BT cuc tri cua ham so p2

VAÁN ÑEÀ 3: DUØNG MIEÀN GIAÙ TRÒ TÌM GTLN, GTNN Xeùt baøi toaùn tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá f(x) treân moät mieàn D cho tröôùc.[r]

NHĐ

16

Chương I

1 Định nghóa:

Giả sử hàm số f xác định miền D (D  R) a)

0

( ) , max ( )

: ( )

D

f x M x D

M f x

x D f x M

   

  

  

 b)

0

( ) , ( )

: ( )

D

f x m x D

m f x

x D f x m

   

  

  

 Tính chất:

a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b]

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), ( ) ( )

a b f x  f b a b f x  f a b) Nếu hàm số f nghịch biến [a; b]

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), ( ) ( )

a b f x  f a a b f x  f b

VẤN ĐỀ 1: TÌM GTLN, GTNN CỦA HAØM SỐ BẰNG BẢNG BIẾN THIÊN

Bài toán : Phương pháp khảo sát trực tiếp :

Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tìm miền xác định D

 Tính f(x), giải phương trình f(x) =  Xét dấu f(x) lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có)

 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)

 So sánh giá trị vừa tính kết luận



1 2



[ ; ]

max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( n)

a b

M f x  f a f b f x f x f x (lấy số lớn nhất)



1 2



[ ; ]

min ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), , ( n)

a b

m f x  f a f b f x f x f x (lấy số nhỏ nhất) Bài toán : Phương pháp khảo sát gián tiếp :

Bước : Biến đổi hàm số ban đầu dạng để xác định ẩn phụ :

 





yF  x

Bước : Đặt t

 

x Điều kiện ẩn t Dt yF t

 

Bước : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số yF t

 

Dt

III.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

NHĐ

17

Bài 35.Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:

a) yx24x3 b) y4x33x4 c) yx42x22

d) y x2 x e)

2 2 x y x x     f) 2

2 x x y x     g) y x2 (x 0)

x

   h)

2 1 x x y x x      i) ( 0) x x y x x x     

Bài 36.Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:

a) y2x33x212x1 treân [–1; 5] b) y3x x treân [–2; 3] c) yx42x23 treân [–3; 2] d) yx42x25 treân [–2; 2]

e)

3 x y x  

 treân [0; 2] f)

1 x y x  

 treân [0; 4] g)

2

4 7 x x y x   

 treân [0; 2] h)

2 1 x x y x x     

treân [0; 1] i) y 100x2 treân [–6; 8] k)      

 

sin , ,

y x x x

Bài 37.Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:

a) ycos 2x2 sinx1 b) y2sin2xcosx1 c)

2

1

cos cos

y

x x



 

d) sin

sin x y x  

 e)

3

sin cos

y x x f)

2 1 x y x x    

g) y4 x22x 5 x22x3 h) y x24x x24x3

VẤN ĐỀ 2: DÙNG BẤT ĐẢNG THỨC TÌM GTLN, GTNN

Cách dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN hàm số

 Chứng minh bất đẳng thức

 Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức

Bài 38.Giả sử D



( ; ; ) /x y z x0,y0,z0,x y z  1



Tìm giá trị lớn biểu thức:

1 1

x y z

P

x y z

  

  

HD: 1

1 1

P

x y z

 

    

  

 

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:



( 1) ( 1) ( 1)



1 1

x y z

x y z

 

        

  

 

 P 

4 Dấu “=” xảy  x = y = z =

3 Vaäy

3

4

D P

Baøi 39.Cho D = ( ; ) / 0, 0,

x y x y x y

 

   

 

  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4

S

x y

NHĐ

18

HD:





1 1 25

4

x x x x y

x x x x y

 

         

 

 4( ) 25

4

x y

x y

 

   

 

 S  Dấu “=” xảy  x = 1, y =

4 Vaäy minS =

Bài 40.Cho D =



( ; ) /x y x0,y0,x y 1



Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 1

1

x y

P x y

x y x y

    

  

HD:

2 1

(1 ) (1 )

1

x y

P x y

x y x y

       

   =

1 1

2 1x1y x y 

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:



(1 ) (1 ) ( )



1 1

x y x y

x y x y

 

        

  

 

 1

1x1y x y 2

 P 

2 Dấu “=” xảy  x = y =

3 Vaäy minP =

Bài 41.Cho D =



( ; ) /x y x0,y0,x y 4



Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2

3 4

x y

P

x y

 

 

HD:

2

1

4 8

x y y x y

P

x y

  

      

 

(1)

Theo bất đẳng thức Cô–si: 1

4

x x

x x

   (2)

2

1

3 8 8

y y y y

y    y  (3)

 P 

2 Dấu “=” xảy  x = y = Vaäy minP =

VẤN ĐỀ 3: DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ TÌM GTLN, GTNN

Xét tốn tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) miền D cho trước

 Gọi y0 giá trị tuỳ ý f(x) D, hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0

( ) (1) (2)

f x y x D

 

  

 Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m  y0  M (3)

 Vì y0 giá trị f(x) nên từ (3) ta suy được:

min ( ) ; max ( )

D f x m D f x M

Bài 42.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a)

2

1

x x y

x x   

  b)

2

2 23 10

x x

y

x x

 



  c)

2 sin cos

sin cos

x x

y

x x

 



NHĐ

19

d) 2sin cos

2 cos sin

x x

y

x x

 



 

VẤN ĐỀ 4: DÙNG GTLN, GTNN GIẢI PT, HỆ PT, BẤT PT

Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D có ( ) ; max ( )

D f x m D f x M 1) Hệ phương trình f x( )

x D

 

  



có nghiệm  m    M 2) Hệ bất phương trình f x( )

x D

 

  

 có nghiệm  M  

3) Hệ bất phương trình f x( ) x D

 

  

 có nghiệm  m   4) Bất phương trình f(x)   với x  m   5) Bất phương trình f(x)   với x  M  

Baøi 43.Giải phương trình sau:

a) x 2 44x2 b) 3x5x 6x2 c) (1 )5 16 x  x 

Bài 44.Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

a) x 2x2 1 m b) 2x 2x (2x)(2x)m

c) 3x 6x (3x)(6x)m d) 7x 2x (7x)(2x)m

Bài 45.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  R:

a) x 2x2 1 m b) m 2x29x m c) mx44x m 0

Bài 46.Cho bất phương trình: x32x2  x m0

a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2]

Bài 47.Tìm m để bất phương trình sau: