Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các PI.đại số không có nil-ideal khác(0)

Luận văn Các PI.đại số không có nil-ideal khác(0) trình bày những kết quả nghiên cứu theo định hướng nói trên cho lớp PI. đại số không có nil-ideal khác 0 và trên lớp các PI. đại số không có ideal lũy linh khác (0). Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ĐÌNH HIỀN CÁC PI.ĐẠI SỐ KHƠNG CĨ NIL-IDEAL KHÁC (0) LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.Hồ CHÍ MINH NGUYỄN ĐÌNH HIỀN CÁC PI.ĐẠI SỐ KHƠNG CĨ NIL-IDEAL KHÁC (0) CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ MÃ SỐ : 1.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ TP.HỒ CHÍ MINH - năm 2003 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 1.1 Cấu trúc Radical (Jacobson) vành: 1.2 Một vành đặc biệt : 1.3 Mối quan hệ vành nửa đơn vành Artin vành đơn 11 1.4 Tổng trực tiếp : 13 CHƢƠNG2: CÁC PI ĐẠI SỐ TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ 15 2.1 PI đại số vành giao hốn có đơn vị : 15 2.2 Định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky : 19 2.3 Đa thức tâm đại số ma trận 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÁC PI ĐẠI SỐ KHÔNG CĨ NILIDEAL KHÁC KHƠNG 34 3.1 Tổng quan lớp vành khơng có nil-ideal khác khơng 34 3.2 Đồng thức thực đại số nguyên tố 39 3.3 PI.đại số khơng có ideal lũy linh khác 48 KẾT LUẬN 51 LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tơn kính Q Thầy, Cơ tổ Đại số Trƣờng Đại học Sƣ phạm TP Hồ Chí Minh trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh trang bị cho đủ kiến thức làm tảng cho trình viết luận văn này, tồn thể Q Thầy, Cơ Khoa Tốn, Phòng Khoa học Công nghệ & Sau Đại Học Ban Giám Hiệu Trƣờng ĐHSP TP.HỒ Chí Minh, bạn đồng nghiệp Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Bình Thuận, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu hồn thành chƣơng trình khoa học Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đơi với thầy PGS.TS Bùi Tường Trí tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ, bảo q trình xây dựng hồn thành luận văn Quá trình xây dựng luận văn, nhận đƣợc nhiều động viên mặt tinh thần học viên cao học khoa 11 Xin anh, chị toàn thể bạn ghi nhận nơi lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tác giả luận văn LỜI MỞ ĐẦU Mục đích luận văn là: Từ kết định lý Kaplansky-Amitsur-Levitiky PI đại số nguyên thủy, mở rộng dần kết lớp PI đại số khơng có nil-ideal khác (0) lớp PI.đại số khơng có ideal lũy linh khác (0) Đồng thời hệ thống lại số kiến thức có liên quan, nhằm làm sở lý luận cho việc trình bày kết nghiên cứu luận văn Như biết nhà toán học Wedderburn chứng minh "Định lý dày đặc", PI.đại số ta có định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky, đặt móng việc xây dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở phương hướng nghiên cứu toán học Sau kết quan trọng này, nhiều nhà toán học giới phát triển mở rộng kết theo nhiều hướng khác Do phạm vi nghiên cứu đề tài, luận văn đề cập hết cơng trình nghiên cứu nhà tốn học nói trên, mà luận văn chì trình bày kết nghiên cứu theo định hướng nói cho lớp PI đại số khơng có nil-ideal khác lớp PI đại số khơng có ideal lũy linh khác (0) Tuy nhiên số định lý, bổ đề hệ chương luận văn bỏ qua phép chứng minh (do đặc điểm chương 1) mà nêu để vận dụng, làm sở cho phép chứng minh kết chương chương Nội dung luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng nhƣ sau: CHƢƠNG 1: Một số khái niệm định lý vành khơng giao hốn Trong phần chủ yếu trình bày số khái niệm, định lý, bổ đề có sẵn vành khơng giao hốn, nhằm đặt móng sở lý luận cho chƣơng chƣơng nhƣ: cấu trúc Radical Jacobson vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy mối quan hệ chúng Đặc biệt định lý dày đặc Wedderburn CHƢƠNG 2: PI Đại số vành giao hốn có đơn vị Hệ thống hóa kiến thức chung PI.đại số vành giao hoán Nội dung chƣơng giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt móng, định hƣớng cho việc mở rộng nghiên cứu lớp PI.đại số rộng hơn, định lý Kaplansky- Amitsur-Levitzky đại số nguyên thủy CHƢƠNG 3; Một số kết nghiên cứu PI đại số khơng có nil-ideal khác khơng Đầu tiên trình bày số kết nghiên cứu đặc điểm đặc biệt cấu trúc lớp vành khơng có nil-ideal khác (0), nhằm giúp có cách nhìn tổng quan lớp vành đặc biệt trình bày kết nghiên cứu theo hƣớng mở dần định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky lớp PI đại số rộng hơn, lớp Pl.đại số khơng có nilideal khác (0) lớp Pl.đại số khơng có ideal lũy linh khác (0) Chắc chắn luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả luận văn mong ghi nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy, tất bạn bè gần xa CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Trong phần chủ yếu trình bày số kiến thức có sẵn vành khơng giao hốn, nhằm đặt móng sở lý luận cho chương chương như: cấu trúc Radical Jacobson vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy mối quan hệ chúng Đặc biệt định lý dày đặc Wedderburn đặt móng, định hướng có nhiều ứng dụng cho việc nghiên cứu sau 1.1 Cấu trúc Radical (Jacobson) vành: Trong phần ta kí hiệu R vành khơng giao hốn, M R-module 1.1.1 Định nghĩa: Ta gọi Radical Jacobson vành R tập hợp phần tử R linh hoa tất module bất khả quy R Kí hiệu J(R) Rad(R) Nếu R khơng có module bất khả quy, ta quy ƣớc J(R) = R Khi ta gọi R vành Radical Nhƣ theo định nghĩa ta có : J(R) = {x ∈ R/ Mx{0} với M R- module bất khả quy} Nhắc lai : M R-module bất khả quy MR ≠ {0} M khơng có module thực Đặt A(M) = {a ∈ R/Ma ={0}, M R- module bất khả quy} Từ ta định nghĩa J(R) theo cách khác: Nhƣng A(M) ideal hai phía R Do J(R) ideal hai phía vành R Mặt khác, M đƣợc hiểu R-mdule phải nên J(R) đƣợc gọi Radical phải, nhiên khái niệm Radical phải Radical trái trùng nên ta không nhấn mạnh tính phải trái Radical Sau ta mô tả cấu trúc Radical Jacobson vành khơng giao hốn bổ đề định lý 1.1.2 Bổ đề: M R-module bất khả quy M đẳng cấu với R/p ( vành thương) p ideal phải, tối đại, quy Nhắc lai: Ideal p phải quy ∃ a ∈ R: ∀x ∈ R x- ax∈ p Chứng minh: * (⇒) Giả sử M là R-module bất khả quy ⇒ MR ≠ (0) Đặt S { u ∈ M /uR = (0)}, ta dễ dàng kiểm tra s module M Nếu S ≠ suy S= M (vì M R-module bất khả quy), MR = {0}.(!) mâu thuẩn Vậy S = {0} Do với ∀ u ∈ M, u ≠ uR ≠ {0} Mà uR mdule M M bất khả quy uR = M Nhƣ với u ∈ M cho trƣớc r ∈ R ta có phần tử ur ∈ M Điều này.cho phép ta thiết lập ánh xạ φ : R → M, định công thức φ(r) = ur Ta dễ dàng kiểm đồng cấu Mặt khác uR ⇒ M ⇒ φ toàn cầu Đặt ρ = ker φ ρ ideal phải R Ta chứng minh ρ ideal phải tối đại R Thật vậy, giả sử có ideal phải α R chứa thực ρ Theo định lý Noether ta có: Im φ= M ≅ R/ ρ ( φ toàn cấu) ⇒ α/ρ module R/ρ khác (0) Do M bất khả quy nên R/ρ bất khả quy ⇒ α/ρ = R/ρ ⇒ α = R(!) Vậy ρ ideal phải tối đại Từ đẳng thức uR = M ⇒ ∃a ∈ R :ua = u ⇒ ∀x∈ R, uax = ux ⇒ u(x-ax) =0 ⇒ x-ax ∈ ker φ = ρ ⇒ ρ ideal phải, tối đại, quy.( ⇐) Ngƣợc lại ρ ideal phải, tối đại, quy R.Khi ta có: (R/ρ)R ≠ (0) Thật vậy, giả sử (R/ρ)R =(0) ⇒ ∀x ∈ R, ∀y ∈ R ⇒ (y + ρ)x = 0⇒ yx ∈ ρ Vậy ρ ⊃ R ⇒ ρ = R(!) Mâu thuẫn Vậy (R/ ρ) R ≠ (0) Do ρ tối đại nên R/ ρ R-module bất khả quy ⇒ đpcm Nhân xét: Nếu vành R có đơn vị R vành Radical 1.1.3 Định lý: J(R) = ∩ (ρ : R)trong p chạy khắp ideal tối đại, quy, (ρ: R) ideal phía lớn R nằm ρ Nhắc lai:Cho ρ ideal phải R Ta định nghĩa: (ρ: R) = {x ∈ R/Rx ⊂ ρ } Chứng minh: * Dễ dàng ta kiểm đƣợc (ρ: R) ideal hai phía R * Với ∀x∈ (ρ: R) ⇒ Rx ⊆ ρ ⇒ ax ∈ ρ , lại p quy nên x-ax ∈ ρ Do x ∈ ρ Vậy (ρ: R) ⊆ ρ * (ρ: R) ideal hai phía lớn nằm ρ Thật vậy, giả sử ρ1 ideal hai phía R mà nằm ρ Nếu ρ ideal Ta có : phải, tối đại, quy giả sử M = R/ ρ Khi ta có: Nhƣ vậy: 1.1.4 Định lý:J(R) = ∩ ρ , với ρ ideal phải, tối đại, quy Chứng minh: Theo định lý I.3 ta có Ta chứng minh bao hàm ngƣợc lại, đặt T = ∩ ρ Với x ∈ T, xét tập S{xy +y /y ∈ R } Dễ dàng kiểm tra đƣợc s ideal phải, quy R (tính quy suy cách lấy a = x .) Do tồn ideal phải, tối đại, quy ρ0 R cho S ⊂ ρ0 Ta chứng minh s ≡ R phƣơng pháp phản chứng Thật giả sử s ≠ R Với x ∈ T= Suy Do với mâu thuẫn với Po ideal tối đại Vậy s ≡ R .Nhƣ với x ∈ T tồn w ∈ R thỏa xw + w = -x hay x + w + xw = Chú ý : Đây thuộc tính quan trọng phần tử thuộc T Bây ta chứng minh: ∩ ρ ⊂ J(R) phƣơng pháp phản chứng Giả sử ngƣợc lại T = ∩ ρ ⊄ J(R) suy tồn module bất khả quy R không bị T linh hóa, tức MT ≠ {0} ⇒ ∃m ∈ M: mT ≠ (0) Ta dễ dàng thấy mT module M, mT = M ( M bất khả quy) ⇒ ∃t ∈ T: mt = -m Lại t ∈ T ∈ R : t + s +ts = ⇒ m (t + s + ts) = ⇒ mt + ms + mts = ⇒ - m +ms - ms = ⇒ m = (!) mâu thuẫn với mT ≠ (0) Vậy T = ∩ ρ J(R) Tóm lại J(R) = ∩ ρ 1.1.5 Định nghĩa: Phần tử a ∈ R gọi tựa quy phải ∃a’ ∈ R cho a +a’+ aa’ = Phần tử a’ gọi tựa nghịch đảo phải a * Tƣơng tự ta định nghĩa phần tử tựa quy trái Lƣu ý: Nếu vành R có đơn vị 1, phần tử a ∈ R tựa quy phải + a có nghịch đảo R Thật vậy, a tựa quy phải ⇒ ∃a’ ∈ R: a + a’ +aa’ = ⇒ +a + a’ + aa’ = ⇒ (1 + a) (1 + a’ ) = ⇒ đpcm Ngƣợc lại, + a có nghịch đảo phải x ∈ R, tức ( 1+ a )x = ⇒ (x -1) +ax =0 Đặt a’ = x -1 ta có a’ + a(a’ +1) = ⇒ a +a’ +aa’ = ⇒ a tựa quy phải * Một ideal phải R đƣợc gọi tựa quy phải phần tử tựa quy Nhƣ vậy, từ phép chứng minh định lý 1.1.4 ta có J(R) ideal tựa quy phải Tuy nhiên ta có kết mạnh sau đây: 1.1.6 Định lý: J(R) ideal phải tựa quy phải R chứa 37 cho an1 ∈ Wa + A , an2 ∈ Wa + B an1 +n2 ∈ (Wa + A) (Wa + B) ⊂ Wa + AB ⊂ Wa (!).Điều mâu với giả thiết wa Nhƣ wa ideal nguyên tố Ra = R/Wa vành nguyên tố Bây ta cho a chạy khắp tập hợp phần tử không lũy linh R,ta đƣợc ∩ Wa nil-ideal R, ∩ Wa = (0) Vậy R tổng trực tiếp vành ngun tố 3.1.5.Định lý: Nếu R vành khơng có nữ - ideal khác khơng, R[t] vành (đa thức) nửa đơn Trƣớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1: Giả sử R vành giao hoán N giao tất ideal nguyên tố R, N nil-ideal Chứng minh: Với a ∈ R gọi Pa ideal R lớn cho Pa ∩ {an \ n ∈ N} = ∅ Theo bổ đề Zorn Pa ln tồn Ta chứng minh pa ideal nguyên tố Thật vậy, xy ∈ Pa sử x y không thuộc Pa Khi ideal Pa + Rx Pa + Ry chứa thực sử Pa, tồn hai số tự nhiên n, m cho an ∈ Pa + Rx am ∈ Pa + Ry ⇒ an+m ∈ (Pa + Rx) (Pa + Ry) ⊂ Pa + Rxy ⊂ Pa (!) mâu thuẫn với giả thiết Pa.Vậy Pa ideal nguyên tố Bây ta cho a chạy khắp tập hợp phần tử không lũy linh R, N = ∩ Pa nil-ideal Bổ đề 2: Giả sử R vành giao hốn có đơn vị, a0 +a1t + +antn ∈ R[t] khả nghịch R[t], a0 khả nghịch R a1 , , an phần tử lũy linh Chứng minh: Vì f = a0 + a1t + + antn khả nghịch R[t] nên tồn g = b0 + b1t + + bmtm ∈ R[t] cho fg = 38 Nhƣ vậy: Từ (1) ⇒ a0 phần tử khả nghịch Từ(2) ⇒ Từ (3) & (4) ⇒ an2 bm-1 = Giả sử công thức anr bm-r+1 = cho r - 1, với ≤ r ≤ m Ta chứng minh công thức anr+1 bm-r = cho r Thật vậy, theo (2) ta có: anbm-r + an-1bm-r+1 + + an-rbm = Nhân vế đẳng thức với anr ta suy : Theo giả thiết quy nạp ta có anr+1 bm-r = Vậy công thức anr+1 bm-r = cho r ∈ {0;1;2; ;m} Ta chọn r = m anm+1 b0 = (5) Từ (1) & (5) ⇒ a0anm+1 = ⇒ anm+1 = ⇒ an phần tử lũy linh ⇒ antn phần tử lũy linh ⇒ f - antn = a0 + a1t + + an-1tn-1 phần tử khả nghịch R Lặp lại bƣớc chứng minh ta có an-1 phần tử lũy linh Quá trình lặp lại cuối cho ta kết a1, a2, , an phần tử lũy linh Chứng minh định lý: Đặt J Radical R[t] giả sử J ≠ (0) ⇒ ∃r ∈ J, r ≠0 ta viết r dƣới với n0 < n1 < n2 < < nk , ta giả thiết r có độ dài nhỏ (độ dài r ta định nghĩa số hệ số khác nó) Ta có air - rai ∈ J qua tính tốn đơn giản suy độ dài air - rai bé độ dài r, air - rai = ⇒ aiaj = ajai với ∀i,j ∈ {0,1,2, ,k} Vì r ∈ J ⇒ rt ∈ J ⇒ rt phần tử tựa quy phải , ∃s ∈ J cho rt + s + rst = ⇒ r = - rt - rst = - rt - ( - rt - rst)t = vrt + r2t2 + r2st2 Cứ tiếp tục thay s = -rt - rst vào công thức đến lần thứ n ta có: s = - rt +r2t2 -r3t3 + + (-1)n rntn + (-1)nrnstn 39 Chọn n đủ lớn vƣợt bậc s (s đa thức theo biến t) ta thấy hệ tử s hệ tử hạng tử rnstn Điều kéo hệ tử s lấy tập {1, a0, a1, , ak} Đặt R0 = < (1, a0, a1, , ak) > vành sinh phần tử 1, a0, a1, , ak Khi rt s thuộc R0[t] Theo kết ta có giao hốn đƣợc với phần tử sinh R0, R0 vành giao hốn Mặt khác ta có (1 + rt)(1 + s) = ⇒ + rt phần tử khả nghịch R0[t], nên theo bổ đề suy a0, a1, , ak phần tử lũy linh Đặt Thì U ideal R chứa a0 nên U ≠ (0), theo kết suy phần tử U lũy linh ⇒ U nil-ideal khác (0) R (!) Điều mâu với giả thiết định lý Vậy J = (0) hay R[t] vành đơn Nhân xét: Qua số kết cho thấy nét đặc thù cấu trúc lớp vành khơng có nil-ideal khác khơng: Lớp vành có cấu trúc "tựa như" cấu trúc lớp vành có quan hệ mật thiết với lớp vành đơn Bây ta trở lại nội dung mà ta đề cập ban đầu, tức mở rộng dần kết định lý Kaplansky-Amitsur lớp PI.đại số khơng có nil-ideal khác Nội dung mục thứ sau chứng minh kết định lý Kaplansky-Amitsur lớp PI.đại số ngun tố vành giao hốn có đơn vị, nhiên lớp PI.đại số nằm lớp PI.đại số khơng có nil-ideal khác 3.2 Đồng thức thực đại số nguyên tố Trong phần ta kí hiệu K vành giao hốn có đơn vị 1, A đại số K, khơng có tính chất đặc biệt 40 3.2.1 Một số định nghĩa: * Một đại số A gọi nữ phần tử Ả lũy linh * Một đại số A gọi lũy linh (nilpotent) tồn số nguyên m cho Am = (0) Như đại số A lũy linh * Đại số A gọi lũy linh địa phương (locally nilpotent) tập hữu hạn A sinh đại số lũy linh * Một ideal phải (trái, hai phía) gọi lũy linh địa phương tập hữu hạn sinh ideal vhải (trái, hai phía) lũy linh * Nil-ideal tối đại đại số A gọi upper nil-radical A, kí hiệu unA * Idela lũy linh địa phương, tối đại đại số A gọi Levitzki nil-radical A, kí hiệu L(A) Từ khái niệm ta dễ dàng suy kết sau: 3.2.2 Định lý: Đại số ảnh đồng cấu đại số nil đại số nil Nếu B ideal đại số A cho B A/B nil, A nil 3.2.3 Định lý: Nếu N1 N2 nil -ideal đại số A N1 + N2 nil-ideal đại số A Chứng minh: Hiển nhiên ta có N2 ideal N1 + N2 , đồng thời N2 N1 / (N1 ∩ N2) nil Mặt khác (N1 + N2)/ N2 ≅ N1 / (N1 ∩ N2) Suy (N1 + N2)/ N2 nil Nhƣ theo bổ đề ta có (N1 + N2) nil-ideal Từ kết ta dễ dàng suy bổ đề cho tập 41 nil- ideal 3.2.4 Định lý: Nếu {Ni} tập nil-ideal đại số A ΣNi nil-ideal đại số A 3.2.5 Định lý: Tồn nil-ideal tối đại đại số A, chứa nil-ideal đại số A Tồn ideal tối đại lũy linh địa phương đại số A, chứa ideal phía lũy linh địa phương Chứng minh: * Nếu {Ni}i∈ N tập nil-ideal đại số A, áp dụng bổ đề Zorn ta có nil-ideal tối đại L đại số A Với M nil-ideal đại số A Theo bổ đề 3.3.3 ta có M + L nil-ideal đại số A L tối đại nên M + L = L Nhƣ M ⊂ L * Giả sử L ideal lũy linh địa phƣơng đại ĩ ideal trái lũy linh địa phƣơng đại số A, hiển nhiên I + IA ideal A Bây ta chứng minh I + IA ideal lũy linh địa phƣơng A Thật vậy, giả sử T = {b1; b2; ; bn} tập hữu hạn I + IA ta viết bị dƣới dạng : ci, cij ∈ I aij ∈ A Xét tập hữu hạn S = {ci; cij; aij ck; aij ckl} ⇒ S ⊂ I, tồn số tự nhiên m cho tích m phần tử thuộc s Nhƣ tích r phần.tử tập T có dạng Ta thấy triển khai vế phải đẳng thức (*), tổng mà hạng tử tích r phần tử thuộc s tích bên phải r phần tử thuộc s với phần tử thuộc A Do tích m phần tử dạng (*) phải ta có I + IA lũy linh địa phƣơng ⇒ I + IA ⊂ L ⇒ I ⊂ L (đpcm) 42 Từ kết đƣợc trình bày nội dung thứ định lý 3.2.5, Kothe ngƣời đặt vấn đề nhƣ sau: Một upper nil-radical có chứa hay khơng tất nil-ideal phía Tuy nhiên điều khẳng định điều khơng cho tổng tất ideal lũy linh ta có kết quả: Tổng tất ideal lũy linh ideal lũy linh Ta kí hiệu N(0) tổng tất ideal lũy linh A Giả sử K{X} đại số tự sinh x1 , x2, , xn, K{X}' Là ideal K{X} sinh xi Khi K{X}' tập tất phần tử K{X} có hạng tử tự K{X}' đại số tự phạm trù đại số khơng có đơn vị Giả sử A đại số khơng có đơn vị {ai}, với < i < ∞ , dãy phần tử A, tồn đồng cấu biến xi ⟼ với i Nếu f = f(x1, x2, , xm) ∈ K{X}' f đồng thức A f(a1, , am) = với ∈ A Nếu f ∈ K{X} đồng thức A đặt = ta có f ∈ K{X}’ Nếu f ∈ K{X}’ đƣợc gọi quy mạnh f ≠ hệ tử khác f phần tử khả nghịch K Nếu f đồng thức quy mạnh A f đồng thức đại số ảnh đồng cấu A Nếu A thỏa mãn đồng thức quy mạnh f A thỏa mãn đồng thức đa tuyến tính có bậc khơng vƣợt q bậc f 3.2.6 Định lý: Đại số A nil thỏa mãn đồng thức quy A lũy linh địa phương Chứng minh: Đại số A nil thỏa mãn đồng thức quy f, ta giả thiết f đa tuyến tính L Levitzki nil Radical A Ta phải chứng tỏ A = L hay A/L = (0).Theo định lý II.2.4 ta cần 43 chứng minh A chứa ideal trái lũy linh địa phƣơng I ≠ đủ Chọn phần tử a ∈ A, a ≠ mà a2 = Nếu Aa = linh hóa tử phải A khác ideal lũy linh Do ta có điều phải chứng minh Nhƣ ta giả sử Aa ≠ tiếp tục chứng minh ideal trái Aa ideal lũy linh địa phƣơng Viết f(x1,x2, xm) dƣới dạng sau: f(x1,x2, xm) = x1f1(x2, xm) + f2 (x1,x2, xm) đơn thức f2 bắt đầu x1 Ta giả sử f1(x2, xm) khác 0, nhƣ degf1 = m-1 f1 đa thức quy Nếu x1 a xi ∈ Aa vào f, ta thu đƣợc af1(a2 , , am) = 0, hạng tử f2(a1 , , am) chứa nhân tử dạng (ba)a = Điều chứng tỏ với ∈ Aa f1 (a2, am) linh hóa tử phần tử thuộc Aa phía bên phải, nhƣ gọi z linh hóa tử phải Aa Aa Aa/ z thỏa mãn đồng thức quy f1 có bậc m-1 sử dụng phép quy nạp theo bậc ta giả thiết Aa/ z lũy linh địa phƣơng Do Z2 = kéo theo Aa lũy linh địa phƣơng 3.2.7 Định lý: Giả sử A đại số thỏa mãn đồng thức quy có bậc d, nil đại số B A thỏa B[d/2] ⊂ N(0), N(0) tổng ideal lũy linh A Chứng minh: Trƣớc hết ta giả thiết B lũy linh Khi số nguyên dƣơng n ta định nghĩa: Đối với h ≤ 2n ta có: U1U2 Uh = (Bn -1 A)h B[d/2] (21) với ∀i > k ta có UjUk ⊂ ABnA (22) Giả sử n số nguyên dƣơng nhỏ cho ABnA lũy linh Do B lũy linh nên n tồn Vì A thỏa mãn đồng thức quy f có bậc d, ta giả sử đồng thức 44 đa tuyến tính ta chia f cho phần tử khả nghịch K để đƣa f dạng sau: Bây giả sử n > [d/2] ⇒ 2n > d ta chọn h = d Thế xi = ui ∈ Ui vào (23) ta có : từ (21) & (22) ⇒ (Bn-1A)d B[d/2] ⊂ ABn A ⇒ (ABn-1 A)d+1 ⊂ ABn A ⇒ ABn-1 A lũy linh Điều trái với cách chọn n ⇒ n [d/2] ⇒ ideal lũy linh A ⇒ B[d/2] + AB[d/2] lũy linh Nhƣ B[d/2] + A + AB[d/2] + AB[d/2] A ⊂ N(0) ⇒ B[d/2] ⊂ N(0) Bây ta giả sử B nil Thì B lũy linh địa phƣơng Giả sử dãy phần tử dãy phần tử b1, b2 , , b[d/2] ∈ B, đại số B0 sinh bi đại số lũy linh, nên ta có B0[d/2] ⊂ N (0) Vậy B[d/2] ⊂ N(0) Trên ta có kết quan trọng lớp PI đại sô khơng có đơn vị làm sở cho kết phần Trước hết ta nhắc lại số khái niệm có liên quan Địa phƣơng hóa: Giả sử K vành giao hốn có đơn vị, s nửa nhóm nửa nhóm nhân K A K-module Trên tập hợp (S,A) = {(s,x) /s ∈ S, x ∈ A} ta xác định quan hệ hai ngơi ≈ sau: Khi quan hệ - quan hệ tương đương Ta ký hiệu tập thương As lớp tương đương phần tử (s, x) s-1x Như As ={ s-1x/ s ∈ S, x ∈ A} Trên tập As ta định nghĩa phép toán cộng phép toán nhân sau: 45 Các định nghĩa định nghĩa tốt cho ta AS K-module, ta gọi AS địa phƣơng hoa A s * Ta có đồng cấu vS : A → AS x ⟼ 1-1x Khi ta có * Giả sử A nguyên tố, C tâm A c ∈ C, c ≠ Thì cA = Ac ideal khác linh hóa trái linh hóa C Vì A nguyên tố nên linh hóa phải Như phần tử khác c phần tử quỵ, c miền nguyên Nếu s nửa nhóm nhóm nhân C ∉ S, ta có phép nhúng tắc vS : A → AS x ⟼ 1-1x Trong trường hợp S = C - {0} ta kí hiệu A0 Nếu F trường thương miền nguyên C A0 = AF ( F K A) 3.2.8 Định lý: Nếu A vành nguyên tố S nửa nhóm nhóm nhân C khơng chứa phần tử AS nguyên tố Chứng minh: Giả sử s-1x, t-1a, u-1y ∈ AS cho (s-1x) (t-1a) (u-1y) = ⇒ (uts)-1 (xay) = ⇒ xay =0 ⇒ x = y = ⇒ s-1x = u-1y =0 Do AS nguyên tố 3.2.9 Định lý (Amitsur): Giả sử A đại số nguyên tố có đồng thức thực f có bậc n Thì A thỏa mãn đồng thức chuẩn S2[n/2] Chứng minh: Ta xem A nhƣ đại số tâm c Nếu k ∈ K ⇒ k1 ∈ C ka = (k1)a Thay hệ số k f k1 ta thu đƣợc đồng thức thực f0 ≠ đại số A tâm C 46 Do f0 đồng thức F F A = A0 = AF trƣờng F Nhƣ A0 thỏa mãn đồng thức quy Theo định lý 3.2.8 suy A0 ngun tố, nên A0 khơng có nil-ideal = Bởi A0 [λ] nửa nguyên thủy Ta giả thiết f f0 đa tuyến tính, A0 [λ] thỏa mãn đồng thức khác bậc n Nếu p ideal nguyên thủy A0 [λ], A0 [λ]/P đại số nguyên thủy trƣờng thỏa mãn đồng thức khác có bậc n Theo định lý Kaplanski-Amitsur-Levitzki S2[n/2] đồng thức A0 [λ]/P Nếu ta chọn dãy phần tử a1, a2, a2[n/2] ∈ A0 [λ] S2[n/2] (a1, a2, a2[n/2] ) ∈ P Do ∩ P = nên S2[n/2] (a1, a2, a2[n/2] ) = với ∈ A0 [λ] Do A nhúng đƣợc vào A0 [λ], nên A thỏa mãn đồng thức chuẩn S2[n/ 2] 3.2.10 Định lý: Giả sử A tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực Thì A khơng chứa nil-ideal khác không Chứng minh: Trong trƣờng hợp ta cần chứng minh kết cho A đại số nguyên tố đủ Thật vậy, A đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực sự, theo định lý 3.2.9 A thỏa mãn đa thức chuẩn, mà đa thức quy mạnh Giả sử ngƣợc lại A chứa nil-ideal ≠ 0, theo định lý 3.2.7 phải chứa ideal lũy linh ≠ 0, điều mâu thuẫn với tính chất nguyên thủy 3.2.11 Định lý (Rowen) : Giả sử A tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực có bậc bị chặn Thì ideal I ≠ A giao với tâm C khác Chứng minh: Từ giả thiết đầu định lý ta suy A nửa nguyên thủy thỏa mãn đồng thức chuẩn S2n Nếu p iđeal nguyên tố 47 A/P đơn tâm có số chiều ≤ d2 tâm Mặt khác (I+P)/P ideal A/P nhƣ (I+P)/P = A I ⊂ P Do I ≠ ∩ P = nên tồn P cho I+P = A Trong số ideal ta chọn P0 cho bậc n0 A/P0 lớn Giả sử q đa thức tâm có hạng tử tự Mn0 (K) (ví dụ đa thức Formanek) Khi q đồng thức đại số nguyên thủy có bậc n ≤ n0 q đa thức tâm A/ P0 Nhƣ a1, am∈ A, (q(a1, , am) + P) /P thuộc tâm A/P Do q ( a1, , am) ≠ Vì q đa thức tâm A/P0 I + P0 =A nên ta chon a1, , am ∈ I Sao cho q(a1, , am) ∉ P0 q(a1, , am) ∈ I q(a1, , am) ≠ Vậy C ∩ I ≠ Hệ quả: Giả sử đại số A thỏa mãn giả thiết định lý tâm c trường, A đại số đơn Chứng minh: Nếu I ≠ ideal A C≠ Vì C ∩ I ≠ ideal C, C ∩ I = C ( c trƣờng ) ⇒ phần tử đơn vị 1∈ I ⇒ I = A Vậy A đại số đơn Để kết thúc việc mở rộng kết định lý Kaplansky-Amừsur lớp PI.đại khơng có nil-ideal khác 0, ta có định lý sau đây: 3.2.12 Định lý: Giả sử A đại số khơng có nil-ideal khác 0, thỏa mãn đồng thức quy mạnh, A thỏa mãn đồng thức chuẩn Chứng minh: Do A khơng có nil-ideal khác (0) Nhƣ A tổng trực tiếp vành nguyên tố Aα Ta xem Aa ảnh đồng cấu đại số A, Aα thỏa mãn đồng thức quy mạnh f A Nếu f có bậc d theo định lý 3.2.9 48 (Amitsur) suy Aα thoa mãn đồng thức chuẩn có số chiều khơng vƣợt [d/2]2 tâm Zα Đặt k = dim Zα (Aα ) ≤ [d/2]2 , ta nhúng Aα vào vành ma trận (Zα)k phép nhúng j : Aα → (Zα)k Nhƣ tồn số tự nhiên m cho Aα ⊂ (Zα)m Đặt ta có A ⊂ Bm Mà Bm thỏa mãn đồng thức chuẩn S2m, A thỏa mãn S2m Như theo kết đây, ta giải trọn vẹn vấn đề đặt từ đầu, việc mở rộng kết định lý Kaplansky-Amitsur lớp PI.đại số khơng có nilideal khác Đồng thời ta thấy lớp PI.đại số ngun tố có tính chất đặc trưng sau đây: 1/ Thỏa mãn đồng thức chuẩn S2n 2/ Mọi ideal khác giao với tâm luôn khác (định lý Rowen) Lần theo hướng mở rộng trên, ta có vấn đề tự nhiên đặt là:Lớp PI.đại số không chứa ideal lũy linh khác (tất nhiên lớp PI.đại số bao hàm lớp PI.đại số khơng có nilideal khác 0), có tính chất khơng?Câu trả lời khẳng định trình bày mục sau đây: 3.3 PI.đại số khơng có ideal lũy linh khác 3.3.1 Định lý: A đại so không chứa ideal lũy linh khác A tích trực tiếp đại số nguyên tố Chứng minh: Nếu A tích trực tiếp đại số nguyên tố Aα , N ideal lũy linh A Thì Nα = πα (N) ideal lũy linh Aα Do 49 Nα = Đẳng thức cho a nên N = Ngƣợc lại giả sử A đại số không chứa ideal lũy linh khác không M ideal khác A ⇒ M không lũy linh Chọn m1 ∈ M, m1 ≠ Am1A ideal khác chứa M (khơng lũy linh), nên (Am1A)2 = A(m1Am1)A ≠ ⇒ m1Am1 ≠ ⇒ ∃a1 ∈ A : m2a1m1 ≠ m2 ∈ M Cứ tiếp tục trình ta chọn đƣợc dãy phần tử khác có dạng: m1 ; m2 = m1a1m1; m3=m2a2m2; ;mi =mi-1ai-1 mi-1; thuộc M Từ dạng phần tử chứng tỏ rằng: k > i, j mk =miaijmj aij ∈ A Do (0) ∩ {mi} = ∅ nên theo bổ đề Zorn tồn ideal P A cho p lớn tất ideal thỏa P ∩ {mi} = ∅ Ta chứng minh p ideal nguyên tố Thật vậy, giả sử C, D ideal A thỏa C ⊄ P D ⊄ P nên ideal C + P D + P chứa thực P, tồn mi ∈ C+P mj ∈ D+P ⇒ k > i,j mk = miaijmj ∈ (C+P) (D+P) ⊂ CD +P ⇒ mk ∈ CD mk ∉ P ⇒ CD ⊄ P Điều chứng tỏ rằng: với ideal M ≠ A tồn ideal nguyên tố p không chứa M Ta chứng minh theo lí Nhƣ tồn ideal nguyên tố P0 A không chứa thực Giả sử ngƣợc lại vô (đpcm) Hệ : A đại số khơng có ideal lũy linh khác 3.3.2 Định lý: Giả sử A đại số khơng chứa ideal lũy linh khác 0, có tâm c thoa mãn đồng thức thực f có bậc n, thì: 1/ A thỏa mãn đồng nhặt thức chuẩn S2[n/2] 2/ Mọi ideal I ≠ A , ta có I ∩ C ≠ {0} 50 Chứng minh: 1/ Gọi p ideal nguyên tố A A/P đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực f có bậc n A Theo định lý Amitsur ta có A/P thỏa mãn đồng thức chuẩn S2[n/2] Nếu a1,a2, ,a2[n/2] ∈ A S2[n/2] (a1, a2, ,a2[n/2] ) ∈ P Do với ∈ A (đpcm) 2/ Theo định lý 3.3.1, ta có: A tổng trực tiếp đại số nguyên tố Aα Vậy với α Aα thỏa mãn đồng thức chuẩn S2[n/2] , bậc Aα bị chặn Do theo định lý 3.2.11 suy ideal I ≠ A, ta co I ∩ C ≠{0} 51 KẾT LUẬN Posner ngƣời chứng minh đƣợc kết sau luận văn tiến sĩ mình: Một đại số nguyên tố trƣờng nhúng vào đại số đơn hữu hạn chiều tâm nhƣ order phải trái đại số Kết đƣợc Amitsur tổng quát hóa cho đại số vành Việc chứng minh kết dựa sở định lý Goldie, cho thấy đƣợc nét đặc trƣng vành, có vành thƣơng, vành đơn Artinian Rowen ngƣời có cơng lao khơng nhỏ để làm sáng tỏ điều hình ảnh rõ nét vành thƣơng Điều chứng tỏ tâm vành thƣơng trƣờng thƣơng tâm vành nguyên tố, vấn đề thụ hút ý số ngƣời nhƣ Small, Martindale có lẽ nhiều ngƣời khác Tất sử dạng đa thức Formanek Lý thuyết đại số nửa nguyên tố thỏa mãn đồng thức đa thức chắn khơng cách xây dựng khác đơn giản Ví dụ nhƣ Bergman Rowen độc lập xây dựng đƣợc đại số mà không order đại số - ... PHẠM TP.Hồ CHÍ MINH NGUYỄN ĐÌNH HIỀN CÁC PI.ĐẠI SỐ KHƠNG CĨ NIL-IDEAL KHÁC (0) CHUN NGÀNH : ĐẠI SỐ MÃ SỐ : 1.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ TP.HỒ CHÍ... luận văn chì trình bày kết nghiên cứu theo định hướng nói cho lớp PI đại số khơng có nil-ideal khác lớp PI đại số khơng có ideal lũy linh khác (0) Tuy nhiên số định lý, bổ đề hệ chương luận văn. .. hệ thống lại số kiến thức có liên quan, nhằm làm sở lý luận cho việc trình bày kết nghiên cứu luận văn Như biết nhà toán học Wedderburn chứng minh "Định lý dày đặc", PI.đại số ta có định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky,