Bất đẳng thức cực trị

Khúa Luyn Gii Bi Tp Mụn Toỏn CHUYấN T12- BT NG THC V BI TON CC TR T12 001 - Cho x,y l hai s thc tho m iu kin T12 002 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng nh hhn chng minh xy 1 Chng minh rng + + 3 1 + a + b + c + abc + 2 1+ x 1+ y + xy T12 003 - Cho x, y, z 0;1 Tỡm giỏ tr tr ln nht ca T12 004 Chng ng minh rng vi mi s thc x,y ta cú ( (1+ x ) (1+ y ) biu thc ổ 1 P = (1 + xyz ) ỗ + + 3 ữ ố 1+ x 1+ y 1+ z ứ - 2 (b - c ) + (c - a ) + ( a - b) ( ab + bc + ca ) ( 11+ ( x + y ) ) T12 006 - Cho x, y, z l cỏc s thc tha m iu kin T12 005 - Cho a,b,c l cỏc s thc chng minh rng (a + b + c) ) x2 + y2 + z = Chng minh rng: a) - Ê xy + yz + zx Ê ; 2 b) ( xy + yz + 2xz ) - -3 ( x + y + z ) - xy - yz + 2 T12 007 - Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm chng minh 3 x + y + z 3xyz T12 008 - Cho x,y,z khụng õm ch chng minh: T12 009 - Cho x,y,z khụng õm chng ng minh T12 010 - Cho x,y,z l cỏc s thc dng d chng minh x3 + y3 + z3 xyz + ( x - y )(( y - z ) ( z - x ) ổ y+z x + y + z - 3xyz ỗ - xữ ố ứ 3( x + xy + y )( y + yz + z )( z + zx + x ) T12 011 Cho a,b,c l cỏc s thc dng ng tha th iu kin a Ê b Ê c Ê Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc T12 012 - Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm tho m iu kin x y z chng ng minh rng 3 3 P= ( ) a + b c - (a + b) c T12 013 - Chng ng minh vi mi s thc x,y cựng c du v s thc k ta cú k2 + x + k2 + y k + k2 + x + y T12 015 Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho m a b c iu kin: + + = + bc + ca + ab Chng minh rng: a b c + + + a + bc + b + ca + c + ab ( x + y + z )2 ( xy + yz + zx) xy + yz + zx x + z y + yz + z y + z xy + yz + zx ( x + z)( y + z) b) 2 x + xy + y ( x + z ) + ( x + z ) ( y + z ) + ( y + z ) a) T12 014 Chng ng minh rng vi x,y l hai s thc khụng õm tha x + y ta luụn cú x2 + x + + y2 + y + Ê + ( x + y) + x+ y+4 T12 016 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm cú tng bng chng minh 1+ a 1+ b + c2 + + Ê 1+ b 1+ c + a 2 Khúa Luyn Gii Bi Tp Mụn Toỏn T12 017 - Chng minh vi mi s thc a,b,c ta cú a + b + c + a+b+c a+b + b+c + c+a T12 018 - Cho x,y,z l cỏc s thc ụi mt khụng ng thi bng chng minh -1 Ê T12 019 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm chng minh 3 abc + a - b + b - c + c - a a + b + c - y )( y - z )( z - x ) + y )( y + z )( z + x ) Ê T12 020 - Cho x,y,z l cỏc s thc chng minh T12 022 - Chng minh rng vi mi s thc x,y tho iu kin x + y -1, xy Ê ta cú a b ( a + b - ) ( a + b ) ( ab - 1) 2 x - y + y - z + z - x x + y + z - xy - yz - zx T12 021 - Chng minh rng vi mi a,b dng ta cú 2 (x (x x + y -7 T12 023 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho iu kin ab + bc + ca = Chng minh rng a+b+c+ T12 024 - Cho x,y,z l cỏc s thc tho iu kin x, y -1; x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc 5abc P= T12 025 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng chng minh rng x2 y2 - + x + y + ( xy + 1) z - 4z + T12 026 - Cho a,b,c l cỏc s thc thuc khong ( 0;1) Chng minh rng x2 - z y2 - x2 z - y2 + + y+z z+x x+ y ( a - a )( b - b )( c - c ) ( a - bc )( b - ca )( c - ab ) 2 T12 027 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha iu T12 028 - Cho x, y, z l cỏc s thc dng tha kin a + b + c = Chng minh rng: iu kin x Ê y Ê z Chng minh rng 2 8a b c ( a - bc )( b - ca )( c - ab ) ổ1 1ử ổ1 1ử y ỗ + ữ + ( x + z) Ê ỗ + ữ( x + z) ốx zứ y ốx zứ T12 029 - Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho iu kin x y z chng minh x( x + y ) y ( z + x ) z ( y + z ) + + x2 + y + z x+ y z+x y+z T12 032 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tha iu kin a + b + c = Chng minh rng a + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P= + (c - a) b+ + Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = ( x3 + y + z ) - ( x y + y z + z x ) T12 031 - Cho a, b, c tha iu kin (b - c ) a+ T12 030 - Cho x, y, z l cỏc s thc thuc on 0;1 (a - b) c+ 2 T12 033 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha iu kin a + b + c = Chng minh rng ( a 2b + b c + c a ) + Ê ( a + b + c ) 2 a + (b - c ) + b + ( c - a ) + c + ( a - b) T12 034 - Cho cỏc s thc a, b, c 0;1 tha a+b+c = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc P = cos ( a + b + c ) T12 035 - Cho x, y l cỏc s thc khụng õm Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc T12 036 - Cho a, b, c l cỏc s ụi mt khỏc Chng minh rng ổ P= ( x - y )(1 - xy ) 2 ( x + 1) ( y + 1) Hotline: 0964.946.876 ( ab + bc + ca ) ỗỗ ố ( a - b) + (b - c ) + (c - a ) ữ ữ ứ Page2 Khúa Luyn Gii Bi Tp Mụn Toỏn 1 + = a c b a+b c+b Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = + 2a - b 2c - b T12 039 - Cho a, b, c 0;1 Chng minh rng T12 037- Cho a, b, c > v a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) Ê T12 038 - Cho a, b, c 0;1 Chng minh rng 1 + + 3abc 2-a 2-b 2-c T12 040 - Cho a, b, c > tha a + b + c = Chng minh rng (a + b) + (b + c ) + (c + a) a b c + + b+c c+a a+b P = a + ab + b + b2 + bc + c + c + ca + a T12 042 - Cho a,b,c l cỏc s thc tho iu kin a2 + b2 + c2 = Chng minh rng a3 (b + c) + b3 ( c + a ) + c3 ( a + b ) Ê T12 043 - Chng minh vi mi s thc x ta cú cos(sin x) > sin(cos x) T12 044 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng chng minh rng T12 041- Cho cỏc s thc a, b, c tha iu kin a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a) 1ổb+cử ổb+cử 1+ ỗ ữ Ê 1+ ỗ ữ 2ố a ứ ố a ứ b) a3 a3 + ( b + c ) T12 045 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho iu kin ab + bc + ca > Chng minh rng a 2a a) b+c a+b+c a b c b) + + b+c c+a a+b T12 047- Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho iu kin xyz = Chng minh rng 1+ x + y 1+ y + z 1+ z + x + + 3 xy yz zx T12 049 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho iu a > b;a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 4a + 3b + c3 (a - b)b b3 + b3 + ( c + a ) + c3 c3 + ( a + b ) T12 046 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng chng minh rng a) b) a a + 8bc a3 4 a +b +c b c + + a + 8bc b + 8ca c + 8ab a T12 048 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng cú tng bng Chng minh rng a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) 2abc T12 050 - Cho a2 ,a3 , , an l cỏc s thc dng tho iu kin a2 a3 an = Chng minh rng (1+ a2 )2 (1+ a3 )3 (1+ an )n > nn T12 051 - Cho x,y,z l cỏc s thc chng minh T12 052 - Chng minh rng ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) (1- xy ) (1- yz ) (1- zx ) - Ê Ê 2 8 (1+ x ) (1+ y2 ) (1+ z2 ) x 12 - y + y (12 - x ) Ê 12 vi x, y l cỏc s thc ỡ0 Ê x Ê Tỡm giỏ tr ln nht ca biu ợ0 Ê y Ê T12 053 - Cho Hotline: 0964.946.876 cỏc cn thc cú ngha T12 054 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tha iu kin a + b + c = Page3 Khúa Luyn Gii Bi Tp Mụn Toỏn thc P = ( - x ) ( - y ) ( 2x + 3y ) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc T12 055 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm cú tng bng Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc T12 056 - Chng minh rng vi mi s thc dng a v b ta cú P = ( a + 2b + 3c )( 6a + 3b + 2c ) T12 057 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng chng minh 81abc ( a + b + c ) Ê ( a + b + c ) 2 2a ( a + b ) + b ( a + b ) Ê 3( a + b ) T12 058 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng chng minh rng a + ab T12 059 - Chng minh rng vi mi x,y,z khụng õm ta cú yz 3 3 y +z z +x x +y + zx + xy 2 3 ( x + y) + ( y + z ) + ( z + x) Ê T12 060 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm chng minh rng a+b a+b a+b+c + abc Ê 3 a 2 ( a + b) (b + c ) (c + a ) ( a + bc )( b2 + ca )( c + ab ) T12 061 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng cú tng bng a + bc b + ca c + ab chng minh: + + b+c c+a a+b T13 063 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng chng minh 1 1 + 3 + Ê 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc T12 062 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng chng minh + a2 + b2 + c2 + + b+c c+a a+b T11 064 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho 2 iu kin a + b + c = T12 065 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng cú tng bng Chng minh rng ab bc ca + + Ê c + ab a + bc b + ca T12 067 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng cú tng bng chng minh a2 + b2 + c b2 + c2 + a c2 + a2 + b + + a + b + c2 b + c + a2 c + a + b2 T12 069 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tha iu kin a + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = a b + + b c3 + + c a + T12 071 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha iu kin b a > c > Chng minh rng ab + c (a - b) ab + Chng minh rng: T12 066 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= b ửổ b c ửổ c a ổ a + + + ỗ ữỗ ữỗ ữ ố b + c c + a ứố c + a a + b ứ ố a + b b + c ứ T12 075 - Cho cỏc s thc a,b,c thay i tha iu kin a + b + c = a + 3c 4b 8c + a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c T12 068 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho iu kin ab + bc + ca > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a (b + c) b (c + a) c(a + b) + + 2 a + bc b + ca c + ab P= T12 070 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tha iu kin a + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = a 4b + b c + c a T12 072 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng chng minh c (a - c) T12 073 - Chng minh rng vi mi a,b,c dng ta cú: a b c 3 + + 2 b +c c +a a +b 2 2 ổ 2a ổ 2b ổ 2c ỗố ữứ + ỗố ữứ + ỗố ữ b+c c+a a + bứ T12 074 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tha iu kin a + b + c = Chng minh rng a + b + c ab + bc + ca T12 076 - Cho x,y,a,b,c l cỏc s thc tho iu kin ( x + a )2 + ( y + b )2 + ( x + y )2 = c Khúa Luyn Gii Bi Tp Mụn Toỏn Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc P = a + b3 + c - 3abc Chng minh rng: ( a + b ) Ê 3c T112 077 - Cho x,y,z,t l cỏc s thc tho iu kin T12 078 - Cho x,y,z l cỏc s thc dng tha iu kin 4xy + 2yz - zx = 25 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2 ỡx + y = ù 2 z + t = 16 ù xt + yz = 12 ợ P= x + 4y 2 + z + 4xy z + 4xy Chng minh rng x + z Ê T12 079 - Cho x,y,z l cỏc s thc tho iu kin 2 x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = ( x - y )( y - z )( z - x ) T12 081 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho iu kin a b c + + =5 b c a T12 080 - Cho x,y,z l cỏc s thc tho iu kin x + y2 + z2 = Chng minh rng x + y + z Ê + xyz T12 082 - Cho cỏc s thc x,y,z tha x + y + z = v x2 + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc b c a P= + + a b c T12 083 - Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tha iu kin a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = ( a 2b + b c + c a ) + ( ab + bc + ca ) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x5 + y + z T12 084 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= a b c 8abc + + -2 + b c a ( a + b )( b + c )( c + a ) + a + b2 + c T12 085 - Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm tha iu kin x + y + z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= 16 x2 y2 + y2z2 + z2x2 + + T12 086 - Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha iu kin ab + bc + ca = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = a + b + c + abc xy + yz + zx + x+ y+z T12 087 Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho iu kin x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = ( y + z - x ) + 27xyz T12 088 Cho x,y,z l cỏc s thc tha iu kin x2 + y2 Ê z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc ổ1 1ử P = ( x4 + y + z ) ỗ + + ữ y z ứ ốx T12 089 Cho a,b,c l cỏc s thc phõn bit tha a + b + c = v ab + bc + ca > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= 2 + + + a -b b-c c -a ab + bc + ca T12 091 Cho a,b,c l cỏc s thc tha iu kin a + b2 + c2 = Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc P = ( a - b )( b - c )( c - a )( ab + bc + ca ) T12 093 Cho x,y,z l cỏc s thc dng tha iu kin x Ê z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: Hotline: 0964.946.876 T12 090 Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tha iu kin ( a + b2 + c ) = ( ab + bc + ca + 1)( ab + bc + ca ) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = a2 + b2 + c2 - a - b - b - c - c - a T12 092 Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho iu kin y xz; z xy Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= x y z + + 2014 x+ y y+z z+x T12 094 Cho cỏc s thc a,b,c tho iu Page5 Khúa Luyn Gii Bi Tp Mụn Toỏn P = 2+ 2x ( x+y ) - ( 2z 2y + z ( y + z) )+ 3z z+x kin abc = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= a b + + b + ab c + ab + c T12 095 Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm tha T12 096 Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho iu kin x + y + z = iu kin a + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P= x2 y+z + yz + x + yz + x + x + y + z + T12 097 Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm tho iu kin x + y + z = Chng minh rng x y z + + Ê 1+ yz 1+ zx 1+ xy T12 099 Cho cỏc s thc tho iu kin x > y > z > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= y z + + x - y y - z 8x Hotline: 0964.946.876 x2 ( xz - z ) P= 2 2a + c 2b + c a + b + c + + + bc + ca + 2abc T12 098 Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm tho iu kin x + y + z = Chng minh rng x2 y2 z2 + + Ê x + yz + y + zx + z + xy + T12 100 Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha iu kin a + b2 + c + 2ab = ( a + b + c ) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = ( a + b ) + c2 + 2014 2014 + a+c b+2 Page6 ... 0;1 thỏa mãn a+b+c = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = cos ( a + b + c ) T12 035 - Cho x, y số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức T12 036 - Cho a, b, c  số... z = x2 + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức b c a P= + + a b c T12 083 - Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( a 2b + b c + c... Môn Toán thức P = ( - x ) ( - y ) ( 2x + 3y ) Tìm giá trị lớn biểu thức T12 055 - Cho a,b,c số thực không âm có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức T12 056 - Chứng minh với số thực dương a b ta có