BÀI GIẢNG: BẤT ĐẲNG THỨC – TIẾT CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƢƠNG TRÌNH MƠN TỐN LỚP 10 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM A Cơ sở lý thuyết Ôn tập – bổ sung tính chất bất đẳng thức +) Cho hai số thực a b Các mệnh đề sau: “ a b ”, “ a b ”, “ a b ”, “ a b ” gọi bất đẳng thức +) Bất đẳng thức (BĐT) mệnh đề đúng/sai +) Chứng minh BĐT ta chứng minh BĐT VD: 1, 0, 5, 2, 1 2, ,… * Các tính chất BĐT a b a c (bắc cầu) 1) b c 2) a b a c b c (cộng hai vế với số thực ta BĐT chiều) a b ac bc (Nhân hai vế với số thực dương ta BĐT chiều) 3) c a b ac bc (Nhân hai vế với số thực âm ta BĐT ngược chiều) 4) c * Một số hệ BĐT a b ac bd 1) c d 2) a c b a b c a b ac bd 3) c d 4) a b a m b m n * a b a n 1 b n 1 n * 5) a b a b Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ab a b * Chú ý: Nếu A, B biểu thức chứa biến “A > B” mệnh đề chứa biến Chứng minh ĐT A B (Với x D ) nghĩa chứng minh mệnh đề A B với x D Quy ƣớc: Khi ta có BĐT A B khơng nêu điều kiện cho biến ta hiểuBĐT xảy với giá trị biến thuộc Ví dụ 1: Hãy so sánh hai số (không dùng bảng số máy tính) Giải I Giả sử 2 24 (II) (luôn đúng) Do (II) hiển nhiên nên giả sử (I) Vậy 2 3 Ví dụ 2: Chứng minh x , ta ln có x x 1 (I) Phương pháp: Cách 1: A B A B (Sử dụng định nghĩa, tính chất BĐT) +) Tổng biểu thức không âm C D E C D E +) Tích biểu thức không âm C D E C D E +) Tích số chẵn lần biểu thức bậc lẻ không âm Cách 2: Giả sử (I) C D (luôn đúng) (II) Giải Giả sử (I) x x x x x x x 1 Do x 1 x x 1 x Chứng tỏ (I) với x Ví dụ 3: Chứng minh x ta ln có x x (I) Giải Giả sử (I) I x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 2 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! x 12 x Ta có x 1 x x 1 x 1 x 2 (II) Do (II) I với x x2 1 x Dấu “=” xảy x 1 Ví dụ 4: Cho a b ab Chứng minh 1 (I) a b Giải Cách 1: Ta có a b Chia hai vế cho ab a b 1 ab ab b a Chứng tỏ BĐT I Cách 2: Giả sử (I) 1 1 ba 0 a b a b ab Theo gt a b b a 0, ab ba (đúng) ab Chứng tỏ (I) Ví dụ 5: Chứng minh rằng: Nửa chu vi tam giác lớn cạnh tam giác Giải Gọi cạnh tam giác a, b, c Nửa chu vi tam giác: p abc a b c a 1 a b c b (I) Yêu cầu toán : a b c c 3 Ta có : Giả sử (1) 1 a b c 2a b c a (đúng theo BĐT tam giác) Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! (2) a c b (3) a b c (tương tự) Chứng tỏ (I) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức AM – GM hay BĐT Cô-si) a Bất đẳng thức Cơ-si Phát biểu: Trung bình nhân số không âm nhỏ trung bình cộng chúng ab ab a, b (1) Dấu “=” (1) xảy a b Chứng minh (1) a b ab a ab b 0 a b (luôn đúng) Dấu “=” xảy a b b Các hệ Hệ 1: Tổng số dương nghịch đảo ln lớn a a a Chứng minh: Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số a Dấu "=" xảy a 1 ta có a a a a a a a Do a a x, y Hệ 2: Nếu xy max x y x y khong doi Chứng minh Đặt S x y, P xy ta ln có Vậy xy max xy x y S2 xy S2 xy x, y Hệ 3: Nếu x y min x y xy khong doi Đặt S x y, P xy ta ln có x y xy x y xy P Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Vậy x y min P x y * Ý nghĩa hình học +) Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Chứng minh: x, y x y S x y Hình chữ nhật trở thành hình vng xy max 2 x y khong doi +) Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ Chứng minh : x, y x y min x y xy khong doi Mở rộng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm Bất đẳng thức Bunhiacopxki a BĐT Cô-si cho số không âm abc abc a, b, c Đẳng thức xảy a b c Tổng quát : a1 a2 an n a1a2 an a1 , a2 , , an n Đẳng thức xảy a1 a2 an b BĐT Bunhiacopxki * Cho số tùy ý a, b x, y ta có +) a b2 x y ax by +) a 2 b2 x y ax by a b2 a b +) x y x y Đẳng thức xảy x, y a b x y Tổng quát: Cho hai dãy số tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có : Dạng : a12 a22 an2 b12 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! a Dạng : a22 an2 b12 b22 bnn a1b1 a2b2 anbn a a a an a2 a2 Dạng 3: n x1 x2 xn x1 x2 xn Đẳng thức xảy a a a a a1 a2 n , n b1 b2 bn x1 x2 xn Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau TXĐ: f x x x Giải x 1 x x D 1;5 +) TXĐ: 5 x x +) Tìm : Do f x Bình phương vế ta có: f x x 1 x 42 x 1 x x 1 x x 1 x x f x f x x +) Tìm max Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho số x x x 1 x 1, x 1;1 x 12 12 2 f x 2 x 1 5 x x x x (tm) 1 Dấu “=” xảy BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối x 0, x x, x x, x x x a a x a a x a x a a 0 x a a b a b a b (BĐT kép) Chứng minh a b a b ab a b 2ab a b ab ab a b (luôn đúng) Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! a a b b a b b a b a b dpcm Ví dụ 1: Cho x 2;0 Chứng minh x Giải Từ 2 x 1 x x 9dpcm Tương tự x 2 x x VD: x x 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x z x y y z x, y, z Giải Ta có: x z x y y z x y y z (đpcm) Áp dụng a b a b Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... rộng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm Bất đẳng thức Bunhiacopxki a BĐT Cô-si cho số không âm abc abc a, b, c Đẳng thức xảy a b c Tổng quát : a1 a2 an n a1a2 an a1 ,... Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! (2) a c b (3) a b c (tương tự) Chứng tỏ (I) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức AM – GM hay BĐT Cô-si) a Bất đẳng thức Cơ-si Phát... – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! a Dạng : a22 an2 b12 b22 bnn a1b1 a2b2 anbn a a a an a2 a2 Dạng 3: n x1 x2 xn x1 x2 xn Đẳng thức xảy