Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng (FULL)

Mục đích và đối tượng nghiên cứu của luận án Luận án này nghiên cứu một số khía cạnh ứng dụng của các quy tắc tính toán trong giải tích biến phân với các mục đích như sau: 1. Tìm mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, các quy tắc tổng và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker; 2. Trả lời câu hỏi “Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet có đúng trong không gian Banach bất kỳ hay không?”; 3. Làm rõ khả năng của đối đạo hàm trong việc nhận biết tính đơn điệu của các ánh xạ liên tục và khả năng của dưới vi phân bậc hai trong việc nhận biết tính lồi của các hàm số khả vi liên tục; 4. Khảo sát tính ổn định Lipschitz-like của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu. Đối tượng nghiên cứu: các quy tắc tính toán, định lý giá trị trung bình xấp xỉ, tính đơn điệu của ánh xạ, tính lồi của hàm số, tính ổn định Lipschitz-like của bất đẳng thức biến phân. 2.2. Các phương pháp nghiên cứu đã sử dụng Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kỹ thuật của giải tích hàm, giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu,…. 2.3. Các kết quả chính và kết luận Các kết quả chính của luận án này bao gồm: 1. Một kết quả về mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnh và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker; 2. Một đặc trưng của không gian Asplund theo định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet; 3. Một số điều kiện cần và điều kiện đủ theo đối đạo hàm để một ánh xạ liên tục là đơn điệu; một số điều kiện cần và điều kiện đủ theo dưới vi phân bậc hai để một hàm số khả vi liên tục là lồi; 4. Các công thức ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu; 5. Một số kết quả về tính ổn định Lipschitz-like của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu. Luận án góp phần làm phong phú các kết quả về hệ thống các quy tắc tính toán trong giải tích biến phân. Vì nhiều bài toán thực tế dẫn đến mô hình bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện, nên kết quả về tính ổn định được thiết lập trong luận án này có thể có ích cho việc khảo sát các bài toán đó.

[...]... phòng Giải tích số và Tính toán Khoa học, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Seminar tại Khoa Toán ứng dụng, Đại học Quốc gia Pukyong, Hàn Quốc Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học, Ba Vì, 20 - 23/4/2011 Trường hè Quốc tế về Giải tích biến phân và ứng dụng, Viện Toán học, Hà Nội, 20 - 25/6/2011 Hội thảo Việt Nam - Hàn Quốc lần thứ 8 về Lý thuyết tối ưu toán học và ứng dụng, ... xuất, dưới vi phân xấp xỉ của A D Ioffe, Trong luận án này, chúng tôi giới hạn việc nghiên cứu trong khuôn khổ lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich Chương 1 bắt đầu bằng việc nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng trong luận án này Dựa trên ý tưởng "sử dụng quy tắc chuỗi để chứng minh quy tắc tổng" của R T Rockafellar và R J.-B Wets ([74]), Mục 1.2 cho thấy một số quy tắc tổng đã... triển và ngày nay đã trở thành một bộ phận quan trọng của giải tích biến phân Định lý Moreau-Rockafellar là kết quả trung tâm trong hệ thống quy tắc tính toán của giải tích lồi ([48, p 133]) Năm 1973, F H Clarke đã đưa ra khái niệm đạo hàm theo hướng Clarke và dưới vi phân Clarke của hàm Lipschitz địa phương Những khái niệm này sau đó đã được mở rộng cho các hàm số bất kỳ Bên cạnh các quy tắc tính toán. .. chứng minh tương tự, điểm khác duy nhất là dùng (1.6) thay cho (1.5) 1.2.5 Chú ý 2 Phép chứng minh các quy tắc tổng được trình bày ở trong mục này là mới, nó dựa trên ý tưởng tiếp cận hệ thống các qui tắc tính toán bằng phương pháp hình học của Mordukhovich [48] (tức là, đầu tiên thiết lập các quy tắc tính toán cho các nón pháp tuyến, sau đó sử dụng những quy tắc tính toán này để dẫn ra các quy tắc tính. .. tính toán của giải tích biến phân là khá phức tạp và khó tiếp cận, một cách tự nhiên, từ một số quy tắc tính toán cơ bản người ta muốn dẫn ra càng nhiều quy tắc tính toán khác càng tốt Từ kết quả trên, chúng ta dễ dàng thu lại được các quy tắc tổng dưới đây: 1.2.2 Hệ quả ([48, Theorem 1.62]) Cho chặt tại x X và F : X f : X Y là một ánh xạ khả vi Y là một ánh xạ đa trị thỏa mãn y f () F (), x x ở... bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet Sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet và các quy tắc tổng, Mục 2.3 được dành cho việc thiết lập một số kết quả về khả năng nhận biết tính đơn điệu của ánh xạ qua đối đạo hàm và nhận biết tính lồi của hàm số qua dưới vi phân bậc hai Chương 3 nghiên cứu tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện... nghịch ảnh và quy tắc tổng Các công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh sau đây được thiết lập bởi B S Mordukhovich và B Wang (2004) 1.2.1 Định lý ([48]) Cho khả vi chặt tại x và g : X Y và Y với y = g() Giả sử g x g() : X Y là toàn ánh Khi đó, ta có x N x; g 1 () = g() N (; ) x y (1.5) N x; g 1 () = y g() N (; ) x (1.6) và Do hệ thống quy tắc tính toán của giải tích biến phân là khá... điều kiện đủ cho tính đơn điệu theo đối đạo hàm đầu tiên trong giải tích biến phân Hơn thế, nó cũng là một điều kiện cần nếu là Lipschitz địa phương hoặc f X là Hilbert Chúng tôi cũng thu được một số điều kiện đủ theo đối đạo hàm để một ánh xạ là đơn điệu trên một tập con của X (Định lý 2.3.17) Bằng cách áp dụng các kết quả trên cho ánh xạ đạo hàm, chúng tôi thu được một số điều kiện cần và điều kiện đủ... của lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich Các quy tắc tính toán quan trọng của lý thuyết vi phân suy rộng này, bao gồm quy tắc tổng (sum rule), quy tắc chuỗi (chain rule), quy 5 tắc giao (intersection rule), đã được nghiên cứu trong nhiều công trình, chẳng hạn, các công trình của A D Ioffe ([30], [31]), B S Mordukhovich ([47]), B S Mordukhovich và N M Nam ([49]), B S Mordukhovich và Y Shao ([56],... đơn điệu của ánh xạ và tính lồi của hàm số Các kết quả của chúng tôi trong mục này đã mở rộng một số kết quả cổ điển về đặc trưng tính đơn điệu của ánh xạ và đặc trưng tính lồi của hàm số Chương này được viết dựa trên các bài báo [15] và [70] 2.1 Kiến thức chuẩn bị Ngoài các khái niệm và kết quả trong Chương 1, để nghiên cứu định lý giá trị trung bình xấp xỉ, chúng ta cần thêm một số kết quả sau đây