Bat dang thuc Co Si va ung dung

áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác Bài toán số 3... để chứng minh * ta cần chứng minh: ThËt vËy:..[r]

Mét Sè øNG DôNG CñA BÊT §¼NG THøC C¤ SI ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bµi to¸n sè Cho a, b, c > Chøng minh r»ng 1  a  b  c      9  a b c *Ph©n tÝch: Vế trái chứa a, b, c > và các nghịch đảo chúng Vì ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi Lêi gi¶i: 1 , , a b c Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c và ta cã: a  b  c 3 abc 1 1   3 a b c abc Nhân vế hai bất đẳng thức trên ta đợc: 1  a  b  c      9 a b c (®pcm) C¸ch 2: 1 b a c a b c  a  b  c      3             3    9 a b c a b a c c b DÊu "=" x¶y  a b c Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức: a b c   3 b c a a (a, b, c > 0) 2 b a  b  c ab  bc  ca Bµi to¸n sè 1.2 Chøng minh r»ng: x2  2 x  R a x  ¸p dông B§T C«si cho sè x2 +1 vµ x 8 6 x  x > b ¸p dông B§T C«si cho sè x - vµ  a  b   ab  1 4ab c ¸p dông B§T C«si ta cã a, b 0 a  b 2 ab ab  2 ab Nhân vế BĐT trên ta suy đợc đpcm Bµi to¸n sè 1.3 Chøng minh r»ng: a  a  b   b  c   c  a  8abc a, b, c 0 b a   b   b   c   c   a  6abc 2 2 2 2 ¸p dông B§T C«si cho sè a , a b , b , b c , c , c a Bµi to¸n sè 1.4 a n sè d¬ng a1, a2, , an Chøng minh r»ng: n 1    a1 a2 an  n a1a2 an b.NÕu a1, a2, , an d¬ng vµ a1a2 an = th× a1+ a2 + + an n ¸p dông B§T C«si cho n sè d¬ng trªn) Bài toán số Chứng minh bất đẳng Netbit a b c    b  c a  c a  b a, b, c > Gi¶i §Æt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi đó x, y, z > và a yz x xz y xy z ,b  ,c  2 Ta cã: a b c 1 y  z  x x z  y x y  z         b c a c a b 2 2   1 x y x z y z               3  2 y x z x z x  DÊu "=" x¶y vµ chØ x= y= z C¸ch kh¸c:  a b c 1 x y z x y z x y z        6 b c a c a b 2 x y z  1 1  1    x  y  z       6      2  x y z  Khai th¸c bµi to¸n: Bằng cách tơng tự, ta có thể chứng minh đợc các bất đẳng thức sau: với a, b, c d¬ng ta cã: 2 + + ≥ b+c c+ a a+ b a+b+ c a2 b2 c a+b+ c + + ≥ b+c c+ a a+ b 1 + ≥ Bµi to¸n sè 2.2 Cho x, y > Chøng minh r»ng (1) x y x+ y Ph©n tÝch: Do x, y > nªn B§T (1) cã thÓ suy tõ B§T C«si hoÆc xÐt hiÖu Gi¶i C¸ch 1: Sö dông B§T C«sic cho sè d¬ng x, y: x+ y ≥ √ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy x+ y ⇔ ≥ xy x+ y 1 ⇔ + ≥ x y x+ y C¸ch XÐt hiÖu cña vÕ: y ( x+ y )+ x ( x+ y ) − xy ( x − y )2 1 ( 1) ⇔ + − ≥0⇔ ≥0 ⇔ ≥0 x y x+ y xy ( x + y ) xy ( x+ y ) (2) Do x > 0, y > nên BĐT (2) luôn đúng Vậy (1) luôn đúng (đpcm) Khai th¸c bµi to¸n: Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chøng minh B§T sau: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c ( ) đó p= a+b +c Bµi tËp t¬ng tù: Bµi Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 a +b b + c a +c a +b + c + + ≤3 a+b c +b a+c a+ b+c ( ) Bµi Cho a, b, c, d lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh r»ng: a4 b4 c4 d2 a+b+ c+ d + + + ≥ 2 2 2 2 ( a+b ) ( a + b ) ( b+ c ) ( b +c ) ( c +d ) ( c +d ) ( d +a ) ( d + a ) Bµi Cho ≤ a , b , c ≤ Chøng minh r»ng: a2 +b 2+ c ≤ 1+ a2 b+b2 c +c a Bµi Cho a > 0, b > 0, c > Chøng minh: a b c 1 + + ≥2 + − bc ac ab a b c ( ) Bµi Cho x, y, z > Chøng minh r»ng: x2 y + z + ≥x y+z Bµi Cho a, b > Chøng minh r»ng: a b −√a ≥ √b − √b √a Bµi Cho x, y > Chøng minh r»ng: x3 2x − y ≥ 2 x + xy+ y Bµi Cho x, y ≠ Chøng minh r»ng: x4 + y4 ≤ x6 y6 + y2 x2 Bµi Cho a, b > Chøng minh r»ng: √ab ≤ √ ab √a+ √ b áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT tam giác Bài toán số Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác a b c + + ≥ Chøng minh r»ng: b+c − a a+c −b a+b − c Gi¶i: C¸ch đặt x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c Khi đó x, y, z > và a= x +2 y ,b= x+2 z ,c = y +2 z VÕ tr¸i: a b c x+ y y+ z z+ x + + = + + b+c − a a+c −b a+b − c z x y x y x z y z ¿ + + + + + ≥ ( 2+2+2 )=3 y x z x z y ( ( ) ) DÊu b»ng x¶y ¿ x y + =2 y x x z + =2 z x y z + =2 z y ⇔ x= y =z ⇔ a=b=c ¿{{ ¿ C¸ch Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài cạnh tam giác nên ta có: a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > ¸p dông B§T C«si cho c¸c cÆp sè d¬ng: a+ b −c +a+ c − b =a √ ( a+b − c )( a+ c − b ) ≤ √ ( a+c −b )( b+ c − a ) ≤ c √ ( b+ c − a ) (a+ b −c )≤ b NhËn thÊy c¸c vÕ cña B§T trªn lµ c¸c sè d¬ng vµ B§T nµy cïng chiÒu, nhân vế chúng ta đợc: ( a+b − c ) ( a+c −b )( b+ c − a ) ≤abc Ta cã: a b c abc + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c ( b+c −a )( a+c − b ) ( a+ b− c ) abc =3 abc √ √ Bài tập 3.1 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác ABC, Chøng minh r»ng: ( a+b +c ) ≤ bc (*) Gi¶i V× a ≤ b ⇒ ( a+ b+c )2 ≤ ( b+ b+c )2=( b+ c )2 để chứng minh (*) ta cần chứng minh: ThËt vËy: ( b+c )2 ≤ bc ( b+ c )2 ≤ bc ⇔ b2 + bc+c ≤ bc ⇔ b2 − bc+ c ≤ bc ⇔ ( 2b − c ) ≤ bc Ta cã: 0<2 b − c ≤ 2b − b=b 0<2 b −c ≤2 c − c=c } ⇒ ( b −c ) ≤ bc (®pcm) Bµi tËp 3.2 Chøng minh r»ng a b c + 2 + 2 < √3 √b + c √c +a √ a + b (*) Trong đó a, b, c là độ dài cạnh tam giác Gi¶i Ta cã b3 +c ≥ ( b +c )2 ThËt vËy: ( ) ⇔4 ( b3 +c ) ≥ b3 +c 3+ b2 c+3 bc2 ⇔b3 +c −b c − bc2 ≥0 ⇔b ( b − c ) − c ( b − c ) ≥ ⇔ ( b − c ) ( b2 − c ) ≥ ⇔ ( b − c )2 ( b+ c ) ≥ Luôn đúng suy (1) đúng (1) a≤b≤c 3 a +c ≥ ( a+c ) 3 a +b ≥ ( a+b ) T¬ng tù: Do đó: a b c a b c + 2 + 2 < √3 + + (3) b +c a+ c a+b √b + c √c +a √ a + b ( ) Mµ: ¿ ( 2a 2b 2c a b c 2a 2b 2c + + = + + <¿ b+ a+c + a+ b+c + a+ b+c =2 b+c a+c a+ b 2(b +c) 2(a+c ) 2(a+ b) ¿ ) (4 ) Do: ¿ a+b >c b+ c> a a+ c> b ¿{{ ¿ Tõ (3) vµ (4) suy ®iÒu ph¶i chøng minh C¸c bµi tËp kh¸c: Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác và có chu vi là Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 + 2abc < Bµi tËp 3.4 Cho a, b, c lµ c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng: 2 a ( b+ c − a ) +b ( a+c −b )+ c ( a+ b −c ) ≤3 abc Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chøng minh r»ng: ( √3 a+ √3 b+ √3 c ) ( 1 a+b +c +3 +3 − ≤6 √a √ b √ c √ abc ) Bài tập 3.6 Giả sử a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chøng minh r»ng ( a+b +c ) ( a −b )( b − c )( c − a ) ≥9 ( 1a + b1 + 1c )+abc Bµi tËp 3.7 Cho a, b, c, d > vµ a + b + c + d = Chøng minh r»ng: √ a+b+ c+ √b +c +d + √ b+d + a+ √ c+ d+ a ≤2 √ ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị * Víi a  0, b 0 ta cã a  b 2 ab , dÊu “=” x¶y  a = b * Víi n sè kh«ng ©m: a , a2 , …, an ta cã: DÊu “=” x¶y  a1 = … = an * Tõ B§T trªn ta suy ra: a1  a2   an n n a1a2 an + NÕu a.b = k (const) th× min(a + b) = k  a = b + NÕu a + b = k (const) th× max(a.b) = * Mở rộng n số không âm: k2  a=b n k a … a = k (const) th× min(a + a + … + a ) = n n + NÕu a1 n  a1 = a = … = a n + NÕu a k   n + a2 + …+ an = k (const) th× max(a1.a2…an) = n  a1 = a = … = a n VÝ dô: 1   x y Cho x > 0, y > tho¶ m·n: T×m GTNN cña A = x  y Bµi lµm: 1 x > 0, y > 0, x > 0, V× x > 0, y > nªn 1 Cs  1     x y 2  x y   y > Ta cã: 1  xy xy 4 A x y 2 x y 2 4 VËy A =  x = y = Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Côsi theo chiều ngợc nhau: ab  + Dïng + Dïng a b 1   x y từ đó đợc để dùng điều kiện tổng a  b 2 ab “lµm gi¶m” tæng x  y để dùng kết xy 4 xy 4  Không phải lúc nào ta có thể dùng trực tiếp BĐT Côsi các số đề bài Ta có số biện pháp biến đổi biểu thức để có thÓ vËn dông B§T C«si råi t×m cùc trÞ cña nã: * Cách 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phơng biểu thức đó VÝ dô: T×m GTNN cña A = 3x    3x Bµi gi¶i §iÒu kiÖn: x  3  3x     x  = ( 3x – ) + ( – 3x ) + Ta cã: A A2 ( 3x – + – 3x ) + = DÊu “=” x¶y  3x – = – 3x  x = VËy max A2 =  max A =  x =  Ta thấy A đợc cho dới dạng tổng thức Hai biểu thức lấy có tổng không đổi (bằng 2) Vì vây, bình phơng A xuất h¹ng tö lµ lÇn tÝch cña c¨n thøc §Õn ®©y cã thÓ vËn dông B§T C«si ab a  b * C¸ch 2: Nh©n vµ chia biÓu thøc víi cïng mét sè kh¸c VÝ dô: T×m GTLN cña A = x 5x Bµi gi¶i: §iÒu kiÖn: x  Ta cã:  x   x  9 x  3  x 2 3  A    5x 5x 5x 10 x 30  DÊu “=” x¶y VËy max A = x 3  x 18  x 18 30  x 3 Trong cách giải trên, x – đợc biểu diễn thành vËn x 3  x cã d¹ng kx cã dông B§T C«si tÝch nµy trë thµnh nöa tæng: thể rút gọn cho x mẫu ( số đợc tìm cách lấy đề bài) , sè cã * Cách 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng các biểu thức cho tÝch cña chóng lµ mét h»ng sè VÝ dô 1: ( T¸ch mét h¹ng tö thµnh tæng cña nhiÒu h¹ng tö b»ng nhau) x  16 x3 Cho x > 0, t×m GTNN cña A = Bµi gi¶i A= x  16 x  16  x  x  x  16 4 x.x.x 16 x3 x3 x3 x3 = 16  x   x 2 x A  4.2 = ( dÊu “=” x¶y ) VËy A = x = VÝ dô 2: (T¸ch mét h¹ng tö chøa biÕn thµnh tæng cña mét h»ng sè víi hạng tử chứa biến cho hạng tử này là nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức đã cho) 9x  2 x x Cho < x < 2, t×m GTNN cña A = Bµi gi¶i A 9x 2 x 9x  x   2  2  7 2 x x 2 x x  DÊu “=” x¶y 9x 2 x   x 2 x x  x VËy A =  2 x 2 x 1 Trong cách giải trên ta đã tách x thành tổng x H¹ng tö x x nghịch đảo với  x nên vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích chúng là mét h»ng sè * Cách 4: Thêm hạng tử vào biểu thức đã cho VÝ dô: Cho x, y, z > tho¶ m·n: x + y + z = x2 y2 z2   yz zx x y T×m GTNN cña P = Bµi gi¶i V× x, y, z > ta cã: x2 yz áp dụng BĐT Côsi số dơng y  z và ta đợc: x2 yz x2 y  z x  2 2  x yz yz (1) T¬ng tù ta cã: y2 xz   y (2) xz z2 x y   z (3) x y  x2 y2 z2  x  y  x   x  y  z   y  z z  x x  y   x yz  P  x  xy  z   1 Cộng (1) + (2) + (3) ta đợc:  x  y z  DÊu “=” x¶y  x  y z  VËy P = 3 x yz Ta đã thêm vào hạng tử thứ y  z có đề bài, NhËn xÐt: để vận dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y + z) Cũng nh hạng tử còn lại đề bài Dấu đẳng thức xảy đồng thời (1), (2),  x  y z  (3) x2 y2 z2 ; ; y  z x  z x  y th× ta NÕu ta lÇn lît thªm (y + z), (x + z), (x + y) vµo khử đợc (y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng là không tìm đợc các giá trị x, y, z để dấu các đẳng thức đồng thời xảy ra, đó không tìm đợc GTNN P ¸p dông c¸c c¸ch trªn cïng víi viÖc sö dông B§T C«si ta cã c¸c vÝ dô kh¸c nh sau: VD 1: Cho a, b, c > tho¶ m·n: a + b + c =    1 1  1   1  T×m GTLN cña P =  a   b   c   : a, b, c > abc   3 3 abc Ph©n tÝch Do đó có thể khai triển P ớc lợng theo BĐT Côsi Bµi gi¶i 1 1 1 P 1        a b c ab bc ac abc C¸ch 1: ¸p dông B§T C«si cho sè d¬ng ta cã: a  b  c 3 abc  3 abc  abc  3  33 27 abc (1) MÆt kh¸c: 1     3   3 27 ab ac bc  abc  1 1   3 32 a b c abc (2) (1) + (2) ta cã: P 1   27  27 64 VËy P = 64 C¸ch 2: a 1 b 1 c 1   a 1  b  1  c  1 a b c abc P  a  a b  c  b  a  b  c  c  a  b  c abc 43 4 4 P a b c 43 64 abc P Tæng qu¸t: cho S = a + b + c t VD 2:   1 1 1  1  1  ×m GTLN cña P =  a   b   c  T×m GTLN cña B = x  x y y Bµi gi¶i 1.( x  1)  x  1 x    x x x 2  y    y  y 2     y y y 2  x  1 2      max B =  y  2 VD 3: Cho sè d¬ng x, y cã x + y = 1         y2   x  T×m GTNN cña B = Bµi gi¶i  x 2   y 4 Ta cã: B =    1  1  x  y  = + xy   x  y  CS 4 xy  8  B 9 xy  x y  VËy B = VD 1   2  x  y  z 4: Cho x, y, z > tho¶ m·n: T×m GTNN cña P = xyz Bµi gi¶i  1    y z    2   1  1 x  1 y   1 z  1 y 1 z yz 1 y 1 z  Ta cã: 2 1 y zx 1 x 1 z 2 1 z xy 1 x 1 y  P xyz  T¬ng tù: 1  x  y z  VËy max P = VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + |x| + TÝnh gi¸ trÞ cña M biÕt x, y lµ sè tho¶ m·n x.y = vµ biÓu thøc |x + y| đạt GTNN Bµi gi¶i: Ta cã: CS  x  y  4 xy 4  x  y 2   xy 1    x  y 2 Min |x + y| = x = y, đó Khi x = y = hoÆc x = y = - + Khi x = y = th× M = + Khi x = y = - th× M = 17 VD 6: Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m a1, …, a5 tho¶ m·n: a1 + … + a5 =1 T×m GTLN cña A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 Bµi gi¶i Ta cã: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5  (a1 + a3 + a5)(a2 + a4)  a1  a3  a5   a2  a4    a1  a3  a5   a2  a4  1     a1  a3  a5   a2  a4   2  A  a1 a2   a1  a3  a5 a2  a4     a3 a4 a5 0 VËy max A =  x  a  x  b VD 7: Cho a, b > T×m GTNN cña A = Bµi gi¶i  x  a  x  b A x x ( x > 0) x  ax  bx  ab ab  a  b  x  x x  A a  b  ab  A a  b  ab ab  x   x  ab x DÊu “=” x¶y  VD 8: T×m GTNN cña hµm y =  x x víi < x < Bµi gi¶i 2  2x  2x 1 x  x    1 x x 1 x x Ta cã: y = ( < x < 1) 3 = 2x 1 x 2x 1 x  3  3  2 1 x x 1 x x 2x  x   x 21 1 x x  DÊu “=” x¶y VD 9: Cho a, b > cho tríc a b  1 x y Các số x, y > thay đổi cho Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN Tìm S theo a, b Bµi gi¶i a b a b bx y  1  S  x  y     a  b   x y y x  x y Ta cã:  S ab  bx ay a  b  ab y x  S a  b  ab  a b  1  x y ay bx  x y  x a  ab   y b  ab Mµ VD 10: x  16 x3  56 x  80 x  356 x2  2x  T×m GTNN cña P = Ta cã: P = Bµi gi¶i x  16 x3  56 x  80 x  356 x2  2x  CS 256  x  x  5  64 x  2x   = Suy P = 64  x = hoÆc x = - Bµi tËp t¬ng tù : Cho x, y > tho¶ m·n x y = T×m GTLN cña A = BT BT 2: T×m GTLN cña c¸c biÓu thøc sau: x y  2 x y x  y4 A  x  x2 B yz x   xz y   xy z  xyz x2 1 ;  x 0  x2 8 D 3x  x2  E x 1 x2  x 1 F ;  x 0  x  x 1 x2  x 1 G x  x 1 x H ; x 0    x  2000  C 1   2  a  b  c BT 3: Cho a, b, c > tho¶ m·n T×m GTLN cña biÓu thøc Q = abc BT 4: Cho x, y > tho¶ m·n x + y = T×m GTNN cña biÓu thøc 1   1  1  P =  x  y  BT 5: T×m GTNN cña c¸c biÓu thøc sau: x2  4x  A ;  x  0 x x2 B ;  x  1 x x2  x  C x2  x 1  1 D   x     ;  x   x   x2  E  x  1     ;  x  1  x 1  x F  ; x   0,1 1 x x x G  ;  x  1 x 2 BT 6: Cho x, y > th¶o m·n x  y 4 T×m GTNN cña biÓu thøc  1  1  x    y   y  x E=   x   x ;    x 6  : T×m GTLN vµ GTNN cña A = BT  x, y    x  y 2 : T×m GTLN cña A = x   y  biÕt BT BT 9: Cho a, b > tho¶ m·n a b = 216 T×m GTNN cña S = 6a + 4b a  1 b BT 10: Cho a, b > tho¶ m·n T×m GTNN cña A = a b  b a a 3  BT 11: Cho a, b > tho¶ m·n ab 6 2 T×m GTNN cña S = a  b BT 12: Cho x, y, z  tho¶ m·n xy + yz + zx = 100 T×m GTNN cña A = xyz Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× tÝch xy nhËn GTLN nÕu x, y, a lµ c¸c sè BT 13:  x a  1  y a  thùc tho¶ m·n  x8  a BT 14: T×m GTNN cña A = x biÕt a > 0, x > BT 15: Với giá trị nào số dơng a thì biểu thức D đạt GTNN ? a1000  a 900  a 90  a  A= 1995 a 100 10 BT 16: T×m GTNN cña C = x  10 x  2004 BT 17 x  xy  y ; x  0, y   2  x  xy  y : T×m GTLN cña E = x1 x2 xn ;  n 2  T×m GTLN cña tÝch BT 18: 2 xi  ; i 1, n x  x   x 1 n n vµ BiÕt x BT 19: x  1995  T×m GTLN cña B =  x BT 20: T×m GTNN cña N = ;  x  0 x y  x  y x  x2 BT 21: T×m GTLN cña H = BT 22: T×m GTLN cña biÓu thøc: biÕt r»ng x, y > víi   x 1 x y z    1  x 1  y  1  z   y  z  x  z  x  y P= Với x, y, z biến đổi nhng luôn thoả mãn f  x, y   x  BT 23 : T×m GTNN cña xy  x  y   x, y, z 1 x, y   ; x  y x2  BT 24 : T×m GTLN cña x2 1 x 8 BT 25: T×m GTLN cña x  víi x >