Bài giảng số 1.Bất đẳng thức cô si và ứng dụng

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Vấn đề 1: Bất đẳng thức Cauchy A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT BĐT cauchy cho hai số không âm a và b: ab ba   2 , dấu bằng xảy ra khi a = b BĐT cauchy cho ba số không âm a , b, c: abc cba    3 , dấu bằng xảy ra khi a = b = c BĐT cauchy tổng quát: Cho a 1 , a 2 , , a n  0 ta luôn có: n n n aaa n aaa 21 21   . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n Một số bất đẳng thức phụ suy ra từ bất đẳng thức Cauchy i) 1 1 4 ( , 0) a b a b a b     ii) 1 1 1 9 ( , , 0) a b c a b c a b c       B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1. Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức cosi Ví dụ 1: CMR với mọi ta có: 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x                        Luyện tập: 1) Cho các số dương x, y, z thoả mãn 1 xyz  . Chứng minh rằng : 2) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng : TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 2. Kỹ thuật tách số mũ Ví dụ 2: a) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a 3 + b 3 + c 3  a 2 b + b 2 c +c 2 a b) Cho 10   x . CMR 3 27 (1 ) 256 x x  Luyện tập: 3) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a 4 + b 4 + c 4  abc( a +b + c) 4) Cho a, b dương. Chứng minh rằng : 3 3 2 3 7 9 a b ab   5) minh rằng với mọi số dương a b, c ta luôn có 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc          3. Kỹ thuật tách thêm bớt Ví dụ 3: Cho 0,,  cba sao cho 3    cba . CMR a) 3 333  cba b) 333444 cbacba  Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương và 1. x y z    CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82. x y z x y z       Luyện tập: 6 ) Cho x, y, z dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 7) Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 8) Cho , 0. a b  Chứng minh rằng: 1 3. ( ) a b a b    9) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 4 ( , 0). P xy x y x y xy      4. Áp dụng các bất đẳng thức phụ Ví dụ 5: Cho x, ,y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 x y z    . CMR Luyện tập 10) Chứng minh rằng với mọi 0 x  và với mọi 0   ta luôn có 1 . x x       Từ đó chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kì thì: 3 3 3 3 3 3 . a b c a b c b c a b c a      11) Chứng minh rằng ( , , 0). 2 ab bc ca a b c a b c a b b c c a          C. BÀI TẬP TỔNG HỢP 12) Chứng minh rằng 3 2 4 3 5 ( , , 0) x y z xz yz xy x y z        13) Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng 14) Cho x, y, z > 0 thoả mãn 3. x y z    Chứng minh: 15) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 1 1 1 2. 1 1 1 a b c       Chứng minh: 1 8 abc  TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 16) Cho các số , , 0, 1. x y z x y z     Chứng minh rằng : 17) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 2 z xy  với , 0. 1 yx y    18) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 1. x y z    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 19) Cho , 0; 1. , z xyz x y   Chứng minh rằng : 3 3 3 . x y z x y z      20) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8 8 8 2 2 2 a b c a b c      . 21) Cho , 0. x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4 ( )( 1) U x x y y     22) Cho , 0. a b  Chứng minh rằng 3 3 3 3 1 1 . a a b b a b a b      . Cho a 1 , a 2 , , a n  0 ta luôn có: n n n aaa n aaa 21 21   . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n Một số bất đẳng thức phụ suy ra từ bất đẳng thức Cauchy i) 1 1 4 (. Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng 14 ) Cho x, y, z > 0 thoả mãn 3. x y z    Chứng minh: 15 ) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 1 1 1 2. 1 1 1 a b c       Chứng minh: 1 8 abc  . b a b a b     ii) 1 1 1 9 ( , , 0) a b c a b c a b c       B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1. Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức cosi Ví dụ 1: CMR với mọi ta có: 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x