Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn BI TP TNH N IU V CC TR CA HM S A/- KIN THC C BN I Tớnh n iu ca hm s 1) nh ngha: Cho hm s y = f ( x) xỏc nh trờn K Hm s y = f ( x) ng bin trờn K nu " x1, x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1) < f ( x2 ) Hm s y = f ( x) nghch bin trờn K nu " x1, x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1) > f ( x2 ) Chỳ ý: K l mt khong hoc on hoc na khong 2) nh lý: Cho hm s y = f ( x) xỏc nh trờn K a) Nu f Â( x) > 0, " x ẻ K thỡ hm s f ( x) ng bin trờn K b) Nu f Â( x) < 0, " x ẻ K thỡ hm s f ( x) nghch bin trờn K nh lý m rng: Gi s hm s y = f ( x) cú o hm trờn K a) Nu f Â( x) 0, " x ẻ K v f Â( x) = ti mt s hu hn im thỡ hm s ng bin trờn K b) Nu f Â( x) Ê 0, " x ẻ K v f Â( x) = ti mt s hu hn im thỡ hm s nghch bin trờn K c) Nu f Â( x) = 0, " x ẻ K thỡ f ( x) khụng i trờn K 3) Hai dng toỏn c bn Dng Tỡm cỏc khong n iu ca hm s Quy tc tỡm: Tỡm xỏc nh ca hm s Tớnh o hm f Â( x) Tỡm cỏc im xi (i = 1, 2, , n) m ti ú o hm bng hoc khụng xỏc nh Lp bng bin thiờn Nờu kt lun v cỏc khong ng bin v nghch bin ca hm s Dng Tỡm cỏc giỏ tr m hm s n iu (ng bin, nghch bin) trờn khong cho trc Phng phỏp: Xột hm s y = f ( x) trờn K Tỡm xỏc nh ca hm s (nu cn) Tớnh f Â( x) Nờu iu kin ca bi toỏn: + Hm s ng bin trờn K f Â( x) 0, " x ẻ K + Hm s nghch bin trờn K f Â( x) Ê 0, " x ẻ K T iu kin trờn s dng cỏc kin thc v du ca nh thc bc nht, tam thc bc hai tỡm m Chỳ ý: Cho hm s f ( x) ax bx c a f ( x) 0, x a f ( x) 0, x a II Cc tr ca hm s 1) nh lớ Gi s hm s y = f ( x) liờn tc trờn khong K ( x0 h; x0 h) v cú o hm trờn K hoc K \ {x0 } (h > 0) a) f Â( x) > trờn ( x0 h; x0 ) v f Â( x) < trờn ( x0 ; x0 h) thỡ x0 l mt im C ca f ( x) b) f Â( x) < trờn ( x0 h; x0 ) v f Â( x) > trờn ( x0 ; x0 h) thỡ x0 l mt im CT ca f ( x) Nhn xột: Hm s cú th t cc tr ti nhng im m ti ú o hm khụng xỏc nh Qui tc tỡm cc tr hm s (da vo nh lý 1) Tỡm xỏc nh Tớnh f Â( x) Tỡm cỏc im ti ú f Â( x) = hoc f Â( x) khụng xỏc nh Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Lp bng bin thiờn T bng bin thiờn da vo nh lý suy cỏc im cc tr 2) nh lớ Gi s y = f ( x) cú o hm cp ( x0 h; x0 h) (h > 0) a) Nu f Â( x0 ) = 0, f ÂÂ( x0 ) > thỡ x0 l im cc tiu b) Nu f Â( x0 ) = 0, f ÂÂ( x0 ) < thỡ x0 l im cc i Qui tc tỡm cc tr hm s (da vo nh lý 2) Tỡm xỏc nh Tớnh f Â( x) Gii phng trỡnh f Â( x) = v kớ hiu xi l nghim Tỡm f ÂÂ( x) v tớnh f ÂÂ( xi ) Da vo du ca f ÂÂ( xi ) suy tớnh cht cc tr ca xi 3) Cỏc dng toỏn thng gp Dng Tỡm cc tr ca hm s cho trc Phng phỏp: Da vo quy tc hoc quy tc Dng iu kin hm s t cc tr Phng phỏp: Tỡm xỏc nh D ca hm s Tớnh f Â( x) Hm s t cc tr ti x0 ẻ D f Â( x) i du qua x0 Mt s chỳ ý: Hm s y = ax3 + bx2 + cx = d , a cú cc tr (cc i v cc tiu) y Â= cú hai nghim phõn bit Xột hm s trựng phng y = ax4 + bx + c, a ộx = y Â= 4ax3 + 2bx = x(2ax + b), y Â= ờờ (1) ờở2ax + b = + Hm s cú ba cc tr (1) cú hai nghim phõn bit khỏc ab < + Hm s cú mt cc tr (1) cú nghim kộp hoc vụ nghim hoc cú nghim x = ộab > ờởb = B/-MT S V D MINH HA VD1 Cho hm s y x3 3x2 Tỡm cỏc khong n iu v cc tr ca hm s GII TX: D = Ă ộx = y Â= - 3x2 + x ; y Â= - x + x = ờởx = Gii hn: lim y , lim y x x Bng bin thiờn: x y' 0 y -1 CT C Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Hm s ng bin trờn (0; 2); hm s nghch bin trờn (;0) v (2; ) Hm s t cc i ti x = 2, yC = 3; hm s t cc tiu ti x = 0, yCT = - VD2 Cho hm s y x4 3x Tỡm cỏc khong n iu v cc tr ca hm s GII TX: D = Ă ộx = y Â= - 4x3 + 6x ; y Â= - x3 + x = ờx = ờở Gii hn: lim y , x lim y x Bng bin thiờn x 0 y' 0 CT y C C 6 ;0 v ; Hm s ng bin trờn ; v 0; ; nghch bin trờn 13 Hm s t cc i ti x , y , Hm s t cc tiu ti x = 0, yCT = C VD3 Cho hm s y x Tỡm cỏc khong n iu v cc tr ca hm s x GII Tp xỏc nh D \ y Â= - (x - 1) < 0, " x ẻ D Gii hn: lim y = xđ - Ơ lim y = - Ơ ; lim y = + Ơ lim y = 1; xđ + Ơ xđ 1- xđ 1+ BBT x y' y 1 Hm s nghch bin trờn cỏc khong ;1 v 1; Hm s khụng cú cc tr x3 VD4 Cho hm s y = m2 - + (m + 1)x + 3x + Tỡm m hm s ng bin trờn Ă GII ( ) Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn TX: D = Ă ( ) o hm: y Â= m2 - x2 + 2(m + 1)x + Nu m = thỡ y Â= x + 3 ( loi so vi yờu cu bi toỏn) Nu m = - thỡ y Â= > " x ẻ Ă Hm s ng bin trờn Ă (nhn so vi ycbt) (1) Nu m thỡ hm s ng bin trờn Ă v ch ớù a = m - > ù y  " x ẻ Ă ùỡ ùù D = (m + 1)2 - m - Ê ùợ ớù m < - m > ớù m < - m > ộm < - ùỡ ùỡ ờởm (2) ùùợ m Ê - m ùù m - m - ợ Hm s ng bin v ch y  x ( ) ộm Ê - T (1) v (2) suy hm s ng bin trờn Ă ờởm VD5 Cho hm s y = - x3 - 3(2m + 1)x - (12m + 5)x - nh mi giỏ tr ca tham s m hm s luụn luụn nghch bin GII TX: D = Ă o hm: y Â= - 3x - 6(2m + 1)x - (12m + 5) Bit s D Â= (2m + 1) - 3(12m + 5) = 36m - Vỡ h s a ca y  l - < 0, " m nờn hm s luụn luụn nghch bin y ÂÊ , " x ẻ Ă 6 Ê mÊ 6 6 Ê mÊ Vy cỏc giỏ tr m cn tỡm l: 6 VD6 nh a hm s y = - x3 + (a - 1)x + (a + 3)x - ng bin trờn khong (0;3) GII TX: D = Ă o hm: y Â= - x + 2(a - 1)x + a + Hm s ng bin trờn khong (0;3) y  0, " x ẻ (0;3) D ÂÊ 36m2 - Ê - - x2 + 2(a - 1)x + a + 0, " x ẻ (0;3) (1) Xột bt phng trỡnh (1) (1) x2 + x - Ê a (2 x + 1) x ẻ (0;3) ị x + > nờn (1) a x2 + x - = g (x) 2x + Xột hm s g (x) trờn khong (0;3) Gia s Thnh c Cú g Â(x) = BBT: x www.daythem.edu.vn x2 + x + (2 x + 1) > 0, " x ẻ (0;3) g'(x) 12 g(x) -3 T BBT suy a g ( x), " x ẻ (0;3) a 12 12 VD7 nh m hm s y = x + 3x + (m + 1)x + 4m Nghch bin trờn khong (- 1;1) GII TX: D = Ă o hm: y Â= 3x2 + x + m + Hm s nghch bin trờn khong (- 1;1) y ÂÊ 0, " x ẻ (- 1;1) Vy, hm s ng bin trờn khong (0;3) a 3x2 + x + m + Ê 0, " x ẻ (- 1;1) (1) Xột BPT (1): (1) m Ê - 3x2 - x - = g ( x) Xột hm s g ( x), x ẻ (- 1;1) Cú: g Â( x) = - x - Ê 0, " x ẻ (- 1;1) BBT: x -1 g'(x) g(x) - 10 T BBT suy m Ê g ( x), " x ẻ (- 1;1) m Ê - 10 Vy, hm s ng bin trờn khong (- 1;1) m Ê - 10 VD8 Tỡm iu kin ca m hm s y = x3 - 3(m + 2)x + 6(m + 1)x - 3m + ng bin trờn khong (5;Ơ ) GII TX: D = Ă o hm: y Â= x2 - 6(m + 2)x + 6(m + 1) Hm s ng bin trờn khong (5; Ơ ) y  0, " x ẻ (5; + Ơ ) x2 - 6(m + 2)x + 6(m + 1) 0, " x ẻ (5; + Ơ ) (1) Xột BPT (1): (1) x2 - 12 x + 6m(x - 1) Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Vỡ x ẻ (5; + Ơ ) nờn x - > ú: x2 - x + (1) m Ê , " x ẻ (5; + Ơ ) m Ê x - = g (x), " x ẻ (5; + Ơ ) x- Xột hm s g (x), x ẻ (5;0) ta cú: g Â(x) = > 0, " x ẻ (5; + Ơ ) BBT: x g'(x) g(x) T BBT suy m Ê g ( x), " x ẻ (5; + Ơ ) m Ê Vy, hm s ng bin trờn khong (5; + Ơ ) m Ê VD9 Cho hm s: y = (m - 2)x3 - mx - Vi giỏ tr no ca m thỡ th ca hm s khụng cú im cc i v im cc tiu GII TX: D = Ă o hm: y Â= 3(m - 2)x - m Hm s khụng cú cc tr thỡ phng trỡnh y Â= vụ nghim hoc cú nghim kộp D Ê + 4.3m(m - 2)Ê Ê m Ê x - mx + m2 - m + x + Tỡm m hm s a) Cú cc i v cc tiu b) t cc i ti im x = ( VD10 Cho hm s: y = ) GII TX: D = Ă o hm: yÂ= x2 - 2mx + m2 - m + a) Tỡm m hm s cú cc i v cc tiu Hm s cú cc i v cc tiu y Â= cú nghim phõn bit ớù ùớù a y  ù ỡ ùỡ m - 1> m > ùù D Ây  > ùù (- m)2 - m - m + > ùợ ùợ b) Tỡm m hm s t cc tiu ti im x = yÂ= x2 - 2mx + m2 - m + v y ÂÂ= x - 2m ùớù y Â(1) = ùớù m2 - 3m + = ùớù m = m = Hm s t cc i ti x = ỡ ỡ ỡ m= ùù y ÂÂ(1)< ùù - 2m < ùùợ m > ợ ợ Vy m = hm s t cc i ti x = 1 VD11 Cho hm s y = mx3 - (m - 1)x + 3(m - 2)x + Tỡm m hm s t cc i, cc 3 tiu ti x1 , x2 tha x1 + x2 = GII TX: D = Ă ( ) Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn o hm: y Â= mx2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2) ùớ a y  ùớ m Hm s cú cc tr ùỡ ùỡ ùù D Ây  > ù D Â= (m - 1)2 - 3m (m - 2)> ùợ ùợ ớù m ớù m ùù (*) ùỡ ỡ ùù 1- < m < + ùù - 2m2 + 4m + > ợ ùùợ 2 Vỡ x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh y Â= nờn: x1 + x2 = (1) ớù ùù x + x = - b = 2(m - 1) (2) ùù a m v ỡ v ùù c 3(m - 2) ùù x1.x2 = = (3) a m ùợ T (1) v (2) ị x1 = - , x2 = - + m m ộm = ( N ) ổ ửổ m ( ) ỗỗ3 - ữ Thay vo (3) ị ỗỗ- + ữ = m m + = ữ ữ ữỗ m ứ ữ ỗố ờm = ( N ) m ứố m ờở Vy: m = 2, m = tha yờu cu bi toỏn C/-BI TP P DNG BI TP C BN Bi Tỡm cỏc khong n iu v c tr ca cỏc hm s: a) y = x3 - x + x - b) y = x3 - 3x2 + 3x + c) y = x3 + x2 + x - d) y = - x3 + 3x2 + e) y = - x3 + x - x + f) y = - x3 + x2 - x + Bi Tỡm cỏc khong n iu v c tr ca cỏc hm s: a) y = x4 - x2 + b) y = x4 + 3x2 - c) y = - x4 + x2 + 1 d) y = x - x + e) y = x - x f) y = - x4 - 5x2 + 4 Bi Tỡm cỏc khong n iu v c tr (nu cú) ca cỏc hm s: x- x+ 2x + x2 - x + a) y = b) y = e) y = f) y = x+ x- x- x +8 Bi Tỡm cỏc khong n iu v c tr ca cỏc hm s: a) y = d) y = x - x2 x2 b) y = e) y = x2 - 4x + 5- x + x2 - BI TP NNG CAO Loi Tớnh n iu ca hm s c) y = x+ x2 - x + f) y = x x - x- Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Bi Tỡm m hm s y = - x3 + (m + 2)x - (2m - 1)x + nghch bin trờn Ă Bi Tỡm m hm s y = x3 + mx + x - 10 ng bin trờn Ă 3 x Bi Cho hm s y = - 2mx + 4mx + Xỏc nh m : a) Hm s ng bin trờn xỏc nh b) Hm s ng bin trờn khong (- Ơ ;0) x3 Bi Cho hm s y = + x - mx + Xỏc nh m : a) Hm s nghch bin trờn trờn xỏc nh ca nú b) Hm s nghch bin vi mi x > 1- m Bi Tỡm m hm s y = x - 2(2 - m) x + 2(2 - m) x + nghch bin trờn Ă x3 Bi Tỡm m hm s y = + (m + 1) x - (m + 1) x + ng bin trờn (1;+ Ơ ) Bi Tỡm m hm s y = x3 - 3(2m + 1) x2 + (12m + 5) x + ng bin trờn (2;+ Ơ ) mx - luụn ng bin trờn tng khong xỏc nh x+ x+ m Bi Tỡm m hm s y = ng bin trờn (1; +) x- m Bi 10 Tỡm m hm s y = x3 + 3x2 + mx + m nghch bin trờn khong cú di bng Loi C tr ca hm s Bi Tỡm m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu: a) y = x3 + 3x2 + mx - 10 b) y = x3 - 3mx2 - 3(m2 - 2) x + Bi Tỡm m hm s y = c) y = x3 - (2m + 1) x2 + (m2 - 3m + 2) x + d) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m x + (m2 - m + 2) x + (3m2 + 1) x + m t cc tiu ti x = - Bi Tỡm m hm s y = mx3 + (m2 - 2) x2 - 8x + t cc i ti x = Bi Tỡm hm s y = Bi Cho hm s y = x4 - mx2 + n Tỡm m, n hm s t cc tr bng ti x = x3 Bi Cho hm s y = + (m + 1) x + (6 - 2m) x + m Tỡm m th hm s cú hai im cc tr nm v hai phớa i vi trc Oy Bi Cho hm s y = x3 - 3(m + 1) x2 + 3m(m + 2) + Tỡm m hm s t cc tr ti hai im cú honh dng Bi Cho hm s y = x3 - 3x2 - 3m(m + 2) x - Tỡm m hm s cú hai cc tr cựng du m Bi Cho hm s y = x3 - (m - 1) x + 3(m - 2) x + Tỡm m hm s cú cc i v cc 3 tiu ng thi honh cỏc im cc i v cc tiu ca th l x1, x2 : x1 + x2 = Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Bi Cho hm s y = x3 + 2(m - 1) x2 + (m2 - 4m + 1) x - 2(m2 + 1) Tỡm m hm s cú cc 1 tr ti x1; x2 : + = (x1 + x2 ) x1 x2 Bi 10 Cho hm s y = x3 + mx2 - 12 x - 13 Tỡm m th hm s cú im cc i v im cc tiu v cỏc im ny cỏch u trc tung Bi 11 Cho hm s y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1) x + m2 - 3m Tỡm m hm s cú cc i v cc tiu vi honh x1; x2 tha món: x12 + x22 = 10 Bi 12 Tỡm m th hm s y = x3 - 3(2m + 1) x2 + 6m(m + 1) x + cú hai im cc tr i xng qua ng thng D : y = x + Trờn nh cao ca vinh quang khụng cú vt chõn ca nhng k li bing ... Â= m2 - x2 + 2(m + 1)x + Nu m = thỡ y Â= x + 3 ( loi so vi yờu cu bi toỏn) Nu m = - thỡ y Â= > " x ẻ Ă Hm s ng bin trờn Ă (nhn so vi ycbt) (1) Nu m thỡ hm s ng bin trờn Ă v ch ớù a = m -... x ẻ (0;3) (1) Xột bt phng trỡnh (1) (1) x2 + x - Ê a (2 x + 1) x ẻ (0;3) ị x + > nờn (1) a x2 + x - = g (x) 2x + Xột hm s g (x) trờn khong (0;3) Gia s Thnh c Cú g Â(x) = BBT: x www.daythem.edu.vn... x - = g ( x) Xột hm s g ( x), x ẻ (- 1;1) Cú: g Â( x) = - x - Ê 0, " x ẻ (- 1;1) BBT: x -1 g'(x) g(x) - 10 T BBT suy m Ê g ( x), " x ẻ (- 1;1) m Ê - 10 Vy, hm s ng bin trờn khong (- 1;1) m Ê