Toán giải tích Hàm trụ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi Hà Nội-2009 Hà Nội, 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi thầy cô giáo hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho em bảo, giúp đỡ động viên vật chất tinh thần giúp em hoàn thành luận văn thời hạn LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tác giả thực hướng dẫn PGS.TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi Trong nghiên cứu luận văn, tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, thầy cô, cán nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần xa người thân gia đình động viên, tạo điều kiện để luận văn sớm hoàn thành Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Phùng Thị Nhàn Mục lục NHỮNG KÍ HIỆU Trong luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng sau R C ∅ −∞ ∞ ber bei tập hợp số thực tập hợp số phức tập rỗng âm vô dương vô (tương đương với +∞) phần thực hàm phần ảo hàm Lời cảm ơn Lời cam đoan Những kí hiệu Mở đầu Chương HÀM TRỤ 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Hàm Gamar Euler 12 1.3 Hàm trụ 16 1.3.1 Hàm trụ loại 18 1.3.2 Các hàm trụ khác 29 1.3.3 Biểu diễn tiệm cận hàm trụ 39 1.3.4 Đồ thị hàm trụ phân bố không điểm 47 Chương ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1 Ứng dụng để giải vấn đề lý thuyết 53 2.1.1 Định lý cộng hàm Bessel 53 2.1.2 Những phương trình vi phân giải nhờ hàm trụ 53 2.1.3 Các tích phân có chứa hàm Bessel 54 2.1.4 Tích phân Sonhin 56 2.1.5 Tích phân thuyết sóng điện 58 2.1.6 Dao động dây xích 60 2.1.7 Dao động màng tròn 63 2.1.8 Nguồn nhiệt hình trụ 64 2.1.9 Sự truyền nhiệt hình trụ tròn 67 2.2 Một số ứng dụng khác 68 MỞ ĐẦU Kết luận 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 Lý chọn đề tài Sự đời số phức trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện lí thuyết hàm số biến số phức dấu mốc quan trọng trình phát triển toán học Những kết đạt lý thuyết giải nhiều vấn đề quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác Khi nghiên cứu giải tích phức, vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu lí thuyết hàm trụ Nhiều tính chất quan trọng hàm trụ tìm biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao vật lý, kỹ thuật, xây dựng Từ việc nghiên cứu hàm trụ không gian hai chiều, nhiều nhà toán học không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiều chiều đạt nhiều kết to lớn Với kết đạt không gian hàm biến số thực việc tính độ dài đường cong, diện tích mặt, thể tích khối Việc nghiên cứu hàm trụ giải cách triệt để vấn đề lớp hàm biến số phức đặc biệt biểu diễn thông qua hàm trụ Với nhiều ứng dụng đặc biệt khoa học đời sống mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu cách sâu sắc, có hệ thống hàm trụ với ứng dụng tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Hàm trụ ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, tính chất hàm trụ ứng dụng hàm trụ Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Chương HÀM TRỤ Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Hàm trụ Chương 2: Ứng dụng hàm trụ Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học cách logic hệ thống Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu khái niệm toán học, nâng lên thành đề tài 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử hàm f = u + iv xác định hữu hạn lân cận nghiên cứu đề xuất ứng dụng việc giải số vấn điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C đề lý thuyết, giải toán thực tiễn Định nghĩa 1.1 Ta nói f khả vi điểm z0 theo nghĩa giải tích thực Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học người yêu thích toán học (hay R2 − khả vi), hàm u v khả vi hàm (x, y) điểm (x0, y0) biểu thức df = du + idv, (1.1) gọi vi phân f điểm z0 Định nghĩa 1.2 Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 C− khả vi lân cận điểm Ta gọi hàm f chỉnh hình tập mở D, chỉnh hình điểm D (do tập D khái niệm giải tích khả vi phức trùng nhau) Ta gọi hàm f chỉnh hình tập hợp M ⊂ C thác triển giải tích lên tập hợp mở D ⊃ M Cuối cùng, hàm f chỉnh hình điểm vô hiểu tính chỉnh hình hàm ϕ(z) = ϕ( z1 ) z = Định nghĩa cho phép ta xét hàm chỉnh hình tập hợp mặt phẳng đóng C Định lý 1.1 Tổng tích hàm chỉnh hình miền D chỉnh hình miền Do tập hợp tất hàm chỉnh hình miền D lập nên vành vành ta kí hiệu H(D) H(D) không gian vector C 10 11 Định lý 1.2 Giả sử D ∈ C miền H(D) tập hợp hàm chỉnh hình D Khi i) Nếu f ∈ H(D) f (z) = f Chứng minh Ta lấy hình tròn Uρ = {z : |z − z| < ρ} cho Uρ ∈ H(D) f (z) = ii) Nếu f ∈ H(D) f nhận giá trị thực f không đổi 2πi ∂Uρ Định lý 1.3 Nếu f : D → D∗ g : D∗ → C hàm chỉnh hình, D D∗ miền mặt phẳng (z), (w), hàm g0 f : D → C chỉnh hình D Theo công thức tích phân Cauchy, ta thu f (ζ) dζ ζ −z (1.3) ∂Uρ ta có ζ − z = ρe , t ∈ [0, 2π] , dζ = ρeit idt, nên từ (1.3) suy it (1.2) Định lý 1.7 (Định lý Liouville) Nếu hàm f chỉnh hình toàn mặt Định lý 1.4 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) tích phân phẳng C giới nội, số không Chứng minh Trong hình tròn đóng U¯ = {|z| ≤ R} , R < ∞ hàm f theo tuyến đóng γ ⊂ D, đồng luân với không miền γ biểu diễn chuỗi Taylor f dz = γ ∼ f (z) = Chứng minh Vì γ ∼ nên D biến dạng đồng luân tuyến tính đóng γ1 : z = z1 (t), t ∈ [0, 1], nằm hình tròn U ⊂ D Mặt khác, hàm f có nguyên hàm F U nguyên hàm f dọc theo γ1 hàm F (z1(t)) Vì z1 (0) = z1 (1) = a (tuyến γ1 tuyến đóng) nên theo cn z n , n=0 hệ số không phụ thuộc vào R Vì f giới nội C (giả sử |f (z)| ≤ M), nên theo bất đẳng thức Cauchy công thức Newton-Leibnizt γ1 ∞ |cn | ≤ M , n = 0, 1, 2, Rn Bởi vế phải dần đến không R → ∞, nên cn = với n = 0, 1, 2, f dz = F (a) − F (a) = ta nhận f (z) ≡ c0 Định lý 1.5 Hàm f bất kỳ, chỉnh hình miền đơn liên D, có nguyên hàm miền Định lý 1.8 Đạo hàm f ∈ H(D) hàm chỉnh hình miền D Định lý 1.9 Nếu hình tròn {|z − z0 | < R} hàm f biểu diễn tổng chuỗi luỹ thừa Định lý 1.6 (Định lý giá trị trung bình) Giá trị hàm f ∈ H(D) điểm hữu hạn z ∈ D trung bình cộng giá trị đường tròn đủ bé với tâm z f (z) = 2π f (z) = ∞ n=1 cn (z − z0 )n , hệ số chuỗi xác định đơn vị theo công thức 2π f (z + ρeit )dt (1.2) cn = f (n) (z0 ) n! n = 0, 1, 2, (1.4) 12 13 Chứng minh Thế z = z0 vào (1.4), ta tìm f (z0) = c0 Vi phân từ chuỗi (1.4) ta z = −k, (k = 1, 2, ), tích phân lấy theo đường không qua điểm Lấy tích phân chuỗi (1.6) hội tụ f (z) = c1 + c2 (z − z0 ) + Mũ hóa (1.7) ta sau z = z0 ta tìm f (z0) = c1 Lấy vi phân (1.4) n lần eC z Γ (1 + z) f (n) (z) = n!cn + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + (ta không viết biểu thức hệ số) lại z = z0 ta thu ∞ 1+ k=1 z −z ek, k (1.8) tích vô hạn hội tụ, phần khai triển Weierstrass sinπz, ứng với số k âm (ở thay k −k z = πz) Từ (1.8) suy n!cn = f (n) (z0) hàm Γ(1+z) nguyên có không điểm điểm z = −k, (k = 1, 2, ) có điểm Vì hàm Γ (1 + z) không triệt tiêu hàm phân hình có cực điểm cấp điểm nguyên âm có 1.2 Hàm Gamar Euler điểm mà Trước tiên ta định nghĩa đạo hàm lôgarit hàm Euler khai triển sau ψ (1 + z) = −C − ∞ 1 − z+k k k=1 k=−∞ 1 + z−k k = C= + z ∞ k=1 2z , z = k z2 − k2 k=1 k z = −1, −2, −3, Hàm Euler Γ (1 + z) (“Hàm Gamar”) xác định qua đạo hàm lôgarit ψ (1 + z) dz = −Cz − ∞ k=1 z z − , ln + k k n 1 − ln + k k = lim n→∞ (1.7) k=1 n = lim n→∞ hàm phân hình có cực điểm cấp điểm nguyên âm z ∞ k=1 Khai triển (1.6) khai triển Mittag-Leffer hàm ψ (1 + z), từ suy ln + (1.6) với số âm (các công thức (1.5) (1.6) khác dấu k) ln Γ (1 + z) = ∞ − , k hay Chuỗi (1.5) gồm số hạng chuỗi ∞ = −C − (1.5) C số πcotgπz = + z Từ (1.8) suy Γ (1) = Do khẳng định Γ (2) = số C chưa xác định, nên ta buộc Γ (2) = Khi từ (1.7) ta nhận thêm vào dấu móc số hạng n+1 k=1 n+1 − ln k n − ln (n + 1) , k → (nó không làm thay đổi giới hạn) thay n + n, ta nhận biểu thức cuối C 1 (1.9) C = lim + + + − lnn n→∞ n Số C giới hạn hiệu tổng riêng thứ n chuỗi điều hoà (phân kỳ) ln n, gọi số Euler (giá trị gần 0,5772157) Với z = k (k = −1, −2, ) ta có ψ (1 + z) − ψ (z) = − ∞ k=1 1 − z+k−1 z+k = , z 14 15 tất số hạng giản ước Lấy tích phân không định hạn hay cuối hệ thức ta nhận ln Γ (z + 1) − ln Γ (z) = ln z + ln A, A res Γ (−n) = số từ Γ (1 + z) = AzΓ (z) Ở đặt z = sử dụng Γ (z) dải k < Re z ≤ k + k − < Re z ≤ k − 1, biết giá trị dải k − < Re z ≤ k Áp dụng hai lần công thức (1.10) ta tìm = e−Cz Γ (1 − z) nói chung với n nguyên dương (1.11) Công thức (1.11) cho phép ta tìm giá trị Γ (z) toàn mặt phẳng biết giá trị dải < Re z ≤ Nói riêng z = (1.11) có dạng (1.12) Nhờ công thức (1.11) tìm thặng dư Γ (z) cực điểm Dựa vào công thức ta có Γ (z + n + 1) , z (z + 1) (z + n) từ theo công thức z→−n Γ (z + n + 1) z (z + 1) (z + n − 1) Γ (1) , = −n (−n + 1) (−1) z→−n k=1 z z ek k ∞ ∞ k=1 1− z2 k2 z , ta thấy vế phải đẳng 2π2 k k=1 π thức cuối π sin πz Như vậy, Γ (z) Γ (1 − z) = sin πz Công thức nhận cho phép tính Γ (z) dải < Re z ≤ 1 (nghĩa toàn phẳng) Về việc tính giá trị dải < Re z ≤ Đặc biệt z = từ công thức ta nhận Γ2 12 = π, từ Theo công thức sin z = z 1− Γ đối số nguyên s Γ (−n) = lim (z + n) Γ (z) = lim 1− z −z ek, k Nhân tích theo số hạng (có thể chứng minh tính đắn Từ ta thấy Γ (1 + z) mở rộng miền phức hàm n! Γ (z) = 1+ k=1 ∞ =z Γ (z) Γ (1 − z) Γ (z + 3) = (z + 2) Γ (z + 2) = (z + 2) (z + 1) zΓ (z) , Γ (1 + n) = n! ∞ phép toán đó), ta nhận Γ (z + 2) = (z + 1) Γ (z + 1) = (z + 1) zΓ (z) , Γ (z + n) = (z + n − 1) (z + n − 2) zΓ (z) z = = zeCz Γ (z) Γ (1 + z) (1.10) Công thức truy hồi vừa nhận cho phép ta tính giá trị (1.13) Hơn nữa, từ công thức (1.7) ta có tính chất Γ (1) = Γ (2) = ta tìm A = 1, từ Γ (1 + z) = zΓ (z) (−1)n n! = √ π Để kết thúc ta đưa bảng giá trị Γ (x) khoảng (1.2) trục thực với bước nhảy x 0,1 với đồ thị hàm Γ (x) Γ(x) x thực (bảng 1.1) x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Γ(x) 0,9514 0,918 0,897 0,887 0,886 0,893 0,908 0,931 0,961 5 Bảng 1.1 16 17 Hàm trụ J0 (x) nghiên cứu Danhil Bernull công trình nghiên cứu tính giao động chuỗi liên kết ( Peterburg, năm 1732).D Bernull nghiên cứu phần phương trình (1.14) với λ = 0, sau giải phương trình tìm biểu thức J0(x) dạng chuỗi luỹ thừa, ông nhận biểu thức J0 (x) có tập hợp vô hạn nghiệm số thực Trong nghiên cứu ( Peterburg, năm 1738) tiến hành Leonard Euler người ta bắt gặp hàm trụ Trong nghiên cứu Euler sau nghiên cứu toán giao động màng tròn, đưa biểu thức (1.14) với giá trị λ = n nguyên Sau giải phương trình này, ông ta tìm biểu thức Jλ (x) cho n nguyên dạng lũy thừa x, Hình 1.1 Hình ảnh chung đồ thị hàm Γ (x) rõ ràng tính chất nói hình 1.1 Ta ý tiếp cận cực tiểu Γ (x) với nửa trục âm x → −∞ có liên quan đến giảm nhanh thặng dư nó, dựa vào (1.12) lân cận điểm z = −π, ta có Γ (x) = nghiên cứu sau ông phổ biến biểu thức trường hợp giá trị độc lập số λ, với nửa hàm Jλ (x) thể thông qua yếu tố bản, nhận cách hiển nhiên với giá trị λ thực hàm Jλ (x) có tập hợp vô số đường trung tính thực tế đưa khái niệm tích phân Jλ (x) (−1)n + c0 + c1 (x + n) + n! x + n Cuối cùng, với λ = λ = nghiên cứu năm 1769, Euler đưa biểu thức dạng luỹ thừa cách giải phương trình bậc hai n tăng, hệ số phần khai triển giảm nhanh (1.14), phụ thuộc cách tuyến tính với Jλ (x) 1.3 phụ lục môn vật lý toán học Vì Euler nhận kết có liên quan tới hàm trụ Hàm trụ Những hàm trụ hay gọi hàm Bessel đóng vai trò Nhà thiên văn học người Đức P Bessel mà tên tuổi ông gắn liền quan trọng phần khai triển, phương pháp sử dụng với hàm trụ mối tương quan nghiên cứu chuyển động trái đất xung toán có liên quan tới hình tròn hình trụ Điều giải thích quanh mặt trời, công trình nghiên cứu năm 1824 đưa phương phương pháp giải phương trình vật lý toán có chứa đựng toán trình truy toán hàm ,Jλ (x) phương trình mang đặc tử Laplace toạ độ hình trụ , phương pháp cổ điển để phân trưng mặc cho tính quan trọng chúng, ông thu khái niệm chia biến số dẫn tới phương trình tích phân Jn (x) cho số nguyên n, ông chứng minh tập hợp vô x2 d2 y dy + x + (x2 − λ2 )y = 0, dx2 dx (1.14) phương trình dùng làm phương trình phụ trợ để xác định hàm trụ số đường trung tính J0(x) lập cho J0(x), J1(x) J2(x) 18 1.3.1 19 Hàm trụ loại Quay trở lại giải phần Y = e−λq biểu thức với biến số 1) Những khái niệm tích phân Sonhin Chúng ta nghiên cũ ρ x, ta cứu biểu thức vi phân hàm trụ t2 x + tx + (t2 + λ2 )x = X= (1.15) t biến số độc lập, x− hàm ẩn λ tham số, số biểu thức (1.15) tính số thực Chúng ta giải biểu thức phương pháp mở Hàm e−λ arsh p = p2 + 1(p + p2 + 1)λ (1.17) p2 + bỏ qua phân chia nhánh giá trị mặt phẳng p = s + jσ với tia hình quạt vô nghiệm s = 0, |σ| > Bên cạnh λ > đặt điều kiện nghiên cứu phần p2 + mà trục tâm s nhận giá trị dương Khi hàm X(p) tiến gần tới với Nếu đặt X(p) phương trình hàm ẩn, theo định lý gốc vi phân có |ρ| → ∞, Reρ > 0, tương đương với argρ coi thể Chúng ta gọi hàm trụ loại hàm Bessel bậc λ đặt biểu tượng Jλ (x) (cho λ = n nguyên) Ta tìm hàm Jλ (x) sau t2 x = (p2X − px0 − x1) = p2 X + 4pX + 2pX, Jλ (t) = tx = −(pX − x0) = −pX − X, t2 x = X , x0 = x(0), x1 = x (0), liệu có sẵn (những liệu ban đầu không tham gia vào biểu thức tử số (1.16), t = coi điểm đặc biệt biểu thức (1.15)), phương trình toán tử tương ứng với ept dp 2πi L p2 (1.16) Để giải biểu thức tiến hành thay biến số độc lập hàm ẩn, sau đặt p2 + 1)λ , (1.18) Tiếp tục tới biến số ω =p+ (p2 + 1)X + 3pX + (1 − λ2 ) = + 1(p + L đuờng thẳng tự Re ρ = a > biểu thức (1.15) có dạng 1 p = (ω − ), ω (1.19) p2 + 1, dp p2 + = dω , ω đường tích phân đuờng cong C mặt phẳng ω = ξ + iη mẫu p = shp, X(p) = Y (q) ch q đường thẳng L theo hình thức (1.19) Vì trục tâm σ dịch chuyển dần tới thể (1.19) tập hợp tia ξ = 0, |η| > nửa vùng lân cận |ω| = 1, ξ > 0, số α nhỏ, C có dạng thể Khi ta có X = p2 + 1 sh q dX dp : = Y − Y, X = dq dq ch q ch q dX dp sh q 3sh2q − ch2 q = : = Y −3 Y + Y, dq dq ch q ch q ch5 q ta đưa chúng vào (1.16), dẫn tới phương trình đơn giản hình 1.2 đường đứt quãng Tích phân (1.18) theo tiến theo đường tới tích phân (N Ya Sonhin năm 1870) t e2 Jλ (t) = 2πi ω ω λ+1 C Y = λ2 Y = ω− dω (1.20) 46 47 (dấu hiệu - giải thích dσ < 0) Cho nên đặt phần I : ζ = iσ, thu   x π −∞  − σ3 −i xσ 1 (1) Hλ (x) ≈ i e dσ − 2e e dσ =  π ∞ =− π i Nhưng ∞ e−ξ dξ = π −i 3 − e 62 x 4x ∞ ∞ e−ξ dξ Hình 1.9 1.3.4 − 1 e−t t dt = Γ , 3 với giá trị dương biến số cuối nhận (1) Hλ (x) 1 ≈− Γ 3π x π i−e −i Trong hình 1.9 1.10 đồ thị hàm J0 (x) Y0 (x) biểu thị (1.107) đường liên tục Đối với giá trị nhỏ biến số làm rõ tính chất lược đồ từ khái niệm J0(x) Y0(x) dạng chuỗi Đối với giá trị lớn x sử dụng biểu diễn tiệm cận (1.76) mục V.A Phok đưa công thức tiệm cận khác đốí với trường hợp trước, từ mà λ2 − x2 ≈ λ /3 , λ >> 1, J0 (x) ≈ trường hợp, với giá trị hữu hạn t= x Đồ thị hàm trụ phân bố không điểm Chúng ta dẫn đồ thị hàm trụ sử dụng nhiều 0 Hình 1.10 2/ π , Y0(x) ≈ cos x − πx π sin x − πx (1.110) Các đồ thịcủa hàm Bessel Veber trật tự biểu diễn λ2 −1 x2 đường chấm hình Chúng nhận từ đồ thị J0(x) Y0 (x) nhờ vi phân hóa đồ thị dựa hệ thức J1(x) = Công thức có dạng i x (1) Hλ (x) ≈ − √ π −1/3 −J0(x), Y1 (x) = −Y0 (x) ω(t), (1.108) Trong hình 1.11 1.12 đồ thị hàm trụ biến số ảo ω(t) = √ π iζ− e ζ dζ dẫn (1.109) L L− đường chu tuyến từ ζ − ∞ đến theo tia arg ζ = −2π/3, từ ζ = đến ∞ theo nửa trục dương arg ζ = Công thức nghiên cứu với bảng xây dựng I0(x) = J0 (ix) ≈ √ πi (1) ex , K0(x) = H0 (ix) ≈ 2πx π −x e , 2x (1.111) đồ thị mà thường áp dụng vật lý, đồ thị In (x) với n = 1, 2, 3, đường vạch Các hàm Jn (x)và Yn (x) có tính dao động, tần xuất chúng thường cố 48 49 Chúng ta xét xếp không điểm hàm Bessel Giả sử λ Hình 1.11 định, biên độ giảm xuống Hình 1.12 √1 x Với hàm số gần với đầu tọa độ hướng đến −∞ Ngược lại, hàm I0(x) K0(x) tính chất dao động, hàm số chúng tăng đơn điệu từ giá trị đến ∞ với tốc độ hàm mũ, hàm số thứ hai giảm từ +∞ → Trong hình 1.11 dẫn hình dạng hàm J0 (z), đưa vào đường dọc theo đường mức môđun (là 0,2) acgumen (là 300), tiết diện dọc theo (1) trục thực đưa đồ thị |J0(x)| Hình 1.12 hình dạng nhánh H0 (z) bị gián đoạn dọc theo trục âm có thực hướng đến y → +∞ Trong đường mức môđun (là 0,2) acgumen (là 150) Trong hình 1.13 phụ thuộc Jλ (x) vào hai trị thực thay đổi x λ; đường bề mặt đồ thị J0 (x), J1(x), , J10(x) Jλ (2), Jλ(4), , Jλ(20) Hình 1.15 số thực, λ > −1 Từ công thức (1.44) mà tiến hành chứng minh tính trực giao hàm này, với không điểm z = β z = α hàm số Jλ (z) rút hệ thức β −α (1.112) Jλ (αt)Jλ (βt)tdt = 0 Vì tất hệ số khai triển z Jλ (z) = λ ∞ k=0 (−1)k z k!Γ(λ + k + 1) 2k , (1.113) thực, hiển nhiên Jλ (z) = Jλ (z) (1.114) Từ đó, nói riêng rút z nghiệm phức hợp phương trình Jλ (z) = 0, z nghiệm phương trình Khi đặt công thức (1.112) α = z, β = z sử dựng công thức (1.114) phù hợp với Jλ (z)Jλ (¯ z ) = |Jλ (z)|2 , ta có z¯ − z Hình 1.13 Hình 1.14 |Jλ (tz)|2 tdt = Nhưng tích phân 0, nên z − z = , từ z = z z = −z Bằng cách giá trị thực λ > −1 hàm Jλ (z) có số không thực thường số không ảo 50 51 Từ công thức nhận trọng mục với λ ≥ rút công thức tiệm với số đủ lớn |z|, nghĩa Jλ (z) = Nhưng đoạn hữu hạn π π Jλ (x) ≈ (1.115) cos x − λ − πx rút Jλ (x) có tập hợp hữu hạn số dương (trên thực tế Jλ (x) không λ hàm số Jλ (z) có số hữu hạn không điểm ảo cận gián đoạn rút từ (1.114), dấu thường xuyên thay đổi) Nhưng từ công thức Jλ (−z) = eiλπ Jλ (z), (1.116) trực tiếp rút từ khai triển (1.113), rõ ràng không điểm Jλ (z) nằm tiệm cận tương đối đầu tọa độ Do vậy, Jλ (z) có tập hợp hữu hạn số trục ảo hàm nguyên hàm số Jλ (z) hoàn toàn số không ảo λ > −1 Chúng ta làm rõ vài đặc điểm phân bổ không điểm hàm Bessel Để làm điều trước hết biểu thị Jλ (x) (1.119) xλ nhận thấy hàm thỏa mãn phương trình vi phân y(x) = xy + (2λ + 1)y + xy = 0, Từ (1.114) rút công thức gần với không điểm Jλ (x) 3π π ≈ + λ + kπ, có số hữu hạn 0, vậy, số thực Nói riêng, λ > −1 tất hệ số chuỗi (1.117) dương, vậy, âm (λ) αk Jλ (z) zλ phương trình mà nhận thay Jλ = xλ y vào phương trình (1.117) hàm trụ Giả sử α không điểm âm giá trị sinh y , phương trinh công thức gần xác bao nhiêu, |k| lớn nhiêu (1.119) có dạng y (α) + y(α) = x = α Nhưng y(α) 0, hàm số J0(x) từ điều kiện y(α) = 0, y (α) = theo định lý (điểm Chúng dẫn với tư cách ví dụ giá trị số dương nhỏ x = a điểm phương trình (1.119)), giải toán K (0) αk 2,4048 5,5201 8,6537 11,7415 14,9309 18,0711 21,2126 phương trình vi phân (1.119) cần thiết y(x) = Cho nên y (α) y (α) có dấu khác Bảng 1.2 Giả sử α β hai không điểm liền kề y (α), cho y (x) = Chúng ta nhận thấy công thức gần (1.116) đưa giá trị (0) αk = 21, 206 (độ xác 0,01) với k = Để nghiên cứu câu hỏi nghiệm ảo Jλ (z), đặt ∞ k=0 x 2k k!Γ(λ + k + 1) (1.118) Giả sử λ số thực sinh; λ + k + với tất k, số hữu hạn, có giá trị dương, tất hệ số chuỗi (1.117), số hữu hạn chúng số âm Vì đầu phần bên phải công thức (1.117) với |x| lớn xác định dấu bậc cao, khẳng định Từ y (α) y (β), có nghĩa y(α) y(β) có dấu khác nhau, nghĩa dù có không điểm y(x) khoảng (α, β) Không thể có nhiều công thức (1.112) z = xi, nhận Jλ (z) = λ zλ khoảng (α, β) theo định lý biết Rolle khoảng (α, β) có không điểm y (x), xác số không điểm không lẻ Jλ (z) zλ >0 không điểm y(x) khoảng (α, β), khoảng có không điểm y (x) trái với điều kiện chấp thuận Như khẳng định nghiệm dương y(x) y (x) tương quan tách lẫn Nó với không điểm Tiếp nhận thấy rằng, hệ truy toán viết lại dạng y (x) = − Jλ+1 (x) xλ 52 Chương ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ Do vậy, không điểm y (x) trùng với không điểm Jλ+1 (x), mặt khác từ (1.119) thấy không điểm y(x) trùng với không điểm Jλ (z) Như vậy, khẳng định nhận được: không điểm hàm Bessel bậc khác khác Một lần chúng tìm thấy trùng π hợp hàm Bessel hàm lượng giác: không điểm cos x + λ cos x + (λ + 1) π2 , hiển nhiên, khác 2.1 2.1.1 Ứng dụng để giải vấn đề lý thuyết Định lý cộng hàm Bessel Định lý 2.1 Với n nguyên z1 z2 biến phức ∞ Jn (z1 + z2 ) = (2.1) Jk (z1 )Jn−k (z2 ) k=−∞ Chứng minh Chứng minh rút từ định lý cộng với hàm mũ xác định Jn nhờ hàm sinh Chúng ta có ∞ n Jn (z1 + z2 )ω = e z1 +z2 (ω− z1 ) ω =e ω− z2 ω e2 ω− ω n=−∞ Bây khai triển dãy hàm e z1 ω− ω = ∞ n Jn (z1 ) ω , e z2 ω− ω = n=−∞ ∞ Jk (z2 )ω k k=−∞ Và nhân khai triển đặt tích mức ω Chúng ta có ∞ n=−∞ Jn (z1 + z2 )ω n = ∞ ∞ n=−∞ k=−∞ Jk (z1 ) Jn−k (z2 ) ω n , từ tính khai triển vào dãy Laurent với n = 0, ±1, ±2, công thức (2.1) 2.1.2 Những phương trình vi phân giải nhờ hàm trụ Nhóm ví dụ quan trọng phương trình vi phân tuyến tính bậc hai giải hàm trụ đưa phương trình x2y + axy + (b + cxα ) y = 0, (2.2) 54 55 a, b, c α giá trị bất biến, c α khác (nếu c α n = nhận tích phân Lipsit nói riêng ∞ phương trình (2.2) giải hàm thành phần) Thực tế, chuyển sang phương trình (2.2) đến hàm t độc lập thay đổi hàm u phải tìm đặt (2.3) x = ktµ , y = tν u, µ, ν k− số giá trị bất biến Chúng ta thay y = dy dy · ,y = · , dt dx dt dx dt dt tính giá trị phái sinh phần bên phải công thức sử dụng hệ thức (2.3) Chúng ta đặt biểu thị vào phương trình (2.2) Sau rút gọn đưa đến phương trình dạng t2 u + [2ν + (α − 1) µ + 1] tu + cµ2 k α tαµ + (a − 1) µν + bµ2 + ν u = 0, u u biểu thị giá trị phái sinh theo t Nếu phù hợp giá trị bất (2.4) 2ν + (a − 1) µ = 0, αµ = 2, cµ2k α = tích phân mà rút Re a ≥ Khi thay vào (2.9) a ai, có  ∞  , |a| < |b|  √ −ait b − a2 e J0(bt)dt = −i   √ , |a| > |b| a2 − b2 Khi tách vế thực ảo, ta tìm thấy tích phân Vêbe  ∞ ∞  √ 2 , J0 (at)cos bt dt = J0 (at) sin bt dt = a −b  0 t2 u + tu + t2 − λ2 u = 0, (2.5) λ2 = − (a − 1) µν + bµ2 + ν = ν − bµ2 , (2.6) ∞ J0 (at) b sin bt dt = t √ b → a, ta nhận a > ∞ có (2.7) ∞ J0 (at) 0 a2 + b2 sin at π dt = arcsin = t (2.11) Mặt khác lấy tích phân công thức (2.10) mặt cắt b0b, a < b0 < b Theo công thức để biến đổi Laplace có Jn (bt)dt = √ (0 ≤ b < a) Khi áp dụng định lý để diễn giải hàm trụ, tìm thấy bn Jn(bt) = n p2 + b2 p2 + b2 + p bn √ a2 + b2 + a b db = arcsin a a2 − b2 Tích phân bên trái trùng với tích phân trường hợp b = a J0 (at) Các tích phân có chứa hàm Bessel e (2.10) nghĩa trùng với phương trình hàm trụ với số α −at √ b2 −a2 (dòng tương ứng với trường hợp a > b) (điều có thể, α c khác 0), phương trình chúng có dạng ∞ (2.9) Giả sử a > b, tích phân công thức thứ từ công thức (2.10) theo b, biến µ, ν k cho 2.1.3 , e−at J0(bt)dt = √ a2 + b2 sin bt sin b0t − t t dt = 0, từ chuyển qua giới hạn b0 → a, theo công thức (2.11) ta có n (2.8) ∞ J0 (at) π sin bt dt = , t (b ≥ a) 56 57 Như thống kết ta  ∞  arc sin b , sin bt a , dt = J0 (at)  π, t Tương tự ta có công thức tích phân thứ hai Sonhin (2.12) hai liên quan đến trường hợp b ≥ a n √ e−ρτ τ /2 Jn τ dτ = ρn+1 −1/ρ e (2.13) , 2 dựa vào công thức Laplace đặt τ = a t ρ = 4b a2 ta có ∞ 2 Jn (at) e−b t tn+1 dt = 2.1.4 a2 an e /4b2 n+1 (2b2) (2.14) ∞ k=0 Công thức thuộc Sonhin √ ∞ Jn b t2 + x2 m+1 dt = Jm (at) n t 2 /2  (t + x√) n−m−1  a2 − b2  am √ Jn−m−1 x a2 − b2 , < a < b = bn x   0, a>b>0 (2.17) Để kết luận công thức công thức nhận thấy tích z Jλ (z) = 2πi λ z2 e 4ζ ζ −λ−1 dζ c+i∞ ζ− (2.18) c−i∞ π (đó quy luật m > −1, n > −1) ta có √ Khi thay vào vế trái công thức (2.17) Jn b t2 + x2 theo công thức thứ (2.18) Chúng ta tìm vế trái   b2(t2 + x2)     c+i∞ ζ− dζ ∞ n b m+1 4ζ dt = Jm (at) t e n+1  2πi ζ   c−i∞     t2 + x2   b     ∞ c+i∞ ω− dω  ω = Jm(at)tm+1 e dt  2πi ω n+1    c−i∞  Jm (x sin t) sinm+1 t cos2n+1t = (−1)k xm+2k Γ (m + k + 1) Γ (n + 1) = m+2k k! (m + k + 1) Γ (m + n + k + 2) k=0 k n (−1) x m+n+2k+1 ∞ = = Γ (n + 1) n+1 x k!Γ (m + n + k + 2) k=0 2n = Γ (n + 1) n+1 Jm+n+1 (x) , x = (2.16) khái niệm tích phân hàm Bexala(Xinhi) (−1)k xm+2k sin2m+2k+1 t cos2n+1t 2m+2k k! (m + k + 1) Khi lấy tích phân biểu thức vế từ đến , (m, n > −1) tuyến tích phân C ∗ đường thẳng Im ζ = c > Chúng ta nhận Từ giả thuyết Jm(x) dạng chuỗi tìm π x2 + y (m + n + 1)/ (x2 + y ) phân Sonhin – Slepbli (1.23), theo bổ đề Gioocdan nhận chu Tích phân Sonhin Jm (x sin t) sinm+1 t cos2n+1t = xm y n Jm+n+1 Jm (x sin t) Jn (y cos t) sinm+1 t cosn+1 tdt = dòng liên quan tới trường hợp ≤ b ≤ a, công thức thứ ∞ π ∞ (ta thay 2ζ/b = ω sử dụng b > 0, thay đổi không thay đổi đường hay tích phân) Khi chuyển đổi thứ tự tích phân sử dụng tích xn+1 Jm+n+1 (x) = n Γ (n + 1) ∞ Jm (x sin t) sin tích phân có Sonhin m+1 t cos2n+1 tdt, (m, n > −1) (2.15) 58 59 phân Vêbe (2.14) Ta  b c+i∞ −n−1 ω e 2πi c−i∞ ω−  x  ω dω m = ∞ −bt2/ 2ω Jm (at) tm+1dt = e c+i∞ a e 2πibm+1 c−i∞ b2 −a2 2b ω− bx2 2ω ω m−n dω (2.19) Laplace vế trái công thức (2.20), ta coi τ Re p > 0, ta có   a ∞    aτ  ∞ −t p− ζ− ζ dt e e−pt J0 a t2 − τ dt = e   2πi   τ |ζ|=1 số mũ bậc e âm theo bổ đề Grordana tích phân thu nhận giới hạn tích phân theo đường cắt (c − id, c + id) Re p − ∞ p2 + a2 e−τ p2 +a2 − √ a = 2πi τ2 e t2 −τ 2 ω− ω dω , ω t+τ ζ, t−τ đường tròn |ω = 1| chuyển qua vào đường tròn |ζ| = t−τ t+τ thay đường tròn |ω = 1|, ta công thức e at ζ− ζ + aτ ζ −τ p− dt = e p− a ζ− ζ a ζ− ζ ζ+ ζ dζ ζ ∞ τ e−pt J0 a t2 − τ dτ = − e−ζp aπi eaτ ζ |ζ|=1 dζ 2p ζ2 − ζ − a p2 + a số a cực nằm vòng tròn ζ < 1, cực nằm đường hàm thuộc tích phân có điểm đặc biệt ζ = 0, đường tròn 2πi ζ− Hàm dấu tích phân có hai cực ζ1,2 = thay J0 a t2 − τ = a Khi đặt giá trị vào tích phân (2.22) ta |ω|=1 ω= = Re (p − sin ϕ) = Re p > τ (2.20) Công thức rút từ công thức (1.22) đặt n = √ z = a t2 − τ , ta có J0 a −t p− e √ (2.22) (chúng ta đưa ζ = eiϕ cho a số thực), tích phân dễ dàng Chúng ta tách công thức t2 a ζ− ζ tách Tích phân thuyết sóng điện J0 a t2 − τ η (t − τ ) = τ ζ dζ ζ (chúng ta thay đổi trật tự tích phân), ta có vế thực hệ số Khi a > b tích phân 0, thực tế trường hợp hệ số ω 2.1.5 ζ+ p± tròn,vì ζ1 ζ2 = −1 Với điều kiện Rep > 0, Re p2 + a2 > nghiệm ζ2 = p − p2 + a2 nằm đường tròn theo định lý thặng dư tích a phân cuối √2 ∞ eτ p eaτ ζ2 e−τ p +a ∫ e−pt J0 a t2 + τ dt = − 2πi = , aπi 2ζ2 − ap τ p2 + a2 trùng với công thức (2.20) (2.21) |ζ|=1 Khi sử dụng công thức tìm thấy biểu diễn theo Bằng cách xác thu kết chung n nguyên không âm √ e−τ t2 + τ n Jn = η (t − τ ) (t − τ ) n/2 (t2 − τ ) √ p2 +1 p2 + − p p2 + n (2.23) 60 2.1.6 61 Dao động dây xích Khi phương trình cuối có dạng Cho chuỗi xích nặng đồng loại AMB chiều dài l cheo thẳng đứng điểm B tác động lực kéo thực dao động nhỏ quanh vị trí cân Nếu biểu thị thông qua thời gian x Chiều dài chuỗi xích T (t) + ω T (x) = 0, xX (x) + X (x) + T (t) = A sin (ωt + ϕ) , từ chiều thẳng đứng hình 2.1, phương trình dao động nhỏ có ∂ 2u ∂ 2u ∂u =g x 2+ , ∂t2 ∂x ∂x (2.24) g gia tốc lực kéo Khi theo Becnuli, giải chương trình (2.25) Giải phương trình đầu có dạng từ điểm a đến điểm chuyển động M qua n = u(x, t) nghiêng điểm M dạng ω2 X (x) = g A ϕ điểm cố định, phương trình thứ hai có dạng phương trình ω2 (2.2) a = 1, b = 0, c = , α = Theo công thức (2.4) tìm g g µ = 2, v = 0, k = đó, phép (2.3) trường hợp 4ω g t t = 2ω xg , đưa phương trình đến dạng có dạng x = 4ω phương trình hàm tuần hoàn với số x = 0, thấy từ phép tương ứng (2.6) Bằng cách việc giải phương trình (2.25) có dạng X (x) = BJ0 2ω x g + CY0 2ω x , g B C điểm cố định Từ lý giải vật lý rõ ràng x → việc giải g phải có giới hạn, C = 0, coi điểm cố định B = 1, thừa số tuỳ ý A đưa vào giải Hình 2.1 phương pháp nhân chia đường chuyển động Đối với điều thích T Bằng cách tìm cách giải riêng phương trình (2.24) dạng tìm cách giải phương trình riêng, có dạng sinh hai hàm, u = AJ0 2ω số hàm phụ thuộc vào đường di chuyển x, hàm khác x sin (ωt + ϕ) g (2.26) Đại lượng ω có giá trị tuỳ ý, từ điều kiện dây xích treo phụ thuộc vào t u = X (x) T (t) Khi đặt điều vào (2.24), sau biến đổi đơn giản có điểm B, tìm u(l, t) = tất t, có điều trường hợp, T (t) xX (x) + X (x) =g T (t) X (x) Vì bên trái hàm biến t, bên phải hàm biến x, đẳng thức sảy hai vế số J0 2ω l g = 0, (2.27) ακ g , ακ số hàm Becnuli bậc l Phương trình (2.26) cho thấy tất điểm xích thực α g với biên độ thay đổi dao động ngang với tần xuất tương đương ωκ = l từ ω = ωκ = 62 63 (Khi x = Becnulli giải phương trình (2.25) với giúp đỡ chuỗi đưa đến điều hàm số J0(x) = 1, điểm cố định A thể biên độ dao động vòng kiện (2.27) nhận thấy chuỗi xích tập hợp vô hạn dạng sợi từ điểm đến điểm theo quy luật AJ0 2ωk x g = AJ0 αk x l tròn tự chuỗi) dao động Tần xuất dao động dạng chuỗi xích dao động khác biệt, phụ 2.1.7 Dao động màng tròn Độ võng u = u(x, y, t)− chênh lệch từ trạng thái cân màng, thực dao động nhỏ tác động lực kéo, dẫn đến phương trình ∂ 2u = a2 ∂t2 ∂ 2u ∂ u + , ∂x2 ∂y (2.30) a2 = T/σ, T− sức kéo σ− mật độ bề mặt Trong công trình công bố năm 1764, Euler xem xét toán dao động màng xung quanh Euler tìm từ phương trình a2 Hình 2.2 thuộc vào số ακ hàm J0 (x) xét hình 2.2 diễn giải quy ∂ 2u ∂u ∂ 2u + + ∂r2 r ∂r ∂ϕ2 = ∂ 2u , ∂y (2.31) phù hợp với phương trình (2.30) toạ độ cực tính Để xây dựng cách giải luật thay đổi biên độ điểm chuỗi k = 0, 1, Thường dao động phương trình giêng (2.3) Euler giả định u = R (r) sin (ωt + y) sin (λϕ + δ) chuỗi nhận dao động (2.26) với biên độ khác biệt chu kỳ đầu có ω, λ δ − l điểm cố định, sau phép vào (2.31) tiên u (x, t) = ∞ Aκ J0 ακ κ=0 x sin (ωκ t + ϕκ) l (2.28) Để xác định hệ số Aκ ϕκ , cần đưa chênh lệch vận tốc điểm chuỗi , nghĩa u (x, 0) = f (x) , ∂(u) ∂(t) Khi có điều kiện f (x) = ∞ Aκ J0 aκ κ=0 x sin ϕκ l Những điều kiện mà biểu thị ∞ g (x) = |t=0 = ϕ (x) Aκ ωκ J0 aκ κ=0 x cos ϕκ l x/l = τ f lτ = F (τ ) , g lτ = F (τ ) = κ=0 Ak sin ϕk J0 (aκ τ ) , G (τ ) = ∞ ω2 r − λ2 R = 0, a2 Ak ωκ cos ϕk J0 (aκ τ ) sau chuyển từ r đến điểm chuyển p = rω/a phương trình cuối κ=0 Từ khai triển theo công thức (1.49) tìm hệ số Aκ ϕκ (2.33) Từ lý giải vật lý rõ ràng chu kỳ hàm theo ϕ phải 2π, vậy, λ cần phải số nguyên Đối với giá trị Euler thu cách giải phương trình riêng (2.32) dạng u = AJn (2.29) (2.32) tiếp nhận dạng thông thường phương trình hàm tuần hoàn ρ2 R + ρR + ρ2 − λ2 R = G (τ ), viết lại dạng khai triển phụ đề khái quát ∞ r2R + rR + ωr sin (ωt + γ) sin (nϕ + δ) a (2.34) Nếu màng bao đường tròn, r = r0 , r0− bán a (n) (n) kính màng, cần phải có Jn ωra = 0, từ ω = ωκ = ak , r0 (n) aκ κ hàm Jn (x) 64 65 Euler nhận thấy tồn tập vô hạn dao động màng n = hàm số u không phụ thuộc vào ϕ u = Ak J0 αk r r0 sin (ωk t + γk ) , (2.35) nghĩa tất điểm màng nằm khoảng cách tương đồng từ tâm, dao động tương đồng Các điểm màng thực dao động hài r aαk với biên độ Ak J0 αk , phụ hoà, với tần xuất tương đồng ωk = r0 r0 thuộc vào khoảng cách điểm đến tâm Trong hình 2.3 diễn tả quy luật thay viết phương trình vi phân ∂u = a2 ∂t ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y (2.37) t thời gian, a hệ số cố định x, y tọa độ Đề Tại mặt phẳng (II) Bằng kiểm tra vi phân trực tiếp hàm số A − u= e t (x − ξ)2 + (y − η)2 4a2 t , (2.38) A, ξ, η cố định thoả mãn phương trình (2.37) Hiển nhiên t → điểm z = x + iy, khác với ζ = ξ + iη, hàm số u → , điểm ξ hàm tiến đến ∞ Cho nên nói (2.38) mặt vật lý học thể nhiệt độ xuất điểm z từ tác động nguồn nhiệt tức thời, vào thời điểm t = điểm ζ Chúng ta tính nhiệt độ tổng Hình 2.3 đổi biên độ dao động điểm riêng biệt màng k = 0, 1, Loại hình dao động chung có phép cộng dao động (2.34) với điểm n k khác biệt u= ∞ (n) r r0 Ank Jn αk (n) sin ωk t + γnk sin (nϕ + δnk ) (2.36) Hình 2.4 n, k=0 Với vị trí độ lệch màng đưa tìm thấy xuất điểm z từ tác động nguồn nhiệt điểm tức thời, t = hệ số Ank, γnk , δnk sử dụng tính trực giao hệ thống hàm hình phân bố dọc theo vòng tròn |ζ| = p Chúng ta cho tác dụng từ học hàm tuần hoàn nguồn phân phối cung nhỏ p dϑ vòng tròn này, với 2.1.8 tác dụng từ nguồn điểm Khi nhiệt độ từ tác động nguồn Nguồn nhiệt hình trụ Dòng nhiệt mặt phẳng song song mà phân bổ nhiệt độ tất mặt phẳng (II), vuông góc với hướng cố định đó, tương đương, xác định theo công thức (2.38) |z − ζ|2 r2 + p2 − 2pr cos ϑ Adθ − Adθ − 4a2 t du = e 4a2 t = e , t t 66 67 z = reiϕ , ζ = pei(ϑ+ϕ) hình 2.4 Khi lấy tích phân biểu thức theo ϑ từ −π đến π, tìm nhiệt độ tổng cần tìm r + p2 A − u = e 4a2 t t đương u0 cos ωt Chúng ta tìm phân bố nhiệt độ theo điều kiện pr e 2a2 t cos ϑ dϑ nhiệt độ ban đầu bên hình trụ −π thu mặt phẳng z phân bổ nhiệt độ Nếu biểu thị thông qua nhiệt dung riêng c qua mặt phẳng bề mặt chất σ, nhiệt thành phần diện tích rdrdϕ dQ = cσurdrdϕ, mà toàn mặt phẳng ∞ Q = cσ dϕ p2 2πAcσ e 4a2t 2π ur dr = t − ∞ r2 e 4a2 t I0 − pr rdr 2a2t Khi tính toán tích phân Veber (2.14) mục ( n, a b2 trường hợp p tương đương 0, ∞ r2 e 4a2 t I0 − pi 2a2 t , 4a2 t ), tìm p2 pr r dr = 2a2 te 4a2 t 2a t Do vậy, Q = 8π Acσa2 biểu thức u đưa đến dạng cuối u= r + p2 − Q pr 4a2 t I0 e 4πa2 cσt 2a2t (2.40) Khi chuyển từ vùng nhiệt mặt phẳng đến cho công thức (2.40) đưa biểu thức nhiệt độ xuất từ tác động nguồn nhiệt tức thời, vào thời điểm t = phân bố số chu kỳ (nguồn nhiệt tuần hoàn) Vì vậy, Q biểu thị tổng nhiệt lượng có dải chiều dài l chuyển dịch đến trục chu kỳ Do toán bao hàm điểm đối xứng hình trụ, nên tạo toạ độ hình trụ r, ϕ, z Nhưng từ u không phụ thuộc vào z ϕ nên phương trình độ dẫn nhiệt có dạng sau ∂u = a2 ∂t ∂ 2u ∂u + , ∂r2 r ∂r (2.41) = u0 cos ω t trở thành điều kiện đường = 0, u r=ρ t=0 biên Bài toán giải theo phương pháp mở từ dẫn đến tái thiết theo u lập Laplace theo biến số t, thu phương trình mở sau d2 U dU ρ + − U = dr2 r dr a Phương trình cần phải có điều kiện sau U 0 Sự truyền nhiệt hình trụ tròn Lấy toạ độ bề mặt hình trụ tròn ρ để giữ cho nhiệt độ tương π Ở thay hàm cos ϑ thành hàm sin ϑ, phép tương π tự với phép biến đổi ϑ thành ϑ − , thay giới hạn tích phân 3π − , π2 lần lấy −π.π, mà không làm thay đổi đại lượng tích phân, Chúng ta có r + p2 2πA − pr u= e 4a2t I0 (2.39) t 2a2 t Để giải thích ý nghĩa vật lý A tính tổng lượng nhiệt cần 2π 2.1.9 r=ρ = ρu0 p2 + ω Kết chung phương trình mở phải phù hợp với công thức (1.43) công thức (1.72) √ − √ − ρ ρ U = AJ0 ir + BY0 ir a a √ − ρ i) theo U bị hạn chế, với n → ∞, (chúng ta có λ = 0, α = a B = √ − ρ U = AI0 r a √ − ρu0 ρ Đặt điều kiện khoảng tìm AI0 a ρ = ρ + ω2 phương trình mở có dạng √ − ρ I0 r ρ a (2.42) U = u0 √ − ρ2 + ω ρ I0 ρ a 68 69 Công thức U (ρ) có số cực dương không xác định, từ hai số ρ = ±iω, số âm lại ρk = −  √ − π   ω i   e4 I0 r   a u (r, t) = uo Re √ − π   ω i   ρ I e4   a aαk ρ , αk có bậc không, ta có eiωt + 2a4 ∞ J0 r α ρ k      aαk  −( ρ )  α e k J (αk ) a4 αk4 + ρ4 ω       k=0 Nếu hạn chế công thức (1.86) ta có π √− i I0 xe = I0 x i = ber x + i bei x để thực √ ω a = λ, αk ρ hệ số với (n = 0, 1, 2, ) ωn J−n(z) = (−1)nJn (z) Bây tìm biểu thức Jn (z) cách trực tiếp nhờ công thức xác định hệ số chuỗi Laurent: 2πi Jn (z) = e z (ω− ) dω ω ω n+1 C biến đổi biểu thức này, muốn chọn làm C đường tròn |ω| = đặt ω = eit , nhận = βk ta ber λρ+bei λr bei λρ cos ωt+ u (r, t) = u0 ber λrber λρ+bei2 λρ ber λr bei λρ − bei λr ber λρ sin ωt+ + ber2 λρ + bei2 λρ ∞ 2a 2 t J0 (rβk ) βk + e−a β k 4 ρ k=0 J0 (ρβk ) a βk +ω Jn (z) = 2πi 2π 2π eiz sin t e−n itidt = = (2.43) 2π 2π 2π cos (nt − z sin t)dt = sin(t − z sin t)dt Nhưng tích phân thứ hai 0, theo tính chất tích phân hàm tuần hoàn, khoảng lấy tích phân (0, 2π) thay khoảng lấy tích 2.2 Một số ứng dụng khác phân (−π, π), hàm dấu tích phân hàm lẻ Như vậy, 2π Bài toán 2.1 (Biểu diễn tích phân Bessel hàm trụ) Jn (x) = Hàm trụ loại thứ Jn(z) bậc nguyên n xác định hệ số với ω n phần khai triển Laurent ∞ z ) (ω− ω = Jn(z)ω n e n=−∞ 2π cos(nt − z sin t)dt Hệ thức nhận gọi tích phân Bessel có cho biểu diễn hàm trụ dạng tích phân áp dụng hiệu vật lí toán Bài toán 2.2 (Bài toán tìm công thức tiệm cận hàm trụ) Có thể biểu diễn hàm Jn(z) dạng chuỗi lũy thừa Muốn cần nhân z.1 ω chuỗi e −z e ω , có ∞ ∞ z ) z n n (−1)n z n (ω− ω = ( ) ω ( ) e nl nl ω n n=0 n=0 Từ hệ số với ω (n = 0, 1, 2, ) n Jn (z) = ∞ k=0 (−1)k z (n + k)!k! n+2k Jn (λ) = 2πi e x (x− ) dz z , z n+1 (2.44) |z|=t 1 1 , f (z) = (x − ), f (z) = (1 + ), có điểm 2z+1 z z khoảng cách z1,2 = ±i bậc Ref (z) = 0, có đây, ϕ(z) = ∓in ϕ(±i) = ∓ie π , f (±i) = ±i, |f (±i)| = 70 71 x 1− = 0, cho x + y2 3π π |z| = x = tìm ϑ1 = /4, ϑ2 = /4 Do có Do ta có phần thực u = Re f (z) = công thức tiệm cận cần tìm    − Jn (λ) ∼ √ e 2πλ   = π 3π λ−n + i − +e π π cos λ − n − πλ (2.50) xác định chúng u (x, − 0) = f _ (x) + g+ (x) , −∞ < x < ∞ (2.51) uy (x, − 0) = f+ (x) + h_ (x) − ∞ < x < ∞ (2.52) Cho y ϕ x hình trụ toạ độ(y véc tơ bán kính) Trong hình trụ tròn ≤ y < 1, −π ≤ ϕ ≤ π, −∞ < x < ∞ cho phương trình Laplace ∆u = 0, phần x > 0, bề mặt y = cho giá trị hàm u: phần lại x < 0, y = có đạo hàm thông thường uy Trong trường hợp hàm biết không phụ thuộc hàm vào ϕ, ta đưa đến uxx + uy + uyy = 0, −∞ < x < ∞, < y < y u (x, − 0) = g (x) , x > (2.45) uy (x, − 0) = h (x) , x < (2.47) |u (x, y)| bị chặn y → ∞, (2.48) (2.46) g+ (x) = g (x) , x > 0, 0, Ta áp dụng hai phần phương trình (2.44) toán tử V (2.49) phương trình nhận dẫn đến phương trình Becel Cách giải chung phương trình (2.49) có dạng U (x, y) = C (x) I0 (xy) + C1 (x) K0 (x, y) I0(x) K0(x) hàm hình trụ đối số ảo, C(x) C1 (x) hàm sinh Trong mối liên hệ với điều kiện (2.48) ta suy đoán C1 (x) ≡ x < 0, h− (x) = 0, x > 0, h (x) , x < 0, f+ (x) f− (x) hàm chưa biết dạng (2.45) (2.46) Ta đưa phép biến đổi đẳng thức Fourier (2.50), (2.51) U (x, − 0) = F − (x) + G+ (x) , Uy (x, − 0) = F + (x) + H − (x) (2.53) Từ đẳng thức (2,50) (2.52) ta đưa F + (x) = xI1 (x) − xI1 (x) + F (x) − H − (x) + G (x) , −∞ < x < ∞ I0 (x) I0 (x) Sau xác định hàm F − (x), ta cần tìm lời giải u (x, y) = V −1 g(x) h(x) hàm cho −x2U (x, y) + Uy (x, y) + Uyy (x, y) = 0, < y < y U (x, y) = C (x) I0 (x, y) , −∞ < x < ∞, < y < Để xác định hàm chưa rõ C(x) ta dùng vế điều kiện (2.46), (2.47) ta  π π  λ−n − i =   Bài toán 2.3 (Bài toán hỗn hợp hình trụ) toán Như I0 (xy) F − (x) + G+ (x) I0 (x) 73 KẾT LUẬN Một lần nữa, cho em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Khoa Toán, thầy cô Phòng Sau Đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2, bạn bè đồng nghiệp, người thân gia đình, đặc biệt PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Lý thuyết hàm biến phức nói chung lý thuyết hàm trụ nói riêng có tầm quan trọng toán học Trong luận văn tập trung nghiên cứu hàm trụ trường số phức Luận văn trình bày trọng tâm khái niệm hàm trụ trường số phức số tính chất quan trọng chúng, sau luận văn trình bày số ứng dụng hàm trụ gồm: • Ứng dụng để giải số vấn đề lý thuyết toán học – Định lí cộng hàm Bessel – Những phương trình vi phân giải nhờ hàm trụ – Các tích phân có chứa hàm Bessel – Tích phân Sonhin – Tích phân thuyết sóng điện – Dao động dây xích – Dao động màng tròn – Nguồn nhiệt hình trụ – Sự truyền nhiệt hình trụ tròn • Một số ứng dụng khác – Biểu diễn tích phân Bessel hàm trụ – Bài toán tìm công thức tiệm cận hàm trụ – Bài toán hỗn hợp hình trụ Mặc dù có nhiều cố gắng song chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong đóng góp ý kiến nhận xét để luận văn đầy đủ hoàn thiện, đồng thời tác giả có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Hàm biến phức − Lý thuyết ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Đinh Văn Phiêu, Lê Mậu Hải, Nguyễn Thu Nga, Nguyễn Huy Lợi (1984), Bài tập hàm số biến phức, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Trần Đức Vân (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [5] B V SABAT (1979), Nhập môn giải tích phức, tập tập 2, NXB ĐH THCN, Hà Nội [6] G M Fichtengon (1972), Cơ sở giải tích toán học, NXB ĐH THCN, Hà Nội [7] L I Vonkovưski, G L Lunxơ, L G Aramnovich (1980), Bài tập lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐH THCN, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Nga [8] M.A.Lavrentev i B.V.Xabat (1973), MeTody Teorii funkci kompleksnogo permennogo, IZDATELSTVO ”NAUKA” GLAVNA MATEMATIQESKO LITERATURY , Moskva REDAKCI FIZIKO- [...]... 2π 0 cos (nt − z sin t)dt = sin(t − z sin t)dt Nhưng tích phân thứ hai bằng 0, vì theo tính chất tích phân của hàm tuần hoàn, các khoảng lấy tích phân (0, 2π) có thể thay thế bởi khoảng lấy tích 2.2 Một số ứng dụng khác phân (−π, π), còn hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ Như vậy, 2π Bài toán 2.1 (Biểu diễn tích phân Bessel của hàm trụ) Jn (x) = Hàm trụ loại thứ nhất Jn(z) bậc nguyên n được xác định như... số nguyên là số nguyên, đưa vào khai triển Yn (z), ngoài bậc z cả lnz 36 37 4) Cách giải tổng quát của phương trình các hàm trụ Theo định (1) (2) nghĩa hàm Khankelia Hλ (z) và Hλ (z) thì cách giải phương trình (1.70) z 2 ω + zω + (z 2 − λ2 )ω = 0 5) Các hàm trụ biến thuần ảo Ở một vài ứng dụng thường gặp những hàm trụ có biến thuần ảo z = ix Từ công thức (1.39) rút ra rằng hàm y = Jλ (ix) thoả mãn phương... ±2, do tính tuần hoàn của hàm số einζ và sin ζ tích phân phần thẳng ứng của chu tuyến ∞ k=0 (−1)k z ( )−n+2k = k!(−n + k)! 2 π −π 0 5) Hàm sinh Đối với giá trị không nguyên λ = n = 0, ±1, ±2 · ·· , phân cos(z sin ζ − nζ)dζ (chúng ta khai triển hàm theo công thức Euler và sử dụng hàm chẵn cos và hàm lẻ sin) Đó là tích phân Bessel 4) Biểu diễn bởi chuỗi Chúng ta khai triển ở tích phân Sonhin – 1 z −... Jn(z)ω n e n=−∞ 1 2π 0 cos(nt − z sin t)dt Hệ thức nhận được gọi là tích phân Bessel có cho biểu diễn hàm trụ dưới dạng tích phân và được áp dụng hiệu quả trong vật lí toán Bài toán 2.2 (Bài toán tìm công thức tiệm cận đối với hàm trụ) Có thể biểu diễn hàm Jn(z) dưới dạng chuỗi lũy thừa Muốn vậy cần nhân z.1 ω các chuỗi đối với e 2 −z 1 và e 2 ω , chúng ta có 1 ∞ ∞ z ) 1 z n n (−1)n z n 1 2 (ω− ω = (... của hàm Bessel bậc khác 1 là khác nhau Một lần nữa chúng ra tìm thấy sự trùng π hợp giữa các hàm Bessel và hàm lượng giác: các không điểm cos x + λ 2 và cos x + (λ + 1) π2 , hiển nhiên, cũng khác nhau 2.1 2.1.1 Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết Định lý cộng đối với các hàm Bessel Định lý 2.1 Với n nguyên bất kỳ và z1 và z2 là biến phức ∞ Jn (z1 + z2 ) = (2.1) Jk (z1 )Jn−k (z2 ) k=−∞ Chứng... (0 ≤ b < a) 0 Khi áp dụng định lý để diễn giải hàm trụ, chúng ta sẽ tìm thấy bn Jn(bt) = n p2 + b2 p2 + b2 + p bn √ a2 + b2 + a b db = arcsin a a2 − b2 Tích phân bên trái trùng với tích phân trong trường hợp b = a và khi J0 (at) Các tích phân có chứa hàm Bessel e (2.10) chúng ta được nghĩa là sẽ trùng với phương trình của hàm trụ với chỉ số α −at 0 √ 1 b2 −a2 (dòng trên tương ứng với trường hợp a >... từ hai công thức này chúng ta tìm xây dựng từ những hàm Hλ , như hàm cosin Xem xét cả những hàm mà xây dựng từ Hλ như sin (1) được gọi cả hàm Nheyman và khi đó có nghĩa là qua hàm Nλ (z) Vì trong giá trị thực z và λ hàm Jλ (z) là hàm thực, nên từ công thức (1.58) rút ra rằng đối với giá trị z và λ như thế ta có (1) được biểu thức hàm Khankelia qua hàm Bessel (1) Hλ (z) = i e−iλπ Jλ (z) − J−λ (z) ; sin... Để có được cách giải thứ hai của hệ số độc lập tuyến tính với In , ở đây cần phải sử dụng các hàm đã nhận được từ các hàm trụ khác Được sử dụng nhiều hơn trong số các hàm đó là hàm nhận được từ hàm Hankel đầu tiên từ biến số ảo bằng cách nhân thành số nhân bất biến nào đó = Kλ (x) = 2i , sin λ π (1.77) Điều quan trọng của hàm này đối với việc sử dụng được quy ước trước nó là khác 0 và kết thúc khi... và chọn cách lấy tích phân để trên các phần đầu của nó biểu thức W − ∂ζ KW bằng 0, thì từ tích phân (1.53) sẽ cho cách giải phương trình (1.52) Dễ dàng kiểm tra rằng phương trình (1.54) sẽ được thỏa mãn nếu đặt K = ei z sin ζ Để lấy tích phân chúng ta chọn các chu tuyến C1 và C2 trên hình 1.4,        (1.55) được gọi là những hàm trụ dạng 3, hoặc những hàm Khankelia 2) Mối liên hệ giữa hàm trụ. .. triển cần tìm của hàm hình trụ ở chuỗi (1.24) Từ công thức (1.24) rõ ràng rằng nhờ những số thực λ và z = x hàm số Jλ (x) có những số thực e z 2 (ω− xác định hàm hình trụ bậc số nguyên Chúng ta nhớ lại biểu diễn tích phân Khakeli đối với hàm Gamma, chúng ta Jλ (z) = tích của Sonhin (1.22) trùng hợp với công thức đối với hệ số khai triển của 1 z ) 2 (ω− ω vào chuỗi Laurent bậc ω ta có hàm e C∗ ∞ (1.26)