Bất đẳng thức p 1

Bất đẳng thức Một số hệ chứng minh BĐT Bất đẳng thức biến a + b ≥ ab → dấu " = " xảy ⇔ a = b Đpcm ⇔ a + b ≥ ab ⇔ a − ab + b ≥ ⇔ a+b ≥ ab → dấu " = " xảy a+b ab ≤     a + b2 ⇔ a=b → dấu " = " xảy ⇔ a = b (a + b) ≥ 2 → dấu " = " xảy ⇔ a = b → dấu " = " xảy ⇔ a = b a+b a + b2 ≤ 2 a + b + 2ab 2a + 2b ≤ 4 ⇔ 2a + 2b − a − b − 2ab ≥0 ⇔ a + b − 2ab ≥0 ⇔ (a − b) a− b a + b ≤ ( a + b2 ) Đpcm ⇔ ( ≥ ) ≥0 a b + ≥ a+ b b a Đpcm ⇔ a a + b b ≥ a b + b a ⇔ ( a − b) ⇔ ( ( ) a− b ≥0 a+ b )( a− b ) ≥ ∀ a , b >0 a + b ≤ ( a + b ) ; chứng minh cách bình phương vế 2 ( a + b ) ≥ ( a + b ) ≥ 4ab → dấu " = " xảy ⇔ ( a + b) 2 − 4ab = ( a − b) ≥ → dpcm ( a + b ) → dấu " = " xảy 2 2 Đpcm ⇔ ( a + b ) ≥ ( a + b ) a2 + b2 ≥ ⇔ a=b ⇔ 2a + 2b ≥ a + 2ab + b ⇔ a + b − 2ab ≥ ⇔ ( a − b ) ≥ ( a + b )(1 + ab ) ≥ 4ab với a, b > Đpcm: Ta có: ∗ a + b ≥ ab ∗ + ab ≥ ab ⇒ ( a + b )(1 + ab ) ≥ 4ab a + b ≥ ab → dấu " = " xảy ⇔ a=b a=b ( (1 + a )(1 + b ) ≥ + ab ) Đpcm: Ta có: (1+ a)(1+ b) = 1+ a + b + ab ( Mà: + a + b + ab ≥ + ab + ab = + ab ( Vậy: (1 + a)(1 + b) ≥ + ab ) ) 2 → đpcm a + b ≥ a 2b + ab ( ) ( ) 3 2 Đpcm ⇔ a + b − a b + ab ≥ ( ) ( ) ⇔ a − a 2bb3 + b3 − ab ≥ ⇔ a ( a − b ) − b2 ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a + b ) ≥ ( a − b ) (a ≥ 1 1 + b3 )  +  ≥ ( a + b ) a b Đpcm: Ta có: ↔ a3 b3 a3 b3 + + + ≥ a2 + 2ab + b2 a a b b ↔ a2 + b2 + ↔ b3 a3 + − a2 − 2ab − b2 ≥ a b b3 a3 a3b3 b3 a3 + ≥2 = 2ab + − 2ab ≥ vì: a b ab a b Vậy: (a  1 + b3  +  ≥ ( a + b) a b   ) → đpcm a + b ≥ ab + a 3b ( ) ( Đpcm ⇔ a + b − ab + a b = a − ab ( ) ( ⇔ a a − b3 − b a − b3 ( ) + (b − a3b ) ) ) ⇔ ( a − b ) a + ab + b ≥  b  2 ( a − b )  a +  + b  ≥    Vì ( a − b ) a +b 2 b  ≥ ;  a +  ≥ → vế ngoặc vuông dương → với a,b 2  (a + b) ≥ Đpcm: Ta có: (a ≥ 2 (a ) + (b ) 2 + b2 ) (1) Ta lại có: 2 a +b ( a + b) ≥ 2 ( 2 ⇔ a +b )  ( a + b )2   ≥   ( 2) Thế (2) vào (1) ta được: đpcm a + b5 ≥ a 2b ( a + b ) (a + b) ≥ ab → dấu " = " xảy ⇔ a=b 11 1 ≤  +  a +b 4 a b  1 2 + ≥ ≥ a b a+b a + b2 → dấu " = " xảy ⇔ a = b a + b ≥ ab 1  1 1 Đpcm ⇔  1 1 ⇒ ( a + b)  a + b  ≥ ⇒ a + b ≥ a + b    + ≥2 = a b ab a b 2 ( a + b ) → a + b2 ≥ a + b → a + b ≤ a + b2 a + b2  a + b  2 Vì: ≥ ( ) ( )  → a +b ≥ 2   → ( ) 4 1 ≥ = ≥ → 2 a+b a+b ( a + b2 ) 2(a + b ) 2 (a + b2 ) 1 + 2≥ 2 a b (a + b) 1 4 + ≥ ≥ ≥ a b a+b ( a + b2 ) 2 ( a + b4 ) → dấu " = " xảy ⇔ a = b 1 4 + ≥ ≥ ≥ a b a+ b 2(a + b) 2 ( a + b2 ) → dấu " = " xảy ⇔ a = b Đpcm: Ta có:  a + b ≥ ab  i 1 1 ⇒ + ≥ =  b a b ab  a i  1  a+ b  + + ≥ ≥ 4⇒ b a b a+ b  a ) 4 ≥ a+ b ( a + b) Ta có: → ( a + b ≤ ( a + b ) (chứng minh cách bình phương vế) 1 4 ≥ → ≥ a+ b a+ b ( a + b) ( a + b) i 2(a + b) ≥ 2 ( a + b2 ) Ta có: Từ điều này: a + b ≥ (a + b) 2 ( a + b ) ,ta suy ra: ≤ ( a + b2 ) ⇒ (a + b) ≤ ( a2 + b2 ) → ( a + b ) ≤ 2 ( a2 + b2 ) → ( a + b) ≥ → 2 ( a + b2 ) 2(a + b) ≥ 2 ( a + b2 ) Ta điều phải chứng minh Bất đẳng thức biến a + b + c ≥ 3 abc → dấu " = " xảy ⇔ a + b ≥ ab Đpcm  3 c + abc ≥ c abc abc abc = 4 ( abc ) a=b=c ⇒ a + b + c + abc ≥ ( = abc → a + b + c ≥ 3 abc a+b+c ≥ abc a+b+c abc ≤     ) ab + c abc ≥ → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c ab c abc = 1 3 + + ≥ ≥ → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c a b c a+b+c a + b2 + c2 Đpcm: (a + b + c) a2 + b2 + c2  a + b + c  2 Vì: ≥  → a +b +c ≥ 3   → a + b + c ≤ ( a + b2 + c ) → ( ) → a + b2 + c ≥ ( a + b + c ) 1 ≥ → a+b+c ( a2 + b2 + c2 ) 9 ≥ a+b+c ( a + b2 + c2 ) = 3 a + b2 + c 1 9 + + ≥ ≥ ≥ 2 a b c a+b+c 3(a + b + c ) 3 ( a4 + b4 + c4 ) → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c 1 + + ≥ a b c 9 ≥ ≥ a+ b+ c 3(a + b + c) 3 ( a + b2 + c2 ) → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c Đpcm: i 3( a + b + c ) ≥ 3 ( a2 + b2 + c2 ) Từ điều này: a + b + c ≤ ( a + b2 + c ) → ( a + b + c ) ≤ 3 ( a + b2 + c ) → ( a + b + c ) ≤ 3 ( a + b + c ) → 3(a + b + c) ≥ 3 ( a2 + b2 + c2 ) Ta điều phải chứng minh 1 → dấu " = " xảy + + ≥ a b c a+b+c ⇔ a=b=c Đpcm a + b + c ≥ 3 abc 1  1 1 ⇔ 1 1 ⇒ (a + b + c) + +  ≥ ⇒ + + ≥ 1 a b c a+b+c a b c  + + ≥ 33 = a b c a b c abc  1 1 + + ≥9 a b c ( a + b + c )  Đpcm: Ta có: i a + b + c ≥ 33 abc i 1 1 1 + + ≥ 33 = 33 a b c a b c abc Nhân theo vế, ta được: ( a + b + c)  1 1 + +  ≥ → đpcm  a b c  a  b  c   +  +  +  ≥  b  c  a  Đpcm: i 1+ a a ≥2 b b i 1+ b b ≥2 c c i 1+ c c ≥2 a a Nhân theo vế, ta được: abc  a  b   c   + b  + c   + a  ≥ abc =     Dấu " = " xảy ⇔ a b c = = =1⇔ a = b = c b c a ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c Đpcm: Ta có: i a + b ≥ ab i b + c ≥ bc i c + a ≥ ca Nhân bđt ta được: ( a + b)( b + c)( c + a) ≥ 8abc → đpcm ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) → dấu " = " xảy ⇔ Đpcm: Ta có: i ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − abc i abc = ( abc )  a + b   b + c  c + a  ( a + b )( b + c )( c + a ) = ab bc ca ≤    =      i ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − abc ≥ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − Ta được: ( a + b )( b + c )( c + a ) a=b=c ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) → đpcm a (1 + b2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a2 ) ≥ 6abc Đpcm: Ta có: ( ) ( ) ( ) i a2 1+ b2 + b2 1+ c2 + c2 1+ a2 = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ( ) ( ) ( = a2 + b2c2 + b2 + c2a2 + c2 + a2b2 Ta lại có: i a2 + b2c2 ≥ 2abc i b2 + c2a2 ≥ 2abc i c2 + a2b2 ≥ 2abc Cộng bđt ta được: ( ) ( ) ( ) a2 1+ b2 + b2 1+ c2 + c2 1+ a2 ≥ 6abc → đpcm a + b + c ≥ ab + bc + ca Đpcm: Ta có: i a + b ≥ ab i b + c ≥ bc i c + a ≥ ca Cộng bđt ta được: ( a + b + c) ≥ ( ab + bc + ca ) Suy ra: a + b + c ≥ ab + bc + ca → đpcm ) a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c → dấu " = " xảy ⇔ b c a a=b=c a  b2 + a ≥ b  a b c 1 2 a b c 1 b Đpcm ⇔  + ≥ ⇒ + + + + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + + c b c b c a a b c a b c b c a a b c  c  a2 + c ≥ a  a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a+b b+c c+a → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c  a2 a+b a2 a + b + ≥2 =a  a+b 4 a + b  b+c b2 b + c a2 b2 c2 a+b+c  b Đpcm ⇔  + ≥2 =b ⇒ + + + ≥ a+b+c b+c a+b b+c c+a b + c  c2 c+a c2 c + a  + ≥2 =c c+a 4  c + a ⇒ a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a+b b+c c+a a b3 c3 + + ≥ a + b + c → dấu " = " xảy ⇔ bc ca ab a=b=c  a3 a3  + b + c ≥ 3 b.c = 3a bc  bc  b3 a b3 c b Đpcm ⇔  + c + a ≥ 3 c.a = 3b ⇒ + + + 2a + 2b + 2c ≥ 3a + 3b + 3c ca ca bc ca ab   c3 c3  + a + b ≥ 33 a.b = 3c ab  ab ⇒ a b3 c3 + + ≥ a+b+c bc ca ab a b3 c3 + + ≥ a + b + c → dấu " = " xảy ⇔ b c a  a3  + ab ≥ b  b Đpcm ⇔  + bc ≥ c  c3  + ca ≥  a ⇒ a=b=c a3 ab = 2a b  a b3 c 2 b3  + + + ab + bc + ca ≥ 2a + 2b + 2c bc = 2b ⇒  b c a c  a + b + c ≥ ab + bc + ca  c ca = 2c a a b3 c + + ≥ a2 + b2 + c2 b c a a b c 1 + + ≥ + + b2 c2 a a b c a  + ≥2 b a  b Đpcm ⇔  + ≥ c b c  + ≥2  a c Thu gọn ta được: → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c a = b2 a b b c 1 2 a b = ⇒ + + + + + ≥ + + c b c a a b c a b c b c c = a2 c a a b c 1 + + ≥ + + ⇒ đpcm b2 c a a b c a b c 1 + + ≥ + + b3 c3 a a b c a ≥2  3+  b ab  b Đpcm ⇔  + ≥2  c bc c ≥2  3+  a ca ⇒ → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c a = b ab b 1 2 a b c + 3+ 3+ + + ≥ 2+ 2+  b  b c a ab bc ca a b c = ⇒ 1 1 1 c bc c  + 2+ 2≥ + +  a b c ab bc ca  c = a ca a a b c 1 + 3+ 3≥ 2+ 2+ b c a a b c a3 b3 c3 a + b2 + c2 + + ≥ b+c c+a a+b → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c Đpcm ⇔  a3 a (b + c ) a3 a (b + c )  + ≥2 = a2 + + 4 b c b c   a3 b3 c3 ab + bc + ca + + + ≥ a + b2 + c  3  b (c + a) b b (c + a )  b  b c c a a b + + + + ≥2 = b2 ⇒   c a c a 4 + + a + b + c ab + bc + ca   ≥  c3  2 c ( a + b) c ( a + b) c  + ≥2 = c2 a+b 4  a + b ⇒ a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + ≥ b+c c+a a+b a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ → dấu " = " xảy ⇔ b ( a + b ) c (b + c ) a ( c + a ) a=b=c Đpcm ⇔  a3 b a+b a3 b a + b 3a + + ≥ 33 =  b (a + b) b ( a + b)  c b+c b3 c b + c 3b a3 b3 c3  b3 + + ≥ 33 = ⇒ + + + a + b + c ≥ (a + b + c)  c (b + c ) b ( a + b ) c (b + c ) a (c + a ) 2  c (b + c )  a c+a c3 a c + a 3c  c + + ≥ 33 =  a (c + a) a (c + a) 4  ⇒ a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ b ( a + b) c (b + c ) a (c + a ) a3 ( a + b )( a + c ) + b3 ( b + c )( b + a ) + c3 ( c + a )( c + b ) ≥ a+b+c → dấu " = " xảy ⇔ a = b = c  a3 a+b a+c a3 a + b a + c 3a + + ≥ 33 =  8 ( a + b )( a + c ) 8  ( a + b )( a + c )  b3 b+c b+a b3 b + c b + a 3b  + + ≥ 33 = Đpcm ⇔  ⇒ 8 ( b + c )( b + a ) 8  ( b + c )( b + a )  c3 c+a c+b c3 c + a c + b 3c  + + ≥ 33 =  ( c + a )( c + b ) 8 ( c + a )( c + b ) 8  ⇒ a3 b3 c3 a + b + c 3( a + b + c) + + + ≥ ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) ⇒ a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) ab bc ca a+b+c + + ≥ a+b b+c c+a Đpcm: Ta có: i ( a + b) ≥ 4ab ⇔ a + b ≥ i ( b + c) ≥ 4bc ⇔ b + c ≥ i ( c + a) ≥ 4ca ⇔ c + a ≥ Cộng bdt ta được: 4ab a+ b ab ab a+ b ⇔ ≥ ⇔ ≤ a+ b a+ b a+ b 4bc b+ c bc bc b+ c ⇔ ≥ ⇔ ≤ b+ c b+ c b+ c 4ca c+ a ca ca c+ a ⇔ ≥ ⇔ ≤ c+ a c+ a c+ a ab bc ca a+ b+ c + + ≤ a+ b b+ c c+ a → đpcm *Bất đẳng thức: Bunhiacốpxki a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y → dấu " = " xảy ⇔ a b = x y  a b2  x y +  = a + b2 + a2 + b2 Đpcm ⇔ ( x + y )  y y x  x x y b a + b = a + 2ab + b = ( a + b ) y x ≥ a2 + a b2 ( a + b ) ⇒ + ≥ x y x+ y 2 a2 b2 c2 ( a + b + c ) → dấu " = " xảy ⇔ + + ≥ x y z x+ y+z 2 a2 b2 c2 ( a + b ) c2 ( a + b + c ) ≥ + + ≥ + Đpcm ⇔ x ax + by ≤ ( y (a 2 Đpcm ⇔ a + b x+ y z z a b c = = x y z x+ y+ z + b )( x + y ) → dấu " = " xảy ⇔ )( x ) + y = a x + a y + b2 x + b2 y ≥ a x + a y b x + b y = a x + 2axby + b2 y = ( ax + by ) ⇒ (a a b = x y + b )( x + y ) ≥ ax + by ax + by + cz ≤ (a + b + c )( x + y + z ) → dấu " = " xảy ⇔ a b c = = x y z (a Đpcm ⇔ (b ≥ ax + 2 + b2 + c2 )( x  + y + z = a2 +  ) ( b2 + c )    x + ( y2 + z2 )  + c )( y + z ) ≥ ax + by + cz * Bất đẳng thức véc tơ a + x + b2 + y ≥ (a + b) + ( x + y ) a b = x y → dấu " = " xảy ⇔ Đpcm ⇔ ( a + x + b2 + y = a + x2 + b2 + y (a ≥ a + x + ( ax + by ) + b + y = ( a + b) + ( x + y ) = ) = a2 + x2 + (a + x )( b + y ) + b + y + 2ab + b ) + ( x + xy + y ) Cách khác: Đpcm: a2 + x2 + b2 + y2 + ⇔ (a (a )( )( ) + x2 b2 + y2 ≥ a2 + b2 + 2ab + x2 + y2 + xy ) + x2 b2 + y2 ≥ ab + xy 2 ⇔ a2 b2 + x2 y2 + a2 y2 + b2 x2 ≥ ( ab) + ( xy) + 2abxy ⇔ ( bc − ay) ≥ a + x2 + b2 + y + c2 + z ≥ → dấu " = " xảy ⇔ Đpcm ⇔ ≥ a b c = = x y z a2 + x2 + b2 + y + c2 + z ≥ 2 (a + b + c) + ( x + y + z) (a + b + c) + ( x + y + z ) 2 (a + b) + ( x + y ) + c2 + z 2 ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Bất đẳng thức Holder (a + b3 + c )( x + y + z )( m + n3 + p ) ≥ ( axm + byn + czp ) Dấu " = " xảy ⇔ a b c a b c = = = = x y z m n p Bất đẳng thức Schur a + b3 + c3 + 3abc ≥ ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) (a + b + c) + 9abc ≥ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) abc ≥ ( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b ) a + b2 + c + ≥ ( ab + bc + ca ) a+b+c 4abc a b c + + + ≥2 b + c c + a a + b ( a + b )( b + c )( c + a ) a + b + c + abc ( a + b + c ) ≥ ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) 6abc ( a + b + c ) ≥ ( 2ab + 2bc + 2ca − a − b − c )( a + b + c + ab + bc + ca ) Chứng minh BĐT: (a 2 + b + c ) ≥ ( a 3b + b c + c a ) Đpcm: (a + b2 + c2 ) ( ) − a3b + b3c + c3a = a2 − b2 + 2bc − ab − ca ∑ ( ( a + b )( b + c ) ≤ ( a + b + c ) Ta sử dụng đánh giá trên, viết lại sau: a2 + b2 b2 + c2 ≤  a2 + b2 + b2 + c2    ( )( ) (a + b + c) ≥ ( 2 cyc Đpcm: i a2 + b2 ≥ ab i b2 + c2 ≥ bc i c2 + a2 ≥ ca ( )( )( ) → a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 ≥ 8a2 b2c2 ⇒ đpcm 729 abc ( a + b + c + 2abc ) ∏ ( a + b ) ≥ ( abc ) ) ) Một số bđt: 1 ; với + ≥ + a + b + ab ab ≥ Đpcm: ab − a ab − b   1   − + − ≥ ⇔ + ≥0     2  + a + ab   + b + ab  (1 + a ) (1 + ab ) (1 + b2 ) (1 + ab ) ( b − a ) ( ab − 1) ≥ ⇔ (1 + a )(1 + b2 ) (1 + ab ) Điều phải chứng ln vì: ab ≥ Dấu " = " xảy ⇔ a = b ab = Cách khác: Đpcm: Ta có: 1 + b2 + + a + = < ab > 1 + a + b + a + b + a 2b Nên:  a + b2  2 a b 2 + + − − ab   2 (1 + ab ) (1 + ab ) 2+ a +b   < = ≥ = 2 2 2 2 1+ a + b + a b + 2ab + a b  a +b  (1 + ab ) + ab + a2 + b2 −  − ab  + a 2b   Hay: 1 + ≥ 2 + a + b + ab 1 ; với + ≤ 2 + a + b + ab −1 ≤ ab ≤ 1 + ≥ + ab + a2 + b2 ; với ab ≥ 1 + ≤ + ab + a2 + b2 ; với −1 ≤ ab ≤ 1 1 ; với + + ≥ + a + b + c + abc a , b, c ≥ Đpcm: Ta có: 1 + ≥ 3 + a + b + a 3b Ta lại có: 1 + ≥ + c + abc + abc Cộng theo vế, Suy ra:   1 1 2 1 + + + ≥ + = 2 +  3 3 3 + a + b + c + abc + a b + abc  + a b + abc  ≥ a3b3 abc 1+ ⇒ = + abc 1 + + ≥ 3 + a + b + c + abc Chú ý số ký hiệu sau I, Tổng hoán vị ∑ : tổng hoán vị, cyc viết tắt cyclic cyc ∑ : tổng hoán vị biến a,b,c a ,b , c Ta dùng ∑ thay cho ∑ Chú ý dùng cyc Một cách tổng quát sau: ∑ f ( a , a , , a ) = f ( a , a , , a ) + f ( a , a , , a ) + + f ( a , a , , a ) cyc n n n n −1 Một số ví dụ bản: Ví dụ: a, Với biến a,b,c ta có: i ∑ a2 b = a2 b + b2c + c2 a b, Với biến a,b,c,d ta có: i ∑ a2 b = a2 b + b2c + c2 d + d2 a II, Tổng đối xứng ∑ : tổng đối xứng, sym viết tắt symmetric sym Một số ví dụ bản: Ví dụ: a, Với biến a,b,c ta có: i ∑ a2 b = a2 b + b2c + c2 a + b2 a + c2 b + a2c sym i ∑ ab ( a + b) = ab ( a + b) + bc ( b + c) + ca( c + a) sym b, Với biến a,b,c,d ta có: i ∑ a2 b = a2 ( b + c + d ) + b2 ( c + d + a) + c2 ( d + a + b) + d2 ( a + b + c) sym III, Tich hoán vị ∏ : tích hốn vị, cyc viết tắt cyclic cyc ∏ : tích hốn vị biến a,b,c a ,b , c Ta dùng ∏ thay cho ∏ Chú ý dùng cyc Một cách tổng quát sau: ∏ f ( a , a , , a ) = f ( a , a , , a ) + f ( a , a , , a ) + + f ( a , a , , a ) n n n cyc Một số ví dụ bản: Ví dụ: a, Với biến a,b,c ta có: i ∏ ( a + b) = ( a + b)( b + c)( c + a) cyc b, Với biến a,b,c,d ta có: i ∏ ( a + b) = ( a + b)( b + c)( c + d )( d + a) cyc IV, Tích đối xứng ∏ : tích đối xứng, sym viết tắt symmetric sym Một số ví dụ bản: Ví dụ: a, Với biến a,b,c ta có: i ∏ ( a2 + b) = ( a2 + b)( b2 + c)( c2 + a)( b2 + a)( c2 + b)( a2 + c) sym b, Với biến a,b,c,d ta có: ∏ ( a + b) = ( a + b)( a + c)( a + d )( b + c)( b + d )( c + d ) sym Một số ví dụ tổng quát, cách viết sau: Với biến ta ln có: n −1 i ∑a = a+ b+ c i ∑ a2 = a2 + b2 + c2 i ∑ a3 = a3 + b3 + c3 i ∑ ab = ab + bc + ca i ∑ a3b2 = a3b2 + b3c2 + c3a2 i ∑ a3bc = abc ( a2 + b2 + c2 ) i∑ 1 1 = + + b+ c b+ c c+ a a+ b i∑ x x y z = + + y + z y + z z+ x x + y i∑ xy xy yz zx = + + ( x + z)( y + z) ( x + z)( y + z) ( z + x )( x + y) ( x + y)( y + z) i∑ i∑ (vì: i ( a + b) bc bc bc ca +∑ =∑ +∑ a+ b c+ a a+ b a+ b bc ab bc (nhân tử chung) ca ∑ a+ c = b+ c + a+ c + a+ b ) i∑ (vì: 1   + 2∑ = + + ( a + b)( a + c)  a + b b + c c + a  c ( a + b) bc ac +∑ =∑ = ∑c = a+ b+ c a+ b a+ b a+ b (nhân tử chung) ∑c = c+ a+ b) ∑ ( ) ( a + b2 + b + a2 + c2  2  )= ∑ ( a + b2 + c2 )+ ∑ i ∑ a  1+ b2 + 1+ c2  ≥ 2∑ a = ( a + b + c)  1+ c 1+ b  ( b + a2 + c2 )= ∑ ( a + b2 + c2 )+ ∑ ( a + c2 + b2 )= (theo bất đẳng thức cauchy-schwarz)  + b2 + c2  ∑ a  1+ c2 + 1+ b2    2 ( b + c − a) ≥ ( b + c − a) + ( c + a − b) + ( a + b − c ) i∑ 2a2 + ( b2 + c2 ) 2a2 + ( b + c) 2 2 (vì: ∑ ( b + c − a) = ( b + c − a) + ( c + a − b) + ( a + b − c ) ( ) 2 và: ( b + c) ≤ b + c → i∑ ( b + c) ≥ ( 2 b + c2 2 ( b + c − a) + ( c + a − b) + ( a + b − c ) = ( a2 + b2 + c2 ) ) ( ) xy xy + z xy ( x + z)( y + z) xy =∑ ≥∑ ( x + z)( y + z) ( x + z)( y + z) ( x + z)( y + z) ( (vì: ( x + z)( y + z) = ( z + x )( z + y) ≥ z + xy xy i ) ( ) xy + z xy + z xy ) ( x + z)( y + z) ≥ → xy + z ) xy ( x + y) + z xy ( x + y) ∑ ( x + z)( y + z) = ∑ ( x + z)( y + z) = ∑ ( x + z)( y + z)( x + y) ≥∑ xy ( x + y) + 2xyz ( x + z)( y + z)( x + y) Hằng đẳng thức số phép biến đổi tương đương: i a3 + b3 = ( a + b)3 − 3ab ( a + b) i a3 + b3 + c3 = ( a + b + c)3 − 3( a + b)( b + c)( c + a) i ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Viết lại sau: ( a + b + c) = ∑ a2 + 2∑ ab i ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)( b + c)( c + a) Viết lại sau: ( a + b + c) = a3 + b3 + c3 + 3∑ ab ( a + b) + 6ab i ( a + b)( b + c)( c + a) = ( a + b + c)( ab + bc + ca) − abc i ( a3 + b3 + c3 − 3abc) = ( a + b + c) ( a − b)2 + ( b − c)2 + ( c − a)2  Chỉnh sửa ngày 23/10/2015 All Rights Reserved by Ôn Thi THPT Quốc Gia ... + b + c )( ab + bc + ca ) Bất đẳng thức Holder (a + b3 + c )( x + y + z )( m + n3 + p ) ≥ ( axm + byn + czp ) Dấu " = " xảy ⇔ a b c a b c = = = = x y z m n p Bất đẳng thức Schur a + b3 + c3 +... + b2 − 2bc + c + c − 2ca + a ≥ 2 ( a − b) + (b − c) + (c − a ) ≥0 Cách khác: Đpcm: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxkia, ta có: ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b2 + c )( b + c + a ) = ( a + b + c ) ⇒... c 4ca c+ a ca ca c+ a ⇔ ≥ ⇔ ≤ c+ a c+ a c+ a ab bc ca a+ b+ c + + ≤ a+ b b+ c c+ a → đpcm *Bất đẳng thức: Bunhiacốpxki a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y → dấu " = " xảy ⇔ a b = x y  a b2  x y + 