhiều (k + 1) phần tử E 11 Chứng minh định lý dùng đến định lý sau, dạng định lý Carathéodory bao nón lồi Định lý 1.1.16 Giả sử E ⊂ Rk Khi điểm x 6= thuộc coneE biểu diễn dạng x = λ1 x1 + + λr xr , xi ∈ E, λi > với i điểm x1 , , xr độc lập tuyến tính Nói riêng r ≤ k Chứng minh Bạn đọc tham khảo tài liêu [1] Chứng minh định lý Carathéodory Xét tập hợp B := {1} × E = {(1, x)|x ∈ E} ⊂ R × Rk Ta có coB = {1} × coE Giả sử coneB nón lồi sinh B Do coB tập lồi nhỏ chứa B, nên coB ⊂ coneB Với (1, x) ∈ coB, theo định lý trên, tồn điểm (1, x1 ), , (1, xr ) ∈ B số λ1 , , λr , với r ≤ k + thỏa mãn: x = λ1 x1 + + λr xr , xi ∈ E ∀i, λ1 + + λr = 1, λi > ∀i Ta nhắc lại khái niệm điểm trong, điểm biên, tập compact v.v giải tích cổ điển Cho E ⊆ Rn Điểm a gọi điểm E tồn lân cận mở U (a) a cho U (a) ⊂ E Ký hiệu tập hợp điểm tập E intE B cầu đơn vị, tâm gốc Khi theo định nghĩa, ta có intE = {x : ∃r > 0, x + rB ⊂ E} 12 Điểm a gọi điểm biên E lân cận a có điểm thuộc E điểm không thuộc E Tập E gọi tập mở điểm E điểm E Tập E gọi tập đóng, E chứa điểm biên Tập E ⊂ Rn gọi tập compact, E tập đóng bị chặn Ta nói điểm a thuộc bao đóng tập E lân cận a chứa điểm thuộc E Ký kiệu E bao đóng E Khi từ định nghĩa, suy E = ∩r>0 (E + rB) Chú ý bao lồi tập đóng khơng thiết đóng Ví dụ, E = {(x, 0) ∈ R2 , x ∈ R} ∪ {(0, 1)}, coE = {(x, y) ∈ R2 |x ∈ R, ≤ y < 1} ∪ {(0, 1)} Tuy nhiên E compact, coE compact theo hệ qủa sau đây: Hệ 1.1.17 Nếu E ⊂ R2 tập compact, coE compact 1.1.2 Toán tử chiếu tập lồi Định nghĩa 1.1.18 Cho C 6= ∅ (không thiết lồi) y véc-tơ bất kỳ, đặt dC (y) := inf kx − yk x∈C Ta nói dC (y) khoảng cách từ y đến C Nếu tồn π ∈ C cho dC (y) = kπ − yk, ta nói πlà hình chiếu (vng góc) y C Định lý 1.1.19 Cho C tập lồi đóng khác rỗng Khi đó: i) Với y ∈ Rn , π ∈ C hai tính chất sau tương đương: a) π = pC (y), b) y − π ∈ NC (π) ii) Với y ∈ Rn , hình chiếu pC (y) y C ln tồn 13 iii) Nếu y ∈ / C, hpC (y) − y, x − pC (y)i = siêu phẳng tựa C pC (y) tách hẳn y khỏi C, tức hpC (y) − y, x − pC (y)i ≥ 0, ∀x ∈ C, hpC (y) − y, y − pC (y)i < iv) Ánh xạ y ,→ pC (y) có tính chất sau: a) kpC (x) − pC (y)k ≤ kx − yk ∀x, ∀y (tính khơng giãn), b) hpC (x) − pC (y), x − yi ≥ kpC (x) − pC (y)k2 , (tính đồng bức) Chứng minh i) Giả sử có a) Lấy x ∈ C λ ∈ (0, 1) Đặt xλ := λx + (1 − λ)π Do x, π ∈ C C lồi, nên xλ ∈ C Hơn π hình chiếu y, nên kπ − yk ≤ ky − xλ k Hay kπ − yk2 ≤ kλ(x − π) + (π − y)k2 Khai triển vế phải, ước lược chia hai vế cho λ > , ta có λkx − πk2 + 2hx − π, π − yi ≥ Điều với x ∈ C λ ∈ (0, 1) Do cho λ tiến đến 0, ta hπ − y, x − πi ≥ ∀x ∈ C Vậy y − π ∈ NC (π) Bây giả sử có b) Với x ∈ C, có ≥ (y − π)T (x − π) = (y − π)T (x − y + y − π) = ky − πk2 + (y − π)T (x − y) Từ b), dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: ky − πk2 ≤ (y − π)T (y − x) ≤ ky − πkky − xk 14 Suy ky − πk ≤ ky − xk ∀x ∈ C, π = p(y) ii) Do dC (y) = inf x∈C kx − yk, nên theo định nghĩa cận (infimum), tồn dãy xk ∈ C cho lim kxk − yk = dC (y) < +∞ k Vậy dãy {xk } bị chặn, có dãy {xkj } hội tụ đến điểm π Do C đóng, nên π ∈ C Vậy kπ − yk = lim kxkj − yk = lim kxk − yk = dC (y) j k Chứng tỏ π hình chiếu y C Bây ta tính hình chiếu Thật vậy, tồn hai điểm π π hình chiếu y C, y − π ∈ NC (π), y − π ∈ NC (π ) Tức hπ − y, π − πi ≥ hπ − y, π − π i ≥ Cộng hai bất đẳng thức ta suy kπ − π k ≤ 0, π = π1 iii) Do y − π ∈ NC (π), nên hπ − y, x − πi ≥ ∀x ∈ C Vậy hπ − y, xi = hπ − y, πi siêu phẳng tựa C π Siêu phẳng tách y khỏi C y 6= π, nên hπ − y, y − πi = −kπ − yk2 < 15 iv) Theo phần (ii) ánh xạ x ,→ p(x) xác định khắp nơi Do z − p(z) ∈ NC (p(z)) với z, nên áp dụng với z = x z = y, ta có: hx − p(x), p(y) − p(x)i ≤ hy − p(y), p(x) − p(y)i ≤ Cộng hai bất đẳng thức lại hp(y) − p(x), p(y) − p(x) + x − yi ≤ Từ theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy kp(x) − p(y)k ≤ kx − yk Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất b) (i), với p(x) p(y), ta có: hp(x) − x, p(x) − p(y)i ≤ hy − p(y), p(x) − p(y)i ≤ Cộng hai bất đẳng thức ta hp(x) − p(y) + y − x, p(x) − p(y)i = hp(x) − p(y), y − xi + kp(x) − p(y)k2 ≤ Chuyển vế ta có hp(x) − p(y), x − yi ≥ kp(x) − p(y)k2 Đây tính đồng cần chứng minh Định lý 1.1.20 (Định lý tách 1) Cho C D hai tập lồi khác rỗng Rn cho C ∩ D = ∅ Khi có siêu phẳng tách C D Định lý tách vừa nêu suy từ Bổ đề 1.1.21 đây, định lý tách tập lồi phần tử khơng thuộc 16 Bổ đề 1.1.21 (Bổ đề liên thuộc) Cho C ⊂ Rn tập lồi khác rỗng Giả sử x0 ∈ C Khi tồn t ∈ Rn , t 6= thỏa mãn ht, xi ≥ ht, x0 i∀x ∈ C (1.4) Chứng minh Định lý 1.1.20 Do C D lồi, nên C − D lồi Hơn ∈ / (C − D), C ∩ D = ∅ Theo bổ đề áp dụng với x0 = 0, tồn véc-tơ t ∈ Rn , t 6= cho ht, zi ≥ với z ∈ C − D Vì z = x − y với x ∈ C, y ∈ D, nên ta có ht, xi ≥ ht, yi ∀x ∈ C, y ∈ D Lấy α := supht, yi, y∈D siêu phẳng ht, xi = α tách C D Định lý 1.1.22 (Định lý tách 2) Cho C D hai tập lồi đóng khác rỗng cho C ∩ D = ∅ Giả sử có tập compact Khi hai tập tách mạnh siêu phẳng Cũng trên, định lý tách mạnh dễ dàng suy từ bổ đề sau nói tách mạnh tập lồi đóng điểm bên tập Bổ đề 1.1.23 Cho C ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng cho 0∈ / C Khi tồn véc-tơ t ∈ Rn , t 6= α > cho ht, xi ≥ α > 0, ∀x ∈ C Chứng minh Định lý 1.1.22 Giả sử C tập compact Ta tập C −D đóng Thật vậy, giả sử z k ∈ C −D z k → z Ta có z k = xk −y k với xk ∈ C, y k ∈ D Vì C compact, nên có dãy xkj → x j → +∞ Vậy y kj = z kj − xkj → z − x ∈ D Vậy z = x − y ∈ C − D Chứng tỏ C − D tập đóng Do ∈ / C − D, nên theo bổ đề trên, tồn t 6= 0, cho ht, x − yi ≥ α > với x ∈ C, y ∈ D Vậy inf ht, xi − x∈C α α ≥ supht, yi + 2 y∈D ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ HOA VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng... kết Giải tích lồi tối ưu hóa Về phương diện tính tốn có nhiều phương pháp hữu hiệu cho lớp toán Trong trình học tìm hiểu điều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi ta thấy phát triển toán phong phú... tập lồi 1.2 Hàm lồi 3 12 17 Điều kiện tối ưu toán quy họach lồi 2.1 Bài toán quy hoạch lồi 2.2 Điều kiện cần đủ tối