LUẬN VAN THẠC sĩ TOÁN GIẢI TÍCH hàm trụ và ứng dụng

Khi nghiên cứu giải tích phức, một trong những vấn đề được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu đó là lí thuyết hàm trụ.. Ta chú ý rằng sự tiếp cận của các cực tiểu của Γ xvới nửa trục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ NHÀN

HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi

Hà Nội, 2009

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS TS NGƯTNguyễn Huy Lợi và các thầy cô giáo đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả,thường xuyên dành cho em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả về vật chấtcũng như tinh thần giúp em hoàn thành luận văn đúng thời hạn.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô, cán bộnhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợicho em trong thời gian học tập tại trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần

xa và người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận vănsớm được hoàn thành

Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giảđược thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi.Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Phùng Thị Nhàn

Trong luận văn sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa được xác định trongbảng sau

Lời cảm ơn 2

Lời cam đoan 3

Những kí hiệu 4

Mở đầu 7

Chương 1 HÀM TRỤ 9 1.1 Hàm chỉnh hình 9

1.2 Hàm Gamar Euler 12

1.3 Hàm trụ 16

1.3.1 Hàm trụ loại 1 18

1.3.2 Các hàm trụ khác 29

1.3.3 Biểu diễn tiệm cận đối với các hàm trụ 39

1.3.4 Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm 47

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1 Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết 53

2.1.1 Định lý cộng đối với các hàm Bessel 53

2.1.2 Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ 53 2.1.3 Các tích phân có chứa hàm Bessel 54

2.1.4 Tích phân Sonhin 56

2.1.5 Tích phân của thuyết sóng điện 58

2.1.6 Dao động của dây xích 60

2.1.7 Dao động của màng tròn 63

2.1.8 Nguồn nhiệt hình trụ 64

2.1.9 Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn 67

2.2 Một số ứng dụng khác 68

Kết luận 72TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

1 Lý do chọn đề tài

Sự ra đời của số phức và quá trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện líthuyết hàm số biến số phức như một dấu mốc quan trọng trong quá trìnhphát triển toán học Những kết quả đạt được trong lý thuyết đó đã giải quyếtrất nhiều những vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học, đời sốngkhác nhau

Khi nghiên cứu giải tích phức, một trong những vấn đề được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu đó là lí thuyết hàm trụ Nhiều tính chất quantrọng của hàm trụ đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có tínhthực tiễn cao trong vật lý, kỹ thuật, xây dựng

Từ việc nghiên cứu hàm trụ trong không gian hai chiều, nhiều nhà toánhọc đã không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiềuchiều và đạt được nhiều kết quả to lớn Với những kết quả đã đạt được trongkhông gian các hàm biến số thực như việc tính độ dài đường cong, diện tíchmặt, thể tích khối Việc nghiên cứu trên hàm trụ đã giải quyết một cáchtriệt để những vấn đề này trên những lớp hàm biến số phức đặc biệt đượcbiểu diễn thông qua hàm trụ

Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong khoa học và đời sống mà việc nghiêncứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống

về hàm trụ cùng với những ứng dụng của nó tác giả mạnh dạn chọn đề tài

“Hàm trụ và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu hàm trụ, các tính chất của hàm trụ và ứng dụng của hàm trụ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Hàm trụ

Chương 2: Ứng dụng của hàm trụ

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic

và hệ thống

6 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tàinghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn

đề của lý thuyết, giải toán và thực tiễn

Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học

và người yêu thích toán học

được gọi là vi phân của f tại điểm z0.

Định nghĩa 1.2 Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó C− khả

vi trong lân cận của điểm ấy

Ta sẽ gọi hàm f là chỉnh hình trên tập mở D, nếu nó chỉnh hình tại mỗiđiểm của D (do vậy trong tập D khái niệm giải tích và khả vi phức trùngnhau)

Ta sẽ gọi hàm f chỉnh hình trên tập hợp bất kì M ⊂ C nếu nó có thểthác triển giải tích lên tập hợp mở nào đó D ⊃ M

Cuối cùng, hàm f chỉnh hình tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnhhình của hàm ϕ(z) = ϕ(1

z) tại z = 0 Định nghĩa này cho phép ta xét hàmchỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng đóng C

Định lý 1.1 Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền D cũng chỉnhhình trong miền ấy

Do đó tập hợp tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên mộtvành và vành này ta sẽ chỉ bằng kí hiệu H(D) H(D) là một không gianvector trên C

Định lý 1.2 Giả sử D ∈ C là một miền và H(D) là tập hợp các hàm chỉnhhình trên D Khi đó

Định lý 1.4 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) thì tích phân của nótheo tuyến đóng bất kỳ γ ⊂ D, đồng luân với không trong miền này là bằng

sẽ là hàm F (z1(t)) Vì z1(0) = z1(1) = a (tuyến γ1 là tuyến đóng) nên theocông thức Newton-Leibnitz

Z

γ 1

f dz = F (a)− F (a) = 0

Định lý 1.5 Hàm f bất kỳ, chỉnh hình trong miền đơn liên D, có nguyênhàm trong miền ấy

Định lý 1.6 (Định lý về giá trị trung bình) Giá trị của hàm f ∈ H(D) tạimỗi điểm hữu hạn z ∈ D bằng trung bình cộng của các giá trị của nó trênđường tròn đủ bé bất kỳ với tâm tại z

Chứng minh Ta lấy hình tròn Uρ = {z0 : |z0 − z| < ρ} sao cho Uρ b D Theocông thức tích phân Cauchy, ta thu được

hệ số của nó không phụ thuộc vào R Vì f giới nội trong C (giả sử |f(z)| ≤

M), nên theo các bất đẳng thức Cauchy

cn = f

(n)(z0)

Chứng minh Thế z = z0 vào (1.4), ta tìm được f(z0) = c0 Vi phân từng từchuỗi (1.4) ta được

z− k +

1k

ra nó là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm



− zko, (1.7)

ở đây z 6= −k, (k = 1, 2, ), và tích phân được lấy theo một đường bất kìkhông đi qua điểm này Lấy được tích phân như trên vì chuỗi (1.6) hội tụđều.

Mũ hóa (1.7) ta được

1

Γ (1 + z) = e

C zY∞ k=1



1 + zk



tích vô hạn hội tụ, vì nó là một phần trong khai triển Weierstrass của sinπz,ứng với các chỉ số k âm (ở đó thay k bằng −k và z = πz) Từ (1.8) suy ra rằnghàm 1

Γ(1+z) nguyên và nó có không điểm tại các điểm z = −k, (k = 1, 2, )

và chỉ có tại các điểm đó Vì thế hàm Γ (1 + z) không triệt tiêu và là hàmphân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm và chỉ có tại cácđiểm đó mà thôi

Từ (1.8) suy ra Γ (1) = 1 Do khẳng định trên Γ (2) 6= 0 và bởi vì hằng số

C chưa xác định, nên ta có thể buộc Γ (2) = 1 Khi đó từ (1.7) ta nhận được



1 + 1k



− 1k

,hay

k − ln



1 + 1k



= lim

n →∞

( nX

= lim

n →∞

( nX

k=1

1

k − ln (n + 1)

),

khi thêm vào trong dấu móc số hạng 1

n+1 → 0 (nó không làm thay đổi giớihạn) và thay n + 1 bằng n, ta nhận được biểu thức cuối cùng đối với C

vì tất cả các số hạng đều đã được giản ước Lấy tích phân không định hạn

hệ thức này ta nhận được ln Γ (z + 1) − ln Γ (z) = ln z + ln A, trong đó A làhằng số nào đó từ đó Γ (1 + z) = AzΓ (z) Ở đây khi đặt z = 1 và sử dụngtính chất Γ (1) = Γ (2) = 1 ta tìm được A = 1, từ đó

Công thức truy hồi vừa nhận được cho phép ta tính ngay được giá trị của

Γ (z) trong dải k < Re z ≤ k + 1 và k − 2 < Re z ≤ k − 1, nếu đã biết giá trịcủa nó trong dải k − 1 < Re z ≤ k Áp dụng hai lần công thức (1.10) ta tìmđược

Γ (z + 2) = (z + 1) Γ (z + 1) = (z + 1) zΓ (z) ,

Γ (z + 3) = (z + 2) Γ (z + 2) = (z + 2) (z + 1) zΓ (z) ,

và nói chung với n nguyên dương bất kì

Γ (z + n) = (z + n− 1) (z + n − 2) zΓ (z) (1.11)Công thức (1.11) cho phép ta tìm giá trị Γ (z) trên toàn mặt phẳng nếu

đã biết giá trị của nó trong dải 0 < Re z ≤ 1

Nói riêng khi z = 1 thì (1.11) có dạng

1 + zk

Theo công thức sin z = z Q∞

π sin πz Như vậy, Γ (z) Γ (1− z) = π

sin πz.Công thức nhận được ở trên cho phép tính Γ (z) trong dải 0 < Re z ≤ 1(nghĩa là trên toàn phẳng) Về việc tính giá trị của nó trong dải 0 < Re z ≤ 1

2.Đặc biệt khi z = 1

2 từ công thức đó ta nhận được Γ2 1

2

= π, từ đóΓ

12



= √π

Để kết thúc ta đưa ra bảng các giá trị Γ (x) trong khoảng (1.2) của trụcthực với bước nhảy của x là 0,1 cùng với đồ thị của các hàm Γ (x) và 1

Hình 1.1

Hình ảnh chung của đồ thị hàm Γ (x) đã rõ ràng do các tính chất của nó

đã nói ở trên hình 1.1 Ta chú ý rằng sự tiếp cận của các cực tiểu của Γ (x)với nửa trục âm khi x → −∞ có liên quan đến sự giảm nhanh các thặng dưcủa nó, dựa vào (1.12) tại lân cận điểm z = −π, ta có

tử Laplace trong các toạ độ hình trụ , bằng phương pháp cổ điển để phânchia các biến số dẫn tới phương trình

Hàm trụ J0(x) được nghiên cứu đầu tiên bởi Danhil Bernull trong côngtrình nghiên cứu tính giao động của các chuỗi liên kết ( Peterburg, năm1732).D Bernull nghiên cứu từng phần của phương trình (1.14) với λ = 0,sau khi giải phương trình tìm ra biểu thức J0(x) dưới dạng chuỗi luỹ thừa,hơn nữa ông nhận ra rằng biểu thức J0(x) có tập hợp vô hạn những nghiệm

số thực

Trong nghiên cứu tiếp theo ( Peterburg, năm 1738) được tiến hành bởiLeonard Euler người ta bắt gặp những hàm trụ Trong nghiên cứu này Eulersau khi nghiên cứu bài toán về sự giao động của các màng tròn, đưa ra biểuthức (1.14) với giá trị λ = n nguyên Sau khi giải phương trình này, ông ta

đã tìm ra biểu thức Jλ(x) cho n nguyên dưới dạng lũy thừa x, và trong cácnghiên cứu sau này ông đã phổ biến biểu thức này trong trường hợp nhữnggiá trị độc lập của chỉ số λ, bằng 0 với nửa hàm Jλ(x) được thể hiện thôngqua những yếu tố cơ bản, chúng ta nhận ra một cách hiển nhiên với nhữnggiá trị λ thực thì hàm Jλ(x) có tập hợp vô số các không điểm và đưa ra cáckhái niệm tích phân đối với Jλ(x)

Cuối cùng, với λ = 0 và λ = 1 trong nghiên cứu của mình năm 1769,Euler đã đưa ra biểu thức dưới dạng luỹ thừa cách giải phương trình bậc hai(1.14), phụ thuộc một cách tuyến tính với Jλ(x)

Vì thế Euler nhận được các kết quả cơ bản có liên quan tới hàm trụ vànhững phụ lục của môn vật lý toán học

Nhà thiên văn học người Đức P Bessel mà tên tuổi của ông luôn gắn liềnvới hàm trụ trong mối tương quan nghiên cứu chuyển động của trái đất xungquanh mặt trời, trong công trình nghiên cứu năm 1824 đã đưa ra các phươngtrình truy toán đối với hàm ,Jλ(x) những phương trình vẫn mang những đặctrưng cơ bản mặc cho tính quan trọng của chúng, ông đã thu được khái niệmtích phân mới Jn(x) cho số nguyên n, ông cũng đã chứng minh tập hợp vô sốcác không điểm J0(x) và lập ra những bản đầu tiên cho J0(x), J1(x) và J2(x)

Nếu như đặt X(p) là phương trình của hàm ẩn, thì theo định lý về gốc viphân chúng ta sẽ có

t2x00 = (p2X − px0 − x1)00 = p2X00+ 4pX0 + 2pX,

tx0 = −(pX − x0)0 = −pX0 − X, t2x = X00,

ở đó x0 = x(0), x1 = x0(0), là những dữ liệu có sẵn (những dữ liệu ban đầukhông tham gia vào biểu thức tử số (1.16), hoặc t = 0 được coi là điểm đặcbiệt của biểu thức (1.15)), vì thế những phương trình toán tử tương ứng vớibiểu thức (1.15) sẽ có dạng

Quay trở lại giải từng phần Y = e−λq của biểu thức này với các biến số

đó λ > 0 và chúng ta đặt điều kiện nghiên cứu từng phần pp2 + 1 mà trêntrục tâm s nhận các giá trị dương Khi đó hàm X(p) sẽ tiến gần tới 0 với

|ρ| → ∞, Reρ > 0, tương đương với argρ và vì thế sẽ được coi là sự thể hiện.Chúng ta có thể gọi các hàm trụ loại 1 hay là những hàm Bessel bậc λ vàđặt biểu tượng Jλ(x) (cho λ = n nguyên) Ta tìm ra hàm Jλ(x) như sau

p2 + 1(p +p

p2 + 1)λ, (1.18)trong đó L là đuờng thẳng tự do Re ρ = a > 0

!

Không thay đổi giá trị tích phân, khi đường cong C có thể được thay thếbởi bất cứ một đường thẳng đứng nào Im ω = α > 0

Hình 1.2

Vì thế trên vùng lân cận |ω| = R thì hàm e−t2ω

ω λ+1 tiến dần tới 0 với R → ∞,khi đó t > 0 theo bổ đề của Jordan thì tích phân (1.20) dọc theo đuờng vòngcung C có thể thay thế bởi đường chu tuyến C∗ đã được chỉ trong hình 1.2,đuợc vẽ từ các điểm −∞ theo giới hạn dưới của bán trục âm ξ , chạy vòngquanh vùng lân cận từ đầu toạ độ và quay về −∞ theo giới hạn trên củabán trục này Vì thế chúng ta thu được một khái niệm tích phân của hàmtrụ, cũng như thuộc về N Ya Sonhin (chúng ta viết z thay t)

Ngoài ra khi Re z > 0 tích phân Sonhin hội tụ không chỉ đối với những sốdương mà còn đối với các giá trị tổng hợp bất kỳ của tham số λ, hoặc trênphần thẳng đứng của chu tuyến C∗ số nhân đặc trưng tiến tới 0 càng nhanh

ωλ+1

càng tăng Cho nên tích phân Sonhin xác định ở nửa mặt phẳng phảinhững hàm Bessel bậc tổng hợp tự do

2) Tính chất giải tích Nhờ những giá trị nguyên của tham số λ =

n, n = 0,±1, ±2, hàm thuộc tích phân của tích phân (1.21) có 1 giá trị,cho nên những tích phân các phần nằm ngang của chu tuyến C∗ biến mất

(bán kính đường tròn thuộc chu tuyến C∗ chúng ta có thể lấy bằng 1) Bởi

vì tích phân ở vế phải (1.22) hội tụ đối với z bất kỳ và hơn nữa hội tụ đều,điều đó có thể khẳng định rằng nhờ các giá trị số nguyên tham số λ = n cáchàm Jλ(z) là nguyên

Giả sử tiếp theo z là số dương, còn λ là bất kỳ Khi thay biến số ω = 2ζ

ζ −z24ζ ζ−λ−1dζ (1.23)

(sự thay đổi này chu tuyến C∗ được thay đổi ) Tích phân Sonhin – Slepplyhội tụ và ngoài ra hội tụ đều với bất kỳ giá trị z và λ, cho nên tiếp tục phântích hàm trụ Jλ(z) trên cả mặt phẳng tổng hợp z và tất cả giá trị của tham

số λ Nhưng hệ thức Jλ(z)

zλ khi tổng hợp bất kỳ là hàm nguyên

3) Những biểu diễn tích phân khác Giả sử Re z > 0, chúng tathay ω = ei ζ trong tích phân Sonhin, từ đó chu tuyến C∗ được thay bằngchu tuyến II, được miêu tả ở hình 1.3 (Bán kính đường tròn ở chu tuyến C∗

biểu diễn hàm trụ ở nửa mặt phẳng phải

Khi những giá trị nguyên của tham số λ = n, n = 0, ±1, ±2, do tínhtuần hoàn của hàm số einζ và sin ζ tích phân phần thẳng đứng của chu tuyến

Đối với những giá trị không âm số nguyên λ = n chúng ta nhận được nóiriêng khai triển

J−n(z) = (−1)Jn(z) (1.26)5) Hàm sinh Đối với giá trị không nguyên λ = n = 0, ±1, ±2 · ·· , phântích của Sonhin (1.22) trùng hợp với công thức đối với hệ số khai triển củahàm e

6)Quan hệ truy toán Từ khai triển vào những chuỗi (1.24) ta được

ddz

dzdz · d

Jλ(z)

zλ = (−1)nJλ+n(z)

(zdz)nzλJλ(z) = zλ−nJλ −n(z) (1.33)Các công thức (1.30) và (1.32) được ghi lại dưới dạng

Jλ0(z) = λ

zJλ(z)− Jλ+1(z), Jλ0(z) = Jλ −1(z)− λ

zJλ(z). (1.34)Khi trừ phương trình khác từ phương trình thứ nhất (1.34), chúng ta tìmthấy hệ truy toán, không chứa những đạo hàm

J00(z) = J1(z)

7) Những hàm trụ có bậc bằng số nguyên cộng 1

2 Như Euler đãchỉ những hàm biểu diễn qua hàm cơ bản Từ công thức (1.23) theo khi tính

X

k=0

(−1)k(2k + 1)!z

2k+1 =

=

r2

πz sin z

(1.37)và

∞

X

k=0

(−1)k(2k)! z

2k =

r2

πz cos z.

(1.38)Sau đó khi sử dụng hệ thức (1.31) và (1.33), ta được

J

n+12(z) = (−1)n

r2

πz

n+1

2 dn(zdz)n

sin z

z ,

J

−n−12(z) =

r2

πz

n+1

2 dn(zdz)n

(z) được biểu diễn qua những hàm cơ bản

Sau những biến đổi đơn giản những công thức này có dạng

J

n+1

2(z) =

r2πz

J

−n−1

2(z) =

r2πz

ở đó

S1 =

"n2

( [a] ký hiệu phần nguyên của số dương a).

8) Tính trực giao Khi xác định hàm trụ y = Jλ(x) thỏa mãn phươngtrình vi phân

x2Jλ00(x) + xJλ0(x) + (x2 − λ2)Jλ(x) = 0 (1.42)Đặt x = αt , trong đó α− là hằng số, và chúng ta xem xét hàm số y =

1y2− y1y20 thì u0 = y10y2− y1y200, khi đó chúng ta nhậnđược

u0 + 1

tu = (β

2

− α2)y1y2.Sau khi nhân với t vế trái sẽ bằng d

dt(u t), vì thế khi lấy tích phân của t từ

0 đến l, chúng ta nhận được

ut

l t=0 = (β2 − α2)

Điều này chỉ ra sự tương tự giữa những hàm trụ Jλ(αt) (thoả mãn phươngtrình vi phân y00

9) Những chuỗi theo hàm trụ Giả sử α1, α2,· · ·, αk, là nhữngnghiệm dương của phương trình (1.45) hoặc (1.46) và f(t) là hàm phẳng,đoạn ở trong khoảng (0; l) Ta giả thiết rằng trong khoảng này f(t) là chuỗihội tụ đều

Chúng ta tính tích phân cuối Khi đó chúng ta sử dụng công thức (1.44),

mà trong đó chúng ta giả thiết rằng αk là một trong những nghiệm của

phương trình (1.45) và (1.46), còn β không ngừng tiến gần tới nghiệm này.Đối với trường hợp phương trình (1.45) công thức (1.44) có dạng

Theo công thức thứ nhất (1.34), giả sử trong công thức z = αkl, ta tìm được

Jλ0(αkl) = −Jλ+1(λkl), và công thức cuối cùng được viết lại dưới dạng

Nhưng từ phương trình vi phân (1.42), giả sử trong phương trình x = αkl

và khi sử dụng công thức (1.45), chúng ta tìm thấy J00

(z là biến số độc lập, ω là hàm số phải tìm, λ là tham số, tất cả đại lượngđược đưa ra ở đây là tổng hợp) Ta đi tìm cách giải phương trình (1.52) bằngphương pháp biến đổi tích phân, có nghĩa chúng ta sẽ tìm cách giải dướidạng

ω =Z

KW0 bằng 0, thì từ tích phân (1.53) sẽ cho cách giải phương trình (1.52)

Dễ dàng kiểm tra rằng phương trình (1.54) sẽ được thỏa mãn nếu đặt K =

ei z sin ζ Để lấy tích phân chúng ta chọn các chu tuyến C1 và C2 trên hình 1.4,

vì trên trục ảo sin ζ = sin iη = i sh η, còn trên những đường thẳng ±π + iη

ta có sin ζ = − sin iη = −ish η, nên trên đoạn thẳng đứng C1 và C2 chúng

Từ đó nếu x = Re z > 0, thì khi η → +∞ tương ứng khi η → −∞,

|K| hướng tới 0 với tốc độ e−

x

2e

η, tương ứng −e−

x

2e

η Nhưng khi đó cả

được gọi là những hàm trụ dạng 3, hoặc những hàm Khankelia

2) Mối liên hệ giữa hàm trụ loại 1 và loại 3 Nếu cộng hai công thức(1.55), thì tích phân theo nửa trục ảo được rút gọn Chúng ta nhận được

(Π là chu tuyến hình 1.4) Bằng cách đó, đối với tất cả giá trị tổng hợp λ ởnửa mặt phẳng phải Rez > 0 hàm Bessel bằng

Jλ(z) = H

(1)

λ (z) + Hλ(2)(z)

Để tìm biểu thức hàm Khankelia thông qua hàm Bessel, ta tìm mối liên

hệ ban đầu giữa các hàm Khankelia trái dấu Chúng ta có, ví dụ

và khi đưa vào biến số mới của tích phân ω = −ζ + π, từ đó chu tuyến C1

chuyển đến chu tuyến C−

1 , trùng với C1, nhưng chuyển qua hướng đối lập,chúng ta nhận được

eiz sin ω−iλωdω = eiλπHλ(1)(z)

tương tự khi đưa ω = −ζ − π, chúng ta nhận được công thức cho H(2)

λ (z).Như vậy,

H−λ(1)(z) = eiλπHλ(1)(z), H−λ(2)(z) = e−iλπHλ(2)(z) (1.57)Bây giờ cùng với hệ thức (1.56) ta xem xét công thức

Nói đúng ra những công thức (1.58) nhận được khi cho λ khác với những

số nguyên, nhưng chúng vẫn đúng cả trong trường hợp λ là số nguyên, nếu

ở những phần phải xét có dạng không xác định 0

0 thì chúng ta sử dụng quy

tắc Lôpital Khi đó ta có thể khẳng định rằng công thức (1.58) cho phép tiếptục phân tích H(1)

λ , như cả H(1)

λ Khi sử dụng công thức (1.36) vàcông thức J0

0(z) = J1(z) của mục trước, chúng ta nhận được

H(1)12(z) =−i

r2

πze

iz; H(2)1

2(z) =−i

r2

Nhờ λ hướng đến những số nguyên n, chúng ta nhận được dạng 0

0 Khi xemxét nó theo quy tắc Lôpital, chúng ta nhận được đối với số nguyên λ = n

λ=n

=

= 1π

2, được biểu diễn qua hàm

cơ bản, hoặc từ công thức

n+1

2

(z) = (−1)n+1J

−n−12

(z), Y

−n−12

(z) = (−1)nJ

n+12(z) (1.65)

Chúng ta tìm được biểu thức của hàm Vêber bậc số nguyên ở chuỗi luỹthừa Đối với việc này có thể sử dụng công thức (1.63) và khai triển trongchuỗi

Jλ(z) = (z

2)

λX∞ k=0

Từ đó cho n = 0, 1, 2, 3, chúng ta có

d

dt

1Γ(t)

... class="page_container" data-page="22">

2) Tính chất giải tích Nhờ giá trị nguyên tham số λ =

n, n = 0,±1, ±2, hàm thuộc tích phân tích phân (1.21) có giá trị,cho nên tích phân phần nằm ngang chu tuyến...

η, tương ứng −e−

x

2e

η Nhưng

được gọi hàm trụ dạng 3, hàm Khankelia

2) Mối liên hệ hàm trụ loại loại Nếu cộng... khơng chứa đạo hàm

J00(z) = J1(z)

7) Những hàm trụ có bậc số nguyên cộng 1

2 Như Euler đãchỉ hàm biểu diễn qua hàm Từ công thức