Chương này được dành để nghiên cứu tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện. Cách tiếp cận ở đây là dựa vào tiêu chuẩn Mordukhovich. Để sử dụng tiêu chuẩn Mordukhovich, một trong những khâu quan trọng là thiết lập công thức ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm theo dữ liệu ban đầu của bài toán. Trong chương này, chúng tôi thu được một số công thức ước lượng như thế và các công thức này sau đó được sử dụng để thiết lập các kết quả mới về tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện.
Mục 3.1 dành để phát biểu bài toán được nghiên cứu trong chương này, giải thích ký hiệu và nhắc lại một số kiến thức liên quan. Mục 3.2 được dành để thiết lập các công thức ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm. Mục 3.3 trình bày các kết quả về tính ổn định kiểu Lipschitz.
3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện
Trong chương này, nếu không giải thích thêm,X là một không gian Banach phản xạ, T := 1,2, ..., m (m ≥ 1) và
a∗i ∈ X∗ | i ∈ T là một họ các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
Một tập con của X được gọi là tập lồi đa diện nếu nó biểu diễn được dưới dạng giao hữu hạn của các nửa không gian con đóng của X. Miền ràng buộc và tập nghiệm tối ưu của qui hoạch tuyến tính là những ví dụ về tập lồi đa diện. Với mỗi b = (b1, b2, ..., bm) ∈ Rm, đặt
Θ(b) := x ∈X | ha∗i, xi ≤ bi, ∀i ∈ T . (3.1) Như vậy, khi b biến thiên, ta thu được một họ các tập lồi đa diện Θ(b) phụ thuộc vào tham số b∈ Rm.
Cho F : K → X∗ là ánh xạ từ một tập lồi đóng khác rỗng K của không gian Banach X vào không gian đối ngẫu X∗. Bài toán tìm x ∈K sao cho
F(x), u−x ≥ 0 với mọi u ∈ K, (3.2) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu VI(K, F),trong đó F là trường véctơ và K là miền ràng buộc. Mỗi x ∈ K thỏa mãn (3.2) được gọi là một nghiệm của VI(K, F). Nếu K là một tập lồi đa diện, thì VI(K, F) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện. Nếu ánh xạ F là affine (đơn điệu, đơn điệu mạnh,...), thì tương ứng ta gọi VI(K, F) là bài toán bất đẳng thức biến phân affine (đơn điệu, đơn điệu mạnh,...). Trong trường hợp
X = Rn và K = Rn+, VI(K, F) tương đương với bài toán bù: tìm x∈ Rn sao cho 0 ≤ F(x) ⊥ x ≥ 0 ([25]).
Các bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu một cách có hệ thống từ đầu những năm 60 ([25]). Chúng đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát nhiều bài toán trong kinh tế, khoa học quản lý, vận trù học, cũng như trong kỹ thuật ([25], [36], [37], [77]). Định lý Hartman-Stampacchia là một kết quả quan trọng về sự tồn tại nghiệm của VI(K, F): nếu K ⊂ X là lồi đóng bị chặn và khác rỗng, X là một không gian Banach phản xạ và F : X → X∗ là đơn điệu và bán liên tục, thì VI(K, F) có nghiệm ([77, Theorem 1]). Nếu K là lồi compact khác rỗng, dimX < ∞ và F liên tục, thì VI(K, F) có nghiệm ([36, Theorem 3.1]). Trường hợp K không bị chặn, người ta thường tìm cách chuyển về trường hợp bị chặn, chẳng hạn dùng điều kiện bức ([77, Theorem 2]).
Cho f :Z ìX → X∗, b ∈ Rm và p ∈Z, với Z là một không gian Banach. Bài toán tìm x ∈Θ(b) sao cho
hf(p, x), u−xi ≥ 0 với mọi u ∈Θ(b), (3.3) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu, ký hiệu VI f(p,ã); Θ(b), ở đây x là biến số và p, b là các tham số.
Bất đẳng thức biến phân (3.3) có thể viết dưới dạng sau:
0 ∈ f(p, x) +N x; Θ(b), (3.4) ở đâyN x; Θ(b)là nón pháp tuyến của tậpΘ(b)tạixtheo nghĩa của giải tích lồi. Tương ứng với mỗi (p, b) ∈ Z ìRm phương trình suy rộng (3.4) có một tập nghiệm được ký hiệu S(p, b), tức là,
S(p, b) := n
x∈ X | 0 ∈f(p, x) +N x; Θ(b) o
. (3.5)
là tương đương, S(p, b) cũng là tập nghiệm của bài toán VI f(p,ã); Θ(b). Chính vì vậy, ánh xạ S : Z ì Rm
⇒ X, (p, b) 7→ S(p, b), sẽ được gọi là ánh xạ nghiệm của VI f(p,ã); Θ(b).
Khảo sát các tính chất của ánh xạ nghiệm là chủ đề trung tâm của lý thuyết ổn định trong giải tích biến phân. Bên cạnh tính ổn định của các bất đẳng thức biến phân, tính ổn định của những bài toán tổng quát hơn như bài toán cân bằng, tựa cân bằng, phương trình suy rộng,...cũng đã được nhiều tác giả nghiên cứu ([1], [2], [12], [20], [21], [37], [48], [59], [75], [80]).
Trong chương này, chúng tôi khảo sát tính ổn định kiểu Lipschitz của VI f(p,ã); Θ(b). Điều này có nghĩa là tính chất kiểu Lipschitz của ánh xạ nghiệm S(p, b) sẽ được nghiên cứu.
3.1.1 Định nghĩa. ([48, Definition 1.40]). Cho X và Y là các không gian Banach. Ta nói ánh xạ F : X ⇒ Y là kiểu Lipschitz (Lipschitz-like) quanh (¯x,y¯) ∈ gphF nếu và chỉ nếu tồn tại ` > 0 và δ > 0 sao cho
F(u)∩Bδ(¯y) ⊂ F(x) +`ku−xkBY với mọi u, x ∈ Bδ(¯x).
3.1.2 Định nghĩa. ([48, Definition 1.67]). Cho X và Y là các không gian Banach. Ta nói ánh xạ F : X ⇒ Y là compact pháp tuyến theo dãy từng phần tại (¯x,y¯) ∈ gphF nếu và chỉ nếu với mọi dãy εk ↓ 0 và mọi (xk, yk, x∗k, yk∗) ∈ X ìY ìX∗ìY∗ thỏa mãn
(xk, yk) → (¯x,y¯), x∗k ∈ Db∗εkF(xk, yk)(y∗k), x∗k w
∗
−→ 0 và y∗k −→kãk 0,
ta có x∗k −→kãk 0.
3.1.3 Chú ý. NếuF : X ⇒ Y là kiểu Lipschitz quanh(¯x,y¯)∈ gphF, thì F là compact pháp tuyến theo dãy từng phần tại (¯x,y¯) và DM∗ F(¯x,y¯)(0) = {0}, ở
đây X, Y là các không gian Banach ([48, Theorem 1.44 & Proposition 1.68]). 3.1.4 Định lý. (Tiêu chuẩn Mordukhovich, [48, Theorem 4.10]). Cho X và
Y là các không gian Asplund và F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng địa phương quanh điểm(¯x,y¯) ∈ gphF.Khi đó, F là kiểu Lipschitz quanh (¯x,y¯) nếu và chỉ nếu DM∗ F(¯x,y¯)(0) = {0} và F là compact pháp tuyến theo dãy từng phần tại (¯x,y¯).
Hệ {vi}m
i=1 gồm các phần tử của một không gian véctơ thực được gọi là độc lập tuyến tính dương nếu nó thỏa mãn điều kiện Pm
i=1
λivi = 0 và λi ≥ 0, i = 1,2, ..., m, khi và chỉ khi λi = 0 với mọi i= 1,2, ..., m.
Tập chỉ số hoạt tương ứng với (x, b)∈ gphΘ được xác định bởi
I(x, b) := {i∈ T | ha∗i, xi = bi},
ở đây bi là tọa độ thứ i củab ∈Rm. Với∅ 6= I ⊂ T, ký hiệu bI là véctơ có các thành phần tọa độ bi được sắp xếp theo sự tăng dần củai ∈ I, và I¯:=T\I.
3.2 Công thức ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm
Mục này thiết lập các công thức ước lượng đối đạo hàm qua giới hạn của ánh xạ nghiệm của VI f(p,ã); Θ(b). Các ước lượng này sẽ đóng vai trò quan trong trong việc khảo sát tính ổn định kiểu Lipschitz ở mục sau.
Ta gọi ánh xạ đa trị F :X ìRm
⇒ X∗ được xác định bởi F(x, b) := N x; Θ(b) với mọi(x, b) ∈X ìRm,
Với (¯x,¯b,x¯∗) ∈gphF, đặt I := I(¯x,¯b), Ξ(¯x,¯b,x¯∗) := n λ = (λj)j∈I | λI ≥ 0, x¯∗ = X j∈I λja∗j o và I1(¯x,¯b,x¯∗) := n i ∈ I | ∃λ ∈ Ξ(¯x,¯b,x¯∗) : λi = 0 o . Với các tập chỉ số P và Q thỏa mãn P ⊂ Q ⊂ T, đặt AQ,P := spana∗i | i ∈ P}+ pos{a∗j | j ∈ Q\P , BQ,P := x∈ X | ha∗i, xi = 0 ∀ i ∈ P, ha∗j, xi ≤ 0 ∀j ∈ Q\P , và FQ := n x ∈ X| ha∗i, xi = ¯bi, ∀i ∈ Q, ha∗j, xi < ¯bj, ∀j ∈ T\Q , ở đây spana∗i | i ∈ P} := P i∈Q λia∗i |λi ∈ R, i ∈Q và posa∗j | j ∈Q\P} := X j∈Q\P λja∗j |λj ≥ 0, j ∈ Q\P .
Qui ước span∅ = pos∅ = {0}. Lưu ý rằng, với x¯ ∈ Θ(¯b), nhờ Bổ đề Farkas, ta có N x¯; Θ(¯b)= posa∗j |j ∈I(¯x,¯b) .
3.2.1 Bổ đề. ([65, Corollary 4.1]). Giả sử x,¯ ¯b,x¯∗ ∈gphF vàλ ∈ Ξ(¯x,¯b,x¯∗). Khi đó, nón pháp tuyến Fréchet của tậpgphF tại điểm x,¯ ¯b,x¯∗được xác định bởi công thức b N x,¯ ¯b,x¯∗; gphF = n(x∗, b∗, v)|(x∗, v) ∈ AI,J1(λ)ì BI,J1(λ), b∗ ∈Rm, b∗I¯= 0, b∗I1 ≤ 0, x∗ = −P j∈I b∗ja∗j o , ở đây I¯:=T\I, I1 = I1(¯x,¯b,x¯∗) và J1(λ) := {j ∈I |λj > 0}. 3.2.2 Bổ đề. Với mỗi x,¯ ¯b,x¯∗ ∈ gphF, ta có N x,¯ ¯b,x¯∗; gphF ⊃ n(x∗, b∗, v)|(x∗, v)∈ AQ,P ì BQ,P, x∗ =− P i∈Q b∗ia∗i, λ ∈ Ξ(¯x,¯b,x¯∗), J1(λ) ⊂ P ⊂ Q ⊂ I, b∗ ∈ Rm, b∗Q¯ = 0, bQ∗\J ≤ 0, FQ 6= ∅o, (3.6) ở đây J1(λ) := {i ∈ I|λi > 0}, Q¯ := T\Q và J := I\I1 x,¯ ¯b,x¯∗.
Chứng minh. Lấy một điểm (x∗, b∗, v) bất kỳ thuộc tập hợp ở vế phải của bao hàm thức (3.6). Khi đó, tồn tại λ = (λi)i∈I ∈ Ξ(¯x,¯b,x¯∗), b∗ ∈ Rm và hai tập chỉ số P, Qsao cho J1(λ) ⊂ P ⊂ Q ⊂ I, FQ 6= ∅ và (x∗, v) ∈ AQ,P ì BQ,P, x∗ =−X i∈Q b∗ia∗i, b∗Q¯ = 0, b∗Q\J ≤ 0. (3.7) Cố định x˜ ∈ FQ và đặt xk := k−1x˜ + (1− k−1)¯x, bk := ¯b. Ta có xk ∈ FQ, I(xk, bk) = Q và xk → x¯ khi k → ∞. Do J1(λ) ⊂ P, x¯∗ = P i∈P λia∗i. Vì vậy ¯ x∗k := P i∈P
(λi +k−1)a∗i → x¯∗ khi k → ∞. Hơn nữa, do P ⊂ Q = I(xk, bk), ¯
x∗k = X
i∈P
(λi +k−1)a∗i ∈ N xk; Θ(bk), (3.8) ta có (xk, bk,x¯k∗) −−−→gphF (¯x,¯b,x¯∗). Nhờ (3.8), Q\P ⊂ I1(xk, bk,x¯∗k) ⊂ Q
với mọi k. Bằng cách thay dãy con nếu cần, giả sử I1(xk, bk,x¯∗k) = ˜I1 với mọi
k ∈ N. Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minhI˜1 ⊂ Q\J. Lấy bất kỳi ∈ I˜1. Khi đó, với mỗik ∈N,và với mỗij ∈ Q\{i}, tồn tạiàkj ≥ 0sao chox¯∗k = P
j∈Q\{i}
àkja∗j. Nghĩa là x¯∗k ∈ posa∗j | j ∈ Q\{i} với mọi k. Thêm vào đó, x¯∗k → x¯∗ và posa∗j | j ∈ Q\{i} là một tập đóng, ta có x¯∗ ∈ posa∗j | j ∈ Q\{i} . Do đó, tồn tại àj ≥ 0 với mọi j ∈ Q\{i} sao cho x¯∗ = P
j∈Q\{i}
àja∗j. Từ đó suy ra
i ∈ I1. Kết hợp J = I\I1, ta có i 6∈ J và i ∈ Q\J. Như vậy I˜1 ⊂ Q\J. Vì
I1(xk, bk,x¯k∗) = ˜I1 ⊂ Q\J với mọik, nên, nhờ (3.7), ta có (x∗, v) ∈ AQ,P ì BQ,P, x∗ =−X i∈Q b∗ia∗i, b∗Q¯ = 0, b∗I˜ 1 ≤ 0. Theo Bổ đề 3.2.1, (x∗, b∗, v) ∈ Nb (xk, bk,x¯∗k); gphF với mọi k. Do đó, (x∗, b∗, v) ∈ N (¯x,¯b,x¯∗); gphF và (3.6) được chứng minh. 2
Phép chứng chứng minh Bổ đề 3.2.2 ở trên là dựa vào lược đồ chứng minh được đưa ra trong [78]. Lược đồ này tỏ ra hữu hiệu trong việc nghiên cứu vi
phân suy rộng của các ánh xạ nón pháp tuyến của tập lồi đa diện. Nó đã được nhiều tác giả sử dụng và phát triển ([28], [29], [60], [65], [66], [67]).
3.2.3 Bổ đề. ([65, Theorem 4.1]). Dưới các giả thiết của Bổ đề 3.2.2, nếu hệ {a∗i |i ∈ I(¯x,¯b)} là độc lập tuyến tính dương, thì N (¯x,¯b,x¯∗); gphF ⊂ n(x∗, b∗, v) | (x∗, v)∈ AQ,P ì BQ,P, b∗ ∈ Rm, x∗ =− P i∈Q b∗ia∗i, b∗Q¯ = 0, b∗Q\P ≤ 0, J ⊂ P ⊂ Q ⊂ I o . (3.9) 3.2.4 Chú ý. N. M. Nam ([60]) đã chứng minh được rằng (3.9) trở thành đẳng thức khi hệ {a∗i |i ∈ I(¯x,¯b)} là độc lập tuyến tính. Nếu bỏ giả thiết độc lập tuyến tính dương, thì chúng tôi chưa rõ là (3.9) còn đúng hay không. Tuy nhiên, điều này không còn cần thiết cho việc khảo sát tính ổn định kiểu Lipschitz, bởi vì trong mục tiếp theo của luận án này, chúng tôi đã chứng minh được nếu hệ {a∗i |i ∈ I(¯x,¯b)} phụ thuộc tuyến tính dương, thì ánh xạ nghiệm S(p, b) của VI f(p,ã); Θ(b) là không kiểu Lipschitz quanh (¯p,¯b,x¯) ∈ gphS.
Kết quả chính của mục này được phát biểu như sau.
3.2.5 Định lý. Giả sử f : Z ì X → X∗ là một ánh xạ khả vi chặt tại (¯p,x¯) và đạo hàm riêng ∇pf(¯p,x¯) : Z → X∗ là một toàn ánh. Gọi
S : Z ì Rm ⇒ X là ánh xạ nghiệm của bài toán VI f(p,ã); Θ(b), tức là S(p, b) := x ∈ X|0 ∈ f(p, x) + N x; Θ(b) . Đặt x¯∗ := −f(¯p,x¯),
I :=I(¯x,¯b) và J := I\I1(¯x,¯b,x¯∗). Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng: (i) Nếu hệ {a∗j |j ∈ I} là độc lập tuyến tính dương, thì
DM∗ S(¯p,¯b,x¯)(x∗)⊂ D∗NS(¯p,¯b,x¯)(x∗) ⊂ n(p∗, b∗)| −v ∈ BQ,P, p∗ =∇pf(¯p,x¯)∗v, b∗ ∈ Rm, b∗Q¯ = 0, b∗Q\P ≤ 0, x∗+∇xf(¯p,x¯)∗v = P i∈Q b∗ia∗i, J ⊂ P ⊂ Q ⊂ Io, (3.10)
với mọi x∗ ∈ X∗.
(ii) Nếu X là hữu hạn chiều, thì
DN∗ S(¯p,¯b,x¯)(x∗) = DM∗ S(¯p,¯b,x¯)(x∗) ⊃ n(p∗, b∗)| −v ∈ BQ,P, p∗ = ∇pf(¯p,x¯)∗v, b∗ ∈Rm, bQ∗¯ = 0, b∗Q\J ≤ 0, λ∈ Ξ(¯x,¯b,x¯∗), x∗+∇xf(¯p,x¯)∗v = P i∈Q b∗ia∗i, J1(λ) ⊂ P ⊂ Q ⊂ I, FQ 6= ∅o, (3.11) với mọi x∗ ∈ X∗.
Chứng minh. Giả sử các giả thiết của định lý được thỏa mãn. Xét ánh xạ
g : Z ìRm ìX → X ìRmì X∗ cho bởi g(p, b, x) := x, b,−f(p, x) với mọi (p, b, x) ∈Z ìRmìX. Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh g là một ánh xạ khả vi chặt tại điểm (¯p,¯b,x¯)và∇g(¯p,¯b,x¯) : ZìRmìX →XìRmìX∗ là toàn ánh. Đặt y := (p, x) và w := (p, b, x). Vì f là ánh xạ khả vi chặt tại ¯ y := (¯p,x¯), nên kf(y1)− f(y2)− ∇f(¯y)(y1 − y2)k = o(ky1 − y2k), ở đây yi := (pi, xi) (i = 1,2) và lim y1,y2→y¯ o(ky1−y2k) ky1−y2k = 0. Do đó, kg(w1)−g(w2)−A(w1−w2)k = o(ky1−y2k), với wi := (pi, bi, xi), yi := (pi, xi) (i = 1,2) và A : Z ìRmì X → X ìRmì X∗ là ánh xạ cho bởiA(p, b, x) := x, b,−∇f(¯y)(p, x).Vì vậy,A là một ánh xạ tuyến tính liên tục và kg(w1)−g(w2)−A(w1−w2)k = o(kw1−w2k), với w¯ := (¯p,¯b,x¯) và
lim
w1,w2→w¯
o(kw1−w2k) kw1−w2k = 0.
Điều này chứng tỏ g là một ánh xạ khả vi chặt tại w¯ và ∇g( ¯w) = A. Lưu ý rằng ∇f(¯y)(y) =∇pf(¯y)(p) +∇xf(¯y)(x). Ta có
với mọi (p, b, x) ∈ Z ìRm ìX. Lấy bất kỳ (x, b, x∗) ∈ X ì Rm ì X∗. Vì ∇pf(¯y) : Z → X∗ là toàn ánh và −x∗− ∇xf(¯y)(x) ∈ X∗, nên tồn tại p ∈ Z
sao cho ∇pf(¯y)(p) = −x∗− ∇xf(¯y)(x). Do đó A(p, b, x) = (x, b, x∗). Như vậy, g là khả vi chặt tại w¯ và ∇g( ¯w) = A : Z ìRm ìX → X ì Rm ìX∗
là toàn ánh. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm ánh xạ liên hợp A∗ của A. Vì X
là một không gian Banach phản xạ, bằng cách đồng nhất X∗∗ với X, ta có
A∗ : X∗ìRm ìX → Z∗ìRm ìX∗. Với mỗi (x∗, b∗, v) ∈ X∗ìRmìX, từ định nghĩa của ánh xạ liên hợp và công thức xác định A, suy ra
A∗(x∗, b∗, v),(p, b, x)= (x∗, b∗, v), A(p, b, x)
= x∗, x+b∗, b+v,−∇pf(¯y)(p)− ∇xf(¯y)(x)
= − ∇pf(¯y)∗(v), p+b∗, b+x∗− ∇xf(¯y)∗(v), x
= − ∇pf(¯p,x¯)∗v, b∗, x∗− ∇xf(¯p,x¯)∗v,(p, b, x),
với mọi (p, b, x) ∈ Z ìRmìX. Điều này chứng tỏ
∇g(¯p,¯b,x¯)∗(x∗, b∗, v) = − ∇pf(¯p,x¯)∗v, b∗, x∗− ∇xf(¯p,x¯)∗v. (3.12) Mặt khác, gphS = n (p, b, x) | −f(p, x) ∈ N x; Θ(b) o =n(p, b, x) | −f(p, x) ∈ F(x;b)o =g−1(gphF). Do đó, theo Định lý 1.2.1, N (¯p,¯b,x¯); gphS= ∇g(¯p,¯b,x¯)∗N g(¯p,¯b,x¯); gphF . (3.13)
(i) Bây giờ chúng ta thêm giả thiết hệ {a∗j|j ∈ I} là độc lập tuyến tính dương và sẽ chứng minh (3.10) đúng. Lấy bất kỳ x∗ ∈ X∗ và
(p∗, b∗) ∈ D∗NS(¯p,¯b,x¯)(x∗). Theo định nghĩa đối đạo hàm pháp tuyến, (p∗, b∗,−x∗) ∈ N (¯p,¯b,x¯); gphS. Vì vậy, nhờ (3.12) và (3.13), tồn tại (˜x∗,˜b∗,−v) ∈ N g(¯p,¯b,x¯); gphF sao cho (p∗, b∗,−x∗) = ∇pf(¯p,x¯)∗v,˜b∗,x˜∗+∇xf(¯p,x¯)∗v. Mặt khác, theo Bổ đề 3.2.3, N g(¯p,¯b,x¯); gphF ⊂ n(x∗, b∗, v) | (x∗, v) ∈ AQ,P ì BQ,P, b∗ ∈Rm, x∗ = − P i∈Q b∗ia∗i, b∗Q¯ = 0, bQ∗\P ≤ 0, J ⊂ P ⊂ Q ⊂ Io.
Do đó, tồn tại các tập P, Qsao cho J ⊂ P ⊂ Q ⊂ I, (˜x∗,−v) ∈ AQ,Pì BQ,P,
˜ x∗ = − P i∈Q ˜b∗ ia∗i,˜bQ∗¯ = 0,˜b∗Q\P ≤ 0. Lưu ý rằng ˜b∗ = b∗ và x˜∗ ∈ AQ,P, ta có D∗NS(¯p,¯b,x¯)(x∗)⊂ n(p∗, b∗)| −v ∈ BQ,P, p∗ = ∇pf(¯p,x¯)∗v, b∗ ∈ Rm, b∗Q¯ = 0, b∗Q\P ≤ 0, x∗+∇xf(¯p,x¯)∗v = P i∈Q b∗ia∗i, J ⊂ P ⊂ Q ⊂ Io. Từ đó ta suy ra (3.10), bởi vì DM∗ S(¯p,¯b,x¯)(x∗)⊂ D∗NS(¯p,¯b,x¯)(x∗).
(ii) Giả sửX là không gian hữu hạn chiều. Rõ ràng, vìS : ZìRm
⇒X, nên
DM∗ S(¯p,¯b,x¯)(x∗) = DN∗ S(¯p,¯b,x¯)(x∗). Lấy bất kỳ x∗ ∈ X∗ và (p∗, b∗) thuộc tập hợp ở vế phải của bao hàm thức trong (3.11). Khi đó, tồn tạiλ ∈ Ξ(¯x,¯b,x¯∗), và các tập chỉ số P, Q sao cho J1(λ) ⊂ P ⊂ Q ⊂ I, FQ 6=∅, −v ∈ BQ,P và p∗ = ∇pf(¯p,x¯)∗v, x∗+∇xf(¯p,x¯)∗v = X i∈Q b∗ia∗i, bQ∗¯ = 0, b∗Q\J ≤ 0. Theo Bổ đề 3.2.2, N ¯ x,¯b,x¯∗; gphF ⊃ n(x∗, b∗, v)|(x∗, v)∈ AQ,P ì BQ,P, x∗ =− P i∈Q b∗ia∗i, λ ∈ Ξ(¯x,¯b,x¯∗), J1(λ) ⊂ P ⊂ Q ⊂ I, b∗ ∈ Rm, b∗Q¯ = 0, bQ∗\J ≤ 0, FQ 6= ∅o.
Lưu ý rằng J ⊂ J1(λ)⊂ P. Từ đó suy ra, (−x∗− ∇xf(¯p,x¯)∗v, b∗,−v) ∈ N g(¯p,¯b,x¯); gphF . Mặt khác, ∇g(¯p,¯b,x¯)∗(−x∗− ∇xf(¯p,x¯)∗v, b∗,−v) = (p∗, b∗,−x∗). Do đó, theo (3.13), (p∗, b∗,−x∗) ∈ N (¯p,¯b,x¯); gphS. Nói cách khác, (p∗, b∗) ∈DN∗ S(¯p,¯b,x¯)(x∗). Như vậy, (3.11) được chứng minh. 2
3.3 Tính ổn định kiểu Lipschitz của bài toán VI f(p,ã); Θ(b)
Để khảo sát tính chất kiểu Lipschitz của ánh xạ nghiệm của VI f(p,ã); Θ(b),
bên cạnh các ước lượng đối đạo hàm được thiết lập ở mục trước, chúng ta cần thêm một số kết quả sau đây.
3.3.1 Bổ đề. Cho F : XìRm
⇒X∗ là ánh xạ nón pháp tuyến được xác định bởi F(x, b) =N(x; Θ(b)) với mọi (x, b) ∈ X ìRm. Khi đó, gphF là một tập con đóng trong (X ì Rm ì X∗, τkãk), ở đây τkãk là tôpô sinh bởi chuẩn của không gian tích X ìRm ìX∗.
Chứng minh. Lấy {(¯xk,¯bk,x¯∗k)} ⊂ gphF là một dãy bất kỳ thỏa mãn (¯xk,¯bk,x¯∗k) −→kãk (¯x,¯b,x¯∗) ∈ X ì Rm ì X∗. Để chứng minh gphF là một tập con đóng trong (XìRmìX∗, τkãk), ta chỉ cần chứng minh x¯∗ ∈ F(¯x,¯b). Trước hết, tồn tạiδ >0sao choI(x, b) ⊂ I(¯x,¯b)với mọi(x, b)∈ Bδ(¯x)ìBδ(¯b) thỏa mãn x ∈ Θ(b). Mặt khác, (¯xk,¯bk) → (¯x,¯b), do đó, không mất tính tổng quát, giả sử rằng I(¯xk,¯bk)⊂ I(¯x,¯b) với mọi k ∈N. Từ đó ta suy ra
¯
x∗k ∈ N x¯k; Θ(¯bk) = pos{a∗j|j ∈ I(¯xk,¯bk)}
Thêm vào đó N x¯; Θ(¯b) là một tập đóng, ta có x¯∗ ∈ N x¯; Θ(¯b). Điều này