Y∗ ,y−g (¯ x)

ky−g(¯x)k ≤ 0. Mặt khác, từ giả thiết g

khả vi tại x¯ ta suy ra tồn tại ` > 0 vàr > 0sao cho kg(x)−g(¯x)k ≤`kx−x¯k với mọi x ∈Br(¯x). Do đó, lim sup x−→Ω x¯ hx∗, x−x¯i kx−x¯k = lim sup x−→Ω x¯ h∇g(¯x)∗(y∗), x−x¯i kx−x¯k = lim sup x−→Ω x¯ hy∗,∇g(¯x)(x−x¯)i kx−x¯k = lim sup x−→Ω x¯ hy∗, g(x)−g(¯x) +o(kx−x¯k)i kx−x¯k = lim sup x−→Ω x¯ hy∗, g(x)−g(¯x)i kx−x¯k ≤ lim sup x−→Ω x¯ max n 0, hy∗, g(x)−g(¯x)i `−1kg(x)−g(¯x)k o ≤ `−1lim sup y−→K g(¯x) max n 0,hy∗, y−g(¯x)i ky−g(¯x)k o ≤ 0.

Từ đây suy ra x∗ ∈ Nb x,¯ Ω và ta có (1.12). Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, giả sử rằng với mọi hàm mục tiêu khả vi tạix¯, điều kiện dạng Karush- Kuhn-Tucker cho (P) là đúng tại x¯ nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P).

Lấy bất kỳ x∗ ∈ Nb x¯; Ω. Theo Bổ đề 1.3.3, tồn tại hàmf : X → R khả vi tại ¯

x và đạt cực tiểu địa phương trên Ω tại x¯ sao cho ∇f(¯x) = −x∗. Vì điều kiện kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho (P) là đúng tạix¯ nên tồn tại y∗ ∈N gb (¯x);K

sao cho ∇f(¯x) +∇g(¯x)∗y∗ = 0. Do đó,

x∗ = −∇f(¯x) =∇g(¯x)∗y∗ ∈ ∇g(¯x)∗N gb (¯x);K.

Điều này kéo theo

b

N x¯; Ω ⊂ ∇g(¯x)∗N gb (¯x);K. (1.13) Từ (1.12) và (1.13) ta suy ra công thức (1.11) đúng.

Ngược lại, giả sử công thức (1.11) đúng vàf :X →R là một hàm số khả vi tại x¯ và đạt cực tiểu địa phương trên Ωtại x¯. Xét hàm số ϕ :X → R∪ {+∞} cho bởi ϕ(x) := f(x) +δ x; Ω.Vìx¯ là cực tiểu địa phương trênΩ củaf, nên

¯

x cũng là cực tiểu địa phương của ϕ. Theo Bổ đề 1.3.2 và Hệ quả 1.2.4, ta có 0 ∈ ∂ϕb (¯x) = ∇f(¯x) +Nb x¯; Ω. Vì vậy, nhờ (1.11), tồn tại y∗ ∈ N gb (¯x);K

sao cho ∇f(¯x) +∇g(¯x)∗y∗ = 0. Do đó, điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker cho (P) đúng tại x.¯ Định lý được chứng minh. 2

Phần còn lại của mục này sẽ trình bày một số điều kiện đủ để công thức tính nón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi là đúng.

1.3.5 Hệ quả. Xét trường hợp Y :=Rm, K :={0Rp} ìRm−−p và g :X → Rm

khả vi tại x¯ ∈ Ω := g−1(K). Giả sử chuẩn hóa ràng buộc Guignard được thỏa mãn tại x.¯ Khi đó, ta có Nb x¯; Ω= ∇g(¯x)∗N gb (¯x);K.

Chứng minh. Giả sử f : X → R là một hàm khả vi tại x¯ và đạt cực tiểu địa phương trên Ωtạix.¯ Khi đó, ta có∇f(¯x)(v) ≥ 0với mọi v ∈ T(¯x; Ω).Vì vậy, 0 ∈ ∇f(¯x) + T(¯x; Ω)−. Mặt khác,

T(¯x; Ω)− = ∇g(¯x)∗N g(¯x);K. Do đó, điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker đúng tại x.¯ Theo Định lý 1.3.4, ta có

b

N x¯; Ω= ∇g(¯x)∗N gb (¯x);K. 2

1.3.6 Định nghĩa. ([12, p. 67]). Cho g :X → Y là khả vi liên tục, K ⊂ Y là lồi đóng và x¯ ∈ Ω := g−1(K). Ta nói rằng chuẩn hóa ràng buộc Robinson là đúng tại x¯ nếu 0 ∈ intg(¯x) +∇g(¯x)(X)−K .

Lưu ý rằng trong trường hợp Ω là miền ràng buộc của một quy hoạch phi tuyến, chuẩn hóa ràng buộc Robinson trùng với chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz.

1.3.7 Bổ đề. ([33, Theorem 1.6]). Cho f : X → R là một hàm số khả vi tại ¯

x ∈ Ω và g : X → Y là một ánh xạ khả vi liên tục tại x,¯ ở đây Ω := g−1(K) và K ⊂ Y. Giả sử rằng chuẩn hóa Robinson đúng tại x¯ và f đạt cực tiểu địa phương trên Ω tại x.¯ Khi đó, ta có 0 ∈ ∇f(¯x) +∇g(¯x)∗N gb (¯x);K.

Kết quả sau đây cho thấy rằng nếu miền ràng buộc thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc Robinson thì công thức tính nón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi là đúng.

1.3.8 Hệ quả. Cho g : X → Y là một ánh xạ khả vi liên tục và K là một tập con lồi đóng của Y. Giả sử chuẩn hóa ràng buộc Robinson đúng tại

¯

x ∈Ω := g−1(K). Khi đó, ta có Nb x¯; Ω =∇g(¯x)∗N gb (¯x);K.

phương trên Ω tại x.¯ Theo Bổ đề 1.3.7, 0 ∈ ∇f(¯x) +∇g(¯x)∗N gb (¯x);K. Do đó, theo Định lý 1.3.4, Nb x¯; Ω= ∇g(¯x)∗N gb (¯x);K. 2